3.2.2 奇偶性的概念同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数奇偶性概念，分层设计从基础概念辨析到综合应用，通过选择、填空、解答题梯度提升，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|奇偶性定义及图象特征|以选择、填空题考查奇函数性质（如f(-2)=3求f(2)）、偶函数图象特征，强化概念理解| |提升层|奇偶性判断与参数求解|结合具体函数（如y=2x²-3）判断奇偶性，通过含参函数（如f(x)=x³-ax²+b）考查充要条件，培养推理意识| |综合层|综合性质应用及创新情境|设置多选题（奇偶函数运算性质）、证明题（抽象函数奇偶性证明）及“优美点”创新题型，发展创新意识与数学思维|

3.2.2　奇偶性 第1课时　奇偶性的概念 1.B　[解析] 因为f(x)是奇函数,且f(-2)=3,所以f(2)=-f(-2)=-3.故选B. 2.A　[解析] 偶函数的图象关于y轴对称,结合函数图象可知符合题意的是A选项,B,C,D不符合题意.故选A. 3.D　[解析] 若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(x)+f(-x)=0,且f(0)=0,故A,B中结论正确;因为f(-x)=-f(x),所以f(x)·f(-x)=-[f(x)]2≤0,当x=0时,等号成立,故C中结论正确;当x=0时,f(-x)=0,此时无意义,故D中结论不正确.故选D. 4.①③　[解析] 对于①,由偶函数的定义知f(-2)=f(2),故①正确;对于②,f(x)=(x2-4)(x+1)满足f(2)=f(-2)=0,但f(x)不是偶函数,故②错误;对于③,假设f(x)是偶函数,则f(-2)=f(2),与f(-2)≠f(2)矛盾,所以f(x)不是偶函数,故③正确;对于④,f(x)=sin(πx)是奇函数,但满足f(-2)=f(2),故④错误.故填①③. 5.C　[解析] 对于A,y=|x|,x∈(-1,1]的定义域为(-1,1],不关于原点对称,故A错误;对于B,y=的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,故B错误;对于C,令f(x)=2x2-3,则f(x)的定义域为R,又f(-x)=2(-x)2-3=2x2-3=f(x),所以f(x)为偶函数,故C正确;对于D,令g(x)=x,则g(x)的定义域为R,又g(-x)=-x=-g(x),所以g(x)为奇函数,故D错误.故选C. 6.B　[解析] 由f(x)=x3-ax2+b为奇函数,得f(-x)=-f(x),即-x3-a(-x)2+b=-(x3-ax2+b),整理得ax2-b=0对任意的x∈R恒成立,则a=0,b=0,即“f(x)=x3-ax2+b为奇函数”的充要条件为“a=b=0”,所以“a=0”是“f(x)=x3-ax2+b为奇函数”的必要不充分条件.故选B. 7.解:(1)函数f(x)的定义域为[-1,1],关于原点对称. 又因为f(-x)=(-x)2-2|-x|+1=x2-2|x|+1=f(x),所以f(x)是偶函数. (2)由得-2≤x≤2,且x≠0, 所以f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称, 所以f(x)===. 又f(-x)==-=-f(x),所以f(x)是奇函数. (3)因为f(x)的定义域为[-1,1),不关于原点对称, 所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (4)函数f(x)的定义域为R,定义域关于原点对称. ①当x=0时,-x=0,所以f(-x)=f(0)=0,f(x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x); ②当x>0时,-x<0,所以f(-x)=-(-x)2-2(-x)-3=-(x2-2x+3)=-f(x); ③当x<0时,-x>0,所以f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=-(-x2-2x-3)=-f(x). 综上可知,函数f(x)为奇函数. 8.C　[解析] 因为f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-,所以f(0)=0,f(-1)=-f(1)=-(1-2)=1,所以f(-1)+f(0)=1.故选C. 9.BC　[解析] 对于A选项,因为函数f(x)=mx2+nx+4m+n是偶函数,且其定义域为[m-1,3m],所以m-1+3m=4m-1=0,解得m=,故A错误;对于B选项,二次函数f(x)=mx2+nx+4m+n的图象的对称轴方程为x=-=0,可得n=0,故B正确;对于C选项,因为m=,所以函数f(x)的定义域为,故C正确;对于D选项,f(x)=x2+1,f(x)min=f(0)=1,故D错误.故选BC. 10.-3　[解析] 设x>0,则-x<0,所以f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=-f(x),所以当x>0时,f(x)=-x2+x,又当x>0时,f(x)=ax2-bx,所以a=-1,b=-1,则2a+b=-3. 11.A　[解析] 由函数f(x)是奇函数,得f(x)+f(-x)=0,则+=0,解得a=0.函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),显然f(x)是奇函数,所以a=0.故选A. 12.B　[解析] f(x)的定义域为R,对任意给定的x∈R,若x∈Q,则-x∈Q,∴f(x)=f(-x)=1;若x∉Q,则-x∉Q,∴f(-x)=f(x)=-1.故对任意x∈R,都有f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数. 13.AD　[解析] 在A中,由f(x),g(x)均为奇函数,得F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x),则F(x)为奇函数,故A正确;在B中,取f(x)=x,g(x)=x(均为增函数),但G(x)=x2在R上不是增函数,故B错误;在C中,取f(x)=x2,g(x)=x2(均为偶函数),但H(x)=f[g(x)]=x4在R上不是增函数,故C错误;在D中,由f(x),g(x)均为偶函数,得h(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=h(x),则h(x)为偶函数,故D正确.故选AD. [规律方法] 判断函数奇偶性的方法: (1)用定义法判断函数的奇偶性,包括两个必备条件:①定义域关于原点对称;②判断f(x)与f(-x)的关系. (2)图象法:若函数图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数图象关于y轴对称,则函数为偶函数. (3)性质法:利用奇偶函数的和差积商的奇偶性,以及复合函数的奇偶性判断. 14.-2　[解析] 因为y=xf(x)+2是偶函数,所以-3f(-3)+2=3f(3)+2,又f(-3)=2,所以f(3)=-2. 15.证明:令x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=f(0)·f(x). 令x1=x,x2=0,得f(x)+f(x)=f(x)·f(0). 由上述两式得f(x)+f(-x)=f(x)+f(x),即f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数. 16.ABC　[解析] 因为⌀⫋I⫋R,所以I是非空集合.因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x).对于g(x)=|x|,g(-x)=g(x),对于h(x)=2x-1,当x≠0时,h(-x)≠h(x),而点(1,1)是g(x)和h(x)的图象的一个公共点,所以当∁RI={0}或{1}或{0,1}时,f(x)是偶函数.故选ABC. 17.(-∞,1]　[解析] 因为f(0)=1,所以(0,1)不是函数y=f(x)的“优美点”,设与函数f(x)=x2+2x,x<0的图象关于原点对称的图象对应的函数为g(x),令x>0,则-x<0,则g(x)=-f(-x)=-x2+2x.由题知g(x)=-x2+2x,x>0的图象与f(x)=(k-1)x+1,x>0的图象有交点,即当x>0时,关于x的方程2x-x2=(k-1)x+1有解,方程可化为3-k=x+,又x+≥2=2,当且仅当x=1时取等号,所以3-k≥2,解得k≤1.故实数k的取值范围为(-∞,1] 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2　奇偶性 第1课时　奇偶性的概念 考点一　函数的奇偶性及图象特征 1.已知f(x)是奇函数,且f(-2)=3,则下列结论正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.f(2)=3 B.f(2)=-3 C.f(2)=±3 D.f(2)的值不能确定 2.下列函数图象中,可以表示偶函数的有 (　 ) A B C D 3.若函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列结论不正确的是 (　 ) A.f(x)+f(-x)=0 B.f(0)=0 C.f(x)·f(-x)≤0 D.=1 4.对于定义在R上的函数f(x),下列说法正确的是　　　　.(填序号)  ①若f(x)是偶函数,则f(-2)=f(2); ②若f(-2)=f(2),则函数f(x)是偶函数; ③若f(-2)≠f(2),则函数f(x)不是偶函数; ④若f(-2)=f(2),则函数f(x)不是奇函数. 考点二　函数的奇偶性的判断 5.下列函数是偶函数的是 (　 ) A.y=|x|,x∈(-1,1] B.y= C.y=2x2-3 D.y=x 6.[2026·山东潍坊高一期中] “a=0”是“函数f(x)=x3-ax2+b为奇函数”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x2-2|x|+1,x∈[-1,1]; (2)f(x)=; (3)f(x)=(x-1); (4)f(x)= 考点三　利用函数奇偶性求函数值或参数值 8.[2026·合肥八中高一期中] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-,则f(-1)+f(0)= (　 ) A.3 B.-3 C.1 D.-1 9.(多选题)已知函数f(x)=mx2+nx+4m+n是偶函数,且其定义域为[m-1,3m],则 (　 ) A.m=4 B.n=0 C.函数f(x)的定义域为 D.函数f(x)的最小值为 10.已知函数f(x)=为奇函数,则2a+b=　　　　.  11.已知函数f(x)=是奇函数,则a= (　 ) A.0 B.1 C.-1 D.2 12.函数f(x)=是 (　 ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 13.(多选题)[2026·南京金陵中学高一期中] 已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,则下列结论正确的是 (　 ) A.若f(x),g(x)均为奇函数,则函数F(x)=f(x)+g(x)为奇函数 B.若f(x),g(x)均为增函数,则函数G(x)=f(x)g(x)为增函数 C.若f(x),g(x)均为偶函数,则函数H(x)=f[g(x)]为增函数 D.若f(x),g(x)均为偶函数,则函数h(x)=f(x)g(x)为偶函数 14.已知函数y=xf(x)+2是R上的偶函数,若f(-3)=2,则f(3)=　　　　.  15.若对于任意实数x1,x2,函数f(x)(x∈R)都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=f(x1)·f(x2).求证:f(x)为偶函数. 16.(多选题)[2026·南昌二中高一期中] 已知集合I满足⌀⫋I⫋R,若函数f(x)=是偶函数,则∁RI可能是 (　 ) A.{0} B.{1} C.{0,1} D.[0,1] 17.[2026·邯郸五校高一期中] 对于函数y=f(x),若存在m,使得f(-m)=-f(m),则称点(m,f(m))是函数y=f(x)的“优美点”.已知函数f(x)=存在“优美点”,则实数k的取值范围为　　　　. 学科网（北京）股份有限公司 $