湖北省随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高三上学期数学综合测试（20）1.3

湖北曾都一中2025至2026学年2026届高三上数学综合测试（20） 考试时间：18:30-20:30 2026.1.03 范围（人教A版全部高中内容） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.每个小题绐的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若复数的实部与虚部相等，则的值为（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 3．已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 4．已知，是关于的方程的两个根，则（   ） A．1 B． C．2 D． 5．已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图像如图所示，则（   ） A．的极大值点为1，无极小值点 B．的极小值点为1，无极大值点 C．的极大值点为0，极小值点为1 D．的极小值点为0，极大值点为1 6．设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A． B． C． D． 7．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 8．在斜三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，点O满足，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． （第5题图） （第11题图） 2、 多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请将答案填涂到答题卡相应区域） 9．下列有关说法正确的是（   ） A．数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是3 B．若随机变量X服从正态分布，则不论取何值，为定值 C．已知随机变量X服从二项分布，则 D．在回归分析中，决定系数越大，说明回归效果越好 10．已知数列满足，则（    ） A． B．若，则 C． D．若数列满足，记为的前项和，则 11．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（   ） A．三棱锥外接球的表面积为9π B．若，则点P的轨迹长度为 C．的最小值为 D．若直线与平面所成的角为，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．的展开式中的系数为 . 13．已知抛物线方程为,求抛物线焦点F的坐标 ，已知F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，且，则的面积为 ． 14．已知函数，则函数的零点个为 ． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献．某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入x（亿元）与产品收益y（亿元）的数据统计如下： 研发投入x（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益y（亿元） 3 7 9 10 11 (1)计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高） (2)求出y关于x的线性回归方程，并预测研发投入20（亿元）时产品的收益． 参考数据：，，． 附：相关系数公式：， 回归直线方程的斜率，截距 16．如图，在斜四棱柱，底面是边长为2的菱形，，且. (1)证明：平面. (2)若，，且平面与平面夹角的余弦值为，求. 17．设的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，的面积为，为边上一点，满足， （i）求 （ii）求的长． 18．已知双曲线的左、右焦点分别为，且．过的直线与交于两点． (1)求的方程； (2)若均在的右支上，且的周长为，求的方程； (3)是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．已知函数． (1)讨论的单调性． (2)已知，函数，且仅有两个零点． ①求的取值范围； ②证明：的两个零点之积小于1． 学科网（北京）股份有限公司 $ 曾都一中2026届高三数学综合测试（20）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D B D D D C B BCD ABD ACD 12．15 13． 14． 8．【详解】因为，由余弦定理得， 又因为是斜三角形，所以，所以，由正弦定理得．因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 因为，，化简得， 解得或（舍去），所以．故选：B． 11．ACD【详解】对于A，由两两垂直，得三棱锥与以为棱的长方体有相同的外接球， 则该球的直径为，该球的表面积为，A正确； 对于B，由平面，得，则， 因此点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，其长度为，B错误； 对于C，延长到，使得，则点关于平面对称， 因此，当且仅当为与平面的交点时取等号，C正确；对于D，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，，而平面的法向量，由直线与平面所成的角为，得，整理得，因此，当且仅当时取等号，即的最小值为，D正确. 故选：ACD 14．，令，则令， 则当时，则，解得，由，故舍去，故； 当时，，解得或；即有三解，分别为、与； 而，由时，，则当时，与无解， 由时，，则当时，无解；当，令，即，解得或；当时，令，即，解得； 令，即，解得，由，故舍去，故； 综上可得，函数的零点有：、、、.故答案为：. 15．(1)，具有较高的线性相关程度 (2)，40.3亿元 （1）∵，，， ∴，∴该中医药企业的研发投入x与产品收益y具有较高的线性相关程度． （2）∵，，∴． ∴y关于x的线性回归方程为，将代入线性回归方程可得，，∴预测研发投入20（亿元）时产品的收益为40.3（亿元） 16．(1)证明过程见解析；(2) （1）连接，因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面，所以平面， 同理可证，平面，又，平面， 所以平面平面，又平面，所以平面； （2）连接，交于点，底面是边长为2的菱形，，故为等边三角形，，则，，又因为，，所以≌，故，所以⊥，又，故⊥，因为，平面，所以⊥平面， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，由勾股定理得，设， 则，，设平面的一个法向量为， 则，令得，故， 又平面的一个法向量为，则， 解得，故. 17．(1)(2)（i）；（ii） （1）由，可得， 即，即，又，则，即. （2）（i）因为，所以.   由余弦定理得：，则，即，所以， （ii），，故为等边三角形，则，由，所以， 在中，由余弦定理得，所以． 18．(1)(2)(3)存在点，使得为定值. （1）因为，所以，又，所以.所以双曲线的方程为：. （2）因为均在的右支上，且的周长为， 所以. 如图：   因为，设直线：，代入得： ，整理得：.设，，因为均在的右支上，所以，且，所以，.所以. 所以.所以.所以直线的方程为：，即. （3）假设存在轴上的定点，使得为定值.因为，，所以 .因为为常数，所以.此时.所以存在点，使得为定值. 19．(1)答案见解析；(2)①；②证明见解析. （1）由可知， 对于方程，若，即或， ①当时，有两个不等正实根，此时在上，在上，当，有两个不等负实根，此时在上， ②若时，恒成立，此时在上， 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减； （2）当时，，记，则，显然时，，时，，即在上单调递减，在上单调递增，则， ①令，则，记，则，所以在上单调递增， 所以，要与有交点，需，又时，，时，， 所以时，与只有一个交点，若，此时，则，不符合题意， 若，此时有两个解记为，所以； ②由上知，不妨设，显然，令，则， 所以在上单调递增，所以当时，，即，所以，又， 时，单调递减，所以，即，证毕. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $