3.2函数的单调性、最大（小）值与奇偶性和周期性同步练习 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 围绕函数单调性、最值、奇偶性和周期性，通过基础选择、进阶填空与多选、综合简答的三层设计，实现从概念理解到综合应用的知识巩固路径，适配新授课教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单调性定义与运算、奇偶性判定|8道单选题聚焦概念辨析，如单调性运算规则判断，培养抽象能力| |进阶层|单调区间、图像分析、周期性|3道多选题结合图像判断单调性（如区间[－5,5]上的函数图像分析），3道填空题考查奇偶性应用，发展几何直观与推理意识| |综合层|性质综合证明与应用|2道简答题（如奇函数证明及最值求解），深化运算能力与模型意识，实现从单一到综合的进阶|

3.2函数的单调性、最大（小）值与奇偶性和周期性同步练习 1. 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． (3)函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 2.单调性的常见运算 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2） 复合函数的单调性 2. 奇偶性 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：，图象关于原点对称 偶函数：，图象关于轴对称 ③奇偶性的运算 3. 周期性（差为常数有周期）（拓展） ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） 4. 对称性（和为常数有对称轴）（拓展） 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 5. 周期性对称性综合问题（拓展） ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 6. 奇偶性对称性综合问题（拓展） ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 巩固练习 1、 单项选择题 1.下列有关函数单调性的说法，不正确的是（    ） A．若为增函数，为增函数，则为增函数 B．若为减函数，为减函数，则为减函数 C．若为增函数，为减函数，则为增函数 D．若为减函数，为增函数，则为减函数 2.函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3.函数y＝的单调递减区间为（　　） A．（－∞，＋∞） B．（0，＋∞） C．（－∞，0）∪（0，＋∞） D．（－∞，0），（0，＋∞） 4.下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 5.设是定义在上的偶函数，则（ ） A．0 B．2 C． D． 6.函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 7.函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，且为奇函数.若f（1）＝－1，则满足－1≤f（x－2）≤1的x的取值范围是（　　） A.[－2,2] B.[－1,1] C.[0,4] D.[1,3] 8.若奇函数在区间上是增函数，则它在区间上是（    ） A．增函数且最大值是 B．增函数且最小值是 C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是 2、 多项选择题 9.下图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f（x），则下列关于函数f（x）的说法错误的是（　　） A.函数在区间[－5，－3]上单调递增 B.函数在区间[1,4]上单调递增 C.函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减 D.函数在区间[－5,5]上没有单调性 10.函数的图象是折线段，如图所示，其中点，，的坐标分别为，，，以下说法正确的是（    ） A． B．的定义域为 C．为偶函数 D．若在上单调递增，则的最小值为1 11.已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B． C．的图像关于对称 D． 3、 填空题 12.已知函数是定义在上的奇函数，且，则_________. 13.已知函数，且，那么= . 14.已知函数满足，则 . 4、 简答题 15.若函数对任意，恒有成立，且． (1)求证：是奇函数； (2)求的值； (3)若时，，试求在上的最大值和最小值． 16.判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2函数的单调性、最大（小）值与奇偶性和周期性 同步练习答案含解析 1. 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． (3)函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 2.单调性的常见运算 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2） 复合函数的单调性 2. 奇偶性 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：，图象关于原点对称 偶函数：，图象关于轴对称 ③奇偶性的运算 3. 周期性（差为常数有周期）（拓展） ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） 4. 对称性（和为常数有对称轴）（拓展） 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 5. 周期性对称性综合问题（拓展） ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 6. 奇偶性对称性综合问题（拓展） ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 巩固练习 1、 单项选择题 1.下列有关函数单调性的说法，不正确的是（    ） A．若为增函数，为增函数，则为增函数 B．若为减函数，为减函数，则为减函数 C．若为增函数，为减函数，则为增函数 D．若为减函数，为增函数，则为减函数 【答案】C 【详解】根据不等量的关系，两个相同单调性的函数相加单调性不变， 选项A,B正确； 选项D: 为增函数，则为减函数， 为减函数，为减函数，选项D正确； 选选C:若为增函数，为减函数， 则的增减性不确定. 例如为上的增函数，当时， 在上为增函数； 当时，在上为减函数， 故不能确定的单调性. 故选:C 2.函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由知，函数为开口向上，对称轴为的二次函数，则单调递增区间是. 故选：B. 3.函数y＝的单调递减区间为（　　） A．（－∞，＋∞） B．（0，＋∞） C．（－∞，0）∪（0，＋∞） D．（－∞，0），（0，＋∞） 【答案】D 【分析】由反比例函数的性质即可求解. 【详解】由反比例函数的性质可得函数的单调递减区间为（－∞，0），（0，＋∞）. 故选：D. 4.下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，为增函数，不符合题意；对于B，为奇函数，但是该函数在定义域内不符合单调递减的定义，错误；对于C，，故为奇函数，当时，在上单调递减，当时，在单调递减，故C符合题意；对于D，为偶函数，且在定义域内不单调. 故选：C 5.设是定义在上的偶函数，则 A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由于在上的偶函数，故定义域关于原点对称，即：，得. 又由于为偶函数，即：，化简得：=0. 则. 故选：C. 6.函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数在上的单调性，即可求得该函数的最大值. 【详解】因为函数、在区间上均为增函数，故函数在上为增函数， 当时，. 故选：B. 7.函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，且为奇函数.若f（1）＝－1，则满足－1≤f（x－2）≤1的x的取值范围是（　　） A.[－2,2] B.[－1,1] C.[0,4] D.[1,3] 【答案】D 【解析】∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x）. ∵f（1）＝－1，∴f（－1）＝－f（1）＝1. 故由－1≤f（x－2）≤1，得f（1）≤f（x－2）≤f（－1）. 又f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，∴－1≤x－2≤1， ∴1≤x≤3，故选D. 8.若奇函数在区间上是增函数，则它在区间上是（    ） A．增函数且最大值是 B．增函数且最小值是 C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是 【答案】A 【详解】由题意，奇函数在区间上是增函数， 则函数在区间也为增函数， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 故选：A. 2、 多项选择题 9.下图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f（x），则下列关于函数f（x）的说法错误的是（　　） A.函数在区间[－5，－3]上单调递增 B.函数在区间[1,4]上单调递增 C.函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减 D.函数在区间[－5,5]上没有单调性 【答案】ABD 【解析】若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，所以C错误，故选ABD 10.函数的图象是折线段，如图所示，其中点，，的坐标分别为，，，以下说法正确的是（    ） A． B．的定义域为 C．为偶函数 D．若在上单调递增，则的最小值为1 【答案】ACD 【分析】由函数的图象，逐项判断. 【详解】因为，，的坐标分别为，，，所以故A正确． 因为的定义域为，所以的定义域为，故B错误． 因为的图象向左平移一个单位长度后关于轴对称，所以为偶函数，故C正确． 因为在上单调递减，在上单调递增，故D正确． 故选：ACD 11.已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B． C．的图像关于对称 D． 【答案】BCD 【分析】根据题设有、，进而可得，即可判断的对称性、奇偶性，再由周期性、奇偶性求，最后结合在上的单调性及对称性和周期性判断上的单调性，比较函数值大小. 【详解】由题设，，即，则关于对称，C正确； ，即，关于对称， 所以，即周期为4， 且，即为偶函数，A错误； 则，B正确； 又，且，都有，即在上递增， 综上，在上递增，则上递减，故，D正确. 故选：BCD 3、 填空题 12.已知函数是定义在上的奇函数，且，则_________. 【答案】/ 【详解】由函数是定义在上的奇函数，则，， 由，则. 故答案为：. 13.已知函数，且，那么= . 【答案】-12 【分析】代入，整体代换求值即可. 【详解】由题意，，即， 故, 故答案为：-12 14.已知函数满足，则 . 【答案】1 【分析】在中，令即可得解. 【详解】因为， 令，可得. 故答案为：1. 4、 简答题 15.若函数对任意，恒有成立，且． (1)求证：是奇函数； (2)求的值； (3)若时，，试求在上的最大值和最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)最大值为2，最小值为 【详解】（1）定义域为，令，得，再令，得， 所以，故是奇函数； （2）因为，故令得，即， 又是奇函数，所以， 令得， 令得 故； （3）不妨设， 中，令得， ， 因为，又时，， 所以，即， 所以在R上单调递减， 故． 16.判断下列函数的奇偶性： （1）；（2）；（3）. 【答案】（1）非奇非偶函数；（2）奇函数；（3）偶函数 【解析】（1）有意义，则，即，解得， 所以，函数的定义域为，不关于原点对称， 因此，函数是非奇非偶函数. （2）当时，， ，； 当时，， ，. 所以函数为奇函数. （3）由题意可得，所以且， 所以，函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数. 学科网（北京）股份有限公司 $