2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（1）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦一元二次函数、方程和不等式的关系，核心内容包括一元二次不等式的定义、解法及三个“二次”的内在联系。课堂通过园艺师围矩形区域的实际问题导入，衔接初中一次函数与方程、不等式的关系，搭建从具体情境到抽象概念的学习支架。 其亮点在于以问题驱动教学，用数学眼光观察现实世界，通过二次函数图象与方程根的关系构建逻辑联系，培养数学思维。方法总结系统，例题涵盖含参数与不含参数类型，帮助学生用数学语言表达规律，提升解题能力，也为教师提供清晰的教学路径。

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 1 问题1 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？ 探究1 一元二次不等式 设这个矩形的一条边长为xm，则另一条边长为_____m． 由题意，得:___________________， 其中x∈________________． 整理得 _________________________________． ① 求得不等式①的解集，就得到了问题的答案． 12-x （12－x）x＞20 x２－12x＋20＜0， 一元二次不等式 定义 一般地，我们把只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式. 一般形式 未知数 2 或 或 注意： “一元”指的是只有一个未知数，不代表只有一个字母 “二次”指的是未知数的最高次数必须是2，且最高次项系数不为0 新知生成 1.一元二次不等式 3 问题2：在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程，一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以让我们更简便的解决问题： 二次函数 对于 一元二次方程 一元二次不等式 它们的联系又是怎样的呢？ 我们先考察一元二次不等式 与二次函数之间的关系. 作出二次函数y=x2-12x+20图象如图示. 则二次函数y=x2-12x＋20 的图像与x轴的两个交点坐标为________和________ （2，0） （10，0） 这两个交点的横坐标就是方程x2-12x＋20=0的两个实数x1=____________，x2=_______ 2 10 x y o 2 10 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使 的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的 . ax2＋bx＋c＝0 零点 注意：零点不是点，是具体的实数 二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点 方程ax2＋bx＋c=0的实数根 函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交点的横坐标 2.二次函数的零点 新知生成 6 问题3 函数y=x2-12x+20 的两个零点2和10将x轴分成三段, 每一段(不含零点)对应的函数图象有何特点？对应的函数值的范围又如何? x y o 2 10 当x<2或x>10时: 当2<x<10时: 函数图象在x轴上方 y>0 函数图象在x轴下方 y<0 追问1 你能从图象上看出不等式x2-12x+20<0的解集吗? 追问2 你能从图象上看出不等式x2-12x+20>0的解集吗? 追问3 上述方法可以推广到求一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0) 和ax2＋bx＋c<0(a＞0)的解集吗？ 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象       一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 _____________ ____________ ____ ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 __________ _____ ____ {x|x<x1或x>x2} {x|x1<x<x2} ∅ ∅ R 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝ 没有实数根 3.三个“二次”的关系 9 新知运用 一、不含参数的一元二次不等式的解法 例1 解下列不等式： （1） <m></m> ； （2） <m></m> ； （4） ； （3） <m></m> . 10 （1）通过对不等式变形，使二次项系数大于零； （2）计算对应方程的判别式； （3）求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实数根； （4）根据函数图象与 <m></m> 轴的相关位置写出不等式的解集. 分式不等式求解 [注：] [注：] 解一元二次不等式的一般步骤 方法总结 11 1.解下列不等式： （1） <m></m> ； （2） <m></m 12 二、含参数的一元二次不等式的解法 例2 解关于 <m></m> 的不等式： <m></m> . 13 2.设 <m></m> ，解关于 <m></m> 的不等式： <m></m> . 14 设 <m></m> ，解关于 <m></m> 的不等式： <m></m> . 练习 15 16 解不等式： 方法总结 解含参数的一元二次不等式： （1）若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0分类讨论； （2）若求不等式对应的一元二次方程的根需要用求根公式，则应对判别式 <m></m> 进行讨论；（3）若求出的实数根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论. 18 三、三个“二次”间的关系及应用 例3 已知二次函数 <m></m> ，且 <m></m> 的解集为 <m></m> . （1）求二次函数的解析式； （2）当关于 <m></m> 的不等式 <m></m> 的解集为 <m></m> 时，求 <m></m> 的取值范围. 19 3.已知关于 <m></m> 的不等式 <m></m> 的解集为 <m></m> . （1）求 <m></m> ， <m></m> 的值； （2）解关于 <m></m> 的不等式： <m></m> . 20 已知关于x的不等式的解集为，求关于x的不等式解集 方法总结 三个“二次”之间的关系 （1）三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程或一元二次不等式的形式来研究. （2）讨论一元二次方程和一元二次不等式时，要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 特别提醒：忽视二次项系数的符号和不等号的开口方向易写错不等式的解集形式. 22 － 解关于x的不等式x2－ax+2<0(a∈R)． $