精品解析：湖南省衡阳市耒阳市第一中学2026-2027学年高一上学期开学预习检测数学试卷

耒阳一中高一2026-2027开学预习检测卷（数学） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列各对象可以组成集合的是（　　） A. 与1非常接近的全体实数 B. 新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C. 高一年级视力比较好的同学 D. 高中学生中的游泳高手 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【详解】对于A：“非常接近”不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：“比较好”不具有确定性，故选项C错误； 对于D：“高手”不具有确定性，故选项D错误. 故选：B 2. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确； 故选：D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式即可. 【详解】由，得，故的定义域为. 故选：A 4. 关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则的值为 A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】设，是的两个实数根，由根与系数的关系得，，再由代入即可； 【详解】设，是的两个实数根， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴或， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键 5. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】 根据相等函数的定义域和对应关系相同依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，定义域为，的定义域为，故不满足条件； 对于B选项，，显然与的对应关系不同，故不满足条件； 对于C选项，定义域为，的定义域为，故不满足条件； 对于D选项，与定义域相同，对应关系相同，故满足条件． 故选：D． 【点睛】本题考查函数相等的概念，熟练掌握函数相等概念是解题的关键，是基础题． 6. 若，则的最小值是（ ） A. 36 B. 13 C. 12 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以，当且仅当时，即当时取等号， 所以当时，有最小值， 故选：C 7. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④.其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质逐项分析即可得解. 【详解】由图象与轴有2个交点可知，判别式，即，故①正确； 由二次函数图象知，，即，所以， ，故②③错误； 由图象对称性知，大于函数与正半轴交点横坐标，所以当时，，故④正确. 故选：A 8. 已知函数，若，则（  ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先证得为奇函数，所以，再由奇函数的性质可求出. 【详解】令，函数定义域为R， ，所以为奇函数， 所以，所以， 所以，所以． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说出错误的是（ ） A. 若，，则的最小值为1 B. C. 集合，，则 D. 空集 【答案】BCD 【解析】 【分析】若，，则的最小值为0，的最小值为1，可判断A；可判断B；由题意可证得，可判断C；由空集的定义可判断D. 【详解】对于A，若，，则的最小值为0，的最小值为1， 的最小值为1，所以A正确； 对于B，，所以B不正确； 对于C，， ， 所以，所以C不正确； 对于D，空集是指不包含任何集合的子集，空集是任何集合的子集， 是指包含元素，所以，所以D不正确. 故选：BCD. 10. 某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（ ） A. 同时参加跑步和篮球比赛的人数为24 B. 只参加跑步比赛的人数为26 C. 只参加拔河比赛的人数为16 D. 只参加篮球比赛的人数为22 【答案】BCD 【解析】 【分析】设同时参加跑步和篮球比赛的人数为，由Venn图可得集合的元素个数关系． 【详解】设同时参加跑步和篮球比赛的人数为，由Venn图可得，，得，则只参加跑步比赛的人数为，只参加拔河比赛的人数为，只参加篮球比赛的人数为. 故选：BCD． 11. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集与方程的根的对应关系可得，即A正确，B错误，再代入解不等式可判断C正确，D错误. 【详解】由题意可知，则， 对于A，所以且，故A正确， 对于B，， 故B错误； 对于C，不等式，故C正确； 对于D，不等式，又， 可得，所以或，故D错误. 故选：AC. 第二部分（非选择题 共77分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法可得答案. 【详解】由， 故答案为：. 13. 已知幂函数的图象经过点，则_____. 【答案】2 【解析】 【分析】待定系数法求出的解析式即可. 【详解】设幂函数 ，其中  为常数， 函数图象经过点 ， 因此，有：， 解得：. 所以，幂函数为 . 故. 故答案为：2 14. 已知函数，若，则实数的值为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据分段函数解析式得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为且， 所以或， 解得或. 故答案为：或 四、解答题（本题共5小题，共77分．需写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知，，求，. 【答案】或，或. 【解析】 【分析】 求出集合、，然后利用交集和并集的定义可求出集合，. 【详解】或， 或. 因此，或，或. 【点睛】本题考查交集与并集的计算，同时也涉及了一元二次不等式的求解，在求解无限数集之间的运算时，可充分利用数轴来理解，考查计算能力，属于基础题. 16. 计算： （1）； （2）已知，，求的值； （3）已知，，求：． 【答案】（1）1 （2）3 （3）7 【解析】 【分析】（1）利用特殊角的正弦值、绝对值的概念、分母有理化、指数幂的运算及根式运算求解即可； （2）对平方并化简，即可得出结论； （3）先求出，通过化简即可得出结论． 【小问1详解】 原式 ． 【小问2详解】 ， ， 又，， ， ． 【小问3详解】 ，， ， 原式． 17. （1）已知，求的最小值； （2）求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）首先变形为，再利用基本不等式求最值；（2）首先求函数的定义域，再利用基本不等式求最大值. 【详解】（1），，， 当且仅当时，即当时等号成立，的最小值为； （2）由知. 当或时，； 当时，，由基本不等式可得. 当且仅当，即当时等号成立. 综上，的最大值为. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型，基本不等式求最值的方法需记住“一正，二定，三相等的原则”. 18. 已知函数， （1）用定义法判断在区间上的单调性； （2）求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. （2）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 19. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）若，求的值； （2）已知等腰的一边长为7，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用根与系数的关系求解即可； （2）分7为底边长，7为腰长两种情况讨论，先通过一元二次方程解的个数或者根为7确定的值，再根据三角形任意两边之和大于第三边判定的取值是否能使三角形存在，即可求解 【小问1详解】 因为是关于的一元二次方程的两实数根． 所以， 又因为，所以， 所以，即，解得或， 当时，，不符合题意，故舍去， 所以，经验证满足； 【小问2详解】 ①当7为底边长时，方程有两个相等的实数根， 所以，解得， 所以方程为，解得， 又因为，所以不能构成三角形； ②当7为腰长时，设，代入方程得， 解得或， 当时，方程为，解得， 又，所以不能构成三角形； 当时，方程为，解得， 此时能构成三角形，的周长为. 综上，的周长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 耒阳一中高一2026-2027开学预习检测卷（数学） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列各对象可以组成集合的是（　　） A. 与1非常接近的全体实数 B. 新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C. 高一年级视力比较好的同学 D. 高中学生中的游泳高手 2. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则的值为 A. B. C. 或 D. 或 5. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 6. 若，则的最小值是（ ） A. 36 B. 13 C. 12 D. 6 7. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④.其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ①②③④ 8. 已知函数，若，则（  ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说出错误的是（ ） A. 若，，则的最小值为1 B. C. 集合，，则 D. 空集 10. 某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（ ） A. 同时参加跑步和篮球比赛的人数为24 B. 只参加跑步比赛的人数为26 C. 只参加拔河比赛的人数为16 D. 只参加篮球比赛的人数为22 11. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 第二部分（非选择题 共77分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 不等式的解集为__________. 13. 已知幂函数的图象经过点，则_____. 14. 已知函数，若，则实数的值为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．需写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知，，求，. 16. 计算： （1）； （2）已知，，求的值； （3）已知，，求：． 17. （1）已知，求的最小值； （2）求的最大值. 18. 已知函数， （1）用定义法判断在区间上的单调性； （2）求出该函数在区间上的最大值和最小值. 19. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）若，求的值； （2）已知等腰的一边长为7，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $