2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式（PPT课件）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的关系，通过课前预习的定义解析和诊断分析夯实基础，课中探究从解不等式到含参数问题再到三个“二次”关系，构建递进式学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以数形结合为核心，通过例题变式培养数学思维，如探究点二含参数不等式的分类讨论提升推理能力，素养小结归纳通法强化模型观念。学生能深化逻辑思维，教师可借助结构化内容提升教学效率。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 1 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式 2 探究点一 解一元二次不等式 探究点二 解含参数的一元二次不等式 探究点三 三个“二次”的关系 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.了解一元二次不等式的概念. 2.（1）了解二次函数的零点定义,能发现二次函数零点与方程根 的关系;（2）会结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性 及根的个数. 3.借助二次函数的图象,了解一元二次不等式与二次函数、一元 二次方程的联系. 4.理解一元二次不等式的解法:能够借助二次函数求解一元二次 不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. 4 知识点一 一元二次不等式 1.定义：一般地，我们把只含有______未知数,并且未知数的最高次 数是___的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式 是_________________________________，其中，， 均为常数， . 一个 或 2.解集：使一元二次不等式成立的未知数的值叫作一元二次不等式的 解,所有的解所组成的集合叫作一元二次不等式的解集. 课 前 预 习 5 知识点二 二次函数的零点 1.定义： 一般地，对于二次函数 ，我们把使 的_______叫作二次函数 的零点. 实数 2.根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两个根，则, . 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）不等式是关于 的一元二次不等式.( ) × [解析] 当时,原不等式为,此时 不是关于 的一元二次不等式. 课 前 预 习 7 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）不等式的解集为 .( ) √ [解析] 因为 ,所以不等式的解集是 . （3）二次函数的零点为与 .( ) × [解析] 令，解得， ，所以二次函数的零点为 ,3. 课 前 预 习 8 知识点三 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的关系 的图象 的根 有两个不相等的实 数根 ， 有两个相等的实数 根 没有 实数根 课 前 预 习 9 的解集 ________________ _ ___________ ___ 的解集 _______________ ___ ___ 或 续表 课 前 预 习 10 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若一元二次方程的两根为, ,则一 元二次不等式的解集为 .( ) × [解析] 当时,解集为；当 时,解集为 或 . 课 前 预 习 11 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）若一元二次方程 没有实数根，则一元 二次不等式的解集为 .( ) √ [解析] 若一元二次方程 没有实数根，则一元二次不等式的解集为 . 课 前 预 习 12 2.函数 的图象如图所示,根据图象,你能 说出方程 的解吗?你能说出不等式 的解集吗? 的解集呢? 解：方程的解是或 . 不等式的解集是或 . 不等式的解集是 . 课 前 预 习 13 探究点一 解一元二次不等式 例1 求下列不等式的解集. （1） ； 解：方程的两根为， .结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或 . （2） ； 解：原不等式可化为，方程 的两根为，. 结合二次函数 的图象知，原不等式的解集为或 . 课 中 探 究 14 例1 求下列不等式的解集. （3） . 解：由原不等式得，即 ，解方程，得 . 结合二次函数的图象知，原不等式的解集为 . 课 中 探 究 15 变式 求下列不等式的解集. （1） ; 解：原不等式可化为 ，因为，所以方程 无实数根，又二次函数 的图象开口向上，所以原不等式的解集为 . （2） ; 解：原不等式可化为，即 ，方程 的根为，所以不等式 的解集为 ． 课 中 探 究 16 变式 求下列不等式的解集. （3） ； 解：原不等式等价于 不等式①可化为,解得或 ;不等式②可化为,解得 . 故原不等式的解集为 或 . 课 中 探 究 17 变式 求下列不等式的解集. （4） . 解：原不等式可化为 ，方程的两根为， ，所以不等式的解集为 . 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 求一元二次不等式解集的通法： （1）化成标准形式<m></m>或<m></m>，其中 <m></m>; （2）求<m></m> ,解方程，画图象； （3）根据图象写出解集. 注：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，可以直接由方程 的根及不等号方向得到解集. 课 中 探 究 19 探究点二 解含参数的一元二次不等式 例2（1）解关于的不等式 ． 解：原不等式等价于，方程 的两根为, . 当时，原不等式的解为 ；当 时，原不等式无解； 当时，原不等式的解为 ． 综上，当时，原不等式的解集是；当 时，原不等式的解集是 ；当 时，原不等式的解集是 ． 课 中 探 究 20 （2）解关于的不等式 . 解：当时，不等式化为，解得； 当 时，不等式化为，解得或 ； 当时，，不等式化为 ,解得； 当时，不等式化为 ，此时无解； 当时，，不等式化为 ,解得 . 课 中 探 究 21 综上，当时，不等式的解集是；当 时，不等式的解集是;当 时，不等式的解集是 ；当时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集是 . 课 中 探 究 变式 解关于的不等式 . 解： ，下面分三种情况讨论. ①当，即时，方程 无实数根，所以原不等式的解集为 . ②当，即或时，方程 的两个根为， ，所以原不等式的解集为 . 课 中 探 究 23 ③当，即或时，方程 有两个相等的实数根，当时，原不等式的解集为，且 ，当时，原不等式的解集为，且 . 综上，当时，原不等式的解集为；当或 时，原不等式的解集为 ；当时，原不等式的解集为，且；当 时，原不等式的解集为，且 . 课 中 探 究 ［素养小结］ 含参数的一元二次不等式的解法 课 中 探 究 25 探究点三 三个“二次”的关系 例3 已知,是关于的方程 的两个实 数根. （1）若，求 的值； 解：由，可得 ，因为 ,，所以 ，解得或（舍去），故的值为 . 课 中 探 究 26 例3 已知,是关于的方程 的两个实 数根. （2）若，是两个不相等的正数，求实数 的取值范围. 解：因为,是两个不相等的正数， 所以 即所以或，所以实数 的取值范围是或 . 课 中 探 究 27 变式（1）（多选题）已知一元二次不等式 的解集 为 ,则( ) A. B. C. D. [解析] 因为不等式的解集为 ,所以且即对于选项A, ,故A正确; 对于选项B, ,故B错误; √ √ √ 课 中 探 究 28 对于选项C, ,故C正确; 对于选项D, ,故D正确.故选 . 课 中 探 究 29 （2）已知函数的图象与轴交于 , 两点，则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. √ [解析] 因为函数的图象与 轴交于，两点，所以2和6是方程 的两个实数根，由根与系数的关系得解得 课 中 探 究 30 所以不等式即为. 因为 ，所以不等式可化为，解得或 ，所以不等式的解集为 ,故选D. 课 中 探 究 31 ［素养小结］ 三个“二次”之间的关系 （1）三个“二次”中,二次函数是主体,讨论二次函数主要是将问题转 化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究. （2）讨论一元二次方程和一元二次不等式时要将其与相应的二次函 数相联系,通过二次函数的图象及性质来解决问题. 课 中 探 究 32 拓展 已知集合,集合, , . （1）若,求实数 的值; 解：由题意可知,方程有两个不等实根 , ,所以,解得 或. 由根与系数的关系可得,,所以 , 即,解得（舍去）或,故实数 的值为4. 课 中 探 究 33 拓展 已知集合,集合, , . （2）若,求实数 的取值范围. 解：由题得方程在 时有两个不等实根,所以 解得 , 故实数的取值范围是 . 课 中 探 究 34 课后习题 35 1.已知二次函数 的图象如图所示， 则不等式 的解集是( ) A. B.或 C. D.或 [解析] 由题图易知不等式 的解集是 .故选A . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 2.不等式 的解集为( ) A.或 B. C.或 D. [解析] 解可得或 ，所以不等式 的解集为或 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 3.若,是方程的两个实数根，则 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] ,是方程的两个实数根， ，， .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 4.若，则不等式 的解集是( ) A. B. C. D. [解析] 不等式可化为 ，因为，所以，故解集是 . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 5.已知集合， ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由题意得， ， .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 6.若关于的不等式 的解集为， 且，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由条件知，为方程 的两根，则，. 由，可得 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 7.[2026·杭州富阳区高一阶段练]关于的不等式 的 解集为，则 ( ) A. B.0 C.1 D.2 [解析] 因为关于的不等式 的解集为 ，所以关于的方程 的两根分别为,2，且， 由根与系数的关系可得 解得故 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 8.已知能使不等式成立，则实数 的取 值范围是______. [解析] 因为能使不等式 成立，所以，解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 9.（13分）求下列关于 的不等式的解集： （1） ； 解：由，得，解得 或 ，所以所求不等式的解集为或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 9.（13分）求下列关于 的不等式的解集： （2） ； 解：由，得 . 若，则 ；若，则 ，不等式无解；若，则 . 所以当时，原不等式的解集为 ；当时，原不等式的解集为 ；当时，原不等式的解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 9.（13分）求下列关于 的不等式的解集： （3） . 解： . ①若,则原不等式可化为,解得 ; ②若,则原不等式可化为,解得或 ; ③若,则原不等式可化为,解得 . 综上所述,当时,原不等式的解集为 ; 当时,原不等式的解集为;当 时,原不等式的解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 10.若，且，，则 的值为 ( ) A. B. C. D. [解析] 根据题意得，则由，得 ，故， 又，，所以和 是方程的两个根，故，即 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 11.（多选题）已知二次函数,,为常数,且 的部分图象如图所示,则( ) A. B. C. D.不等式 的解集为 √ √ √ [解析] 该二次函数的图象开口向上,故 ,该二次函数的图象与轴的交点为, ,故,即, . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 对于A， ,故A正确; 对于B， ,故B错误; 对于C， ,故C正确; 对于D，不等式可化为,即 ,即 ,其解集为,故D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 12.[2026·湖南长郡中学高一期中] 在 上定义运算 ，则满足的实数 的取值范围为_____________. 或 [解析] 依题意得 ，所以，即，解得或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 13.设方程的两根是,，若不等式 的解集是，则 的值是____. 19 [解析] 由不等式的解集是 ，可知方程的两根为，2，所以, ，所以,，所以即为 ,所以,或，，于是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 14.（15分）已知不等式的解集为 . （1）解不等式 ； 解： 不等式的解集为， ，且，3是方程的两根，则, ，可得， ， 则不等式即为 ，即，解得或 ， 故不等式的解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 14.（15分）已知不等式的解集为 . （2）若，当时，解关于 的不等式 . 解：若，则 ，故不等式即为 ，即为， 又， 不等式可化为 ，方程的两根为，，又 ， 所求不等式的解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 15.（多选题）已知关于的不等式 的解集是 ,其中 ,则下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. √ √ √ [解析] 由题意得 的解集为,,且, 是一元二次方程 的两个根, 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 则 , ,故A,D正确; 原不等式可化为 , 其解集为, 而函数 的两个零点分别为 ,1,且图象开口向下,作出函数的大致图象与直线 , 如图,由图知, ,故B错误,C正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 16.（15分）[2026·北京八中高一月考] 已知, 是一元二次方程 的两个实数根. （1）是否存在实数，使成立？若存在，求出 的值；若 不存在，请说明理由. 解：因为,是一元二次方程 的两个实数根，所以，解得，又 ，故 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 由根与系数的关系得又，则 ，即，解得 . 因为，所以不存在实数，使 成立. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）[2026·北京八中高一月考] 已知, 是一元二次方程 的两个实数根. （2）是否存在整数，使的值为整数？若存在，求出 的 值；若不存在，请说明理由. 解： ， 因为的值为整数，即 的值为整数，所以只能取,, ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 又，所以当时，得（舍）或 ；当时，得（舍）或；当 时，得（舍）或 . 综上所述，存在整数，使的值为整数，且的值为 或或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $