25.1 一元二次方程的概念 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练以“基础巩固-中等提升-拔高拓展”分层设计，聚焦一元二次方程概念核心，通过梯度化题型构建从概念辨析到综合应用的知识巩固路径，培养抽象能力与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|定义辨析、系数识别、一般形式转化、根的概念|选择题（1-8）、填空题（11-14）、解答题（16-18），占70分，夯实新授概念| |中等|参数取值讨论、方程分类|选择题9、填空题15、解答题19，占20分，强化逻辑推理| |拔高|根的综合应用|选择题10、解答题20，占10分，提升知识迁移与模型意识|

课时训练 01　25.1 一元二次方程的概念 （满分 100 分　建议用时 25 分钟　难度配比：基础 70 分／中等 20 分／拔高 10 分） 姓名______________　　班级______________　　学号______________　　得分______________ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.（基础） 下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A. x²+2x-1=0　　B. x+1/x=2　　C. x²+y=1　　D. ax²+bx+c=0 2.（基础） 方程 3x²-5x+2=0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 3，-5，2　　B. 3，5，2　　C. 3，-5，-2　　D. -3，-5，2 3.（基础） 把方程 (x-1)(x+2)=3 化为一般形式，结果是（　　） A. x²+x-5=0　　B. x²+x-1=0　　C. x²+x+5=0　　D. x²-x-5=0 4.（基础） 若关于 x 的方程 (m-1)x²+2x-3=0 是一元二次方程，则 m 满足（　　） A. m≠1　　B. m>1　　C. m≠0　　D. m 为任意实数 5.（基础） 已知 x=2 是方程 x²-3x+k=0 的一个根，则 k 的值是（　　） A. 2　　B. -2　　C. 1　　D. -1 6.（基础） 下列数中，是方程 x²-4=0 的根的是（　　） A. 4　　B. -4　　C. 2　　D. 0 7.（基础） 方程 2x²=3x-1 化为一般形式后，它的一次项是（　　） A. 3x　　B. -3x　　C. 3x-1　　D. -1 8.（基础） 下列方程中，常数项为 0 的是（　　） A. x²+x=1　　B. x²-x=0　　C. 2x²+1=0　　D. x²+2x+1=0 9.（中等） 若关于 x 的方程 (m-2)x|m|+3x-1=0 是一元二次方程，则 m 的值为（　　） A. 2　　B. -2　　C. ±2　　D. 0 10.（拔高） 已知关于 x 的一元二次方程 (a-1)x²+2x+a²-1=0 有一个根是 0，则 a 的值为（　　） A. 1　　B. -1　　C. ±1　　D. 0 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11.（基础） 方程 x(x-3)=2 化为一般形式为 ________________。 12.（基础） 若方程 (k+2)x²-4x+1=0 是一元二次方程，则 k 的取值范围是 ________________。 13.（基础） 已知 x=-1 是方程 x²+mx-3=0 的一个根，则 m=________________。 14.（基础） 写出一个以 1 和 -3 为根的一元二次方程（化为一般形式）：________________。 15.（中等） 若关于 x 的一元二次方程 (m-3)x²+2x+m²-9=0 的常数项为 0，则 m=________________，此时方程的根为 ________________。 三、解答题（共5小题，共50分） 16.（基础·10分） 把下列方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）(2x-1)(x+3)=5；　　（2）(x+2)²=2x+7。 17.（基础·10分） 已知 x=3 是关于 x 的方程 x²-2ax+6=0 的一个根。 （1）求 a 的值；（2）求方程的另一个根。 18.（基础·10分） 根据下列问题，设未知数为 x，列出一元二次方程并化为一般形式（不必求解）。 （1）学校举行九年级篮球单循环赛（每两队之间比赛一场），一共进行了 45 场比赛，求参赛队数 x； （2）一块长方形菜地面积为 120 m²，长比宽多 2 m，设宽为 x m。 19.（中等·13分） 已知关于 x 的方程 (m+1)xm²+1+(m-2)x-1=0。 （1）当 m 为何值时，它是一元二次方程？并写出此时方程的一般形式； （2）当 m 为何值时，它是一元一次方程？ 20.（拔高·7分） 已知 a 是一元二次方程 x²-3x+1=0 的一个根，求代数式 a²-3a+3a/(a²+1) 的值。 课时训练 01　参考答案与解析 25.1 一元二次方程的概念 一、选择题 1. A　【解析】一元二次方程必须同时满足：①只含一个未知数；②未知数最高次数为2；③是整式方程；④二次项系数不为0。B 含 1/x 是分式方程，C 含两个未知数，D 未注明 a≠0，只有 A 满足。 2. A　【解析】先确认是一般形式 ax²+bx+c=0，a=3，b=-5，c=2，注意符号要连同前面的符号一起看。 3. A　【解析】展开得 x²+x-2=3，移项得 x²+x-5=0。 4. A　【解析】一元二次方程要求二次项系数 m-1≠0，即 m≠1。 5. A　【解析】把 x=2 代入：4-6+k=0，解得 k=2。 6. C　【解析】使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根。把各选项代入：2²-4=0 成立，其余均不成立，故选 C。 7. B　【解析】化为 2x²-3x+1=0，一次项是 -3x。 8. B　【解析】B 中方程 x²-x=0 已是一般形式 ax²+bx+c=0 的形式，其常数项为 0；其余各选项化成一般形式后常数项分别为 -1、1、1。 9. B　【解析】需 |m|=2 且 m-2≠0，由 |m|=2 得 m=±2，又 m≠2，故 m=-2。 10. B　【解析】把 x=0 代入得 a²-1=0，a=±1；又它是一元二次方程，a-1≠0，即 a≠1；故 a=-1。 二、填空题 11. x²-3x-2=0　【解析】展开 x²-3x=2，移项即可。 12. k≠-2　【解析】二次项系数 k+2≠0。 13. -2　【解析】代入 x=-1：1-m-3=0，得 m=-2。 14. x²+2x-3=0（答案不唯一，等价即可）　【解析】(x-1)(x+3)=0 展开即得。 15. -3；x₁=0，x₂=1/3　【解析】常数项 m²-9=0 得 m=±3，又是一元二次方程需 m-3≠0，故 m=-3；方程为 -6x²+2x=0，即 2x(1-3x)=0，解得 x=0 或 x=1/3。 三、解答题 16.（10分） （1）展开得 2x²+6x-x-3=5，即 2x²+5x-8=0，二次项系数 2，一次项系数 5，常数项 -8。（5分） （2）展开得 x²+4x+4=2x+7，即 x²+2x-3=0，二次项系数 1，一次项系数 2，常数项 -3。（5分） 17.（10分） （1）把 x=3 代入得 9-6a+6=0，解得 a=5/2。（5分） （2）方程为 x²-5x+6=0，因式分解得 (x-2)(x-3)=0，故另一个根为 x=2。（5分） 18.（10分） （1）x 支球队，每两队赛一场，共 x(x-1)/2 场，故 x(x-1)/2=45，化为 x²-x-90=0。（5分） （2）宽 x m，则长 (x+2) m，x(x+2)=120，化为 x²+2x-120=0。（5分） 19.（13分） （1）一元二次方程需满足 m²+1=2 且 m+1≠0。由 m²+1=2 得 m=±1，由 m+1≠0 得 m≠-1，故 m=1。（5分）此时方程为 2x²-x-1=0。（2分） （2）一元一次方程有两种情况：①最高次项消失，即 m+1=0 且 m-2≠0，得 m=-1，此时方程为 -3x-1=0；（3分）②最高次数本身就是1，即 m²+1=1，得 m=0，此时方程为 -x-1=0。（3分）综上 m=-1 或 m=0。 20.（7分） 因为 a 是 x²-3x+1=0 的根，所以 a²-3a+1=0，即 a²-3a=-1，且 a²+1=3a。（4分） 所以原式 = -1 + 3a/(3a) = -1+1 = 0。（3分） 学科网（北京）股份有限公司 $