25.2.3 公式法(一)根的判别式 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 课时训练05“根的判别式”（满分100分，25分钟），基础70%/中等20%/拔高10%分层配比，以“概念理解-运算应用-综合拓展”路径巩固知识，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|判别式定义、根的情况判断、简单计算|选择/填空直接考查概念（如判别式公式），解答题训练基本运算（如不解方程判根）| |中等|含参数方程根的情况、方程类型讨论|结合二次项系数非零条件（如kx²-2x+1=0中k≠0），深化分类讨论能力| |拔高|跨学科情境应用|结合三角形三边关系（如△ABC边长构建方程），体现数学与现实的逻辑联系|

课时训练 05　25.2.3 公式法（一）根的判别式 （满分 100 分　建议用时 25 分钟　难度配比：基础 70 分／中等 20 分／拔高 10 分） 姓名______________　　班级______________　　学号______________　　得分______________ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.（基础） 一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）根的判别式是（　　） A. b²-4ac　　B. 4ac-b²　　C. b²+4ac　　D. √(b²-4ac) 2.（基础） 当 Δ>0 时，一元二次方程（　　） A. 有两个不相等的实数根　　B. 有两个相等的实数根　　C. 没有实数根　　D. 只有一个实数根 3.（基础） 当 Δ=0 时，一元二次方程（　　） A. 有两个相等的实数根　　B. 有两个不相等的实数根　　C. 没有实数根　　D. 只有一个实数根 4.（基础） 方程 x²-2x+1=0 的判别式 Δ 的值为（　　） A. 0　　B. 4　　C. -4　　D. 8 5.（基础） 方程 x²+x+1=0 的根的情况是（　　） A. 没有实数根　　B. 有两个相等的实数根　　C. 有两个不相等的实数根　　D. 只有一个实数根 6.（基础） 方程 2x²-3x-1=0 的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根　　B. 有两个相等的实数根　　C. 没有实数根　　D. 无法确定 7.（基础） 若方程 x²-4x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为（　　） A. 4　　B. -4　　C. 2　　D. 8 8.（基础） 若关于 x 的方程 x²+2x+k=0 没有实数根，则 k 的取值范围是（　　） A. k>1　　B. k<1　　C. k≥1　　D. k≤1 9.（中等） 若关于 x 的一元二次方程 kx²-2x+1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A. k<1　　B. k<1 且 k≠0　　C. k>1　　D. k≤1 且 k≠0 10.（拔高） 已知 a、b、c 是 △ABC 的三边长，则关于 x 的方程 (a+b)x²+2cx+(a+b)=0 的根的情况是（　　） A. 没有实数根　　B. 有两个相等的实数根　　C. 有两个不相等的实数根　　D. 无法确定 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11.（基础） 方程 3x²-2x-1=0 的判别式 Δ=________________。 12.（基础） 若方程 x²-6x+m=0 有两个相等的实数根，则 m=________________。 13.（基础） 若关于 x 的方程 x²-mx+4=0 有两个相等的实数根，则 m=________________。 14.（基础） 若关于 x 的方程 2x²+3x+k=0 没有实数根，则 k 的取值范围是 ________________。 15.（中等） 若关于 x 的一元二次方程 (m-1)x²-2x+1=0 有实数根，则 m 的取值范围是 ________________。 三、解答题（共5小题，共50分） 16.（基础·10分） 不解方程，判断下列方程根的情况。 （1）x²-5x+6=0；　（2）4x²-4x+1=0；　（3）x²+2x+3=0；　（4）2x²-3x-4=0。 17.（基础·10分） 已知关于 x 的方程 x²-(m+2)x+2m=0。 （1）求证：无论 m 取何实数，该方程总有实数根；（2）当 m=5 时，求方程的根。 18.（基础·10分） 已知关于 x 的方程 x²-2x+k=0。 （1）若方程有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围；（2）若 k 取符合条件的最大整数，求此时方程的根。 19.（中等·13分） 已知关于 x 的方程 (m-2)x²+2x+1=0。 （1）当 m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）当 m 为何值时，方程有实数根？ 20.（拔高·7分） 已知 a、b、c 分别是 △ABC 中 ∠A、∠B、∠C 的对边，且关于 x 的一元二次方程 (c-b)x²+2(b-a)x+(a-b)=0 有两个相等的实数根。试判断 △ABC 的形状，并说明理由。 课时训练 05　参考答案与解析 25.2.3 公式法（一）根的判别式 一、选择题 1. A　【解析】Δ=b²-4ac。 2. A　【解析】Δ>0 ⇔ 两个不相等的实数根。 3. A　【解析】Δ=0 ⇔ 两个相等的实数根（不能说"只有一个根"）。 4. A　【解析】Δ=(-2)²-4×1×1=0。 5. A　【解析】Δ=1-4=-3<0，没有实数根。 6. A　【解析】Δ=9-4×2×(-1)=17>0。 7. A　【解析】Δ=16-4m=0，m=4。 8. A　【解析】Δ=4-4k<0，得 k>1。 9. B　【解析】"一元二次方程"隐含 k≠0；又 Δ=4-4k>0 得 k<1。故 k<1 且 k≠0。 10. A　【解析】Δ=4c²-4(a+b)²=4[c²-(a+b)²]。由三角形三边关系 c<a+b，故 c²-(a+b)²<0，Δ<0，没有实数根。 二、填空题 11. 16　【解析】Δ=(-2)²-4×3×(-1)=4+12=16。 12. 9　【解析】Δ=36-4m=0。 13. ±4　【解析】Δ=m²-16=0，m=±4。 14. k>9/8　【解析】Δ=9-8k<0，得 k>9/8。 15. m≤2 且 m≠1　【解析】一元二次方程需 m-1≠0；有实数根需 Δ=4-4(m-1)=8-4m≥0，即 m≤2。 三、解答题 16.（10分） （1）Δ=25-24=1>0，有两个不相等的实数根。（2.5分） （2）Δ=16-16=0，有两个相等的实数根。（2.5分） （3）Δ=4-12=-8<0，没有实数根。（2.5分） （4）Δ=9+32=41>0，有两个不相等的实数根。（2.5分） 17.（10分） （1）Δ=[-(m+2)]²-4×1×2m=m²+4m+4-8m=m²-4m+4=(m-2)²。（3分） 因为 (m-2)²≥0，即 Δ≥0 恒成立，所以无论 m 取何实数，方程总有实数根。（3分） （2）m=5 时方程为 x²-7x+10=0，即 (x-2)(x-5)=0，x₁=2，x₂=5。（4分） 18.（10分） （1）Δ=4-4k>0，得 k<1。（4分） （2）符合条件的最大整数 k=0，方程为 x²-2x=0，即 x(x-2)=0，x₁=0，x₂=2。（6分） 19.（13分） （1）有两个不相等的实数根，首先它必须是一元二次方程，故 m-2≠0，即 m≠2；（2分）又 Δ=4-4(m-2)=12-4m>0，得 m<3。（3分）综上 m<3 且 m≠2。（1分） （2）分两种情况：① 当 m=2 时，方程化为 2x+1=0，是一元一次方程，有实数根 x=-1/2；（3分）② 当 m≠2 时，它是一元二次方程，有实数根需 Δ=12-4m≥0，即 m≤3 且 m≠2。（3分）综上，当 m≤3 时方程有实数根。（1分） 20.（7分） 由方程有两个相等的实数根，得 Δ=0。（1分） Δ=4(b-a)²-4(c-b)(a-b)=4[(a-b)²-(c-b)(a-b)]=4(a-b)[(a-b)-(c-b)]=4(a-b)(a-c)。（4分） 所以 4(a-b)(a-c)=0，即 a=b 或 a=c。（1分） 故 △ABC 是等腰三角形。（1分） 学科网（北京）股份有限公司 $