第02讲 一定是直角三角形吗（知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（北师大版2024）

第02讲 一定是直角三角形吗（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳 理 1直角三角形的判定 2勾股数 题型巩 固 一、勾股树（数）问题 二、判断三边能否构成直角三角形 三、在网格中判断直角三角形 四、利用勾股定理的逆定理求解 五、勾股定理逆定理的拓展问题 分层强 化 一、单选题（7） 二、填空题（7） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1直角三角形的判定 1. 直角三角形的判定条件 如果三角形的三边长a，b，c 满足a2 +b2=c2，默认c为最长的边长 那么这个三角形是直角三角形。 2.利用边的关系判断一个三角形是否为直角三角形的步骤 3.归纳： 勾股定理与直角三角形的判定条件的区别与联系 类别 勾股定理 直角三角形的判定条件 区别 勾股定理以“直角三角形”为条件， 得到数量关系“a² +b²=c²”，以“形”定“数” 直角三角形的判定条件以“三角形的三边长a，b，c 满足a² +b²=c²”为条件，得到这个三角形是直角三角形，以“数”定“形” 联系 (1)都与“三角形的三边关系a² +b²=c²”有关； (2)都与“直角三角形”有关 知识点2勾股数 1.勾股数：满足a² +b²=c² 的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数有3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17 等。 勾股数应具备两个条件： (1)这三个数均为正整数； (2)两个较小数的平方和等于最大数的平方。 2.判断勾股数的方法 (1)判断三个数是否都是正整数； (2)若是，确定出最大数，并计算最大数的平方与另外两个较小数的平方和； (3)进行比较，若相等，则是勾股数，否则不是。 题型巩固 题型一、勾股树（数）问题 1．（24-25八年级上·广东佛山·期中）下面四组数中是勾股数的一组是（    ） A．，， B．5，12，13 C．1.5，2，2.5 D．，， 2．（23-24八年级上·广东茂名·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．请你写出一组“勾股数” ． 3．（1）大家知道（3，4，5）（5，12，13）（8，15，17）都是勾股数组，有人说它们中好像一定有一个是偶数，你认为这种观点正确吗？说明你的理由． （2）除此之外，你还能发现勾股数具有哪些规律?与同伴进行交流． 题型二、判断三边能否构成直角三角形 4．（24-25八年级上·福建漳州·期中）三角形各边长度的如下，其中不是直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）在中，，，，则边上的高为 ． 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）判断由线段，，组成的三角形是不是直角三角形． (1)，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，（为正整数）． 题型三、在网格中判断直角三角形 7．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 8．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，于，则的长为 ． 9．如图是由边长均为1的小正方形组成的网格，点A，B，C都在格点上，∠BAC是直角吗？请说明理由． 题型四、利用勾股定理的逆定理求解 10．若a，b，c是的三边，且，，，则最长边上的高是（    ）    A． B． C． D． 11．若一个三角形的三边长分别为5，12，13，则此三角形的最长边上的高为 ． 12．已知△ABC中，AB＝1，AC＝，BC＝，求△ABC中的最大内角的度数． 题型五、勾股定理逆定理的拓展问题 13．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. （1）试判断△ABC的形状. （2）求AB边上的高． 分层强化 一、单选题 1．若△ABC的三边长a，b，c满足，则（    ） A．∠A为直角 B．∠B为直角 C．∠C为直角 D．△ABC不是直角三角形 2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a2＝b2+c2，则（　　） A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．∠C＝∠A+∠B 3．在正方形网格中画格点，如图，若网格中每个小正方形的边长均为，则下列说法错误的是（） A． B． C． D． 4．在中，、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 5．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的一组数据是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 6．如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（    ） a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 …… …… …… x y 122 A．142 B．143 C．144 D．145 7．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，4 B．3，4，6 C．7，8，9 D．6，8，10 二、填空题 8．在中，若其三条边的长度分别为、、，则这个三角形的面积是 ． 9．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形是直角三角形．（直角三角形的判定） 10．如图所示的网格是正方形网格，∠APB＝ °． 11．已知三角形的两边分别为6和8，当第三边为 时，此三角形是直角三角形． 12．三边长之比为3：4：5的三角形的面积为24，则它的周长为 ． 13．三个正整数a，b，c，如果满足，那么我们称这三个数a，b，c叫做一组勾股数．如，则3，4，5就是一组勾股数．请写出与3，4，5不同的一组勾股数 ． 14．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其股是 （结果用含m的式子表示）． 三、解答题 15．如图，在中，，求边上的高．    16．已知m＞0，若3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数，求m的值． 17．在中，，，，求的度数． 18．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上．请判断的形状，并说明理由．    19．如果两个连续的正整数的和可以表示成某一个正整数的平方．那么以这三个正整数为边长的三角形是直角三角形．若连续的两个整数为、，请证明结论． 20．美国哥伦比亚大学收藏了一块古巴比伦时代的泥板（如图）．经科学家研究，这块泥板上的三列文字实际上是三列数字（如表）．你知道这些数字间的关系吗？借助计算器进行探索． 21．如图，在△ABC中，AB＝10，BD＝8，AD＝6，CD＝2 （1）试说明AD⊥BC； （2）试求点D到直线AC的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 一定是直角三角形吗（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳 理 1直角三角形的判定 2勾股数 题型巩 固 一、勾股树（数）问题 二、判断三边能否构成直角三角形 三、在网格中判断直角三角形 四、利用勾股定理的逆定理求解 五、勾股定理逆定理的拓展问题 分层强 化 一、单选题（7） 二、填空题（7） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1直角三角形的判定 1. 直角三角形的判定条件 如果三角形的三边长a，b，c 满足a2 +b2=c2，默认c为最长的边长 那么这个三角形是直角三角形。 2.利用边的关系判断一个三角形是否为直角三角形的步骤 3.归纳： 勾股定理与直角三角形的判定条件的区别与联系 类别 勾股定理 直角三角形的判定条件 区别 勾股定理以“直角三角形”为条件， 得到数量关系“a² +b²=c²”，以“形”定“数” 直角三角形的判定条件以“三角形的三边长a，b，c 满足a² +b²=c²”为条件，得到这个三角形是直角三角形，以“数”定“形” 联系 (1)都与“三角形的三边关系a² +b²=c²”有关； (2)都与“直角三角形”有关 知识点2勾股数 1.勾股数：满足a² +b²=c² 的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数有3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17 等。 勾股数应具备两个条件： (1)这三个数均为正整数； (2)两个较小数的平方和等于最大数的平方。 2.判断勾股数的方法 (1)判断三个数是否都是正整数； (2)若是，确定出最大数，并计算最大数的平方与另外两个较小数的平方和； (3)进行比较，若相等，则是勾股数，否则不是。 题型巩固 题型一、勾股树（数）问题 1．（24-25八年级上·广东佛山·期中）下面四组数中是勾股数的一组是（    ） A．，， B．5，12，13 C．1.5，2，2.5 D．，， 【答案】B 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查的是勾股数，勾股数：满足 的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的概念逐一验证判断即可． 【详解】解：A 、 即 36， 64，100，，而 ，不满足 ，所以，，不是勾股数，不符合题意； B 、5，12，13，均为正整数，且 ，满足勾股定理，是勾股数，符合题意； C 、1.5，2，2.5包含小数，非正整数，不符合勾股数定义，不是勾股数，不符合题意； D 、 不是正整数，且 ，不满足勾股定理，不是勾股数，不符合题意． 故选：B ． 2．（23-24八年级上·广东茂名·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．请你写出一组“勾股数” ． 【答案】6，8，10（答案不唯一） 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】根据勾股数的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴这一组“勾股数”为6，8，10． 故答案为：6，8，10（答案不唯一） 【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若a，b，c是满足的三个正整数，则称a，b，c为勾股数． 3．（1）大家知道（3，4，5）（5，12，13）（8，15，17）都是勾股数组，有人说它们中好像一定有一个是偶数，你认为这种观点正确吗？说明你的理由． （2）除此之外，你还能发现勾股数具有哪些规律?与同伴进行交流． 【答案】（1）正确，见解析；（2）见解析 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】（1）根据奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数，奇数加奇数为偶数即可判断； （2）发现当勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数的平方为奇数． 【详解】（1）勾股数中一定有一个是偶数， 如果全部为奇数，为偶数，而为奇数，两者不可能相等， 即一定存在一个偶数． （2）勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数的平方为奇数， 理由如下： 不妨令最大整数为，跟它连续的整数为， 根据勾股定理有， ， 即最小数的平方为奇数． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握偶数的平方是偶数，奇数的平方是奇数，奇数加奇数是偶数． 题型二、判断三边能否构成直角三角形 4．（24-25八年级上·福建漳州·期中）三角形各边长度的如下，其中不是直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项符合题意； 故选：． 5．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）在中，，，，则边上的高为 ． 【答案】8 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，即可得出边上的高． 【详解】解：如图， 在中，，，， ∵， ， 是直角三角形， ， ∴边上的高为8． 故答案为：8． 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）判断由线段，，组成的三角形是不是直角三角形． (1)，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，（为正整数）． 【答案】(1)不是直角三角形，理由见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)是直角三角形，理由见解析 (4)是直角三角形，理由见解析 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，分别对每一小题进行分析，即可得出答案． （1）根据勾股定理的逆定理进行判断即可； （2）根据勾股定理的逆定理进行判断即可； （3）根据勾股定理的逆定理进行判断即可； （4）根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形； （2），符合勾股定理的逆定理，是直角三角形； （3），符合勾股定理的逆定理，是直角三角形； （4），符合勾股定理的逆定理，是直角三角形． 题型三、在网格中判断直角三角形 7．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定，根据网格的特点，分为斜边，以及分别为直角顶点，分类讨论，即可求解． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选：A． 8．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，于，则的长为 ． 【答案】4 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】根据勾股定理计算BC的长，再利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】由勾股定理得：，，， ， 是直角三角形，，，，， ， ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查勾股定理和直角三角形斜边高的求法，掌握这些是本题关键． 9．如图是由边长均为1的小正方形组成的网格，点A，B，C都在格点上，∠BAC是直角吗？请说明理由． 【答案】∠BAC是直角，理由见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】利用勾股定理求出的三边长度，再利用勾股定理的逆定理判断其是否为直角三角形． 【详解】解：∠BAC是直角．理由如下： ∵AB2＝12+22＝5， AC2＝22+42＝20， BC2＝52＝25， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC 是直角三角形，且∠BAC是直角． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，利用网格与勾股定理求出线段长度是解题的关键． 题型四、利用勾股定理的逆定理求解 10．若a，b，c是的三边，且，，，则最长边上的高是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，且，再利用等面积法求解即可. 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，且， 作于D，如图， 则， ∴； 故选：C.    【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，正确判定是直角三角形是关键. 11．若一个三角形的三边长分别为5，12，13，则此三角形的最长边上的高为 ． 【答案】/ 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】利用勾股定理的逆定理，证明三角形是直角三角形，再根据三角形的面积公式即可求出三角形的最长边上的高． 【详解】解：，， ， 该三角形是直角三角形， 此三角形的最长边上的高， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形面积公式，解题关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 12．已知△ABC中，AB＝1，AC＝，BC＝，求△ABC中的最大内角的度数． 【答案】90° 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即可得出中的最大内角的度数． 【详解】在中， ，，， ， ∴为直角三角形，且最大角为边所对的直角， 则中的最大内角的度数为90°． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理来判断三角形的形状是解题的关键． 题型五、勾股定理逆定理的拓展问题 13．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. （1）试判断△ABC的形状. （2）求AB边上的高． 【答案】（1）直角三角形；（2）. 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】把a2+b2+c2+338=10a+24b+26c化为（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，根据非负数的性质求得a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形即可；（2）利用直角三角形面积的两种表示法求得AB边上的高即可. 【详解】（1）∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c， ∴a2-10a+25+b2-24b+144-c2+26c+169=0， ∴（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0， 即a=5，b=12，c=13（a，b，c都是正的）， ∵52+122=132， ∴该三角形是直角三角形，且∠ACB=90°． （2）设AB边上的高为h， 根据直角三角形面积的两种表示法可得，， 即， 解得h=. ∴AB边上的高为. 【点睛】本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理，利用非负数的性质求得a、b、c的值是解决问题的关键. 分层强化 一、单选题 1．若△ABC的三边长a，b，c满足，则（    ） A．∠A为直角 B．∠B为直角 C．∠C为直角 D．△ABC不是直角三角形 【答案】B 【分析】根据已知条件可得，即可判定的形状． 【详解】解：， ， 是直角三角形，且是直角， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理． 2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a2＝b2+c2，则（　　） A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．∠C＝∠A+∠B 【答案】A 【分析】利用勾股定理的逆定理可得直角三角形，再进行判断即可． 【详解】∵a2＝b2+c2 ∴∠A＝90° 故选A． 【点睛】考查了勾股定理的逆定理．：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 3．在正方形网格中画格点，如图，若网格中每个小正方形的边长均为，则下列说法错误的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图中每条线段的位置，分别利用勾股定理求出相关线段长，用勾股定理逆定理判断即可得出正确的选项． 【详解】解：由图知：，， ∵, ∴是直角三角形，且 ∴A、B、D选项正确 故选：C 【点睛】本题考查勾股定理逆定理，根据定理内容解题是关键． 4．在中，、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的知识，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，根据勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，进行解答，即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴A可以判定是直角三角形，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴B可以判定是直角三角形，不符合题意； ∵且， ∴， ∴， ∴C可以判定是直角三角形，不符合题意； ∵， ∴，，， ∴D不可以判定是直角三角形，符合题意． 故选：D． 5．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的一组数据是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．如果一个三角形的三边满足，那么这个三角形是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理判断即可．如果一个三角形的三边满足，那么这个三角形是直角三角形． 【详解】解：A、，所以1，2，3不能作为直角三角形的三边，不符合题意； B、，所以2，3，4不能作为直角三角形的三边，不符合题意； C、，所以3，4，5能作为直角三角形的三边，符合题意； D、，所以4，5，6不能作为直角三角形的三边，不符合题意； 故选：C． 6．如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（    ） a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 …… …… …… x y 122 A．142 B．143 C．144 D．145 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数．依据每列数的规律，即可得到，，，进而得出的值． 【详解】解：由题可得，，，， ，，，（且n为正整数） 当时， 解得：， ，， ， 故选：A． 7．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，4 B．3，4，6 C．7，8，9 D．6，8，10 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的知识．判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，2，3，4不是勾股数，故本选项不符合题意． B、，3，4，6不是勾股数，故本选项不符合题意． C、，7，8，9不是勾股数，故本选项不符合题意． D、，6，8，10是勾股数，故本选项符合题意． 故选：D． 二、填空题 8．在中，若其三条边的长度分别为、、，则这个三角形的面积是 ． 【答案】/0.5 【分析】利用勾股定理逆定理可判断出为直角三角形，然后再求面积即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴为直角三角形且斜边为，两直角边都为， ∴这个三角形的面积是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 9．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形是直角三角形．（直角三角形的判定） 【答案】a2+b2=c2 【解析】略 10．如图所示的网格是正方形网格，∠APB＝ °． 【答案】 【分析】延长AP交格点于D，连接BD，由勾股定理得到，勾股定理的逆定理得到为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：延长AP交格点于D，连接BD， 由勾股定理得：， ∵ ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴ 故答案为 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 11．已知三角形的两边分别为6和8，当第三边为 时，此三角形是直角三角形． 【答案】10或 【分析】根据勾股定理的逆定理分情况求解即可． 【详解】解：当6和8都为直角边长时，则第三边长为=10； 当6为直角边长，8为斜边长时，则第三边长为， ∴当第三边为10或时，此三角形是直角三角形， 故答案为：10或． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理，确定直角边和斜边是解答的关键． 12．三边长之比为3：4：5的三角形的面积为24，则它的周长为 ． 【答案】12 【分析】设周长为12x，则三角形的三边长分别为：3x、4x、5x，然后根据勾股定理逆定理说明三角形是直角三角形，再通过三角形的面积求得x，最后求得x即可 【详解】解：设周长为12x，则三角形的三边长分别为：3x、4x、5x， ∵ ∴三角形为直角三角形， ∴×3x×4x＝24，解得：x＝2， ∴三角形的周长为24， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查三角形的面积和勾股定理逆定理等知识点，通过勾股定理说明三角形是直角三角形是解答本题的关键． 13．三个正整数a，b，c，如果满足，那么我们称这三个数a，b，c叫做一组勾股数．如，则3，4，5就是一组勾股数．请写出与3，4，5不同的一组勾股数 ． 【答案】6，8，10（答案不唯一） 【分析】根据题中所给勾股数的定义写出一组即可，注意答案不唯一． 【详解】解：∵， ∴与3，4，5不同的一组勾股数可以为6，8，10． 故答案为∶6，8，10（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握三个正整数a，b，c，如果满足，那么我们称这三个数a，b，c叫做一组勾股数是解题的关键． 14．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其股是 （结果用含m的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股数的定义及求法：满足的三个正整数称为勾股数；根据题意得为偶数，设其股是，则玄为，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：∵m为正整数， ∴为偶数， 设其股是a，则弦为， 根据勾股定理得，， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 15．如图，在中，，求边上的高．    【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理可证明是直角三角形，再利用直角三角形的面积公式即可．关键是掌握“如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形”． 【详解】解：， ， 是直角三角形， ， 即， ． 16．已知m＞0，若3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数，求m的值． 【答案】m＝1 【分析】根据勾股数定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数可得：(3m+2)2+ ( 4m+8) 2= ( 5m+8) 2，再解方程即可． 【详解】解： m＞0， 3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数， （3m+2）2+（4m+8）2＝（5m+8）2， 解得：m＝1． 【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数定义． 17．在中，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，通过计算可得，进而由勾股定理的逆定理得到为直角三角形，据此即可求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴． 18．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上．请判断的形状，并说明理由．    【答案】直角三角形；理由见解析 【分析】先根据勾股定理求出、、的长，再根据勾股定理的逆定理判定出三角形的形状即可． 【详解】解：是直角三角形，理由如下： 由题意可得， ， ； ， 是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是关键． 19．如果两个连续的正整数的和可以表示成某一个正整数的平方．那么以这三个正整数为边长的三角形是直角三角形．若连续的两个整数为、，请证明结论． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理， 如果一个三角形的三条边、、满足，那么这个三角形为直角三角形．根据勾股定理的逆定理进行验证即可． 【详解】解：连续的两个整数为、， ， ， ， 以，，为边长的三角形是直角三角形． 20．美国哥伦比亚大学收藏了一块古巴比伦时代的泥板（如图）．经科学家研究，这块泥板上的三列文字实际上是三列数字（如表）．你知道这些数字间的关系吗？借助计算器进行探索． 【答案】表格中同一行的三个数恰构成一组勾股数，探索见解析 【分析】根据勾股数的定义：勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，进行计算即可． 【详解】解：∵； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ∴表格中同一行的三个数恰构成一组勾股数． 【点睛】本题考查了勾股数，希望有兴趣的学生能自主探究这些数之间的关系，同时，这些勾股数也为有兴趣的学生探究勾股数的规律提供了直接材料． 21．如图，在△ABC中，AB＝10，BD＝8，AD＝6，CD＝2 （1）试说明AD⊥BC； （2）试求点D到直线AC的距离． 【答案】（1）见解析；（2）3． 【分析】（1）根据已知条件求得，然后根据勾股定理的逆定理即可推出结论； （2）在中，利用勾股定理求得，然后根据等面积法求得到直线的距离． 【详解】（1）,， ， 是直角三角形， ，即． （2），且点为边上的一点， ， ， 设到直线的距离为， 则， ． 到直线的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$