精品解析：湖南省长沙市长郡中学2026-2027学年高一上学期开学综合能力检测数学试卷

2026级高一综合能力检测试卷 数学 时量：90分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 下列判断正确的是（ ） A. 两点之间垂线段最短 B. 平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形 C. 点关于轴的对称点在第二象限 D. 同一时刻下，两个身高相同的人在阳光下的影长相等 【答案】C 【解析】 【分析】逐一验证各选项涉及的几何公理、图形对称性、点关于坐标轴对称的坐标特征、平行投影的前提条件，排除错误选项即可得到正确结论. 【详解】 A选项：两点之间线段最短，垂线段最短是点到直线的距离的性质，此处概念混淆，故A错误； B选项：平行四边形是中心对称图形，一般的平行四边形不是轴对称图形，仅特殊平行四边形（如矩形、菱形）兼具轴对称性，故B错误； C选项：关于轴对称的点纵坐标不变，横坐标变为原数的相反数，因此点关于y轴的对称点为，该点横坐标小于0，纵坐标大于0，符合第二象限点的坐标特征，故C正确； D选项：同一时刻、同一地点，直立的身高相同的人在阳光下的影长才相等，选项缺少必要前提条件，故D错误. 2. “有志者，事竟成”出自《后汉书·耿弇传》，这句话的含义是有志向的人，做事终究会成功．如图是正方体的某个展开图，则这个正方体与“志”字所在面相对的面上的字为（ ） A. 成 B. 竟 C. 者 D. 事 【答案】A 【解析】 【详解】将此展开图还原，以“者”为正方体的下底面， 则“志”为正方体的背面，“有”为正方体的左侧面，“事”为正方体的右侧面，“竟”为正方体的上底面，“成”为正方体的正面， 所以这个正方体与“志”字所在面相对的面上的字为“成”. 3. 关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】确定一元二次方程的系数后计算根的判别式的符号，即可判断方程根的情况. 【详解】由题，， 因此该方程有两个不相等的实数根. 4. 如图所示，将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“”的个数为，第2幅图形中“”的个数为，第3幅图形中“”的个数为，…，以此类推，则的值为（ ） A. 80 B. 99 C. 109 D. 110 【答案】B 【解析】 【详解】由图形可知，，，，，⋯， 以此类推，. 5. 孟想和程真两同学玩扑克魔术，孟想将一副扑克牌（54张）理好后让程真从上往下取出所有第奇数张牌丢掉，然后再从剩下的牌中从上往下取出所有第奇数张牌丢掉，依次进行，直到剩下3张牌时，孟想对程真说“恭喜你得到一个985”，程真从上往下依次翻开果然是红桃9、红桃8、红桃5；请问：孟想在理牌时巧妙将这3张牌从上往下依次放在第几的位置（ ） A. 12，24，48 B. 16，32，48 C. 16，36，54 D. 32，36，48 【答案】B 【解析】 【分析】由题意分析可得每次从上往下丢弃第奇数张牌后，剩余牌的初始位置为（为丢弃次数）的倍数，据此可推导剩余3张牌时的初始位置. 【详解】由题意，一副扑克牌（54张），每次从上往下丢弃第奇数张牌， 第1次丢弃牌后，剩余牌的初始位置为的倍数，共27张牌， 第2次丢弃牌后，剩余牌的初始位置为的倍数，共13张牌， 第3次丢弃牌后，剩余牌的初始位置为的倍数，共6张牌， 第4次丢弃牌后，剩余牌的初始位置为的倍数，共3张牌， 所以剩余3张牌从上往下的初始位置依次为、、， 则孟想在理牌时巧妙将这3张牌从上往下依次放在第16，32，48的位置. 6. 点是抛物线的顶点，点，在抛物线上（其中）．则下列结论正确的是（ ） A. 点在直线上 B. C. 当点所在直线与线段没有交点时，的取值范围是 D. 当点在原点时，过点的直线与抛物线交于，两点，则 【答案】D 【解析】 【分析】先对抛物线配方得到顶点坐标，再利用抛物线上纵坐标相等的两点对称性、直线与线段相交条件、韦达定理对四个选项注意判断. 【详解】， 顶点的坐标为. 选项A：将代入，当时，， 所以点不在直线上，故A错误； 选项B：，纵坐标相同，对称轴为， ，解得， 将代入抛物线得 ， 当时，不满足，故B错误； 选项C：顶点的坐标为， ， 所在直线为，将代入得， 解得， 当点所在直线与线段没有交点时， 或， 或，整理得：或， ，，无解； ，，.故C错误； 选项D：点在原点， ，，，抛物线为. 当过的直线是时，此时直线与抛物线只有一个交点不符合题意， 则可设过的直线为，联立得， 整理得，，设，， ，，，， ，即. ， ， ， 同理可得，. ，故D正确. 【点睛】解题先借助配方法得到顶点坐标，利用抛物线上两点纵坐标相等推出其关于对称轴对称； 直线与线段有无交点要看交点横坐标是否落在线段区间内； 涉及型求值，常用设线联立、韦达定理整体代换，避开单独求根. 二、填空题（本题共6小题，每小题6分，共36分．） 7. 分解因式：_____________． 【答案】 【解析】 【详解】. 8. 的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用绝对值的三角不等式，即可求解. 【详解】由绝对值的三角不等式，可得， 当且仅当时，即时，等号成立. 9. 三角函数有如下的公式：，利用公式可以计算一些不是特殊角的三角函数值．根据以上阅读材料，计算：_____________． 【答案】 【解析】 【详解】可知， 所以. 10. 如图，点在上，劣弧沿弦翻折，点的对应点为，连接并延长交圆于另一点，连接，．若，为直径，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，得到角度相等，得到三角形相似，求出答案 【详解】连接，四边形为圆内接四边形，故， 又，由对称性可知，，故， 即，取的中点，连接，则⊥， 因为，所以， 因为为直径，所以，故， 又，故，所以∽， 所以，故， 由勾股定理得. 11. 如图，直线与反比例函数在第二象限的图象交于点，，与轴交于点．点的横坐标为，且，则反比例函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】过分别作垂直于轴，利用三角形相似关系得到的坐标，然后根据这两个坐标在直线上列方程组求解. 【详解】过分别作垂直于轴，垂足为， 易知，和相似， 由于，则， 由于的横坐标是，代入反比例函数得到的纵坐标为，即， 又，则的纵坐标为，代入反比例函数得到的横坐标为，则， 利用均在直线上可得，， 解得， 即反比例函数的解析式为. 12. 数学兴趣小组在研究连续正整数的和时发现结论：（，且为整数）．后来他们又发现一些完全平方奇数（若一个奇数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个奇数为完全平方奇数，如，，，，…均为完全平方奇数）可以写成几个连续正整数的和，如：，，，，…． （1）将写成几个连续正整数的和：_____________； （2）若将写成几个连续正整数的和，其中最大的正整数与最小的正整数的差为_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，利用完全平方奇数的新定义，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】根据题意，底数为的完全平方奇数可以写成个连续正整数的和， 其中这个连续正整数的首项为， 所以这个连续正整数依次为， 即， 设这个连续最小值的正整数中最小的一个为， 根据等差数列的求和公式，可得，可得， 解得，所以正整数的最大值为， 所以最大的正整数与最小的正整数的差为. 三、解答题（本题共5小题，13、14小题每小题9分，其余每小题12分，共54分．） 13. 为增强学生安全意识，某校开展“防溺水安全知识”主题教育活动，并随机抽取部分学生进行防溺水知识测试（测试等级分为：优秀、良好、合格、不合格），根据测试结果绘制了如下尚不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次接受测试的学生共有__________人，扇形统计图中“优秀”对应的圆心角度数为___________； （2）补全条形统计图； （3）若该校防溺水知识测试“不合格”的学生有300人，请估计该校共有多少名学生，并对学校防溺水安全教育工作提出一条合理化建议． 【答案】（1）， （2） （3）人，建议学校定期开展防溺水安全演练，提升学生的安全防护能力. 【解析】 【小问1详解】 不合格的人数人，对应扇形图的比例是，因此一共有人； 由于优秀的占比是，则圆心角的度数为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 估计全校人数为：人， 建议学校定期开展防溺水安全演练，提升学生的安全防护能力. 14. 淇淇在计算“”时，误把“”看成“”，得到的计算结果为． （1）求“”所表示的代数式； （2）若“”的运算结果乘一个关于的代数式，与“”的运算结果相同，求代数式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设“”为 ，再由代数式“”的结果计算可得； （2）直接根据代数式“”和“”的关系解得所求代数式. 【小问1详解】 设“”为 ，因为要使运算有意义，则且， 所以且， 所以即且且，即且且， 由题意，移项得， 因式分解并约分 （因为且）. 因此“”所表示的代数式为. 【小问2详解】 因为 （因为且）. 而，由题意 ， 所以（因为）. 因此代数式. 15. 某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为元时，年销售量为万棵． （1）基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高元，销售量将相应减少万棵，设每棵定价提高到元（），每年的销售总收入为万元． ①求关于的函数关系式： ②要使提价后每年销售的总收入为万元，求的值． （2）该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育，改良前该绿植每棵售价为元．设改良培育后每棵的售价为元（），该基地投入万元作为培育费用．问该绿植的年销售量至少达到多少万棵，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和？ 【答案】（1）① ，其中； ② （2）年销售量至少达到万棵，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和. 