湖北随州市曾都区第一高级中学2026-2027学年高三上学期数学周考6（9.7）

**基本信息** 曾都一中2027届高三数学周考（6）聚焦高三核心知识，解答题分层设计（如函数导数三问递进），融合概率应用（绘画软件评估）与几何证明，适配周测巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、复数、函数图像、立体几何|基础概念辨析，如复数纯虚数条件判断| |多项选择题|3/18|概率统计、基本不等式|多选项辨析，如相关系数与百分位数判断| |填空题|3/15|函数奇偶性、二项式定理、函数零点|简洁计算，如奇函数性质求参数| |解答题|5/77|数列求和、立体几何二面角、概率分布列、双曲线定点、函数零点|分层设问，如导数题从切线到零点探究；情境应用，如绘画软件优质图像概率计算|

曾都一中2027届高三上学期数学周考（6） 考试时间：18:30-20:30 2026.09.07 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，.若，则（    ） A． B． C． D． 2．“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 3．函数（且）的图像可能是（　　） A．  B．   C．  D．   4．已知，，是空间中三个不同的平面，，是空间中两条不同的直线，则下列结论错误的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 5．若数列的前项和为，且是与的等差中项，，则（    ） A．27 B．54 C．81 D．243 6．设的三个内角分别为A，B，C，向量，.若，则（     ） A． B． C． D． 7．若x，y，z是正实数，满足2x=3y=5z，试比较3x，4y，6z大小（    ） A．3x>4y>6z B．3x>6z>4y C．4y>6z>3x D．6z>4y>3x 8．设定义在上的可导函数的导函数为，且满足，，若不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）。 9．下列关于概率统计说法中正确的是（     ） A．两个变量，的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱 B．数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95的第45百分位数为74 C．已知，，则 D．某人在10次答题中，答对题数为，，则答对8道题的概率最大 10．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ） A．若，则的最大值为 B．若，则的最小值为4 C．若，则的最小值为 D．若，则取得最小值时 11．已知定义域为的函数，，满足，，则（     ） A． B． C． D．点是的对称中心 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数是奇函数，且，则的值为______ 13．设，则______ 14．已知函数有四个不等的零点，且，则的取值范围是______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．(13分）已知数列的前项和为，且，等差数列满足， (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 16．（15分）如图，点在以为直径的圆上，垂直于圆所在平面，为的重心. (1)求证：平面平面； (2)若，，求二面角的余弦值. 17．（15分）某款绘画软件每次生成一幅图像时，会独立进行两次质量评估：第一次评估通过的概率为，若未通过则图像被丢弃；通过第一次评估的图像进入第二次评估，第二次评估通过的概率为，通过则为“优质图像”，未通过则进入“人工微调”环节，微调后成为优质图像的概率为，否则被丢弃．每幅图像最终要么是优质图像，要么被丢弃．现从该软件生成的一批图像中随机抽取3幅（各图像生成过程相互独立）． (1)求一幅图像最终成为优质图像的概率； (2)设抽取的3幅图像中优质图像的幅数为，求的分布列； (3)在抽取的3幅图像中，若第一幅图像是优质图像，且优质图像总数至少为2，求此时优质图像总数的数学期望． 18．（17分）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上. (1)求的方程； (2)设为的右顶点，直线与交于两点，且. ①证明：直线过定点； ②若都在的左支上，求面积的最小值. 19．（17分）已知函数 (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对于任意，都有，求实数的取值范围； (3)若有三个零点，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 曾都一中2027届高三上学期数学周考（6）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D C D D C B C BCD BCD ABD 12． 13． 14． 15．(1)， (2) 【详解】（1）由，当时，；当时，，两式相减，得，即，所以 是首项为、公比为的等比数列，即的通项公式为；由，代入 得；，代入得， 设公差为，则，得， 所以的通项公式为.（6分） （2）由（1）可知，，，所以， 由于数列的前项和为，， ， 两式相减得，故.（13分） 16．解：(1)如图，延长交于点.因为为的重心，所以为的中点. 因为为的中点，所以.因为是圆的直径，所以，所以. 因为平面，平面，所以.又平面，平面，所以平面，即平面.又平面，所以平面平面.（6分） （2）以点为原点，，，方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，故，设平面的一个法向量为，则，令，则，故，设二面角的大小为，则.故所求二面角的余弦值为.（15分） 17．解：（1）一幅图像成为优质图像有两条途径，第一条：直接通过两次评估，概率为．    第二条：第一次通过、第二次未通过但微调成功，概率为．    所以一幅图像最终成为优质图像的概率（4分）． （2）抽取3幅图像，由题可得，则，，．    则的分布列如下．(9分) 0 1 2 3 （3）设事件为“第一幅图像是优质图像”，事件为“优质图像总数至少为2”．当且第一幅优质时，后两幅中恰有1幅优质，概率为．    当且第一幅优质时，后两幅必须均为优质，概率为．    因此．    则，    ，    此时．（15分） 18．(1) (2) ① ②9 （1）由题知，解得，所以的方程为.（4分） (2)①证明：由（1）知，设的坐标分别为. 当直线的斜率为0时，，则，， 当时，，解得，则中一个点与重合，此时不成立，所以直线的斜率不为0；设直线的方程为，联立方程，消去后整理，得，则， 由，知 解得或2，当时，直线过点，不合题意；当时，直线的方程为，所以直线过定点.（10分） ②解：由①知当时，由，得， 的面积为，又，设，则，，因为在上单调递减，，，所以.即，所以，当时，等号成立，所以面积的最小值为9.（17分） 19．(1)(2)(3) （1），当时，，所以，得切点坐标为，切线斜率为，所以所求切线方程为．（4分） （2）因为对于恒成立，所以对于恒成立．设，，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在单调递增，所以，所以．（9分） （3）因为． ①当时，恒成立，解得，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，此时最多两个零点，不成立； ②当时，令，则有或者． （Ⅰ）当时，，此时在上单调递减， 在上递增，上单调递减，所以得所以； （Ⅱ）当时，，此时在上单调递减， 在上递增，上单调递减，所以得所以； （Ⅲ）当时，此时在上单调递减，显然不成立．综上：．（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $