2.1 等式性质与不等式性质 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦一元二次函数、方程和不等式中的等式与不等式性质，从现实数量关系（如高矮、轻重）导入，通过限速、酸奶质量等问题抽象出不等关系，再以糖水变甜情境引出作差比较法，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实（情境导入），用数学思维推导性质（作差法、性质证明），借数学语言表达关系（不等式表示实际问题）。如例4求a - b范围体现性质应用，方法总结结构化知识，助学生提升逻辑推理，教师可直接用于课堂教学。

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 1 高矮 胖瘦 轻重 长短 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系 数量关系 相等关系 不等关系 等式 不等式 情境导入 问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ 探究一 构建不等式 （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边 （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ 小结：用不等式表示实际问题中不等关系的方法 从实际问题中抽象出不等关系 用字母表示不等关系中的数 用不等号连接这些字母 建立不等式 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式.接着，就可以用不等式研究相应问题了. 问题2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 不等关系： 设提价后每本杂志的定价为元，则提价后的销售量为 ；销售总收入为 万元。 于是，不等关系：“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为 . 追问1 如何解这个不等式呢？ 追问2 解方程的主要依据是什么？类比解方程，你能找到解不等式的主 要依据吗？ 解方程的主要依据： 等式性质 类比 解不等式的主要依据： 不等式性质 在日常生活中，有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜.已知 <m></m> 克糖水中含有 <m></m> 克糖，再添加 <m></m> 克糖（假设全部溶解）. 问题1：.你能将糖水变甜这一事实用一个不等式表示吗？ 问题2：如何从理论上比较 <m></m> 与 <m></m> 的大小？ 探究二 比较大小 做差法 比较两个实数 <m></m> ， <m></m> 大小的依据 新知生成 问题2：如何从理论上比较 <m></m> 与 <m></m> 的大小？ 新知运用 新知运用 例2.已知均为正实数，试利用做差法比较与的大小. 新知运用 例2.已知均为正实数，试利用做差法比较与的大小. 新知运用 方法总结 比较两个实数的大小，可以先求出它们的差的符号. 作差法比较实数的大小的一般步骤： 作差→恒等变形→判断差的符号→下结论. 作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式的积的形式. 1.已知,比较与的大小. 巩固训练 1.已知,比较与的大小. 巩固训练 问题1：你能回忆起等式的基本性质并猜想一下不等式的性质吗？ 探究三 不等式的性质 问题2：性质(1)~(4)是不等式的基本性质，由这些基本性质还可以推出不等式的一些常用性质，你能证明吗？ 即: 证明： 追问 还能用别的方法证明吗？ 另证： 两个不等式能够同向相减吗? 性质7(同乘方性) 如果，那么 即: 证明： 推广 问题3：性质(1)~(4)是不等式的基本性质，由这些基本性质还可以推出不等式的一些常用性质，你能证明吗？ 不等式的基本性质 （1）对称性： ______. （2）传递性：， ______. （3）可加性： _____________. （4）可乘性：， ________；， ________. （5）加法法则：， _____________. （6）乘法法则：， _________. （7）乘方法则：______________________. （8）开方法则： . 新知生成                 一、利用不等式的性质判断或证明 例3 已知三个不等式：，，（其中，，， 均为实 数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组 成___个真命题． 新知运用 [解析] 若，成立，则不等式两边同除以 可得 ， 即， ； 若，成立，则不等式两边同乘，可得 ， 即， ； 若，成立，则，又，所以 ， 即， ． 综上可知，以三个不等式中任意两个为条件都可以推出第三个不等式成立，故可组成 的真命题有3个． 方法总结 （1）注意不等式成立的条件，在解选择题时，可利用特值法进行排除.取值要求： 一是满足题设条件；二是取值简单，便于计算． （2）应用不等式的性质证明时，应注意不等式的性质成立的条件，不可省略条 件或跳步推导． 新知运用 二、利用不等式的性质求范围 例4 已知，.求和 的取值范围． 解： ，，又 , ，即 . 又，，即 ． 故， ． 二、利用不等式的性质求范围 例4 已知，.求和 的取值范围． 新知运用 【变式探究】 已知且，求 的取值范围． 解：设 则 解得 【变式探究】 已知且，求 的取值范围． 方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正且同向），但不能相减或相除， 应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形． 1 有下列四个不等式： ，，， ． 若 ，则不正确的不等式的个数是( ) . A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] 由可得，所以，, 均不正确，④正确； 因为，，所以 成立，③正确.故不正确的不等式的个数为2． 巩固训练 巩固训练2 已知，，则 的取值范围是___________ _____． [解析] 因为， ， 且 ， 所以结合不等式的性质可得 ． 1.若，，则与 的大小关系是( ) . D A. B. C. D. [解析] ， . 2.已知，，， ，则必有( ) . A. B.且 C. D.且 [解析] 因为，所以， ，， ， 所以， . 又的符号不能确定， 所以， 的大小关系不能确定， 所以且 ． 3.已知,,则 的取值范围是_________________. [解析] , , , , , . 4.已知，， ，求证： （1） ； （2） . 解：（1）且， ， ，即 . （2）， ， 又， ， ， . 4.已知，， ，求证： （1） ； （2） . $