【解析】 【分析】（1）①先计算每棵定价提高到元时的销售量为，进而可得销售收入即为函数关系式；②直接在函数关系式中令，可得的值； （2）根据题意可得不等式，再参数分离及换元得，构造函数，根据二次函数的性质可得，从而可得所求值的最小值. 【小问1详解】 ①定价为元时，相比原价元提高了元，根据“每提价元销量减少万棵”， 所以销量减少量为万棵，因此实际年销售量为： （万棵）， 因此销售总收入，整理得： ，其中. 故关于的函数关系式为，其中， ②令，代入函数得 ， 整理为一元二次方程，得，解得或. 结合，舍去，得. 因此要使提价后每年销售的总收入为万元，. 【小问2详解】 因为改良前的年销售收入为万元，改良培育费用为万元， 改良后的年销售收入为，根据题意，（其中）， 所以，令，由得， 所以， 函数是一个开口向下的二次函数的一部分，对称轴为， 当时，随着的增大而增大， 当时，随着的增大而减小， 当时，函数取得最大值， 要使不等式对所有恒成立，则. 因此年销售量至少达到万棵，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和. 16. 菱形中，为的外接圆，是的切线． （1）如图1，求证：为等边三角形； （2）如图2，点为边的中点，点在上，连接交于，若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，，取的中点，连接， 因为是的切线，所以⊥， 因为四边形为菱形，所以，，故⊥， 因为，所以⊥，故三点共线，所以⊥， 由三线合一可知，故，为等边三角形； （2）4 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，由三线合一得，证明出结论； （2）证明出三角形全等，故，并得到边的比例关系，求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设与相交于点， 因为四边形为菱形，所以， 由（1）可知，为等边三角形，故，， 又，故， 又，所以， 故，所以≌，故， 又，所以， 因为点为边的中点，所以，故， 因为，所以，故. 17. 如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．将抛物线沿直线向右下方平移，得到函数的图象，则称函数为函数的“关联函数”． （1）求抛物线的解析式． （2）将抛物线沿直线向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数”的图象，其顶点恰好是点．如图2，若点在函数的图象上，且在第二象限内，连接并延长，交抛物线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，以，为邻边作矩形，与射线交于点，设矩形与矩形的面积分别为，．求的取值范围； （3）将抛物线沿直线向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数”的图象．若函数的图象恰好经过点，当时，的最小值为0，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把点和点，点代入抛物线求解；（2）求抛物线的解析式，设直线：，求出交点、的坐标，确定参数的范围，计算面积比；（3）求抛物线的解析式，当时，或时，要使区间最小值为，区间需完全包含于，且至少一个端点在零点上. 【小问1详解】 已知抛物线过、、， 得，解得 所以抛物线的解析式是； 【小问2详解】 抛物线：沿直线向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数” 的图象，其顶点恰好是点， 所以平移后解析式是， 设直线：，联立，得 ， 解得（点）和，即， 联立，得 ，解得（点）和，即， 在第二象限： ；， 矩形存在，需，则 ， 综上，， ，，故矩形的面积， ，（在上，纵坐标与相同），故矩形的面积， 约去（）得，由，得，因此， 所以的取值范围是； 【小问3详解】 设平移量为（向右，向下），则平移后解析式：，代入，得 ，展开得 （舍去）或， 因此，零点为和，顶点，开口向下， 开口向下的抛物线，区间最小值必在端点取得，函数值为的点为和，且当时，或时， 要使区间最小值为，区间需完全包含于，且至少一个端点在零点上， 左端点为： ，区间，函数递增，最小值在处为，符合， 右端点为：，区间，函数递减，最小值在处为，符合， 所以的值为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级高一综合能力检测试卷 数学 时量：90分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 下列判断正确的是（ ） A. 两点之间垂线段最短 B. 平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形 C. 点关于轴的对称点在第二象限 D. 同一时刻下，两个身高相同的人在阳光下的影长相等 2. “有志者，事竟成”出自《后汉书·耿弇传》，这句话的含义是有志向的人，做事终究会成功．如图是正方体的某个展开图，则这个正方体与“志”字所在面相对的面上的字为（ ） A. 成 B. 竟 C. 者 D. 事 3. 关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 如图所示，将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“”的个数为，第2幅图形中“”的个数为，第3幅图形中“”的个数为，…，以此类推，则的值为（ ） A. 80 B. 99 C. 109 D. 110 5. 孟想和程真两同学玩扑克魔术，孟想将一副扑克牌（54张）理好后让程真从上往下取出所有第奇数张牌丢掉，然后再从剩下的牌中从上往下取出所有第奇数张牌丢掉，依次进行，直到剩下3张牌时，孟想对程真说“恭喜你得到一个985”，程真从上往下依次翻开果然是红桃9、红桃8、红桃5；请问：孟想在理牌时巧妙将这3张牌从上往下依次放在第几的位置（ ） A. 12，24，48 B. 16，32，48 C. 16，36，54 D. 32，36，48 6. 点是抛物线的顶点，点，在抛物线上（其中）．则下列结论正确的是（ ） A. 点在直线上 B. C. 当点所在直线与线段没有交点时，的取值范围是 D. 当点在原点时，过点的直线与抛物线交于，两点，则 二、填空题（本题共6小题，每小题6分，共36分．） 7. 分解因式：_____________． 8. 的最小值为_____________． 9. 三角函数有如下的公式：，利用公式可以计算一些不是特殊角的三角函数值．根据以上阅读材料，计算：_____________． 10. 如图，点在上，劣弧沿弦翻折，点的对应点为，连接并延长交圆于另一点，连接，．若，为直径，则的长为_____________． 11. 如图，直线与反比例函数在第二象限的图象交于点，，与轴交于点．点的横坐标为，且，则反比例函数的解析式为______． 12. 数学兴趣小组在研究连续正整数的和时发现结论：（，且为整数）．后来他们又发现一些完全平方奇数（若一个奇数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个奇数为完全平方奇数，如，，，，…均为完全平方奇数）可以写成几个连续正整数的和，如：，，，，…． （1）将写成几个连续正整数的和：_____________； （2）若将写成几个连续正整数的和，其中最大的正整数与最小的正整数的差为_____________． 三、解答题（本题共5小题，13、14小题每小题9分，其余每小题12分，共54分．） 13. 为增强学生安全意识，某校开展“防溺水安全知识”主题教育活动，并随机抽取部分学生进行防溺水知识测试（测试等级分为：优秀、良好、合格、不合格），根据测试结果绘制了如下尚不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次接受测试的学生共有__________人，扇形统计图中“优秀”对应的圆心角度数为___________； （2）补全条形统计图； （3）若该校防溺水知识测试“不合格”的学生有300人，请估计该校共有多少名学生，并对学校防溺水安全教育工作提出一条合理化建议． 14. 淇淇在计算“”时，误把“”看成“”，得到的计算结果为． （1）求“”所表示的代数式； （2）若“”的运算结果乘一个关于的代数式，与“”的运算结果相同，求代数式． 15. 某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为元时，年销售量为万棵． （1）基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高元，销售量将相应减少万棵，设每棵定价提高到元（），每年的销售总收入为万元． ①求关于的函数关系式： ②要使提价后每年销售的总收入为万元，求的值． （2）该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育，改良前该绿植每棵售价为元．设改良培育后每棵的售价为元（），该基地投入万元作为培育费用．问该绿植的年销售量至少达到多少万棵，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和？ 16. 菱形中，为的外接圆，是的切线． （1）如图1，求证：为等边三角形； （2）如图2，点为边的中点，点在上，连接交于，若，，求的长． 17. 如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．将抛物线沿直线向右下方平移，得到函数的图象，则称函数为函数的“关联函数”． （1）求抛物线的解析式． （2）将抛物线沿直线向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数”的图象，其顶点恰好是点．如图2，若点在函数的图象上，且在第二象限内，连接并延长，交抛物线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，以，为邻边作矩形，与射线交于点，设矩形与矩形的面积分别为，．求的取值范围； （3）将抛物线沿直线向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数”的图象．若函数的图象恰好经过点，当时，的最小值为0，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $