第03讲 勾股定理的应用（知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（北师大版2024）

第03讲 勾股定理的应用（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1勾股定理与网格问题 2勾股定理与折叠问题 3确定几何体上的最短路线 题型巩固 一、勾股定理与网格问题 二、勾股定理与折叠问题 三、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 四、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 五、解决航海问题(勾股定理的应用) 六、求河宽(勾股定理的应用) 七、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 八、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 九、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 十、求最短路径(勾股定理的应用) 十一、勾股定理逆定理的实际应用 分层强化 一、单选题（10） 二、填空题（8） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1勾股定理与网格问题 求边长：网格中每个小正方形的边长通常为1，可根据勾股定理求出格点间线段的长度。若线段两端点在格点上，且水平、垂直方向间隔分别为m、n个小正方形边长，则线段长度l=m2+n2​。 知识点2勾股定理与折叠问题 应用勾股定理：折叠问题常常会产生直角三角形，找到相关直角三角形，确定其直角边和斜边，通过已知条件计算出直角边的长度，再根据勾股定理求出斜边或其他未知边的长度。 注意事项： 1关注折叠性质：折叠前后对应线段相等，对应角相等，这是解题的重要依据。 2准确确定直角三角形：有些情况下，直角三角形并不明显，需要根据折叠后的图形特征和已知条件去寻找或构造。 3灵活设未知数：对于一些未知边长，可设未知数，根据勾股定理建立方程求解，将几何问题转化为代数问题。 实际应用：折叠问题在现实生活中有很多应用，如制作纸盒、折叠衣服等。理解其解题方法对于解决实际生活中的折叠问题有很大帮助。 知识点3确定几何体上的最短路线 1.利用勾股定理解决有关高度、宽度、长度、距离等问题 2. 直角的判断 步骤 具体操作 图示 ①取点 在∠ C 两边上分别取点A，B，并连接AB ②测量  测量AC，BC，AB 的长 ③计算 计算AC²+BC² 和AB² 的值 ④判断 若AC²+BC²=AB²，则△ ABC 是直角三角形，且∠ C=90°；若AC²+BC² ≠ AB²，则∠ C ≠ 90° 题型巩固 题型一、勾股定理与网格问题 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，A，B均在格点上，则线段的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 2．（22-23八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在方格纸中小正方形的边长为1，ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，点A到BC边的距离为 ． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，方格纸中每个小方格的边长为1，在下面的方格纸上画一条长为的线段． 题型二、勾股定理与折叠问题 4．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，长方形纸片，，现将其沿对折，使得点C与点A重合，则的面积为（    ） A． B．18 C． D． 5．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）如图，在中，，，，D为斜边上的一动点（不包含A，B两端点），将沿折叠，点A落在点处，与相交于点E，若，则的长为 ．    6．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且． (1)求的长； (2)求的长． 题型三、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 7．（24-25八年级上·四川·期中）一架长的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么他的底部滑行了（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米，若梯子的顶端沿墙下滑米，这时梯子的底端也恰好外移米，则梯子的长度为 米． 9．（24-25八年级上·河南郑州·期中）我校在对校园进行完善建设的过程中发现，教学楼墙面上有一处破损点，维修师傅找来梯子来帮助完成维修工作．已知，梯子长为，将其斜靠在墙上，测得梯子底部离墙角处，此时在梯子顶端测得顶部与破损点相距米． (1)教学楼墙面破损处距离地面的高度？ (2)为了方便施工，需要使梯子顶端上升至距破损点距离为米处，则梯子底部需要向左移动多少米？ 题型四、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 10．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，将一支筷子放入杯中（杯子厚度忽略不计），已知筷子的长度为，杯子底部直径为，杯子高为，则筷子露出杯口部分长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．将一根长为15cm的很细的木棒置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形杯中，木棒露在杯子外面的部分长度x的范围是 ． 12．装修工人购买了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如果电梯的长、宽、高分别是，，，那么能放入电梯内的木条的最大长度大约是多少米? 题型五、解决航海问题(勾股定理的应用) 13．（22-23八年级上·河南平顶山·开学考试）如图，甲货船以的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口时两船相距（　　） A． B． C． D． 14．一帆船由于风向先向正西航行80千米， 然后向正南航行150千米， 这时它离出发点有 千米． 15．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图，甲乙两船从港口P同时出发，甲船以16海里/小时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行．3小时后，甲船到达A岛，乙船到达B岛．若A、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？ 题型六、求河宽(勾股定理的应用) 16．（23-24八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，湖的两岸有A，C两点，在与成直角的方向上的点C处测得米，米，则A，C两点间的距离为（    ） A．3米 B．6米 C．9米 D．10米 17．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要到达的B点（即），其结果是他在水中实际游了（即），则该河处的宽度是 ． 18．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）某隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长为，宽为，该隧道内设双车道（共有2条车道），正中间有宽的双黄线，车辆必须在双黄线两侧行驶，不能压双黄线．现有一辆货运卡车高，宽，则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由． 题型七、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 19．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，已知楼梯长，高，现计划在楼梯的表面铺地毯，则地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图所示，是一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 21．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到） 题型八、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 22．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（ ） A．秒 B．16秒 C．秒 D．24秒 23．（22-23八年级上·江苏泰州·期中）如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 24．（24-25八年级上·江西吉安·期末）2023年7月，五号台风“杜苏芮”登陆，我国很多地区受到严重影响．据报道，台风风力影响半径为（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市向市的大致路线，是某个大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． 题型九、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 25．（23-24八年级上·云南文山·期末）小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（    ） A．60m B．80m C．100m D．160m 26．在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．则应建在距 ． 27．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知某学校A与直线公路相距300米（即米，），且与该公路上一个车站D相距500米（即米），现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市 C 与车站D的距离是多少米? 题型十、求最短路径(勾股定理的应用) 28．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，有一长和宽各、高且封闭的长方体纸盒，一只蚂蚁从顶点A爬到与A点相对的顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路径为（      ）． A．8 B．11 C．10 D．24 29．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，一只蚂蚁从底面为边长的正方形，高是的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是 ． 30．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图，在长方体，，，，一只蚂蚁在这个长方体的表面上从A点爬行到点，求它走的最短路径是多少？    题型十一、勾股定理逆定理的实际应用 31．（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，这样做的道理是(　 　)    A．直角三角形两个锐角互余 B．三角形内角和等于 C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 D．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 32．在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则AB边上的高为＝ ． 33．如果只给你一把带有刻度的直尺，你是否能检查如图所示的是不是直角？如果能，请简述你的方法；如果不能，请说明理由． 分层强化 一、单选题 1．如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点处．长为（    ）    A．4.5 B． C． D． 2．如图，是台阶的模型图．已知每个台阶的宽度都是2cm，每个台阶的高度都是1cm，连接，则等于（　　） A． B． C． D． 3．如图，城南大道的同一侧有A、B两个社区，于C，于D，C、D两点相距，已知．现要在CD上建一个社区服务站E，使得A、B两社区到E站的距离相等，则的长是（    ）． A．2 B．3.3 C．2.5 D．2.8 4．如图，A，C之间隔有一湖，在与方向成角的方向上的点B处测得，则A，C之间的距离为(   ) A．30m B．40m C．50m D．60m 5．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点 A出发，经过3个面爬行到点B，则它运动的最短路径的长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，甲货船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船之间的距离是（    ） A．40海里 B．32海里 C．24海里 D．20海里 7．如图，一支铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒内部的底面直径为，内壁高为，则这支铅笔的长度可能是（   ） A． B． C． D． 8．一架长的梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离为．若梯子顶端下滑，那么梯子底端在水平方向上滑动了（    ） A． B．小于 C．大于 D．无法确定 9．M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（    ）小时． A．4 B．5 C．6 D．7 10．如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．机场入口处的铭牌上说明，飞机行李架是一个56cm×36cm×23cm的长方体空间．一位旅客携带一件62厘米长的画卷，这件画卷能放入行李架吗？（填“能”或“不能”） 12．如图所示，一只蚂蚁在棱长为的正方体表面爬行，已知，则它从下图中的顶点爬到顶点的最短距离为 ． 13．如图所示，是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 14．某地产开发商在笔直的公路旁有一块山地正在施工，现有工地一处需要小型爆破，经测量，已知点与公路上的停靠站的距离为30米，与公路上的另一停靠站的距离为40米．且．为了安全起见，已知进入爆破点周围半径25米范围内有危险．问在进行爆破时，公路段是否因有危险而需要暂时封锁？答： ． 15．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里（结果保留根号）． 16．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米，则小巷的宽为 米． 17．如图， 一块直角三角形的纸片， 两直角边， ． 现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合， 则 ． 18．如图，点A，B，C，O在网格中小正方形的顶点处，直线l经过点C，O，将ABC沿l平移得到MNO，M是A的对应点，再将这两个三角形沿l翻折，P，Q分别是A，M的对应点．已知网格中每个小正方形的边长都等于1，则PQ的长为 ． 三、解答题 19．如图，湖的两岸有两棵景观树，在与垂直的方向上取一点，测得米，米．求两棵景观树之间的距离．    20．某市规定：小汽车在该市城市街道上行驶时，速度不得超过60千米/时．如图，一辆小汽车在该市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方30米处的C处，过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50米，请问这辆小汽车超速了吗？为什么？若超速，则超速多少？    21．如图，一个直径为12cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子漏出杯子外2cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯口，求筷子长度． [Failed to download image : https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/3/1/2668313288785920/2671256441143296/STEM/706362c2-e358-43d6-832a-e97d4ad7f227.png] 22．如图，，，是我国南部的三个岛屿，已知，两岛的距离为，，两岛的距离为，，两岛的距离为．2024年9月，超强台风“摩羯”登陆岛屿，台风中心由向移动，风力影响半径为． (1)请判断岛屿是否会受到台风的影响？并说明理由 (2)若台风影响岛屿的时长是小时，求台风中心的移动速度． 23．一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，求A，C两港之间的距离． 24．已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，求的面积．    25．如图，一架云梯长为米，顶端靠在墙上，此时云梯底端与墙角距离为米，云梯滑动后停在的位置上，测得长为米，求云梯底端在水平方向滑动了多少米？ 26．如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，线段的位置如图所示，点，均为格点． (1)请你在图中确定点，并连接，，使，垂足为，； (2)在完成（1）后，请你在图中再确定点，并连接，，使，，并通过计算求出的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 勾股定理的应用（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1勾股定理与网格问题 2勾股定理与折叠问题 3确定几何体上的最短路线 题型巩固 一、勾股定理与网格问题 二、勾股定理与折叠问题 三、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 四、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 五、解决航海问题(勾股定理的应用) 六、求河宽(勾股定理的应用) 七、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 八、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 九、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 十、求最短路径(勾股定理的应用) 十一、勾股定理逆定理的实际应用 分层强化 一、单选题（10） 二、填空题（8） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1勾股定理与网格问题 求边长：网格中每个小正方形的边长通常为1，可根据勾股定理求出格点间线段的长度。若线段两端点在格点上，且水平、垂直方向间隔分别为m、n个小正方形边长，则线段长度l=m2+n2​。 知识点2勾股定理与折叠问题 应用勾股定理：折叠问题常常会产生直角三角形，找到相关直角三角形，确定其直角边和斜边，通过已知条件计算出直角边的长度，再根据勾股定理求出斜边或其他未知边的长度。 注意事项： 1关注折叠性质：折叠前后对应线段相等，对应角相等，这是解题的重要依据。 2准确确定直角三角形：有些情况下，直角三角形并不明显，需要根据折叠后的图形特征和已知条件去寻找或构造。 3灵活设未知数：对于一些未知边长，可设未知数，根据勾股定理建立方程求解，将几何问题转化为代数问题。 实际应用：折叠问题在现实生活中有很多应用，如制作纸盒、折叠衣服等。理解其解题方法对于解决实际生活中的折叠问题有很大帮助。 知识点3确定几何体上的最短路线 1.利用勾股定理解决有关高度、宽度、长度、距离等问题 2. 直角的判断 步骤 具体操作 图示 ①取点 在∠ C 两边上分别取点A，B，并连接AB ②测量  测量AC，BC，AB 的长 ③计算 计算AC²+BC² 和AB² 的值 ④判断 若AC²+BC²=AB²，则△ ABC 是直角三角形，且∠ C=90°；若AC²+BC² ≠ AB²，则∠ C ≠ 90° 题型巩固 题型一、勾股定理与网格问题 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，A，B均在格点上，则线段的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了网格与勾股定理，根据正方形网格（每个小正方形的边长都是1）列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：C． 2．（22-23八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在方格纸中小正方形的边长为1，ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，点A到BC边的距离为 ． 【答案】/ 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】利用分割图形求面积法求出ABC的面积，利用勾股定理求出线段BC的长，再利用三角形的面积公式可求出点A到BC边的距离． 【详解】解：， BC=， ∴点A到BC边的距离． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理以及三角形的面积，利用等面积法求出点A到BC边的距离是解题的关键． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，方格纸中每个小方格的边长为1，在下面的方格纸上画一条长为的线段． 【答案】见解析 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理与网格．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理得，，然后作答线段即可． 【详解】解：由勾股定理得，，作长为的线段如下图； 题型二、勾股定理与折叠问题 4．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，长方形纸片，，现将其沿对折，使得点C与点A重合，则的面积为（    ） A． B．18 C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了矩形的翻折．熟练掌握矩形性质，折叠性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积公式求三角形面积，是解题关键． 由矩形性质和对折性质得到 ，设，则，在中，由勾股定理求得，结合运用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵矩形纸片中，， ∴， 由对折知， ， 设，则， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：A． 5．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）如图，在中，，，，D为斜边上的一动点（不包含A，B两端点），将沿折叠，点A落在点处，与相交于点E，若，则的长为 ．    【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用．利用平行线的性质以及折叠的性质，即可得到，即，再根据勾股定理可得，最后利用面积法得出，可得，进而依据，即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得，， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，利用勾股定理进行求解，是解题的关键． （1）根据折叠的性质，得到，进而得到，利用勾股定理进行求解即可； （2）根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形纸片中，，折叠纸片使边与对角线重合， ∴， ∴，， ∴； （2）∵折叠， ∴， 设，则：， 在中，， ∴， ∴， ∴． 题型三、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 7．（24-25八年级上·四川·期中）一架长的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么他的底部滑行了（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得，设它的底部滑行了，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴， 设它的底部滑行了，则有， ∴， 解得：； 故选D． 8．（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米，若梯子的顶端沿墙下滑米，这时梯子的底端也恰好外移米，则梯子的长度为 米． 【答案】 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，设，则，巧用梯子的长不变，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：米， ∴米， 设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即：， 解得：， ∴米， ∴米． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·河南郑州·期中）我校在对校园进行完善建设的过程中发现，教学楼墙面上有一处破损点，维修师傅找来梯子来帮助完成维修工作．已知，梯子长为，将其斜靠在墙上，测得梯子底部离墙角处，此时在梯子顶端测得顶部与破损点相距米． (1)教学楼墙面破损处距离地面的高度？ (2)为了方便施工，需要使梯子顶端上升至距破损点距离为米处，则梯子底部需要向左移动多少米？ 【答案】(1)教学楼墙面破损处距离地面的高度为； (2)梯子底部需要向左移动． 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】（）利用勾股定理求出的长度，则即可求解； （）由题意得梯子顶端离地面，利用勾股定理求出梯子底部离墙角处的距离，再相减即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，，， 由勾股定理得：， ∴教学楼墙面破损处距离地面的高度， 答：教学楼墙面破损处距离地面的高度为； （2）解：由题意得，梯子顶端离地面， ∴梯子底部离墙角处为， ∴梯子底部需要向左移动， 答：梯子底部需要向左移动． 题型四、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 10．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，将一支筷子放入杯中（杯子厚度忽略不计），已知筷子的长度为，杯子底部直径为，杯子高为，则筷子露出杯口部分长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，结合图象先求出筷子在杯子里面的部分，即可计算得出结论． 【详解】解：如下图，当筷子斜放在杯中时，筷子露出杯口部分长度最小， 由题意得：， ， 则筷子露出杯口部分长度的最小值为， 故选：D． 11．将一根长为15cm的很细的木棒置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形杯中，木棒露在杯子外面的部分长度x的范围是 ． 【答案】2cm≤x≤3cm 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】根据题意可得：x最长是筷子的长度减去杯子的高度，x最短是筷子的长度减去杯子斜对角长度，再根据勾股定理求出杯子斜对角长度（即AB），即可求出x的取值范围． 【详解】如图所示： ∵将一根长为的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为 ∴x最长是筷子的长度减去杯子的高度，x最短是筷子的长度减去杯子斜边长度 ∴由勾股定理得，杯子斜边长度 ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握勾股定理并结合实际是解题的关键． 12．装修工人购买了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如果电梯的长、宽、高分别是，，，那么能放入电梯内的木条的最大长度大约是多少米? 【答案】 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】由勾股定理求出AB2，再由勾股定理求出BC即可． 【详解】解：如图所示： 由勾股定理得：AB2=1.52+1.52=4.5， ∴BC=≈3.056（米）； 即放入电梯内的木条的最大长度大约是3.056米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 题型五、解决航海问题(勾股定理的应用) 13．（22-23八年级上·河南平顶山·开学考试）如图，甲货船以的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口时两船相距（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，由勾股定理得，即可求解；能根据方位角等表示出位置，利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：对图形进行点标注． 根据题意知3小时后，其中甲货船航行到B点，乙货船含蓄到C点，连结． ， ， ， ， ， ， ∴3小时后两船相距． 故选：C． 14．一帆船由于风向先向正西航行80千米， 然后向正南航行150千米， 这时它离出发点有 千米． 【答案】170 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】根据题意，画出图形，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意，画出图形如下图： 由题意得： ， ， 在 中，由勾股定理得： ， 即这时它离出发点有 ． 故答案为：170 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，画出图形是解题的关键． 15．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图，甲乙两船从港口P同时出发，甲船以16海里/小时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行．3小时后，甲船到达A岛，乙船到达B岛．若A、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？ 【答案】12 海里/小时 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在图形中找出直角三角形是解题的关键． 计算得出，从而说明是直角三角形，再利用勾股定理求出的长，再求乙船的航速． 【详解】由题知，， 海里， 海里， 由勾股定理得， 海里， 乙船的航速是 海里/小时． 题型六、求河宽(勾股定理的应用) 16．（23-24八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，湖的两岸有A，C两点，在与成直角的方向上的点C处测得米，米，则A，C两点间的距离为（    ） A．3米 B．6米 C．9米 D．10米 【答案】C 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】由勾股定理求出的长即可． 【详解】由题意得：， 即A，C两点间的距离为米， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长是解题的关键． 17．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要到达的B点（即），其结果是他在水中实际游了（即），则该河处的宽度是 ． 【答案】480 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用；根据勾股定理求出即可． 【详解】解：， 即该河处的宽度是； 故答案为：480． 18．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）某隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长为，宽为，该隧道内设双车道（共有2条车道），正中间有宽的双黄线，车辆必须在双黄线两侧行驶，不能压双黄线．现有一辆货运卡车高，宽，则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由． 【答案】能通过该隧道，理由见解析． 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了勾股定理的应用；如图，在上取G，使，过G作于F反向延长交半圆于点E，则，利用勾股定理求得，再与车高比较即可． 【详解】解：这辆货车可以通过该隧道．理由如下： ∵正中间有宽的双黄线， ∴点O到右边黄线的距离为 ∵现有一辆货运卡车高，宽， ∴如图，在上取G，使， 过G作于F反向延长交半圆于点E，则． 圆的半径， 在中，由勾股定理得：， ∴点E到的距离为， ∴货车可以通过该隧道． 题型七、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 19．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，已知楼梯长，高，现计划在楼梯的表面铺地毯，则地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的基本应用，能够正确计算是解题关键． 先通过勾股定理算出楼梯的水平宽度，再通过“地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和”即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， 地毯的长度至少是． 故选：D． 20．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图所示，是一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 【答案】7 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．利用平移的性质知，当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：∵是直角三角形，米，米， ∴米， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米． 故答案为：7． 21．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到） 【答案】米 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】考查了勾股定理的应用，根据图形可得，地毯的长度等于，利用勾股定理求出的长，即可求解，理解地毯的长度等于是解题的关键． 【详解】解：如图，由勾股定理得，， ∴米， ∴米， 答：地毯的长度至少需要米． 题型八、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 22．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（ ） A．秒 B．16秒 C．秒 D．24秒 【答案】B 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】分析题意，首先通过作图，找出A处受噪声影响火车经过的路段;根据题意可以点A为圆心，取AB＝AD＝200米为半径，过点A作AC⊥MN,求AC的长;然后根据勾股定理求出BC的长，由垂径定理即可得到BD的长，再根据火车行驶的速度，进而求出对A处产生噪音的时间. 【详解】如图， 以点A为圆心，取AB＝AD＝200米为半径，过点A作AC⊥MN,∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴ AC＝120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，到点D时结束影响，此时AB＝200米，∵ AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得: BC＝160米∴BD＝2BC＝320米,∵72千米/小时＝20米/秒,∴影响时间应是320÷20＝16 (秒)，故答案选B. 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解本题要点在于找出受影响的路段，从而求出BD的长. 23．（22-23八年级上·江苏泰州·期中）如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 【答案】70 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】如图，设米，由勾股定理求出和的长，则可求出答案． 【详解】解：如图，设米， ∵，米， ∴（米）， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒）， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 24．（24-25八年级上·江西吉安·期末）2023年7月，五号台风“杜苏芮”登陆，我国很多地区受到严重影响．据报道，台风风力影响半径为（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市向市的大致路线，是某个大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． 【答案】农场会受到台风的影响，见解析 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积，关键是由以上知识点求出的长，求出台风从开始影响农场，到结束影响农场，所移动的距离． 过点作，垂足为，由勾股定理得，由三角形面积公式得到，由，判断农场A会受到台风的影响 【详解】解：会受到台风的影响． 理由：如图，过点作，垂足为． 在中， ，，， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴农场会受到台风的影响． 题型九、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 25．（23-24八年级上·云南文山·期末）小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（    ） A．60m B．80m C．100m D．160m 【答案】B 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理的内容是解题的关键． 直接由勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可得，小明向正东方向走了 故选：B． 26．在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．则应建在距 ． 【答案】15 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．利用，再结合勾股定理求出即可． 【详解】解：设，则， ， ， 故， 解得；． 故答案为：15． 27．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知某学校A与直线公路相距300米（即米，），且与该公路上一个车站D相距500米（即米），现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市 C 与车站D的距离是多少米? 【答案】312.5米 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，弄清题意，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键；根据题意，，，由、的长易求，设米，米，在中运用勾股定理得关系式求解． 【详解】解：根据题意得：，， 在直角三角形中， 米，米， （米）， 设米，则米， 在中，， 即， 解得：， 答：该超市C与车站D的距离是312.5米． 题型十、求最短路径(勾股定理的应用) 28．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，有一长和宽各、高且封闭的长方体纸盒，一只蚂蚁从顶点A爬到与A点相对的顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路径为（      ）． A．8 B．11 C．10 D．24 【答案】C 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）两个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径． 【详解】解：由题意得， 路径一： ； 路径二： ； 路径三： ； ∵， ∴10为最短路径． 故选：C． 29．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，一只蚂蚁从底面为边长的正方形，高是的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是 ． 【答案】/13厘米 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用、平面展开图—最短路径问题正确找到最短路径是解题关键． 先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图1所示展开时： ， 此时； 如图2所示展开时： 此时． ∵， ∴它需要爬行的最短路线的长是， 故答案为：． 30．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图，在长方体，，，，一只蚂蚁在这个长方体的表面上从A点爬行到点，求它走的最短路径是多少？    【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了平面展开—最短路线问题和勾股定理的应用，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意：要分类讨论．连接，求出的长即可，分为三种情况：画出图形，根据勾股定理求出每种情况时长，再找出最短的即可． 【详解】解：若小虫在正面和上面上沿直线从点A爬到点处，在侧面展开图上，    则在中，，，， 由勾股定理知：， 若小虫在正面和侧面上沿直线从点A爬到点处，在侧面展开图上，    则在中，，，， 由勾股定理知：， 如图    同法可得：， ∵， ∴小虫走的最短路径是在正面和上面上沿直线从点A爬到点处，长度为． 题型十一、勾股定理逆定理的实际应用 31．（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，这样做的道理是(　 　)    A．直角三角形两个锐角互余 B．三角形内角和等于 C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 D．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．进行证明设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为，根据勾股定理的逆定理，即可求解． 【详解】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为， ∵， 所以以为边长的三角形是直角三角形． 即这样做的道理是如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 故选：D 32．在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则AB边上的高为＝ ． 【答案】 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】 如图，在中，，，， ，即, 是直角三角形， ， ，即，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积．先根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键． 33．如果只给你一把带有刻度的直尺，你是否能检查如图所示的是不是直角？如果能，请简述你的方法；如果不能，请说明理由． 【答案】能检查，理由见解析 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】在射线PM、PN上量取一定长度，此长度能够构成直角三角形的两边且为整数，然后运用勾股定理算出AB长的理论值，与量出的AB的长度进行对比，若相同则是直角，否则不是． 【详解】解：能检查； 作法：如图所示， （1）在射线上量取，确定A点，在射线上量取，确定点B； （2）连接得； （3）用刻度尺量取的长度，如果恰好等于，则说明是直角，否则就不是直角． 理由：∵． 若，则， 根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，即是直角． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用，能够运用其逆定理判定一个三角形是否是直角三角形是解题的关键. 分层强化 一、单选题 1．如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点处．长为（    ）    A．4.5 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理，直接利用勾股定理求出的长． 【详解】解：． 故选C． 2．如图，是台阶的模型图．已知每个台阶的宽度都是2cm，每个台阶的高度都是1cm，连接，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理即可得出结论． 【详解】如图，由题意得， ， 故． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．如图，城南大道的同一侧有A、B两个社区，于C，于D，C、D两点相距，已知．现要在CD上建一个社区服务站E，使得A、B两社区到E站的距离相等，则的长是（    ）． A．2 B．3.3 C．2.5 D．2.8 【答案】B 【分析】设，则，再根据勾股定理分别可得，然后根据建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，设，则， ， ， 、两社区到站的距离相等， ， ，即， 解得， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、一元一次方程的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 4．如图，A，C之间隔有一湖，在与方向成角的方向上的点B处测得，则A，C之间的距离为(   ) A．30m B．40m C．50m D．60m 【答案】A 【分析】利用勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．熟练掌握勾股定理，是解题的关键． 5．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点 A出发，经过3个面爬行到点B，则它运动的最短路径的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径问题以及勾股定理，先将正方体展开，然后找出最短路线，利用勾股定理直接计算即可． 【详解】解：如图，将正方体的三个侧面展开，连接，则最短， ∴． 故选：C． 6．如图，甲货船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船之间的距离是（    ） A．40海里 B．32海里 C．24海里 D．20海里 【答案】A 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程速度时间，得两条船分别走了32海里，24海里．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了(海里)，(海里)， 根据勾股定理得：（海里）． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单． 7．如图，一支铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒内部的底面直径为，内壁高为，则这支铅笔的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．在中运用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意得，， 由勾股定理得：， ∴， 则这支铅笔长度可能为； 故选：D． 8．一架长的梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离为．若梯子顶端下滑，那么梯子底端在水平方向上滑动了（    ） A． B．小于 C．大于 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题意作图，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意作图如下， 由题意知，，， ， ， ， ， 梯子底端在水平方向上滑动的距离是． 故选A． 【点睛】本题主要考查勾股定理，解题的关键是根据题意作图分析求解． 9．M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（    ）小时． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km，求出FH，然后利用时间=路程÷速度，计算即可解决问题． 【详解】解：如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km 在Rt△PME中，∵∠MEP=90°，PM=240km，∠MPB=30°， ∴ME=PM=120km， ∴EF=EH==90（km）， ∴FH=180km， ∴受台风影响的时间有180÷45=4（小时）． 故选：A 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 10．如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了长方形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键．四边形是长方形，则，，，由折叠的性质可知，,，由勾股定理得到，则， 在中，由勾股定理得到，解方程即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵折叠长方形的一边，点D落在边的点F处， ∴，,， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得到， 即， 解得 故选：A． 二、填空题 11．机场入口处的铭牌上说明，飞机行李架是一个56cm×36cm×23cm的长方体空间．一位旅客携带一件62厘米长的画卷，这件画卷能放入行李架吗？（填“能”或“不能”） 【答案】能 【分析】根据行李架的长宽高，运用勾股定理判断即可． 【详解】解：由题意可得 ∵ ∴这件画卷能放进行李架． 故答案为：能． 【点睛】本题考查了运用勾股定理解决实际问题，掌握勾股定理是解题法关键． 12．如图所示，一只蚂蚁在棱长为的正方体表面爬行，已知，则它从下图中的顶点爬到顶点的最短距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理与最短路径问题；把正方体展开，使A、B两点在同一平面内，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，把棱长为的正方体展开，使A、B两点在同一平面内， 如图，当在同一条直线上时， 则，， 由勾股定理得：； 如图，当在同一条直线上时， 则，， 由勾股定理得：； ， 顶点爬到顶点的最短距离为． 故答案为：． 13．如图所示，是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 【答案】17 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：∵是直角三角形，米，米， ∴米， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米． 故答案为：17． 14．某地产开发商在笔直的公路旁有一块山地正在施工，现有工地一处需要小型爆破，经测量，已知点与公路上的停靠站的距离为30米，与公路上的另一停靠站的距离为40米．且．为了安全起见，已知进入爆破点周围半径25米范围内有危险．问在进行爆破时，公路段是否因有危险而需要暂时封锁？答： ． 【答案】需要封锁 【分析】过C作CD⊥AB于D．狗跟勾股定理可得AB=50米，再由，可得CD=24米，即可求解． 【详解】解：公路AB需要暂时封锁．理由如下： 如图，过C作CD⊥AB于D． 根据题意得：BC=40米，AC=30米，∠ACB=90°， ∴米， ∵， ∴米， ∵24米＜25米， ∴有危险，公路段需要暂时封锁． 故答案为：需要封锁 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理． 15．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里（结果保留根号）． 【答案】． 【分析】先作PC⊥AB于点C，然后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，作PC⊥AB于点C， 在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°， ∴海里，海里， 在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°， ∴PC=BC=海里， ∴海里， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为用勾股定理解决问题，解决的方法就是作高线． 16．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米，则小巷的宽为 米． 【答案】2.7 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长． 【详解】解：在Rt△ABC中，， ∴， 在中，， ∴CD=BC+BD=2+0.7=2.7m， 故答案为：2.7． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法． 17．如图， 一块直角三角形的纸片， 两直角边， ． 现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合， 则 ． 【答案】/1.5 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，先利用勾股定理求得，然后由翻折的性质得到，，则，设，则，然后在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，， 由翻折的性质可知：，， 则． 设，则． 中，由勾股定理得：， 即，解得：． ∴． 故答案为：． 18．如图，点A，B，C，O在网格中小正方形的顶点处，直线l经过点C，O，将ABC沿l平移得到MNO，M是A的对应点，再将这两个三角形沿l翻折，P，Q分别是A，M的对应点．已知网格中每个小正方形的边长都等于1，则PQ的长为 ． 【答案】 【分析】连接PQ，AM，根据PQ＝AM即可解答． 【详解】解：连接PQ，AM， 由图形变换可知：PQ＝AM， 由勾股定理得：AM＝， ∴PQ＝． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，明确翻折前后对应线段相等是解题的关键． 三、解答题 19．如图，湖的两岸有两棵景观树，在与垂直的方向上取一点，测得米，米．求两棵景观树之间的距离．    【答案】两棵景观树之间的距离是12米 【分析】根据勾股定理：在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方计算即可． 【详解】解：在Rt中，由勾股定理，得： ， （米）． 答：两棵景观树之间的距离是12米． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是熟练应用勾股定理． 20．某市规定：小汽车在该市城市街道上行驶时，速度不得超过60千米/时．如图，一辆小汽车在该市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方30米处的C处，过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50米，请问这辆小汽车超速了吗？为什么？若超速，则超速多少？    【答案】超速了，理由见解析，每小时超速了12千米 【分析】首先根据题意得到米，米，，然后利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】解：小汽车超速了，理由如下： 根据题意，得米，米，． 在中，根据勾股定理，得， ∴米 ∴小汽车行驶速度为(米/秒)(千米/时) (千米/时) 答，这辆小汽车超速了，每小时超速了12千米． 【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 21．如图，一个直径为12cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子漏出杯子外2cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯口，求筷子长度． [Failed to download image : https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/3/1/2668313288785920/2671256441143296/STEM/706362c2-e358-43d6-832a-e97d4ad7f227.png] 【答案】10cm 【分析】设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+2）cm，可求杯子半径为 6cm，根据勾股定理构造方程x2+62=（x+2）2，解方程即可． 【详解】解：设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+2）cm， ∵杯子的直径为12cm， ∴杯子半径为6cm， ∴x2+62=（x+2）2， ∴x2+36=x2+4x+4， ∴x=8， ∴8+2=10cm． 答：筷子长度为10cm． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是看到构成的直角三角形，利用勾股定理构造方程． 22．如图，，，是我国南部的三个岛屿，已知，两岛的距离为，，两岛的距离为，，两岛的距离为．2024年9月，超强台风“摩羯”登陆岛屿，台风中心由向移动，风力影响半径为． (1)请判断岛屿是否会受到台风的影响？并说明理由 (2)若台风影响岛屿的时长是小时，求台风中心的移动速度． 【答案】(1)岛屿是否会受到台风的影响；理由见解析 (2)台风中心的移动速度为． 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，通过作构造直角三角形是解题的关键． （1）过点C作于点D，利用勾股定理得可求出和，由，可知会受影响； （2）以点C为圆心，长为半径画弧与交于点E，F，利用勾股定理求出，进而得到的长，再除以台风影响岛屿的时长，即可求出台风移动的速度． 【详解】（1）解：岛屿是否会受到台风的影响；理由如下， 过点C作于点D， 由勾股定理得：， ∴， 解得，∴，， ∵， ∴岛屿是否会受到台风的影响； （2）解：以点C为圆心，长为半径画弧与交于点E，F， 则， 在中， 由勾股定理，得， ， ， 答：台风中心的移动速度为． 23．一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，求A，C两港之间的距离． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键． 根据题意可得： ，从而可得然后利用平角定义可得 从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得： ， ， ， 在中，， ∴， ∴两港之间的距离为． 24．已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，求的面积．    【答案】 【分析】过点作于点，由四边形是长方形和折叠知，再用平行线的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作于点，    过点作于点， 四边形是长方形 四边形是矩形 设， 由折叠知， ， 在中， 解得， ， ， 又， ， ， ∴的面积为 【点睛】此题考查了折叠的性质、长方形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用． 25．如图，一架云梯长为米，顶端靠在墙上，此时云梯底端与墙角距离为米，云梯滑动后停在的位置上，测得长为米，求云梯底端在水平方向滑动了多少米？ 【答案】米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，在中，由勾股定理得米进而米，在中，利用勾股定理求得，从而即可得解． 【详解】在中，，米， 米， （米）， （米）， 在中，，米， 米， （米） （米）， 答：云梯底端在水平方向滑动米． 26．如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，线段的位置如图所示，点，均为格点． (1)请你在图中确定点，并连接，，使，垂足为，； (2)在完成（1）后，请你在图中再确定点，并连接，，使，，并通过计算求出的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析； 【分析】（1）由题意画出图形即可； （2）由题意画出图形，根据S△BCD=S四边形BFGE-S△BCE-S△BDF-S△CDG可求出答案． 【详解】（1）解：点C，线段AC，BC，如图1， （2）点D，线段DB，DC，如图2， ． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$