第二章 一元二次函数、方程和不等式（复习课件）数学人教A版必修第一册

该高中数学单元复习课件系统梳理了一元二次函数、方程和不等式的核心知识，通过考点串讲细化不等关系、基本不等式、三个二次关系等内容，结合题型全解分类示例作差比较、含参不等式等典型问题，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于采用“考点梳理-题型突破-分层训练”复习模式，如基本不等式通过配凑法、常数代换法等培养逻辑推理能力，实际应用题（房屋造价问题）强化数学建模意识，针对训练涵盖基础与综合题，助力学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。

第二章 单元复习课件 人教A版（2019）·高一数学必修一 一元二次函数、方程和不等式 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 理清二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者内在关联，熟练掌握一元二次不等式解法，能结合图像求解解集，会处理简单含参不等式。 02 过程与方法目标 借助图像数形结合分析代数问题，掌握分类讨论、分离参数等方法，提升代数运算、图像分析与逻辑推理能力。 情感与价值目标  感受数形结合、转化化归思想，养成严谨审题规范解题习惯，能建立二次不等式模型解决实际最值、恒成立问题。 知识与技能目标 03 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1. 含参一元二次不等式的完整分类讨论（二次项系数、判别式、两根大小）。 2. 给定区间上二次函数最值分析，结合恒成立问题求参数范围。 3. 灵活运用数形结合思想，实现图像与代数不等式之间快速转换。 1. 利用二次函数图像解一元二次不等式，掌握Δ三种情况对应的解集规律。 2. 理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者的相互转化关系。 3. 一元二次不等式恒成立、区间最值题型的基础解题思路。 4 知识图谱 5 考点串讲 ——1：不等关系 1、不等式的概念：用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2、常见文字语言与符号语言之间的对应关系： 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3、不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 6 考点串讲 ——2：实数(代数式)大小的比较 1、两个实数a,b大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为： 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． a>b⇔a-b>0， a＝b⇔a-b＝0， a<b⇔a-b<0. 7 考点串讲 ——2：实数(代数式)大小的比较 2、比较大小的基本方法 关系   方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 a>b a-b>0 或 a=b a-b=0 a<b a-b<0 或 【易错提醒】(1)作商法比较大小时，要注意所比较的两个数必须同号. (2)注意作差法是将差式与0比较大小，作商法是将商式与1比较大小，这两者不要混淆 8 考点串讲 ——3：等式性质与不等式性质 1、等式性质： 若 a=b，则满足以下恒等变形规则： (1). 对称性：如果a＝b，那么b＝a； (2).传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； (3). 可加可减性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； (4). 可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； (5). 可除性：如果a＝b，c≠0，那么. 9 考点串讲 ——3：等式性质与不等式性质 2、不等式性质： (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． (8)同正可开方性：如果a>b>0，那么(n∈N，n≥2)． 10 考点串讲 ——3：等式性质与不等式性质 3、不等式得两类常用性质： (1)倒数法则：若ab＞0，且a＞b⇔＜. (2)糖水不等式：若a＞b＞0，m＞0⇒＜；若b＞a＞0，m＞0⇒＞ 【易错提醒】（1）在应用不等式的性质解题时，一定要注意性质的前提条件是否具备. (2)在应用不等式的传递性时，如果两个不等式中有一个带等号，另一个不带等号，那么等号是传递不过去的. (3)在可乘性中，要特别注意乘数c的符号，特别地当c=0时，ac2=bc2. 11 考点串讲 ——4：基本不等式 1、重要不等式： a2+b2≥2ab(a,b∈R)，当且仅当“a=b”时取“=” 重要不等式的变形式： ab； 2、基本不等式： a+b，当且仅当“a=b”时取“=” 即叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 12 考点串讲 ——4：基本不等式 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． (1)代数证明： ①作差法：⸪ ⸫ ②分析法：要证，只要证 即证(a+b)2≥4ab，即证a2+b2+2ab≥4ab，即证a2+b2-2ab≥0， 即证(a-b)2≥0，此式显然成立，所以 13 考点串讲 ——4：基本不等式 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． (2)几何证明：半径不小于半弦 AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD. 能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ ∙ O 当且仅当 当且仅当点O与点C重合时，OD=CD， 综上 几何意义： 直角三角形斜边上的中线长度，永远不小于该斜边上的高。 14 考点串讲 ——4：基本不等式 3、基本不等式的常见变形式： ①(a+b)2≥4ab(a>0，b>0); ②＋≥2(a，b同号)； ③ab≤≤(a>0，b>0); 4、基本不等式链： 调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数 上述各不等式间取等号的条件都是a=b. 15 考点串讲 ——4：基本不等式 5、利用基本不等式求最值： (1)一正：a>0,b>0（前提条件，负数不可直接套用） (2)二定：和或积为定值 (3)三相等：当且仅当 a=b 时取到等号 ①积定和最小：如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 ②和定积最大：如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 16 考点串讲 ——4：基本不等式 6、利用基本不等式求最值的几种常见方法: (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． 常见模型： 当且仅当 时等号成立； 例如：求的最小值？ 解： 17 考点串讲 ——4：基本不等式 6、利用基本不等式求最值的几种常见方法: (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. 常见模型： 当且仅当 时等号成立； 例如：求的最小值？ 解： 18 考点串讲 ——4：基本不等式 6、利用基本不等式求最值的几种常见方法: (3)分离常数法：分母是二次函数式，分子是一次函数式，通过拼凑法（分离常数） 常见模型： 例如：求的最大值？ 解： 19 考点串讲 ——4：基本不等式 6、利用基本不等式求最值的几种常见方法: (4)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为()·，再用基本不等式求最值. 因此也叫 乘“1”变换法 解：⸪x+3y=5xy⇒ 20 考点串讲 ——5：一元二次不等式 2、一元二次不等式的解法: (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 1、一元二次不等式: 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 21 考点串讲 ——5：一元二次不等式 3、分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 22 考点串讲 ——6：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 1.二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． (1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系： 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1, x2且x1< x2，设∆=b2-4ac，它的解按照∆>0，∆=0，∆<0可分三种情况，相应地，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集. 23 考点串讲 ——6：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 三个二次之间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象       ax2＋bx＋c＞0的解集 {x｜x＜x1，或x＞x2}  {x｜x≠} R ax2＋bx＋c＜0的解集 {x｜x1＜x＜x2} ⌀ ⌀ 24 考点串讲 ——6：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 💡 速记口诀： (1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 3.一元二次方程根的分布问题 核心策略：数形结合法 结合二次函数的开口方向、对称轴位置、判别式符号及区间端点的函数值，列出不等式组求解，直观反映根的分布位置。 25 考点串讲 ——7：不等式恒成立、有解问题 思考 核心策略：参变分离与最值转化 将参数与变量分离，转化为求函数的最值问题；或利用二次函数图像性质，结合判别式 Δ 分析，确定参数范围。 1.利用基本不等式解决不等式恒成立问题: 不等式恒成立问题最常用的方法是分离参数法，分离参数后，不等式的另一侧的代数式的最值有时可用基本不等式求得. (1)当函数y存在最值时，k<y恒成立⇔k<ymin；k>y恒成立⇔k>ymax. 简记为：“大于最大的，小于最小的”. (2)当函数y不存在最值时，则一般转化为寻找函数y的相应上界或下界值，此时有: 若函数y的取值范围为A<y<B（即下界值为A,上界值为B）， k<y恒成立⇔k≤A；k≤y恒成立⇔k≤A； k>y恒成立⇔k≥B；k≥y恒成立⇔k≥B. 26 考点串讲 ——7：不等式恒成立、有解问题 2.一元二次不等式在R上恒成立 （1）不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 （2）一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 （3）一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为 3.一元二次不等式在某区间上恒成立 (1)分离参数法，先分离参数，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数y存在最值时，a>y在某区间上恒成立⇔a>ymax；a<y在某区间上恒成立⇔a<ymin. （2）当a>0时，一元二次不等式ax2＋bx＋c<0在区间[m,n]上恒成立的条件是 （3）当a<0时，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在区间[m,n]上恒成立的条件是 27 考点串讲 ——7：不等式恒成立、有解问题 4.不等式能成立(有解)问题 不等式能成立，本质是存在某个x，使得不等式成立，和恒成立（对所有x都成立）是两类问题，解题思路完全不同。 设函数y，定义域为D： (1)y>a在D上能成立⇔ymax>a (2)y<a在D上能成立⇔ymin<a (3)y≥a能成立⇔ymax≥a (4)y≤a能成立⇔ymin≤a 对比记忆： 恒成立：大于恒成立⟶ 最小值大于；小于恒成立⟶ 最大值小于 能成立：大于能成立⟶ 最大值大于；小于能成立⟶ 最小值小于 28 考点串讲 ——8：构造函数模型解决实际问题 1.基本不等式在实际问题中的应用 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解 2.一元二次不等式在实际问题中的应用 一元二次不等式在实际中常用于物理运动分析、经济利润优化、工程安全设计、交通刹车距离判断等场景，例如用抛物线模型判断摩托车产量应在 50–60 辆之间才能获得 60000 元以上收益。 29 例1．用a表示某产品销售的利润，b表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加k时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 题型全解 题型01 用不等关系表示不等式（组） 【解析】“利润率降低”意味着原来的利润率大于新的利润率，故故选：A A 30 题型全解 题型01 用不等关系表示不等式（组） 反思归纳 将不等关系表示成不等式（组）的思路： ①读懂题意，找准不等式所联系的量； ②用适当的不等号连接； ③多个不等关系用不等式组表示. 【变式1-1】某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元.下列不等式表示“经过n年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A．30n+170≤ 1000 B．30n+170≥1000 C．30n+200≥ 1000 D．30n+170>1000 题型全解 题型01 用不等关系表示不等式（组） 【解析】由题意，经过n年后，方案二的总投资为200+30(n-1)=(30n+170)万元，则“经过n年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的不等式表示为30n+170≥1000.故选：B B 变式训练 32 题型全解 题型02 作差（商）法比较大小 例2．（多选）已知实数a,b,c满足a>b>c>0，则下列不等式正确的是（     ） A. B. C. D. 【解析】对于A，因为a>b>c>0，所以，故A正确.； 对于B，，故B正确； 对于C，举反例，时，，故C错误； 对于D，，由于，所以>1，即，故D正确.故选：ABD. ABD 33 题型全解 题型02 作差（商）法比较大小 反思归纳 1.作差法比较实数的大小的一般步骤： 作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.常用变形方法有通分、因式分解、配方等. 2.作商法比较实数的大小的一般步骤： 作差→恒等变形→判断商式与1的大小→下结论.当所比较的两个数或代数式含有幂、指数式或分式时，常考虑作商法. 【变式2-1】设m≠n，x=m4-m3n，y=n3m-n4，比较x与y的大小. 题型全解 题型02 作差（商）法比较大小 【解析】x-y=m4-m3n-(n3m-n4)=m3(m-n)-n3(m-n)=(m-n)(m3-n3)=(m-n)2(m2+mn+n2).因为m≠n，所以(m-n)2>0，又因为m2+mn+n2=，当且仅当=n=0，即m=n=0时取等号，又m≠n，所以m2+mn+n2=>0，所以x-y>0，所以x>y. 35 【变式2-2】已知a≥1，试比较和的大小. 题型全解 题型02 作差（商）法比较大小 【解析】（作商法）因为a≥1，所以. 所以.因为所以，即M<N； 36 例3．若a，b，c∈R，a<b<0，则下列不等式正确的是（    ） 题型全解 题型03 不等式性质的应用 B A． B． C． D． 【解析】因为a<b<0，所以ab>0，所以⋅a<⋅b，即<，故A错误； 因为>0，由A知>，所以 ，故B正确； 因为a<b<0，所以a2>b2>0，所以<，故C错误； 当a=−4,b=−3,c=1，可得a+c2=−4+1=−3,b+c2=−3+1=−2， ==，此时>，故D错误. 故选：B. 37 题型全解 方法总结 （1）两边同乘（除）负数，一定要变号； （2）乘除0不能随便用； （3）同向不等式可以相加，不能相减； （4）同向正数不等式可以相乘，不能随便相除； （5）不等式不能随意平方； （6）取倒数要注意正负； （7）双变量范围（如给出x+y、x-y范围），不能分别求出x,y范围再代入求目标式，会放大误差，要用待定系数法； （8）“有解”与“恒成立”要区分开. 题型03 不等式性质的应用 方法技巧 已知a>b>c>0，则（ ） 题型全解 题型03 不等式性质的应用 【解析】对于A，由糖水不等式可知A正确； 对于B，取a=4,b=2,c=1，满足a>b>0，而b2=4=ac，B错误； 对于C，a+c>b+c>0，因此，C正确； 对于D，取a>b>1，c=1，满足a>b>c>0，而a(c2-1)=b(c2-1)，D错误. 故选：AC AC 【变式3-1】 A． B． C． D． 39 （多选题）已知实数x,y满足1≤x-y≤5，3≤3x+y≤11，则 （      ） A．x的取值范围是{x|1≤x≤4} B．y的取值范围是{y|-4≤x≤3} C．x+y的取值范围是{x+y|-1≤x+y≤5} D．2x+y的取值范围是{2x+y|1≤2x+y≤8} 题型全解 【解析】对于A，4≤(x-y)+(3x+y)≤16，即4≤4x≤16，解得1≤x≤4，A正确；对于B，∵1≤x-y≤5，∴-5≤y-x≤-1，-15≤3(y-x)≤-3，又3≤3x+y≤11，∴-12≤3(y-x)+3x+y≤8，即-12≤4y≤8，解得-3≤y≤2，B错误；对于C，∵-5≤y-x≤-1，3≤3x+y≤11，∴-2≤(y-x)+(3x+y)≤10，即-2≤2x+2y≤10，解得-1≤x+y≤5，C正确；对于D，∵，又，，∴1≤2x+y≤8，所以，D正确.故选：ACD. 题型03 不等式性质的应用 【变式3-2】 ACD 若a,b,c,d∈R，则下列说法正确的是（   ） A．若a+c>b+d，c>d，则a>b B．若a>b>0>c>d，则 C．若a<b，c<d，则ac<bd D．若a<b，则ac2<bc2 题型全解 题型03 不等式性质的应用 B 【解析】对于A，若a=1,b=1,c=-1,d=-2，满足a+c>b+d，c>d，则a=b，所以A错误， 对于B，因为a>b>0，-d>-c>0，所以-ad>-bc>0，即得bc>ad，又因为ab>0， 则，即，故所以B正确； 对于C，若a=1,b=2,c=-2,d=-1，满足a<b，c<d，则ac=bd，所以C错误， 对于D，若c=0，则ac2=bc2=0，所以D错误， 故选：B. 【变式3-3】 题型全解 题型04 基本不等式成立的条件 例4．设a∈R，则下列选项中正确的是（ 　　） A． B． C． D． 【解析】对于ACD，当a<0时，，当且仅当时等号成立， 当a>0时，，当且仅当时等号成立，故ACD错误； 对于B，由题知，当且仅当a4=4时，即时等号成立，故B正确；故选：B． B 题型全解 题型04 基本不等式成立的条件 反思归纳 1.利用基本不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用基本不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用基本不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量. （3）等：若能利用基本不等式求得最值，则要保证等号成立 2.连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立. 题型全解 题型04 基本不等式成立的条件 【解析】对于A，x可以取负数，故无最小值，故A错误；对于B，因为x2>0,，则，当且仅当，即x2=2时等号成立，所以最小值为4，故B正确；对于C，因为，当且仅当，即时等号成立，所以最小值为4，故C正确； 对于D,因为，当且仅当，即=1时等号成立，但x2≠-3，所以最小值不为4，故D错误. 故选BC. 【变式4-1】 （多选）下列函数中最小值为4的是（     ） A． B． C． D． BC 题型全解 题型04 基本不等式成立的条件 【解析】由m>0，n>0，得81m2+n2+≥+， 当且仅当⇒⇒时，等号成立 故选：D. 【变式4-2】 已知m>0，n>0，则当81m2+n2+取得最小值时，n的值为（    ） A． B． C． D． D 题型全解 题型05 利用基本不等式求最值 例5．（1）当x>3时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足x+2y=2. （i）求xy的最大值； （ii）求的最小值. 【解析】（1）由x>3，所以x-3>0，所以，当且仅当 即x=5时，函数取到最小值14. 题型全解 题型05 利用基本不等式求最值 【解析】（2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得2=x+2y， 解得（当且仅当x=2y=1时取等号）， 所以xy的最大值为； （ii）∵x+2y=2，所以 当且仅当时，即x=2y=1取等号，故的最小值为4. 题型全解 方法总结 (1)拼凑：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. (2)方法：一是配凑法，将条件灵活变形；二是利用常数“1”代换的方法. 题型05 利用基本不等式求最值 题型全解 【解析】因为a,b为正实数，由基本不等式可得，当且仅当a=b时等号成立； 正实数a,b满足ab+a+b=8，得a+b=8-ab，代入上述不等式可得：， 令，由a,b>0得t>0，不等式转化为：8-t2≥2t，整理得t2+2t-8≤0，即(t+4)(t-2)≤0， 因为t>0，所以t+4>0，因此t-2≤0，即t≤2，故， 得0<ab≤4，当且仅当a=b=2时等号成立，因此的最大值为4. 【变式5-1】 题型05 利用基本不等式求最值 已知正实数a,b，满足ab+a+b=8，则ab的最大值是________． 4 题型全解 【解析】对于A，已知a>0，b>0，由基本不等式有1=， 两边平方得ab≤1，当且仅当 ，即，时等号成立，故A正确； 对于B，因为a>0，所以a+3>3，由基本不等式有，当且仅当 ，即a=-1时等号成立， 题型05 利用基本不等式求最值 【变式5-2】 （多选）已知a>0，b>0，则下列说法正确的有（      ） A．若，则ab的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最小值为4 D．若a>2b，则的最小值为 ACD 题型全解 【解析】因为a>0，所以，故B错误； 对于C，已知a>0，b>0，由可得，当且仅当时，即a=b=1时等号成立，故C正确； 题型05 利用基本不等式求最值 【变式5-2】 （多选）已知a>0，b>0，则下列说法正确的有（      ） A．若，则ab的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最小值为4 D．若a>2b，则的最小值为 ACD 【解析】对于D，已知a>0，b>0，a>2b，则a+2b>0，a-2b>0，，当且仅当，即时等号成立，故D正确.故选：ACD. 题型全解 题型05 利用基本不等式求最值 【变式5-2】 （多选）已知a>0，b>0，则下列说法正确的有（      ） A．若，则ab的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最小值为4 D．若a>2b，则的最小值为 ACD 题型全解 题型06 基本不等式恒成立问题 例6．已知x>0，y>0且x+y=3，若对任意的x>0，y>0恒成立，则实数m的取值集合是（   ） A．{m|m<1} B．{m|m≥5} C．{m|m<1或m≥5} D．{m|1<m≤5} C 【解析】因为对任意的x>0，y>0恒成立，可得对任意的x>0，y>0恒成立，又因为x+y=3，可得(x+1)+y=4， 则， 题型全解 题型06 基本不等式恒成立问题 例6．已知x>0，y>0且x+y=3，若对任意的x>0，y>0恒成立，则实数m的取值集合是（   ） A．{m|m<1} B．{m|m≥5} C．{m|m<1或m≥5} D．{m|1<m≤5} C 当且仅当即时等号成立，所以最小值为，所以，可得，所以，解得m<1或m≥5，所以实数m的取值集合为{m|m<1或m≥5}. 故选：C. 题型全解 方法总结 (1)不等式恒成立问题最常用的方法是分离参数法，分离参数后，不等式的另一侧的代数式的最值有时可用基本不等式求得. (2)当函数y存在最值时，k<y恒成立⇔k<ymin；k>y恒成立⇔k>ymax. 简记为：“大于最大的，小于最小的”. 题型06 基本不等式恒成立问题 题型全解 当0<x<时，不等式恒成立，求实数m的最大值. 【解析】不等式恒成立化为m≤恒成立，又因为0<x，所以1-4x>0，因此，当且仅当，即时，等号成立， 所以m≤9，即实数m的最大值为9. 题型06 基本不等式恒成立问题 变式训练 题型全解 题型07 基本不等式的实际应用 某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48m2，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用.设房屋正面的长度为xm，房屋的总造价为y元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)当x为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【解析】（1）由地面面积为48m2，得房屋侧面的宽度为， 所以房屋正面的造价为3x∙1200=3600x， 房屋侧面的造价为， 所以房屋的总造价为. 例7． 题型全解 题型07 基本不等式的实际应用 某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48m2，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用.设房屋正面的长度为xm，房屋的总造价为y元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)当x为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【解析】（2）由（1）知，当且仅当，即x=8时等号成立， 所以当x为8时，总造价最低，最低总造价为63400元. 例7． 题型全解 方法总结 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 题型07 基本不等式的实际应用 题型全解 已知a,b,c,d为正实数，利用基本不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)如图，将边长为0.5米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米? 题型07 基本不等式的实际应用 变式训练 题型全解 题型07 基本不等式的实际应用 【解析】（1）证明：因为，，当且仅当a=b，c=d时等号成立, 所以当且仅当a=b，c=d时等号成立. 因为，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当a=b=c=d时等号成立. （2）解：由于，当且仅当a=b=c=d时等号成立， 令, 得 题型全解 题型07 基本不等式的实际应用 ，即，故. 所以，当且仅当a=b=c时等号成立. （3）解：做成的长方体的底面是一个边长为的正方形，高为x. 所以V=. 由（2）中已证的不等式，可知，当且仅当即x=时等号成立. 所以4V=，即. 综上所述，当米，长方体盒子的容积V取到最大值立方米. 题型全解 题型08 解不含参数的一元二次不等式(含分式、高次不等式) 不等式x2−3x−4<0的解集为（    ） A．{x|−1<x<4} B．{x|−4<x<1} C．{x|x>4或x<−1} D．{x|x>1或x<−4} 【解析】∵x2−3x−4=(x−4)(x+1)<0，解得−1<x<4， ∴不等式x2−3x−4<0的解集为{x|−1<x<4}． 故选：A． A 例8． 题型全解 反思归纳 1.一元二次不等式的解法: （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程ax2+bx+c=0(a>0)，计算判别式∆： （3）根据不等式，写出解集. 2.分式不等式的解法： ①解分式不等式的思路—— 转化为整式不等式求解.（1）；（2）；（3）;（4） 3.高次不等式的解法： 如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”. 题型08 解不含参数的一元二次不等式(含分式、高次不等式) 题型全解 【解析】对原不等式 −x2+x+6≥0 两边同时乘以 −1，不等号方向改变，得到 x2−x−6≤0. 因式分解得x2−x−6=(x−3)(x+2)，因此原不等式等价于 (x−3)(x+2)≤0. 令 (x−3)(x+2)=0，解得两根为 x=−2 和 x=3. 由于二次函数 y=x2−x−6 的二次项系数为正，图象开口向上， 【变式8-1】 求函数−x2+x+6≥0的解集__________. 题型08 解不含参数的一元二次不等式(含分式、高次不等式) {x|−2≤x≤3} 因此 (x−3)(x+2)≤0解集为{x|−2≤x≤3} 题型全解 【解析】由(3x+11)(x−1)≥0，得x≤−或x≥1． 所以原不等式的解集为. 故选：A. 【变式8-2】 不等式(3x+11)(x−1)≥0的解集为（　　） A．{x|x≥1或x≤−} B．{x|x>1或x<−} C．{x|−<x<1} D．{x|−≤x≤1} 题型08 解不含参数的一元二次不等式(含分式、高次不等式) A 题型全解 【解析】不等式即，即，即，等价于，解得x≤−3或x>−1，故选C. 【变式8-3】 不等式的解集为（ ） A．{x|−3≤x≤−1} B．{x|−3≤x<−1} C．{x|x≤−3或x>−1} D．{x|x≤−3或x≥−1} 题型08 解不含参数的一元二次不等式(含分式、高次不等式) C 【易错提示】(1)当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母. (2)和解一元二次不等式一样，解分式不等式最后的解集要注意写成集合形式或区间形式（区间的表示方法将在下一章中学习）. 题型全解 【解析】原不等式的等价变形为，即，由数轴标根法如下图， 【变式8-4】 关于x的不等式的 解集为 . 题型08 解不含参数的一元二次不等式(含分式、高次不等式) “穿针引线”始终从x轴右上方穿过，“奇穿偶回” 故原不等式解集为{x|x≤1或3≤x<4或x=5或x>6} {x|x≤1或3≤x<4或x=5或x>6} 题型全解 题型09 含参数的一元二次不等式 关于x的不等式ax2+(2a−1)x−2>0，其中a≤0，则该不等式的解集不可能是（    ） A．{x|x<−2} B．{x|−2<x<} C．{x|x>或x<−2} D．{x|<x<−2} 【解析】当a=0时，不等式ax2+(2a−1)x−2>0，即−x−2>0，x<−2， 故不等式的解集为{x|x<−2}，故A可能； 当a<0时，ax2+(2a−1)x−2=a(x+2)(x−)>0，即(x+2)(x−)<0，当时，(x+2)(x−)<0的解集为{x|<x<−2}，故D可能；当a=−时，不等式(x+2)(x−)<0无解；当时，(x+2)(x−)<0的解集为{x|−2<x<}，故B可能.故选：C. C 例9． 题型全解 反思归纳 1.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论: （1）求解形如ax2+bx+c=0类型的方程和ax2+bx+c>0类型的不等式时，首先要判断二次项系数与0的大小，进行分类讨论； （2）若二次项系数不含参数，一般都能分解因式，比较两根大小； 2.利用三个二次关系求参数的值或取值范围 (1).一元二次方程的根就是对应一元二次函数值为0时的x的值，也是对应一元二次不等式解集的端点值． (2).给出一元二次不等式的解集，相当于知道了对应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用根或根与系数的关系求待定系数． 题型09 含参数的一元二次不等式 题型全解 【解析】关于x的不等式x2－(a＋2)x＋2a<0可化为(x－2)(x－a)<0，当a>2时，不等式的解集为{x|2<x<a}；当a<2时，不等式的解集为{x|a<x<2}，因为不等式x2－(a＋2)x＋2a<0的解集中恰有两个整数，所以当a>2时，不等式的整数解为3和4，所以a的取值范围为4<a≤5；当a<2时，不等式的整数解为0和1，所以a的取值范围为－1≤a<0.综上可得，实数a的取值范围为－1≤a<0或4<a≤5.故选A. 【变式9-1】 关于x的不等式x2－(a＋2)x＋2a<0的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是(　 　) A．－1≤a<0或4<a≤5 B．－1≤a≤0或4≤a≤5 C．－1<a≤0或4≤a<5 D．－1<a<0或4<a<5 A 题型09 含参数的一元二次不等式 题型全解 【解析】由不等式的解集为ax2+bx-2>0的解集为{x|x>或x<−2}，可知a>0，且、−2是方程ax2+bx-2=0的两个实根，根据韦达定理：，解得a=2，b=3，代入得，移项通分： ， 该不等式等价于，解得x>3或x≤， 所以解集为{x|x>3或x≤}.故选D. 【变式9-2】 已知关于x的不等式ax2+bx-2>0的解集为{x|x>或x<−2}，则不等式的解集为（    ） A．{x|≤x≤3} B．{x|≤x<3} C．{x|x>3或x<} D．{x|x>3或x≤} D 题型09 含参数的一元二次不等式 已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|−3≤x≤4}，则下列说法错误的是（    ） A．a<0 B．不等式cx2－bx+a<0的解集为{x|−<x<} C．a+b+c>0 D．的最小值为-4 题型全解 【解析】因为不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|−3≤x≤4}，所以a<0，且方程ax2+bx+c=0的两根为-3,4. 对于A：二次函数开口向下，故a<0，A正确；对于B：根据韦达定理：，结合a<0得b=−a>0,c=−12a>0,代入不等式cx2－bx+a<0，得−12ax2+ax+a<0，两边同除以−a得12x2−x−1<0，因式分解为(4x+1)(3x−1)<0，解得，B正确；对于C：a+b+c=a−a−12a=−12a>0，C正确；对于D：由b= −a，c=−12a，得c=12b，得，等号成立条件为，即b=-1，与b>0矛盾，等号无法取到，D错误. 【变式9-3】 D 题型09 含参数的一元二次不等式 题型全解 “m>2”是“一元二次方程x2-mx+m+1=0有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】设一元二次方程x2-mx+m+1=0的两个正实根分别为x1、x2， 由题意可得，解得， 因为{m|m>2}⊃{m|}， 所以，“m>2”是“一元二次方程x2-mx+m+1=0有两个正实根”的必要不充分条件. 故选：B. B 例10． 题型10 一元二次方程根的分布问题 题型全解 方法总结 前提：ax2+bx+c=0(a≠0)，令y=ax2+bx+c，判别式∆=b2-4ac，对称轴x= 核心思想：结合开口方向、判别式、对称轴位置、特殊点函数值符号，列不等式组。 题型10 一元二次方程根的分布问题 “一元二次方程(x-a)(x-a-1)=0有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件是（   ） A．-2<a<0 B．-1<a<0 C． D． 题型全解 【解析】由一元二次方程(x-a)(x-a-1)=0的两个根为a,a+1，又方程有一个正实数根和一个负实数根，⸫，⸫-1<a<0， 即“一元二次方程(x-a)(x-a-1)=0有一个正实数根和一个负实数根”的充要条件为{a|-1<a<0}，则其充分不必要条件a的范围应为{a|-1<a<0}的真子集，结合选项可得选项C符合题意，故选：C. 【变式10-1】 C 题型10 一元二次方程根的分布问题 题型全解 【解析】设关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的两个根分别为x1、x2, 令y=x2+(m-2)x+5-m，其图象是开口向上的抛物线，如图 【变式10-2】 已知关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（ ） A．{m|-5<m≤-4或m≥4} B．{m|-5<m<-4} C．{m|-5<m≤-4} D．{m|-5<m<-4或m>4} B 题型10 一元二次方程根的分布问题 所以由题意知， 解得-5<m<-4. 故选：B · 2 x x1 x2 题型全解 【解析】（1）若A是空集，则方程ax2-2x+1=0无实根， 当a=0时，方程为-2x+1=0，解得，此时，不符合题意； 所以a≠0，∆=4-4a<0，解得a>1，故实数a的取值范围为{a|a>1}； （2）当B={x|x>0}时，A⋂B≠Φ， 所以方程ax2-2x+1=0至少有一个正实根. ①当a=0时，，B={x|x>0}，所以A⋂B=，符合题意； ②当a≠0时，由∆=4-4a≥0，则a≤1且a≠0， 【变式10-3】 已知集合A={x|ax2-2x+1=0,a∈R}. (1)若A是空集，求实数a的取值范围； (2)当B={x|x>0}时，若A⋂B为非空集合，求实数a的取值范围. 题型10 一元二次方程根的分布问题 题型全解 若a=1时，A={x|x2-2x+1=0}={1}，此时A⋂B={1}，符合题意； 当a<1且a≠0时，方程ax2-2x+1=0有两个不相等实根，设为x1、x2， 且方程ax2-2x+1=0有两正根或一正根和－负根， 所以或， 解得0<a<1或a<0. 综上，实数a的取值范围为{a|a≤1}. 【变式10-3】 已知集合A={x|ax2-2x+1=0,a∈R}. (1)若A是空集，求实数a的取值范围； (2)当B={x|x>0}时，若A⋂B为非空集合，求实数a的取值范围. 题型10 一元二次方程根的分布问题 题型全解 设y=mx2+(1-m)x+m-2. (1)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围; (2)若实数m<0,解关于x的不等式y<m-1. 【解析】(1)当m=0时,不等式为x≥0不恒成立,不符合题意; 当m≠0时, y≥-2即mx2+(1-m)x+m-2≥-2，所以mx2+(1-m)x+m≥0一切实数x恒成立，则解得m≥. 综上,实数m的取值范围为{m|m≥}. 例11． 题型11 一元二次不等式恒成立问题 题型全解 设y=mx2+(1-m)x+m-2. (1)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围; (2)若实数m<0,解关于x的不等式y<m-1. (2)y<m-1即mx2+(1-m)x-1<0,即(mx+1)(x-1)<0, 又m<0,所以(x+)(x-1)<0,所以当-1<m<0时,->1,解得x<1或x>-; 当m=-1时,-=1,解得x≠1;当m<-1时,-<1,解得x<-或x>1. 综上,当-1<m<0时,原不等式的解集为{x|x<1或x>-};当m=-1时,原不等式的解集为{x|x≠1};当m<-1时,原不等式的解集为{x|x<-或x>1}. 例11． 题型11 一元二次不等式恒成立问题 题型全解 反思归纳 1.一元二次不等式在R上恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足. 2.①已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为Φ，则一定满足； ②已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为Φ，则一定满足． ③含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解． 设f(x)的最大值为M，最小值为m. (1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m. (2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M. 题型11 一元二次不等式恒成立问题 3.一元二次不等式在某个区间上恒成立：分离参数 若不等式2kx2＋kx<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　 　) A．k<0 B．k>－3 C．－3≤k≤0 D．－3<k≤0 题型全解 【解析】若k=0，则，符合题意；若k≠0，则可得，解得－3<k<0，所以k的取值范围为－3<k≤0. 故选：D. 【变式11-1】 D 题型11 一元二次不等式恒成立问题 若命题“∃x∈R，(1－a)x2＋(1－2a)x＋1≥0”为真命题，则实数a的取值范围为(　 　) A．a≤1 B．a>1 C．a≤a≥ D．a∈R 题型全解 【解析】若1－a=0，即a=1，则满足命题“∃x∈R，－x+1≥0”为真命题；若1－a<0，即a>1，要使得命题为真命题，则∆=(1－2a)2－4(1－a)≥0，即4a2－3≥0，解得a≤a≥，又因为a>1，所以此时a>1；若1－a>0，即a<1，则满足命题“∃x∈R，(1－a)x2＋(1－2a)x＋1≥0”为真命题.综上，a∈R，故选：D. 【变式11-2】 D 题型11 一元二次不等式恒成立问题 若对任意的x<0，x2－mx＋1>0恒成立，则m的取值范围是(　 　) A．－2<m<2 B．m>2 C．m>－2 D．m≤－2 题型全解 【解析】∵x2－mx＋1>0，x<0， 即m大于函数y=(x<0)的最大值，y=的最大值为－2，∴m>－2，故选：C. 【变式11-3】 C 题型11 一元二次不等式恒成立问题 题型全解 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A．{x|15≤x<25} B．{x|20<x<28} C．{x|20<x<25} D．{x|20<x<24} 【解析】设这批台灯的销售单价为x元， 由题意得[30−(x−15)]x>500，即x2−45x+500<0，解得20<x<25， 因为x≥15，所以20<x<25，这批台灯的销售单价x的取值范围是{x|20<x<25}. 故选：C. C 例12． 题型12 一元二次不等式的实际应用 题型全解 方法总结 1.看清实际背景：产量、利润、面积、成本、增长率等，设未知数要符合实际比如人数、件数一般都取正整数，不能取小数、负数；长度、面积、单价都为正数；时间、产量不能为负数。 2.分清不等关系：“不低于、至少、至多、不超过、大于、小于等”准确翻译成不等号。 题型12 一元二次不等式的实际应用 某企业研发部原有80人，年人均投入a(a>0)万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（x∈N*且45≤x≤75），调整后，研发人员的年人均投入增加4x%．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数x的取值范围为（    ） A．45≤x≤55(x∈N*) B．45≤x≤75(x∈N*) C．50≤x≤55(x∈N*) D．50≤x≤75(x∈N*) 题型全解 【解析】依题意得，调整后研发人员人数为80−x，年人均投入为(1+4x%)a万元， 则有(80−x)(1+4x%)a≥80a(a>0)， 化简整理得−0.04x2+2.2x≥0，解得0≤x≤55． 因为45≤x≤75，且x∈N*，所以45≤x≤55(x∈N*)．故选：A. 【变式12-1】 A 题型12 一元二次不等式的实际应用 某种杂志原以每本25元的价格销售，可以售出8万本、据市场调查，杂志的单价每提高1元，销售量就减少0.2万本，假定杂志的成本是每本10元（不计其他成本）. (1)当杂志以每本30元定价销售时，求销售该杂志所获利润； (2)在每本25元的价格的基础上提高定价，试确定杂志的定价在什么范围内可使得销售利润不低于140万元. 题型全解 【解析】（1）当杂志以30元定价销售时， 销售该杂志所获利润为：[8−(30−25)×0.2]×(30−10)=140万元. （2）设杂志的定价为每本x元， 由题意，得[8−(x−25)×0.2]×(x−10)≥140，解得30≤x≤45， 所以杂志的定价在每本不低于30元且不高于45元的范围内，可使得销售利润不低于140万元. 【变式12-2】 题型12 一元二次不等式的实际应用 完成下列各题： (1)如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为96m2，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值； (2)如图（2），某学校要在长为8m，宽为6m的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为xm，中间植草坪. ①写出草坪的面积S关于花卉带的宽度x的函数解析式； ②若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ 题型全解 【变式12-3】 题型12 一元二次不等式的实际应用 题型全解 【解析】（1）设每个区域的长与宽分别为x米和y米，由题意可得，xy=96， 则彩带总长l=4x+6y≥2=96，当且仅当4x=6y，即x=12，y=8时，彩带的总长最小. 所以每个区域的长与宽分别为12m和8m时，彩带的总长最小，最小值为96m. （2）①由题意，S=(8−2x)(6−2x)=4x2−28x+48（0<x<3）； ②因为S=(8−2x)(6−2x)=4x2−28x+48>=24，即x2−7x+6>0， 所以(x−1)(x−6)>0，解得x<1或x>6，又因为0<x<3，所以0<x<1， 所以x的取值范围是{x|0<x<1}时，草坪的面积大于总面积的一半. 【变式12-3】 题型12 一元二次不等式的实际应用 1．[2026河北冀州中学月考]设集合, ，则 ( ) A. B. C. D. 针对训练 B 解：⸪，又， ⸫所以 . 故选C. 针对训练 2．[2026广东深圳南山区期末]已知,，且，则“ ”是 “ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解： .若，则，又，则 ，因此，故 ，充分性成立. 若，则，由于 ， 则，故，则，必要性成立.故“ ”是“ ”的充要条件. 故选C C 针对训练 3．[2026福建福州月考]关于的不等式 的解集为，则 的最小值是( ) 解：⸪，所以不等式的解集为，所以 ,，所以 ,当且仅当 时,等号成立.故选A. A A.4 B. C.2 D. 针对训练 4．[2026江苏苏大附中月考]计划用 的材料制造某种长方体车厢（无盖），若车厢的宽为 ，则车厢的最大容积是( ) 解：设长方体车厢（无盖）的长为，高为，, ，则由题意得，即 ，所以 ，即 ，当且仅当时等号成立，由, ，解得，即.因为车厢的容积为 且，当且仅当, 时等号成立，所以车厢的最大容积是 .故选D. D A. B. C. D. 针对训练 5．[2026江苏苏州吴江高级中学月考]在上定义运算： .已知时，存在使不等式成立，则实数 的取值范围为( ) 解：依题意得 .因为时，存在使不等式 成立，所以存在，使不等式成立，即当 时，.因为，所以当时， 取最大值6，所以，解得 . 故选C. C A. B. C. D. 针对训练 6．已知正数,满足，则 的最小值为( ) A.2 B. C.3 D. B 解： 由,得 ，则 , 当且仅当,即时，等号成立.所以 的最小值 为 . 故选B. 针对训练 6．已知正数,满足，则 的最小值为( ) A.2 B. C.3 D. B 解： 由，即 ,得 ，由基本不等式可得 ，即 ,所以 ，当且仅当 ,即，时取等号,所以 的最小值 为 . 故选B. 针对训练 7.[2026上海建平中学质量检测]已知关于 的不等式组 仅有一个整数解，则实数 的取值范围为( ) D A. B. C.或 D.或 针对训练 解：由，得，解得 或 .由，得.当 时， 不等式为，无解；当 时，不等式 的解集为 ，结合题意，此时原不等 式组的解集为 ，且仅有一个整数解，所以 ，即；当时，不等式 的解集为 ，结合题意，要使不等式组仅有一个整数解，则 ，即.综上所述，的取值范围为 或 . 故选D 针对训练 8.[2026河北唐山十一中月考]若关于的不等式 的解集为空集，则 的最小值为( ) D 解：因为关于的不等式 的解集为空集， 所以，，得 ，所以 .令，则 ，所以 ，当且仅当 ,即 时，等号成立，所以 的最小值为4.故选D A. B.2 C. D.4 针对训练 9.(多选)已知 ，则( ) BC 解：由得.当时， ，A错误； 由不等式的性质，得 ，B正确； ，则，C正确；当, , 时，满足条件，但 ，D错误. 故选BC A. B. C. D. 针对训练 10.(多选)已知正数,满足 ，则( ) 解：对于A，由,可得,即 .A正确； 对于B，2 ,当且仅当 时,等号成立.B正确； 对于C，,当且仅当 时,等号成立.C正确； A. B. C. D. ABC 对于D，由，,均为正数，可知, .由A知 ，则 ，所以 ,当且仅当,即 时,等号成立.D错误.故选ABC 10.(多选)已知正数,满足 ，则( ) A. B. C. D. ABC 针对训练 针对训练 11.(多选)已知关于的一元二次不等式的解集为 ，则下列说法正确的是( ) ACD A.若 ，则且 B.若，则关于的不等式的解集也为 C.若，则关于 的不等式 的解集为或 D.若,为常数，且，则的最小值为 针对训练 11.(多选)已知关于的一元二次不等式的解集为 ，则下列说法正确的是( ) 解：若 ，即一元二次不等式 无解，则一元 二次不等式恒成立，所以且 ，A正确； 令，则,,，所以 可化为，当时， 可化为 ，其解集不为，B错误；若 ，则 ，且和2是一元二次方程 的两根，所以 ，且，所以，，所以关于 的不等式， ACD 针对训练 11.(多选)已知关于的一元二次不等式的解集为 ，则下列说法正确的是( ) 即，因为 ，所以，解得或 ， 即不等式的解集为或 ， C正确；因为,为常数，所以且 ，所以 ，（消元，减少参数的个数.）因为 ，所以, 令 ,则，当且仅当，即,，且 为正数时，等号成立，D正确.故选ACD. ACD 针对训练 12.已知,,,则 的取值范围是 _______________. 解： ,因为 ,所以 ,又,所以，即 的取值范围为 . 针对训练 13.[2026江苏徐州期末]若关于的不等式 的解集为 ，则关于的不等式 的解集为 . 解： 由不等式的解集为，得关于 的方程的解为或2，且，则 ， .不等式等价于 ，不等式两边 同时除以，且,所以,即 ，解 得或，所以所求不等式的解集为或 . 或 针对训练 14.已知,，且恒成立，则 的最大值为___. 解：因为,，所以, , ，又恒成立，所以 恒成立.又 ， 当且仅当，即时取等号，所以 的最大值为4. 4 针对训练 15.已知,, 均为正实数，求证： . 【证明】 因为,, 均为正实数, 所以（当且仅当 时等号成立），（当且仅当 时等号成立）,（当且仅当 时等号成立）,将上述三式相加得 （当且仅当 时等号成立）,所以 （当且仅当 时等号成立）, 即（当且仅当 时等号成立） 针对训练 16.已知关于的不等式 . (1)当，, 时，求该不等式的解集; (2)从下面两个条件中任选一个，并求出此时该不等式的解集. ①,, ; ②,, . 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解：(1)当,,时，不等式为 , 即,解得 ,所以不等式的解集为 (2)方案一 选择条件①. 当,,时,不等式为 ,即 . 当时,不等式的解集为或 , 当时，不等式的解集为 , 当时，不等式的解集为或 . 综上,当时，不等式的解集为或；当 时，不等式的解集为;当时，不等式的解集为或 . 针对训练 针对训练 当,,时，不等式为 . 若，则不等式为,此时不等式的解集为 . 若,则不等式可化为 , 当时，不等式的解集为或 }； 当时,不等式的解集为 }； 当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为 . 综上，当时，不等式的解集为 }；当时,不等式的解集为 ；当时，不等式的解集为 ；当时，不等式的解集为 ；当时，不等式的解集为或 }. (2)方案二 选择条件②. 针对训练 17.[2026江苏五校联考]为发展空间互联网，抢占 技术制高点， 某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入 万元.现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名且 ，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为 万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入， 则调整后的技术人员最多有多少人？ (2)是否存在实数 ，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始 终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 解：(1)依题意可得调整后研发人员的人数为 ，年人均投入为 万元，则，解得 ，又, ，所以调整后的技术人员的人数最多为75. 针对训练 (2)假设存在实数 满足条件. 由技术人员年人均投入不减少，得 , 解得 . 由调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入，得 , 针对训练 两边同除以,得 ,整理得 , 故 . 因为,当且仅当,即 时等号成立，所以 , 又,，所以当时,取得最大值7，所以 . 所以存在这样的满足条件， . 针对训练 18.已知不等式 ． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立?若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.； (2)是否存在实数，使不等式在上有解?若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)若不等式对于恒成立，求实数 的取值范围． 解：(1)原不等式可化为 ． 当时，不等式为 ， 解得 ，不满足题意；当时，则 该不等式组无解. 所以不存在实数，使不等式对任意 恒成立． (2)原不等式可化为 ． 当时，不等式为 ， 解得 ，满足题意；当时，由二次函数的图象知存在实数，使不等式在 上有解； 当时，则解得 . 综上，存在实数，使不等式在上有解，且的取值范围为 ． 针对训练 针对训练 解：(3) 设，要使时， 恒成立，可将看成关于的一次函数，只需当 和时， 均成立即可， 即 解不等式，得 ； 解不等式，得或 . 所以，所以实数 的取值范围是 }． 单元总结/易错复盘 本章围绕二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的“三个二次”关系展开，要掌握不等式的基本性质，牢记基本不等式“一正二定三相等”的使用条件，解一元二次不等式先把二次项系数化为正数，结合判别式与开口方向写解集，分式不等式切忌直接交叉相乘；处理恒成立、含参问题要讨论二次项系数是否为零，解决实际应用问题求得数学解集后，必须结合现实条件舍去无意义的解并写出文字结论。 121 谢谢聆听 人教A版（2019）·高一数学必修一 $