25.2.2 一元二次方程 公式法 根的判别式 同步练习 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以根的判别式为核心，通过基础巩固、综合应用、创新拓展三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|判别式计算与根的情况判断|单选题1-4直接应用Δ公式，填空题7-9强化参数范围求解| |综合|几何与代数结合|题5、13关联三角形形状判断，题6、10综合参数讨论与判别式| |提升|新定义与实际应用|题15利润问题、题21勾系方程体现模型观念，题22阅读理解培养创新意识|

根的判别式 一、单选题 1．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 2．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（     ） A． B． C． D． 3．已知关于x的方程（），当时，方程的解为（    ） A．， B．， C． D． 4．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 5．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 6．下列说法：①关于x的一元二次方程无实数解；②无论m为何值，关于x的一元二次方程都有两个不相等的实数根；③若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是且．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 7．判断下列一元二次方程中根的情况： ①____________________；     ②_____________________； ③____________________ ；    ④________________________。 8．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 9．已知关于x的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值：_________． 10．已知关于x的方程，其中a、b为实数． (1)若此方程有一个根为，判断a与b的大小关系__________； (2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，b的取值范围为__________． 三、解答题 11．已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 12．关于的一元二次方程有两个不相等实数根，求的取值范围． 13．已知分别是中所对的边长，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，试判断的形状并求其面积． 14．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，设方程的两个实数根分别为，，求的值． 15．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件 ． (1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元? (2)商场平均每天盈利能否达到1500元?请说明理由 . 16．定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 17．已知关于x的方程 (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根． (2)若等腰的一边长a为4，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 18．已知，为正实数，关于的一元二次方程为． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若是方程的一个实数根，试判断代数式与的大小． 19．已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由； (3)若的值为负整数，求实数的整数值． 20．已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 21．【新定义】如图．四边形是证明勾股定理时用到的一个图形．是和的边长，易知．这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”______________（一个即可）； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根， 且四边形的周长是．求的面积． 22．阅读与思考 下面是小玲撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 我们知道，对于一元二次方程根的判别式能判断方程实数根的个数；对于二次函数能判断抛物线与轴的交点个数．另外还有其他的应用：求代数式的最值． 如：已知，求的最大值． 解：由，得 将其代入，得 设，则 整理为一元二次方程的一般形式： 因为是实数，所以该方程有实数根， 即，解得 所以的最大值为． 学习任务： (1)用根的判别式判断一元二次方程根的情况，体现的数学思想是（   ） A．整体思想        B．数形结合        C．分类讨论        D．转化 (2)通过阅读材料的解题步骤，完成下题： 已知，求的最大值，请写出完整解题过程． (3)已知正数满足，直接写出的最小值_____．（提示：先求的最大值） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《根的判别式2.0》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D D B C B 1．C 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 2．D 【分析】计算方程的判别式，解答即可； 【详解】解：A．，在这里，，得，方程无实数根，不符合要求； B．，在这里，，得，方程有两个相等的实数根，不符合要求； C．，在这里，，得，方程无实数根，不符合要求； D．，在这里，，得，方程有两个不相等的实数根，符合要求； 3．D 【分析】已知，即判别式为0，方程有两个相等的实数根，通过配方即可得到方程的解． 【详解】解：∵一元二次方程，，且， ∴，方程有两个相等的实数根． 对原方程配方： 移项得， 两边同除以得， 配方得， ∵， ∴， ∴． 4．B 【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，结合根的判别式求解k的取值范围． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵ 方程有实数根， ∴，即， 解得； 综上，且． 5．C 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得一个关于的等式，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， ∴， ∴， 又∵与不一定相等， ∴是直角三角形，不一定是等腰直角三角形． 6．B 【分析】计算各一元二次方程的判别式，根据判别式的符号判断根的情况，逐一验证三个说法的正误即可． 【详解】解：①对于方程，，当时，，方程有两个相等的实数根，即有实数解，故①错误； ②对于方程，， ∵， ∴， ∴无论为何值，方程都有两个不相等的实数根，故②正确； ③对于方程，由方程有两个不相等的实数根得，即，解得， 当时，方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，故错误，③错误； 综上，正确的说法有1个． 7． 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根 没有实数根 【分析】对于一元二次方程，根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，先确定每个一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项，再计算根的判别式的值，根据判别式与0的大小关系判断根的情况． 【详解】解：①方程中，，，， ，因此该方程有两个不相等的实数根； ②方程中，，，， ，因此该方程有两个相等的实数根； ③方程中，，，， ，因此该方程有两个不相等的实数根； ④方程中，，，， ，因此该方程没有实数根． 8． 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式，即， 解得． 9． 【分析】根据一元二次方程的定义和方程无实数根的条件，求出k的取值范围，再在范围内取一个符合要求的值即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴． ∵原方程没有实数根， ∴根的判别式． 即， ∴， 解得， 故满足条件的可以为． 10． 【分析】（1）把代入方程，求出的值，进行判断即可； （2）根据方程都有实数根，得到，进而求出 b的取值范围即可. 【详解】解：（1）∵方程有一个根为， ∴， 整理，得； ∵， ∴，即； （2）由题意，， ∵对于任何实数a，此方程都有实数根， ∴对于任何实数a，都有，即， ∴对于任何实数a，都有， ∵， ∴b的取值范围是. 11．证明： ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【详解】略 12． 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式大于0，本题二次项系数为1，已经满足一元二次方程二次项系数不为0的要求，只需计算判别式后解不等式即可得到结果． 【详解】解：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 该方程二次项系数为，满足一元二次方程定义，只需满足判别式． 计算判别式： 令，可得． 解得． 13．是直角三角形，面积为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理．一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根． 根据已知条件得出，将等式变形，利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，然后由勾股定理求解，再由三角形面积公式求解． 【详解】解：因为关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以其判别式． 化简可得：， 由可知，是直角三角形，且c为斜边． 又因为， ∴ 所以其面积． 14．(1) 证明：∵， ∴ ∴， 则， ∵无论取何值，， ∴， 即无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)10 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，一元二次方程的根与系数的关系，由一元二次方程的解求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，整理原方程为，则，故无论取何值，，即； （2）由得，因为设方程的两个实数根分别为，，得，，把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵设方程的两个实数根分别为，， ∴，， 则， ∴． 15．(1)每件衬衫应降价20元 (2)解：不能达到1500元，理由如下： 假设能达到，设盈利为1500元，则： ， 整理得： ， ∴， ∴方程无实数根，故不能达到1500元. 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用； （1）设每件衬衫降价元，可得每件盈利元，每天可以售出件，根据总利润单件利润销售量，列方程求解即可； （2）设每件衬衫降价元，可得每件盈利元，每天可以售出件，根据总利润单件利润销售量，列方程，进一步求解判断即可． 【详解】（1）解：设每件衬衫降价元，可得每件盈利元，每天可以售出件， 由题意可得：， 解得，， ∵为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存， ∴越大，每天可以售出数量越大， ∴， 答：每件衬衫应降价20元； （2）略 16．(1) (2)当时，对于方程①及其“换位方程”均有 ， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根． (3)或，或 【分析】（1）根据“换位方程”的定义解答即可； （2）根据一元二次方程根的判别式得出，即可得出结论； （3）把分别代入方程①及其“换位方程”可得，根据时两方程相同得出，解方程得出或，分别代入方程①求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为． （2）解：略 （3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ∴，， ， ∴， 当时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴ 解得：或， 当时，代入方程①得，， 解得：； 当时，代入方程①得，， 解得：． 17．(1) 证明： ∵无论k取何值， ∴ ∴无论k取何值，此方程总有实数根； (2)10 【分析】（1）先计算判别式的值得到，根据判别式的意义即可得到结论； （2）分类讨论：当时，方程有两个相等的实数根，解得，然后解方程得到；当或时，方程有一个根，可解得k的值，则代入方程可解答． 【详解】（1）略； （2）解： 由（1）得， ①当时，即方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴把代入， 得， 整理得 ∴ ∴ ∵， ∴不能构成三角形，舍去 ②当或时，即方程有一个根， ∴ 解得：， 方程化为， 解得， 即三边为4，4，2，能构成三角形， 则周长， ∴这个等腰三角形的周长是10． 18．(1)证明：可变形为， 判别式为， ，为正实数，所以，可得， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）先将原方程整理为一元二次方程的标准形式，再计算判别式，根据题中条件得到，即可得证． （2）利用方程根的定义，把代入方程，通过计算得到两个代数式完全相等． 【详解】（1）略 （2）已知是方程的一个实数根， 代入方程可得，则， ， ∴． 19．(1)且 (2) 不存在，理由如下： ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 又∵且， ∴不符合题意，舍去， ∴不存在实数，使成立； (3)实数的整数值为或或或 【分析】（1）先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为，再由方程有两个实数根得出判别式大于等于，联立两个条件求出的取值范围； （2）利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，再对已知等式进行移项变形，将两根之和与两根之积代入求解，最后结合（1）的范围判断该是否符合题意，从而确定是否存在； （3）先将代数式展开并代入两根之和与两根之积化简得到关于的分式，再根据结果为负整数的条件，分析得出分母为的正约数，进而求出对应的整数． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：且， ∴的取值范围为且； （2）略 （3）解：， ∵的值为负整数，且为整数， ∴或或或， 解得：或或或， ∴实数的整数值为或或或． 20．(1)证明：∵， ∴一元二次方程有实数根． (2) 【分析】（1）计算出即可证明； （2）求出方程的解，代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 解得． 21．(1)（答案不唯一） (2)证明：由题意可知：， ， ， ∴关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． (3) 【分析】（1）直接根据“勾系一元二次方程”的定义写出方程即可； （2）利用勾股定理以及根的判别式进行证明即可； （3）先说明，再结合四边形的周长是可得，进而求得，可得；再利用完全平方公式求得，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由“勾系一元二次方程”的定义可知：是“勾系一元二次方程”． （2）略 （3）解：把代入中得：，即，    ∵四边形的周长是， ， ∴， ，解之得：，     ， ， ，即， ， ， ． 22．(1)C (2)的最大值为 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根判别式的应用，分式化简求值等知识． （1）根据判别式的定义和用法即可得出答案． （2）根据题干的解题方式求解即可． （3）根据题干的解题方式求解出的最大值，再根据分式的化简和性质即可求出答案． 【详解】（1）解：用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，需根据，或来判断，则体现的数学思想是分类讨论， 故选C． （2）解：由，得 将其代入，得， 设，则， 整理为一元二次方程的一般形式： 因为是实数，所以该方程有实数根， 即，解得 所以的最大值为． （3）解：由，得 将其代入，得 设，则 整理为一元二次方程的一般形式： 因为是正数，所以该方程有实数根， 即，解得 所以的最大值为9． ∴， ∵的最大值为9， ∴的最小值为：． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $