第3章 代数式单元复习（9大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第3章 代数式 知识点1：用字母表示数 1.意义：用字母表示数，可以简明地表示数量关系和运算规律，为后续学习带来极大方便。 2.书写规则： 字母与字母相乘时，""号通常省略不写或写成"" 字母与数相乘时，数通常写在字母的前面 带分数与字母相乘时，通常化带分数为假分数 字母与字母相除时，要写成分数的形式 当式子为几个数的和或差的形式，且结果带单位时，式子整体加括号 知识点2：代数式 1.定义：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。 2.代数式的意义：根据生活实际将给定的代数式的意义用语言叙述出来，就是将代数式的字母及运算符号赋予具体的含义。 3.列代数式：把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫做列代数式。 关键：正确理解数量关系和运算顺序 注意："的"字的层次，"和""差""积""商"等关键词 知识点3：代数式的值 1.定义：用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 2.求代数式的值的步骤： 第一步：代入——用数值代替代数式里的字母 第二步：计算——按照代数式中给出的运算，计算出结果 3.注意： 代入时，将相应的字母换成已给定的数值，其他的运算符号、原来的数字及运算顺序都不改变 代入的值不同，最后计算出的结果也可能不同 知识点4：单项式 1.定义：如果一个代数式是数或字母的积，那么这个代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。对于一个非零的数，规定它的次数为0。 知识点5：多项式 1.定义：几个单项式的和叫做多项式。 2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式含有几项，就叫几项式。 3.多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 知识点6：整式 1.定义：单项式与多项式统称整式。 2.关系： 单项式不含加减运算，多项式必含加减运算 多项式是几个单项式的和 单项式和多项式都是整式，分母中含有字母的都不是整式 知识点7：同类项与合并同类项 1.同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 3.合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变。 4.合并同类项的一般步骤： 找：找出同类项，做上相同的标记 移：利用加法交换律把同类项放在一起 并：利用合并同类项的法则合并同类项 写：写出合并后的结果 知识点8：去括号与添括号 1.去括号法则： 如果括号外的乘数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同 如果括号外的乘数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反 2.依据：分配律 3.多层括号的去法：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号。 4.添括号法则： 所添括号前面是"+"号，括到括号里的各项都不改变符号 所添括号前面是"-"号，括到括号里的各项都改变符号 知识点9：整式的加减 1.整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 2.化简求值的步骤：一化、二代、三计算 一化：先去括号、合并同类项，将整式化简 二代：代入字母的值 三计算：计算出结果 3.注意：在具体运算中，也可以先将同类项合并，再去括号，但是要按运算顺序去做。 【基础必考题型】 【题型1】代数式的概念与书写规范 1.核心知识点 代数式的定义；代数式的书写规则；单项式、多项式、整式的概念辨析 2.解题方法技巧 ①判断代数式：用运算符号连接数或字母的式子，单独的数或字母也是代数式 ②书写规范：数在前字母在后，乘号省略，带分数化假分数，除法写成分数形式 ③单项式判断：数与字母的积，不含加减运算，单独的数或字母也是单项式 ④多项式判断：几个单项式的和，必含加减运算 ⑤整式判断：单项式和多项式都是整式，分母含字母的不是整式 【例题1】.（25-26七年级上·福建漳州·期中）下列各式中，符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的书写规范，根据代数式书写的基本规则对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵ 带分数作系数时需要化为假分数，A选项使用带分数， 因此A不符合书写规范． ∵ 除法运算需要写成分数形式，B选项保留除号， 因此B不符合书写规范． ∵ 数字与字母相乘时，乘号需要省略且数字要写在字母前方，C选项保留乘号， 因此C不符合书写规范． ∵ 符合代数式书写规范，因此D正确． ∴ 答案选D． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·湖北孝感·期末）下列各式：，，，，，，其中不符合代数式书写规范的有________个． 【答案】/四 【分析】本题主要考查代数式的书写，熟练掌握代数式的书写是解题的关键；根据代数式书写规范，数字与字母相乘时数字应写在字母前面且省略乘号，除法运算应写成分数形式，带分数应避免使用，然后问题可求解． 【详解】解：是带分数，不符合规范，应写成假分数； 符合代数式书写规范； 使用了除法符号，不符合规范，应写成分数形式； 中数字1与相乘，数字应省略或写在前，不符合规范； 数字写在字母后面，不符合规范，应写成； 符合代数式书写规范； 故不符合规范的有4个； 故答案为4． 【变式题1-2】.（25-26六年级下·全国·单元复习）下列各式中，代数式的个数是（   ） ①；②③；④；⑤；⑥a；⑦；⑧． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式的定义，熟练掌握代数式的概念，能区分代数式与等式是解题的关键． 先明确代数式的定义，再逐一判断每个式子是否符合定义，统计符合条件的式子数量，从而得出答案． 【详解】解：∵代数式的定义为：用运算符号把数字与字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式，等式不是代数式， ∴①是代数式， ②是代数式， ③是等式，不是代数式， ④是代数式， ⑤是代数式， ⑥是代数式， ⑦是代数式， ⑧是代数式， ∴符合代数式定义的共7个， 故选：C． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）下列式子：①1；②2a；③；④；⑤；⑥，其中代数式有（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【分析】本题考查代数式的判断，代数式是指用运算符号连接数或字母的式子，或单独的数或字母；含有等号或不等号的式子不是代数式，据此进行判断即可． 【详解】解：①1；②2a；③；④；⑤；⑥中，①②④为代数式；③⑤⑥中的式子含有等号或不等号，不是代数式； 故选B． 【题型2】代数式的意义与列代数式 1.核心知识点 代数式的语言叙述；代数式的实际意义；列代数式的方法；数量关系分析 2.解题方法技巧 ①叙述意义：按运算顺序叙述，注意"的"字的层次，同一代数式可有多种合理表述 ②列代数式：抓住关键词（和、差、积、商、倍、分、多、少等），理清运算顺序，注意括号的使用 ③实际问题：理清数量关系（如路程=速度×时间、总价=单价×数量等），建立数学模型 ④检验：代入特殊值验证代数式是否符合题意 【例题2】.（2026·河北保定·二模）代数式的意义可以是（     ） A．与的和 B．与的差 C．个相加 D．个相乘 【答案】C 【分析】只需根据各选项描述写出对应代数式，与对比即可得到答案. 【详解】解：A选项：与的和对应代数式为，故A选项错误； B选项：与的差对应代数式为，故B选项错误； C选项：个相加对应代数式为，故C选项正确； D选项：个相乘对应代数式为，故D选项错误. 【变式题2-1】.（2026·河南平顶山·二模）对代数式“”，我们可以这样来解释：某人以3米/秒的速度走了x秒，他一共走的路程是米．请你对“”再给出另一个实际生活方面的解释：____________． 【答案】香蕉每千克3元，某人买了x千克，共付款元（答案不唯一，合理即可） 【分析】结合常见的数量关系构造实际场景，只要符合的倍数关系即可，答案不唯一． 【详解】解：香蕉每千克3元，某人买了x千克，共付款元． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·浙江衢州·期末）设A种糖果的单价为每千克a元，B种糖果的单价为每千克6元，则2千克A种糖果和b千克B种糖果混合而成的什锦糖果的单价为每千克（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查列代数式的实际应用，先求出混合什锦糖果的总价和总重量，再根据单价=总价÷总重量列出代数式即可得到答案． 【详解】解：∵ 2千克A种糖果的总价为元，千克B种糖果的总价为元， ∴ 混合后什锦糖果的总价格为元，总重量为千克， ∴ 什锦糖果的单价为每千克元． 【变式题2-3】.（2026·山西阳泉·三模）忻州五台山台蘑种植基地种植100公顷台蘑，原计划每公顷收获台蘑，后因暴雨使总产量减产，则最终收获台蘑的总质量为________kg．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】先求出原计划的台蘑总产量，再根据减产比例得到实际总产量占原计划的比例，化简代数式得到最终结果． 【详解】解：由题意可得，原计划收获台蘑的总产量为， 因为总产量减产，所以实际总产量为原计划总产量的， 计算最终收获台蘑的总质量：． 【题型3】代数式求值 1.核心知识点 代数式的值的概念；代入求值的方法；运算顺序 2.解题方法技巧 ①直接代入法：将字母的值直接代入代数式，按运算顺序计算 ②代入时注意：负数代入要加括号，分数代入乘方时要加括号 ③先化简再求值：代数式较复杂时，先化简再代入，计算更简便 ④注意运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的 ⑤检验：计算完成后，可再代入检验一遍，避免计算错误 【例题3】.（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知，，则______． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如果，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴. 【变式题3-2】.（25-26七年级下·安徽合肥·期末）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知等式得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·安徽六安·期末）若，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．不确定，与k值大小有关 【答案】A 【分析】本题运用整体代入法求解代数式的值，先对所求代数式提取公因式变形，再结合已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：， ， 对所求代数式变形得：， 将代入得：原式，因此代数式的值为． 【题型4】整式的有关概念 1.核心知识点 单项式的系数与次数；多项式的项与次数；整式的概念辨析 2.解题方法技巧 ①单项式的系数：数字因数，包括前面的符号，注意是常数 ②单项式的次数：所有字母的指数和，不包括数字的指数 ③多项式的项：每个单项式，包括前面的符号，常数项是不含字母的项 ④多项式的次数：次数最高的项的次数，不是所有项的次数和 ⑤降幂排列与升幂排列：按某一字母的指数从大到小或从小到大排列 【例题4】.（25-26七年级上·河南洛阳·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．m不是整式 B．的系数为2，次数为3 C．3是单项式 D．多项式的次数是5 【答案】C 【分析】根据整式、单项式、多项式的定义及相关性质，逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：整式包括单项式和多项式，单独的字母m是单项式，属于整式，故A选项错误； 的系数是，次数是，故B选项错误； 单独的一个数是单项式，3是单独的数，是单项式，故C选项正确； ∵多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，的次数是，的次数是2， ∴该多项式的次数是3，故D选项错误． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式；是多项式．其中正确的有（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式与多项式的相关概念，只需根据相关定义逐一判断每个说法即可． 【详解】解：多项式是三次三项式，原说法错误； 单项式的系数是，说法正确； 5是单项式，说法正确； 是多项式，说法正确． 综上，正确的是②③④，故选C． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·河南信阳·期末）多项式是关于、的六次三项式，则取值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的相关概念，根据多项式的次数和项数的定义，第一项的次数为，应等于6，且系数不为零． 【详解】解：多项式是关于 ， 的六次三项式，因此最高次项的次数为 6，且共有三项， 第一项 的次数为， 令，得， 所以或， 当时，第一项系数，多项式变为，只有两项，不符合三项式要求， 故， 故答案为：． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·上海·期中）整式按a降幂排列的结果是________________________． 【答案】 【分析】本题考查多项式的降幂排列，解题思路是先确定多项式中每一项的指数，再按照的指数从高到低排列各项，排列时保留各项原有的符号，不要遗漏项． 【详解】解：确定多项式中各项的指数分别为，按照的降幂排列，即按的指数从大到小排列各项， 可得 【题型5】同类项与合并同类项 1.核心知识点 同类项的定义；合并同类项的法则；合并同类项的步骤 2.解题方法技巧 ①判断同类项：两相同——所含字母相同，相同字母的指数也相同，与系数无关 ②几个常数项也是同类项 ③合并同类项：系数相加，字母和字母的指数不变，即"一加两不变" ④合并步骤：一找二移三并四写，注意移项时连同符号一起移 ⑤不是同类项的不能合并，要照抄下来 【例题5】.（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下面不是同类项的是（     ） A．与4 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查同类项的定义，根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项，所有常数项都是同类项，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：∵ 选项A中，和4都是常数项，所有常数项都是同类项，因此A是同类项； ∵ 选项B中，与所含字母都是a、b，a的指数都是2，b的指数都是1，符合同类项定义，因此B是同类项； ∵ 选项C中，与所含字母都是x、y，x的指数都是2，y的指数都是2，符合同类项定义，因此C是同类项； ∵ 选项D中，所含字母为m，所含字母为n，所含字母不同，不符合同类项定义，因此D不是同类项． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·广东茂名·期末）若代数式与是同类项，则________． 【答案】 【分析】所含字母相同，相同的字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此列出方程求解即可． 【详解】解：∵代数式与是同类项， ∴， ∴ ． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·上海·期中）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项的法则，只有同类项才能合并，合并时系数相加减，字母和字母的指数保持不变，根据法则逐一判断选项即可． 【详解】解：对选项A：，A错误； 对选项B：与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，B错误； 对选项C：，C错误； 对选项D：，D正确． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·四川泸州·阶段检测）化简：． 【答案】 【分析】根据去括号的规则先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： 原式 ． 【培优高频题型】 【题型6】程序框图与代数式求值 1.核心知识点 程序框图的理解；代数式的代入计算；循环程序的处理 2.解题方法技巧 ①读懂程序：理解程序的运算流程和判断条件 ②按顺序计算：根据输入值，按程序步骤逐步计算 ③循环程序：注意循环条件，每次计算后判断是否继续循环 ④输出结果：满足输出条件时，输出计算结果 ⑤注意：输入值为负数时，代入计算要加括号，避免符号错误 【例题6】.（25-26七年级上·湖南张家界·期末）如图是某运算程序，该程序是循环迭代的一种．根据该程序的指令，如果输入x的值是10，那么第1次输出的值是5；把第1次输出的值再次输入，那么第2次输出的值是6；把第2次输出的值再次输入，那么第3次输出的值是3，则第2025次输出的值是___________． 【答案】2 【分析】本题考查了数字的变化类，先计算前7次的输出结果，找到规律，再计算求解． 【详解】解：计算前7次的输出结果可得： 输入x的值是10，那么第1次输出的值是5； 把第1次输出的值再次输入，那么第2次输出的值是6； 把第2次输出的值再次输入，那么第3次输出的值是3； 把第3次输出的值再次输入，那么第4次输出的值是4； 把第4次输出的值再次输入，那么第5次输出的值是2； 把第5次输出的值再次输入，那么第6次输出的值是1； 把第6次输出的值再次输入，那么第7次输出的值是2； …， 发现规律为：从第5次开始，输出值呈1，2，1，2……重复出现， ∵， ∴第2025次输出的值为2， 故答案为：2． 【变式题6-1】.（25-26六年级上·山东淄博·期末）按如图所示的程序计算，若输入的的值为30，第一次得到的结果为15，第二次得到的结果为24，按此程序进行计算，则第2026次得到的结果为____________． 【答案】6 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的计算，根据计算结果找到规律是解题的关键． 分别计算前八次的结果，找到规律即可得到答案． 【详解】解：第一次得到的结果为； 第二次得到的结果为； 第三次得到的结果为； 第四次得到的结果为； 第五次得到的结果为； 第六次得到的结果为； 第七次得到的结果为； 第八次得到的结果为， 从第三次开始，每三次输出的结果为一个循环，依次为12，6，3， 第2026次得到的结果为， 故答案为：6． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·辽宁丹东·期末）如图所示，在这个运算程序中，若开始输入x的值为4，结果输出的是2，将第1次输出的结果2，再次输入运算程序，进行第2次运算，结果输出的是1，……，则第2026次输出的结果是（） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查流程图与数字类规律，理解题意并写出前几次结果寻找规律是解题关键． 先按题干所给的流程图计算出前几次结果，归纳总结出规律． 【详解】解：根据题意和运算程序可以计算出前几次的输出结果如下： 第一次输出的结果为2， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， …， 发现规律：从第三次输出结果开始，以，，依次循环出现， ∵， ∴第2026次输出的结果是． 故选：B． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·北京·期中）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值为_____． 【答案】 【分析】观察程序计算图，根据输入的值，找出与的关系式，将其值代入即可求出答案，计算过程需要注意的是有理数的加减法法则（减一个数等于加上这个数的相反数；同号两数相加，取相同的符号并将绝对值相加）． 【详解】解：输入的值是， 将代入中， ． 【题型7】整体代入法求代数式的值 1.核心知识点 整体思想；代数式的变形；整体代入求值的方法 2.解题方法技巧 ①观察已知式与所求式的关系，寻找共同的整体部分 ②对所求代数式进行变形，使之能用已知的整体表示 ③对已知代数式进行变形，得到需要的整体 ④将已知的整体值代入变形后的代数式，计算结果 ⑤注意：整体代入时，要确保整体的值是已知的或可求的 【例题7】.（2026·湖南·中考真题）已知，则代数式的值是________． 【答案】2026 【分析】将代数式前两项提取2进行变形，把已知代数式的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴． 【变式题7-1】.（2026·四川内江·中考真题）若实数 、满足，则代数式的值为_________． 【答案】 【分析】由已知等式得出的值，将所求代数式变形后，整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ∴． 【变式题7-2】.（25-26六年级上·山东济南·期末）【概念解读】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求出某一个(或多个)未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如 ，求 的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)把 看成一个整体，合并 的结果是 ； (2)如果， 求的值； (3)求 ，其中， 【答案】(1) (2)2021 (3)18 【分析】本题考查“整体思想”的应用，正确理解“整体思想”的定义与运用是解题的关键． （1）将看成一个整体，进行加减法运算即可； （2）利用整体思想的方法将所求式子化简为，将代入化简后的式子进行计算即可； （3）先去括号运算，将所求式子化简为，将，代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由得： ， ； （3）解： 当，时，原式． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·山东菏泽·期中）【阅读材料】 整体思想就是在研究和解决有关数学问题时，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的，有意识的整体处理的解题思路．例如：已知，求代数式的值．明明同学在做作业时采用整体代入的方法如下：解：由得，，所以代数式的值为5． 【学以致用】 (1)若，求代数式的值； (2)已知当时，，求当时，代数式的值； 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查整体代入法求代数式的值； （1）代数式变形为，再整体代入即可； （2）把代入代数式中得，再把代入代数式并整体代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵当时，， ∴， ∴当时， 原式 ； 【题型8】探索与表达规律（数式与图形） 1.核心知识点 数式规律探究；图形规律探究；从特殊到一般的归纳思想；代数式表示规律 2.解题方法技巧 ①数式规律：观察前几项，计算相邻项的差或比，拆项分析符号、系数、字母部分的变化规律，归纳第项 ②图形规律：观察图形数量变化，转化为数列规律，找递推关系（后项比前项增加多少），归纳第个图形的数量 ③验证：代入等特殊值，检验归纳的规律是否符合实际 ④注意的起始值，通常从开始，确保规律与项数对应 【例题8】.（25-26七年级下·四川成都·期末）按一定规律排列的数：，，，，⋯，以此规律排列，第7个数是___． 【答案】 【分析】先观察已知数中分子底数的变化规律，推导出第个数的表达式，再将代入计算即可． 【详解】解：观察已知排列的数：第个数：， 第个数：， 第个数：， 第个数：， 由此可得规律，第个数为， 当时，代入得：． 【变式题8-1】.（25-26六年级下·山东东营·期末）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2026是表中第________行，第________列． 【答案】 64 10 【分析】观察数表可知，第行有个数，且前行共有个数，即第行最后一个数为，通过估算确定2026所在的行数，进而求出列数． 【详解】解：由图可知，第1行最后一个数是1， 第2行最后一个数是， 第3行最后一个数是， 第4行最后一个数是， 第行最后一个数是， 当时，， 当时，， ∵， ∴2026在第64行， ∵第63行最后一个数是2016， ∴第64行第1个数是2017， ， ∴2026是第64行第10列． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·浙江宁波·开学考试）（图形找规律）小明用小棒摆八边形，如图所示，摆n个八边形要用__________根小棒． 【答案】 【分析】观察图形，每增加1个八边形就增加7根小棒，据此规律解答即可． 【详解】解：摆n个八边形要用根小棒． 【变式题8-3】.（2026·江苏徐州·模拟预测）观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则=________． 【答案】9803 【分析】根据图形的一般规律，找出第个的规律即可求解． 【详解】解：由题意可得：； ； ； ； ， 由此可知：第n个图形有：， ∴． 【题型9】整式加减中的无关项问题 1.核心知识点 合并同类项；无关项的意义；系数为0的条件；参数求解 2.解题方法技巧 ①无关项的含义：代数式的值与某个字母的取值无关，说明该字母的系数为0 ②步骤：先化简代数式，合并同类项，再令无关字母的系数为0 ③求参数值：解方程求出参数的值 ④注意：要先化简，再判断，不能直接看原式判断 ⑤常见题型：不含某项、与某字母无关、结果为常数等 【例题9】.（25-26七年级上·四川达州·期末）已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、多项式的项与次数的概念，熟练掌握不含某一项即该项系数为0的解题方法是解题的关键． 先求出两个多项式的差，再根据差不含二次项这一条件，令二次项的系数为0，解出和的值，最后代入计算结果． 【详解】解： ， 差不含二次项，解得， ， 故答案为：． 【变式题9-1】.（25-26六年级上·山东烟台·期末）若关于的多项式不含二次项和一次项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查多项式的项与系数的概念，关键是理解“多项式中不含某一项，则该项的系数为0”．先根据不含二次项和一次项的条件，建立关于、的方程，求解得到、的值，再将其代入代数式计算出最终结果． 【详解】解：∵关于的多项式不含二次项和一次项， ∴二次项的系数，一次项的系数． 解得，． ∴． 故答案为：． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·湖南邵阳·阶段检测）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）把原多项式去括号后合并同类项，再仿照题意求解即可； （2）根据整式的加减运算法则求出的结果，再根据的值与x无关得到的结果中含x的项的系数为0，据此列式求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与x无关， ∴， ∴． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·湖北荆门·期末）【知识再现】 学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式为，所以，则． (1)【初步运用】关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)【类比迁移】已知，，且化简的结果与x取值无关，求m，n的值； (3)【拓展应用】图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张这种纸片按图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分是阴影部分（是两个长方形）．设左上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分的面积为，当的长度变化时，设，且S为定值，试探究a与b之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)1 (2)， (3) ， 理由：设， ∴，， ∴ ， ∵的长度变化时，S为定值， ∴S的值与x取值无关， ∴， ∴． 【分析】本题考查了整式的加减． （1）先合并同类项，再根据“关于x的多项式的值与x的取值无关”得到，进而求解即可； （2）求出的值，根据“结果与x取值无关”得到，，进而求解即可； （3）设，则，，求出，根据“S为定值”得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：， ∵关于x的多项式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解： ， ∵化简的结果与x取值无关， ∴，， ∴，； （3）略 【压轴素养题型】 【题型10】新定义下的整式运算 1.核心知识点 新定义运算的理解；整式的加减运算；阅读理解能力；转化思想 2.解题方法技巧 ①读懂新定义：仔细阅读定义，理解新运算的规则和运算顺序 ②转化为常规运算：按照定义将新运算转化为熟悉的整式加减运算 ③注意运算顺序：新定义运算也要遵循常规的运算顺序和括号规则 ④探究运算律：通过举例验证新运算是否满足交换律、结合律等 ⑤解新定义方程：将新定义代入，转化为常规方程求解 ⑤检验：将结果放回实际问题中，检验是否合理 【例题10】.（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）定义新运算：，则的值为（   ） A． B．1 C． D．7 【答案】C 【分析】按照题目给出的运算规则，代入对应数值计算即可得到结果． 【详解】解：∵新运算规则为， ∴求时，对应，， 代入计算得： ， ∴结果为． 【变式题10-1】.（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）定义一种运算：，若，则的值为__________． 【答案】1 【分析】本题考查了新定义运算，整式的运算，解一元一次方程，理解运算法则是解题的关键． 根据定义的运算法则，先将化简得到，再结合已知列出方程，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：1． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·山西临汾·期末）阅读理解：我们把只含有一个字母，且字母的指数都是1，系数之和为0，常数项之和也为0的两个整式称为互为零和整式．例如：整式与整式，它们都只含一个字母x，x的指数都是1，且系数，常数项，因此这两个整式互为零和整式．根据以上定义，解答下列问题： (1)下列各组整式中，互为零和整式的是____________． A．与 B．与 C．与 D．与 (2)若整式与整式互为零和整式，求的值． (3)现有两个互为零和整式M和N，其中；先化简整式M，再根据零和整式的定义直接写出整式N． 【答案】(1)B (2)1 (3)化简为； 【分析】本题考查新定义运算，整式加减，理解题意熟练进行运算是解题的关键； （1）根据零和整式定义计算即可； （2）根据题意得，求出a，b即可解答； （3）将M去括号，合并同类项，再根据零和整式定义即可解答． 【详解】（1）解：选项A：，不符合题意； 选项B：，，符合题意； 选项C：，不符合题意； 选项D：，，不符合题意； 故选B． （2）解：与互为零和整式， ， ，， ； （3）解：， 所以 【变式题10-3】.（25-26七年级上·河南南阳·期末）新定义型阅读理解题 【知识背景】 定义1：一个关于，的多项式，如果把其中，互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于，的二元对称多项式．如，都是关于，的二元对称多项式． 定义2：若多项式组（，，是关于，的整式)中的三个整式满足两个条件： ①多项式是二元对称多项式； ②整式，通过加减运算后可得到整式，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 【知识应用】 (1)请你写出一个满足下列条件的二元对称多项式：①它是关于，的三次四项式；②它不能合并同类项；③按照的降幂排列． (2)判断①，②能否成为“二元对称关联式”，说明理由． (3)若是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式A． 【答案】(1)(答案不唯一)； (2)①能成为“二元对称关联式”；②能成为“二元对称关联式”； (3)，，； 【分析】本题考查新定义下的多项式的相关概念与整式加减运算，核心是理解两个定义：二元对称多项式是将与互换后与原式完全相同的多项式；“二元对称关联式”需同时满足两个条件：①多项式是二元对称多项式；②整式与通过一次加法或减法运算可得到． （1）根据三次四项式、二元对称多项式的要求，构造满足与互换后不变、无同类项、按降幂排列的多项式即可； （2）对每个多项式组，先验证是否为二元对称多项式，再验证与能否通过加减运算得到； （3）利用“二元对称关联式”的条件，分、、三种情况列等式，求解对应的多项式． 【详解】（1）解：根据定义，构造多项式，该多项式是三次四项式，将与互换后结果与原式一致，且无同类项可合并，按降幂排列； 故答案为：(答案不唯一)． （2）解：①对于多项式组： ∵将中的与互换，得，与原式相同， ∴是二元对称多项式； 又∵， 即与通过减法运算可得到， ∴该多项式组①能成为“二元对称关联式”； ②对于多项式组： ∵将中的与互换，得，与原式相同， ∴是二元对称多项式； 又∵，即与通过减法运算可得到， ∴该多项式组②能成为“二元对称关联式”； （3）解：已知是“二元对称关联式”，其中，，易知是二元对称多项式，分三种情况讨论： 情况1：若，则； 情况2：若，则； 情况3：若，则； 综上，符合条件的多项式为，，． 【题型11】跨学科与情境应用问题 1.核心知识点 代数式的实际应用；跨学科知识的理解；数学建模思想；应用意识 2.解题方法技巧 ①物理情境：运动问题、工程问题、电路问题等，利用物理公式列代数式 ②经济情境：销售利润、增长率、成本核算、方案优化等问题 ③生活情境：购物优惠、行程安排、面积计算、增长率等实际问题 ④先读懂情境：理解问题背景，提取关键数据和数量关系 ⑤建立数学模型：将实际问题转化为代数式或整式运算问题 ⑥求解并检验：计算结果后，检验是否符合实际意义 【例题11】.（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个长为米、宽为b米的小长方形花园． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简） (2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若，，预计每平方米地砖的价格是50元，求购买所需地砖的费用． 【答案】(1) (2)9400元 【分析】（1）计算解答即可； （2）求代数式的值，再计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：当，时， （平方米）， 故购买所需地砖的费用为：（元）； 【变式题11-1】.（2026·浙江金华·一模）如图，光明中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形草坪，草坪的周围修建等宽的小路，路宽为a米． (1)草坪的周长为多少米（含a的代数式表示）； (2)当米时，求草坪的周长． 【答案】(1) (2)35.6米 【分析】（1）列出长和宽，然后再根据周长公式计算即可 （2）把代入（1）中的周长表示式计算，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：长为：（米）， 宽为：（米） 草坪的周长： （2）解：当时，． 故当米时，草坪的周长为35.6米． 【变式题11-2】.（25-26七年级下·福建厦门·期末）术中蕴含着许多数学原理，基于数学原理可以设计一些扑克牌魔术． 小鹭设计了一款扑克牌魔术，具体步骤如下： ①将一副扑克牌（共52张，不含大小王）随机打乱； ②将打乱后的扑克牌，抽取三十张，依次背面向上，叠放在桌上，第1张扑克牌在最下方，第30张扑克牌在最上方，如下图所示： ③从剩余的扑克牌中，随机抽取两张，翻开后依次摆放在桌上，余下扑克牌背面向上，叠放在原来三十张扑克牌之上，形成牌堆； ④根据每张翻开的扑克牌点数，从牌堆中从上往下数取扑克牌，放在对应扑克牌的下方，使得数取张数与该张扑克牌点数之和为13； 例如，若翻开的扑克牌为4，则取9张扑克牌；若翻开的扑克牌为K，则不取牌． ⑤将步骤③中翻开的两张扑克牌点数之和记为，在剩余牌堆中从上往下数第张，翻开对应的扑克牌． 例如，步骤③中翻开的两张扑克牌为4，K，则此时，即翻开从上往下数的第17张扑克牌．（注：本魔术中，扑克牌中的A，J，Q，K分别视为点数1，11，12，13） 在该魔术中，只需在步骤②中提前记忆特定位置的扑克牌，即可准确预测最终翻开的结果． (1)如果在步骤③中翻开的扑克牌为3，Q，按照上述步骤，步骤④中共需取的扑克牌为几张？ (2)对于任意翻开的两张扑克牌，步骤⑤中最终翻开的扑克牌是剩余牌堆中从下往上数的第几张？请说明理由． 【答案】(1)11张 (2)第25张 【分析】（1）根据规则：取牌张数+牌点数=13，分别算出点数3、Q对应的取牌数量，再求和即可； （2）设两张牌点数分别为，先表示出步骤④取牌总数，再结合，计算步骤⑤翻开牌在整堆牌的上层位置，再换算成从下往上的序数． 【详解】（1）解：已知规则：取牌张数牌点数，Q视为点数12． 点数为3时，取牌数量：张； 点数为Q时，取牌数量：张， 总共取牌：张， 所以步骤4中共需取扑克牌11张． （2）解：设两张翻开的扑克牌点数分别为和：两张牌点数之和， 步骤④总共取走的牌数：对于点数为的牌，取牌数为；对于点数为的牌，取牌数为，总取牌数为， 剩余牌堆的总张数：步骤②抽取30张，步骤③抽取（张），步骤④取走张，因此剩余牌堆张数为， 步骤⑤要求从剩余牌堆从上往下数第张翻开，那么从下往上数的位置为总张数减去从上往下数的位置再加1，即，因此最终翻开的扑克牌是剩余牌堆中从下往上数的第张． 【变式题11-3】.（25-26七年级下·广东茂名·期末）项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)，所有支管道的总长度为米 (3)①由题意得主管道共有米，所需成本为（元）， 支管道共有米，所需成本为（元），所需固定装置成本为（元）， ， ， ， ； ②当，，时， ， ， ， ，超出了给定总预算， 支管道间距d不可以是2； 【分析】（1）由基地宽和支管间距得出总区域数，结合边界不需要安装支管道即可得到需要的支管道总条数； （2）代入，，算出，再计算可得支管总长； （3）①分别算出主管道、支管道、固定装置成本，把这些成本加起来可得到总成本关系式；②将，，代入求得的值，将这个值与进行比较可得支管道间距d不可以是2． 【详解】（1）解：由题意得基地宽度为，每间隔米划分一个灌溉区域， 总区域数为， 边界不需要安装支管道， 需要的支管道总条数； （2）解：，，， ， 所有支管道的总长度为（米）； （3）略 【题型12】阅读理解与探究创新问题 1.核心知识点 阅读理解能力；探究与归纳；数学思想方法；创新思维 2.解题方法技巧 ①阅读材料：仔细阅读题目给出的材料，理解新概念、新方法 ②提取信息：从材料中提取关键的数学信息和方法 ③模仿应用：模仿材料中的方法，解决类似的问题 ④拓展探究：在理解的基础上，进行拓展和延伸，解决更深层次的问题 ⑤注意：要严格按照材料中的定义和方法，不能凭主观想象 【例题12】.（25-26八年级上·北京·期中）阅读下列材料： 如果整数满足，其中都是整数，那么一定存在整数，使得． 例如，或 根据上述材料，解决下列问题： (1)已知或若，则___________； (2)已知，（为整数），．若，求；（用含的式子表示） (3)一般地，上述材料中的可以用含的式子表示，请直接写出一组满足条件的（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了列代数式的变化，读懂题意，正确对代数式进行变形是解题的关键． （1）根据示例，可以得到，从而得到的值； （2）由题意，得到，化简整理可得到，从而得到结果； （3）由题意，得到，从而得到的式子． 【详解】（1）解：， ， ， 解得， ， ， 故答案为：； （2）解：∵（为整数），，， ， ， 或； （3）解： ， ∴或． 【变式题12-1】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）【阅读材料】计算的值． 解：设，则 ， 得： ，，即 通过阅读，你一定学到了一种解决问题的方法．请用你学到的方法计算：． 【答案】 【详解】解：设， 则： 所以 ． 【变式题12-2】.（25-26七年级上·浙江温州·期末）综合与探究 【阅读材料】 一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被9整除，那么这个自然数就能被9整除．比如： 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，通常记这个两位数为． 即． 因为和都能被9整除， 所以就能被9整除， 所以能被9整除． 【应用拓展】 (1)请参考以上阅读材料说明理由：设是一个三位数，若能被9整除，则就能被9整除． (2)若能被9整除时，也能被9整除，则的值为___________． 【答案】(1) 证明：∵ ∴ ∵能被9整除，能被9整除，且能被9整除 ∴能被9整除 ∴能被9整除； (2)2 【分析】本题考查了数的整除，整式的加减计算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）参考阅读材料的思路，将三位数表示为含9的倍数与各数位数字和的形式，依据整除的性质完成证明； （2）先根据能被9整除的条件确定m的值，再利用三位数能被9整除的数字和性质求出n的值 ． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴ ∵能被9整除，能被9整除 ∴能被9整除 ∵m是两位数的十位数字，m为1到9的自然数 ∴ 解得 ∵，且能被9整除 ∴能被9整除 ∵n是0到9的自然数 ∴ 解得 答：n的值为2． 【变式题12-3】.（25-26七年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 一个含有多个字母的式子中，当字母的取值均不相等，且都不为0时，任意交换两个字母的位置，式子的值不变，这样的式子叫做“对称式”．例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，，．因为，所以是“对称式”，而式子中的字母，交换位置，得到式子，但是，所以不是“对称式”． 任务： (1)下列式子中，是“对称式”的是____________．（填序号） ①；②；③ (2)写出一个系数为，只含有字母且次数为4的单项式，使该单项式是“对称式”； (3)已知，求，并判断所得结果是否是“对称式”． 【答案】(1)①③ (2) (3)，是对称式 【分析】本题考查整式的加减，正确理解对称式的定义，并进行正确判断是解题的关键； （1）根据对称式的定义即可求解； （2）根据对称式的定义可得的指数都为； （3）先去括号，然后合并同类项，再根据对称式的定义即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴是“对称式”， 故①符合题意； ②∵， ∴不是“对称式”， 故②不符合题意； ③∵， ∴是“对称式”， 故③符合题意； 故答案为：①③． （2）解：根据“对称式”的定义可得：字母的指数相同， ∵单项式的次数为4， ∴的指数都为， 又∵系数为， ∴该单项式为． （3）解： ∵， ∴是“对称式”． 易错点 1.代数式书写不规范，如数写在字母后面、带分数未化成假分数、除法未写成分数形式等。 2.混淆单项式的系数和次数，特别是是常数不是字母，系数包括前面的符号。 3.同类项判断和合并错误，认为字母顺序不同或系数不同就不是同类项；合并时字母指数也相加。 4.去括号时符号错误，括号前是负号只改变第一项符号，或数字因数漏乘后面的项。 5.代数式求值时，负数或分数代入乘方忘记加括号，导致符号或运算顺序错误。 重点 1.代数式的概念与书写规范，列代数式的方法。 2.单项式、多项式、整式的有关概念，包括系数、次数、项等。 3.同类项的概念与合并同类项的法则。 4.去括号法则与整式的加减运算。 5.化简求值与整体代入思想。 难点 1.列代数式，特别是复杂数量关系和运算顺序的把握。 2.整体代入法求代数式的值，需要观察和变形能力。 3.规律探究问题，包括数式规律和图形规律。 4.整式加减中的无关项问题和新定义运算问题。 5.整式加减的实际应用与跨学科情境问题，需要数学建模能力。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各对单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．3与 【答案】C 【详解】解：选项A中，与所含字母相同，但相同字母的指数不同，∴不是同类项，不符合题意； 选项B中，与所含字母不同，∴不是同类项，不符合题意； 选项C中，与所含字母相同，且相同字母的指数也相同，∴是同类项，符合题意； 选项D中，是常数项，含有字母，所含字母不同，∴不是同类项，不符合题意． 2．对于多项式，下列结论中正确的是（　　） A．是六次三项式 B．是三次三项式 C．次数最高项的系数是1 D．常数项是3 【答案】C 【分析】本题考查多项式的基本概念，根据多项式的项数，次数，系数，常数项的定义，逐一判断选项即可。 【详解】解：对于多项式 它共有项，分别为 ，， 计算各项次数： 的次数为 ， 的次数为 因此该多项式是四次三项式， 故A选项“六次三项式”错误， B选项“三次三项式”错误; 最高次项为，系数是 该多项式的常数项是，不是； 3．图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，，则的值是（     ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【分析】设，根据题意得到，，进而作差，利用整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：设， 根据题意，，， ∴． 二、填空题 4．把多项式按x的降幂排列正确的是_________． 【答案】 【详解】解：多项式按x的降幂排列得到： ． 5．若当时，的值为，那么当时，的值为____________． 【答案】4 【分析】根据题意可得的值，再把代入到得到，据此求解即可． 【详解】解：∵当时，的值为， ∴， ∴， ∴当时， ． 6．找规律：，，，，…，第8个数是_____． 【答案】 【分析】观察已知数的特征，分子均为1，分析分母可得规律，第个数的分母为，据此计算第8个数即可． 【详解】解：观察已知数列： 第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， ... 由此可得，第个数为， 当时， ． 三、解答题 7．先化简，再求值：，其中 ． 【答案】 【详解】解：原式 当，，原式 ． 8．我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是___________（填序号）； ①与；②与；③与； (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 【答案】(1)②③ (2) 【分析】（1）判断和是否为常数即可得到结果； （2）根据和为常数，可知所有含未知数项的系数均为0，求出的值后计算常数项即可得到对消值. 【详解】（1）解：，和不是常数，故①不是“对消多项式”； ，和为常数，故②是“对消多项式”； ，和为常数，故③是“对消多项式”； （2）解：∵ ； ∵与互为“对消多项式”，和为常数， ∴， ∴ 解得， ∴，即它们的对消值为. 9．魔术师说：“请你任意想一个数，把这个数乘2后加8，然后除以4，再减去你原来所想的那个数的一半，我可以知道你计算的结果是2．” (1)如果设魔术师任意想的那个数为x，请你帮助魔术师说明上述结论的正确性； (2)在（1）中，得到的代数式化简后结果为2，它不含有x，我们称之为“与x无关”．试解决下列“无关”类问题： ①多项式的值（    ）； A．仅与x的大小无关                    B．仅与y的大小无关 C．与x、y的大小都无关                D．与x、y的大小都有关 ②三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙．已知正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c．设图1中阴影部分周长为m，图2阴影部分周长之和为n，试判断的值是否与正方形A、B、C的边长有关，若有关，请说明理由；若无关，求出的值． 【答案】(1) 解：根据题意得：， 上述的结论正确； (2)①C；②无关， 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减，熟练掌握整式的加减步骤是解题的关键． （1）按照魔术师的步骤进行运算，即可得出结论； （2）①去括号，合并同类项后，即可得出结论； ②利用长方形的周长公式，可用含，，的代数式表示出，，二者作差后，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：① ， 多项式的值与、的大小都无关． 故选：C； ②无关，， 根据题意得：长方形的长为，宽为， ，， ， 的值与正方形、、的边长无关，的值为0． 10．探索规律． 乐乐在计算：，这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积．他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”： ① ② ③ (1)图④的阴影部分表示，这个阴影部分可以转化成长是_______，宽是_______的长方形； (2)根据以上规律计算：． 【答案】(1)9，1 (2)5050 【分析】（1）根据题目可得两个数的平方的差，等于两数之和与两数之差的乘积，由此可解； （2）将原式重新组合为，再利用（1）的规律计算即可求解． 【详解】（1）解：， 这个涂色部分可以转化成长是9，宽是1的长方形； （2）解： ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 代数式 知识点1：用字母表示数 1.意义：用字母表示数，可以简明地表示数量关系和运算规律，为后续学习带来极大方便。 2.书写规则： 字母与字母相乘时，""号通常省略不写或写成"" 字母与数相乘时，数通常写在字母的前面 带分数与字母相乘时，通常化带分数为假分数 字母与字母相除时，要写成分数的形式 当式子为几个数的和或差的形式，且结果带单位时，式子整体加括号 知识点2：代数式 1.定义：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。 2.代数式的意义：根据生活实际将给定的代数式的意义用语言叙述出来，就是将代数式的字母及运算符号赋予具体的含义。 3.列代数式：把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫做列代数式。 关键：正确理解数量关系和运算顺序 注意："的"字的层次，"和""差""积""商"等关键词 知识点3：代数式的值 1.定义：用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 2.求代数式的值的步骤： 第一步：代入——用数值代替代数式里的字母 第二步：计算——按照代数式中给出的运算，计算出结果 3.注意： 代入时，将相应的字母换成已给定的数值，其他的运算符号、原来的数字及运算顺序都不改变 代入的值不同，最后计算出的结果也可能不同 知识点4：单项式 1.定义：如果一个代数式是数或字母的积，那么这个代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。对于一个非零的数，规定它的次数为0。 知识点5：多项式 1.定义：几个单项式的和叫做多项式。 2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式含有几项，就叫几项式。 3.多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 知识点6：整式 1.定义：单项式与多项式统称整式。 2.关系： 单项式不含加减运算，多项式必含加减运算 多项式是几个单项式的和 单项式和多项式都是整式，分母中含有字母的都不是整式 知识点7：同类项与合并同类项 1.同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 3.合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变。 4.合并同类项的一般步骤： 找：找出同类项，做上相同的标记 移：利用加法交换律把同类项放在一起 并：利用合并同类项的法则合并同类项 写：写出合并后的结果 知识点8：去括号与添括号 1.去括号法则： 如果括号外的乘数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同 如果括号外的乘数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反 2.依据：分配律 3.多层括号的去法：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号。 4.添括号法则： 所添括号前面是"+"号，括到括号里的各项都不改变符号 所添括号前面是"-"号，括到括号里的各项都改变符号 知识点9：整式的加减 1.整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 2.化简求值的步骤：一化、二代、三计算 一化：先去括号、合并同类项，将整式化简 二代：代入字母的值 三计算：计算出结果 3.注意：在具体运算中，也可以先将同类项合并，再去括号，但是要按运算顺序去做。 【基础必考题型】 【题型1】代数式的概念与书写规范 1.核心知识点 代数式的定义；代数式的书写规则；单项式、多项式、整式的概念辨析 2.解题方法技巧 ①判断代数式：用运算符号连接数或字母的式子，单独的数或字母也是代数式 ②书写规范：数在前字母在后，乘号省略，带分数化假分数，除法写成分数形式 ③单项式判断：数与字母的积，不含加减运算，单独的数或字母也是单项式 ④多项式判断：几个单项式的和，必含加减运算 ⑤整式判断：单项式和多项式都是整式，分母含字母的不是整式 【例题1】.（25-26七年级上·福建漳州·期中）下列各式中，符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·湖北孝感·期末）下列各式：，，，，，，其中不符合代数式书写规范的有________个． 【变式题1-2】.（25-26六年级下·全国·单元复习）下列各式中，代数式的个数是（   ） ①；②③；④；⑤；⑥a；⑦；⑧． A．5 B．6 C．7 D．8 【变式题1-3】.（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）下列式子：①1；②2a；③；④；⑤；⑥，其中代数式有（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【题型2】代数式的意义与列代数式 1.核心知识点 代数式的语言叙述；代数式的实际意义；列代数式的方法；数量关系分析 2.解题方法技巧 ①叙述意义：按运算顺序叙述，注意"的"字的层次，同一代数式可有多种合理表述 ②列代数式：抓住关键词（和、差、积、商、倍、分、多、少等），理清运算顺序，注意括号的使用 ③实际问题：理清数量关系（如路程=速度×时间、总价=单价×数量等），建立数学模型 ④检验：代入特殊值验证代数式是否符合题意 【例题2】.（2026·河北保定·二模）代数式的意义可以是（     ） A．与的和 B．与的差 C．个相加 D．个相乘 【变式题2-1】.（2026·河南平顶山·二模）对代数式“”，我们可以这样来解释：某人以3米/秒的速度走了x秒，他一共走的路程是米．请你对“”再给出另一个实际生活方面的解释：____________． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·浙江衢州·期末）设A种糖果的单价为每千克a元，B种糖果的单价为每千克6元，则2千克A种糖果和b千克B种糖果混合而成的什锦糖果的单价为每千克（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式题2-3】.（2026·山西阳泉·三模）忻州五台山台蘑种植基地种植100公顷台蘑，原计划每公顷收获台蘑，后因暴雨使总产量减产，则最终收获台蘑的总质量为________kg．（用含的代数式表示） 【题型3】代数式求值 1.核心知识点 代数式的值的概念；代入求值的方法；运算顺序 2.解题方法技巧 ①直接代入法：将字母的值直接代入代数式，按运算顺序计算 ②代入时注意：负数代入要加括号，分数代入乘方时要加括号 ③先化简再求值：代数式较复杂时，先化简再代入，计算更简便 ④注意运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的 ⑤检验：计算完成后，可再代入检验一遍，避免计算错误 【例题3】.（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知，，则______． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如果，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·安徽合肥·期末）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·安徽六安·期末）若，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．不确定，与k值大小有关 【题型4】整式的有关概念 1.核心知识点 单项式的系数与次数；多项式的项与次数；整式的概念辨析 2.解题方法技巧 ①单项式的系数：数字因数，包括前面的符号，注意是常数 ②单项式的次数：所有字母的指数和，不包括数字的指数 ③多项式的项：每个单项式，包括前面的符号，常数项是不含字母的项 ④多项式的次数：次数最高的项的次数，不是所有项的次数和 ⑤降幂排列与升幂排列：按某一字母的指数从大到小或从小到大排列 【例题4】.（25-26七年级上·河南洛阳·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．m不是整式 B．的系数为2，次数为3 C．3是单项式 D．多项式的次数是5 【变式题4-1】.（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式；是多项式．其中正确的有（  ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·河南信阳·期末）多项式是关于、的六次三项式，则取值为_____． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·上海·期中）整式按a降幂排列的结果是________________________． 【题型5】同类项与合并同类项 1.核心知识点 同类项的定义；合并同类项的法则；合并同类项的步骤 2.解题方法技巧 ①判断同类项：两相同——所含字母相同，相同字母的指数也相同，与系数无关 ②几个常数项也是同类项 ③合并同类项：系数相加，字母和字母的指数不变，即"一加两不变" ④合并步骤：一找二移三并四写，注意移项时连同符号一起移 ⑤不是同类项的不能合并，要照抄下来 【例题5】.（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下面不是同类项的是（     ） A．与4 B．与 C．与 D．与 【变式题5-1】.（25-26七年级下·广东茂名·期末）若代数式与是同类项，则________． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·上海·期中）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·四川泸州·阶段检测）化简：． 【培优高频题型】 【题型6】程序框图与代数式求值 1.核心知识点 程序框图的理解；代数式的代入计算；循环程序的处理 2.解题方法技巧 ①读懂程序：理解程序的运算流程和判断条件 ②按顺序计算：根据输入值，按程序步骤逐步计算 ③循环程序：注意循环条件，每次计算后判断是否继续循环 ④输出结果：满足输出条件时，输出计算结果 ⑤注意：输入值为负数时，代入计算要加括号，避免符号错误 【例题6】.（25-26七年级上·湖南张家界·期末）如图是某运算程序，该程序是循环迭代的一种．根据该程序的指令，如果输入x的值是10，那么第1次输出的值是5；把第1次输出的值再次输入，那么第2次输出的值是6；把第2次输出的值再次输入，那么第3次输出的值是3，则第2025次输出的值是___________． 【变式题6-1】.（25-26六年级上·山东淄博·期末）按如图所示的程序计算，若输入的的值为30，第一次得到的结果为15，第二次得到的结果为24，按此程序进行计算，则第2026次得到的结果为____________． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·辽宁丹东·期末）如图所示，在这个运算程序中，若开始输入x的值为4，结果输出的是2，将第1次输出的结果2，再次输入运算程序，进行第2次运算，结果输出的是1，……，则第2026次输出的结果是（） A．1 B． C． D． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·北京·期中）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值为_____． 【题型7】整体代入法求代数式的值 1.核心知识点 整体思想；代数式的变形；整体代入求值的方法 2.解题方法技巧 ①观察已知式与所求式的关系，寻找共同的整体部分 ②对所求代数式进行变形，使之能用已知的整体表示 ③对已知代数式进行变形，得到需要的整体 ④将已知的整体值代入变形后的代数式，计算结果 ⑤注意：整体代入时，要确保整体的值是已知的或可求的 【例题7】.（2026·湖南·中考真题）已知，则代数式的值是________． 【变式题7-1】.（2026·四川内江·中考真题）若实数 、满足，则代数式的值为_________． 【变式题7-2】.（25-26六年级上·山东济南·期末）【概念解读】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求出某一个(或多个)未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如 ，求 的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)把 看成一个整体，合并 的结果是 ； (2)如果， 求的值； (3)求 ，其中， 【变式题7-3】.（25-26七年级上·山东菏泽·期中）【阅读材料】 整体思想就是在研究和解决有关数学问题时，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的，有意识的整体处理的解题思路．例如：已知，求代数式的值．明明同学在做作业时采用整体代入的方法如下：解：由得，，所以代数式的值为5． 【学以致用】 (1)若，求代数式的值； (2)已知当时，，求当时，代数式的值； 【题型8】探索与表达规律（数式与图形） 1.核心知识点 数式规律探究；图形规律探究；从特殊到一般的归纳思想；代数式表示规律 2.解题方法技巧 ①数式规律：观察前几项，计算相邻项的差或比，拆项分析符号、系数、字母部分的变化规律，归纳第项 ②图形规律：观察图形数量变化，转化为数列规律，找递推关系（后项比前项增加多少），归纳第个图形的数量 ③验证：代入等特殊值，检验归纳的规律是否符合实际 ④注意的起始值，通常从开始，确保规律与项数对应 【例题8】.（25-26七年级下·四川成都·期末）按一定规律排列的数：，，，，⋯，以此规律排列，第7个数是___． 【变式题8-1】.（25-26六年级下·山东东营·期末）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2026是表中第________行，第________列． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·浙江宁波·开学考试）（图形找规律）小明用小棒摆八边形，如图所示，摆n个八边形要用__________根小棒． 【变式题8-3】.（2026·江苏徐州·模拟预测）观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则=________． 【题型9】整式加减中的无关项问题 1.核心知识点 合并同类项；无关项的意义；系数为0的条件；参数求解 2.解题方法技巧 ①无关项的含义：代数式的值与某个字母的取值无关，说明该字母的系数为0 ②步骤：先化简代数式，合并同类项，再令无关字母的系数为0 ③求参数值：解方程求出参数的值 ④注意：要先化简，再判断，不能直接看原式判断 ⑤常见题型：不含某项、与某字母无关、结果为常数等 【例题9】.（25-26七年级上·四川达州·期末）已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则________． 【变式题9-1】.（25-26六年级上·山东烟台·期末）若关于的多项式不含二次项和一次项，求的值． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·湖南邵阳·阶段检测）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 【变式题9-3】.（25-26七年级上·湖北荆门·期末）【知识再现】 学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式为，所以，则． (1)【初步运用】关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)【类比迁移】已知，，且化简的结果与x取值无关，求m，n的值； (3)【拓展应用】图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张这种纸片按图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分是阴影部分（是两个长方形）．设左上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分的面积为，当的长度变化时，设，且S为定值，试探究a与b之间的数量关系，并说明理由． 【压轴素养题型】 【题型10】新定义下的整式运算 1.核心知识点 新定义运算的理解；整式的加减运算；阅读理解能力；转化思想 2.解题方法技巧 ①读懂新定义：仔细阅读定义，理解新运算的规则和运算顺序 ②转化为常规运算：按照定义将新运算转化为熟悉的整式加减运算 ③注意运算顺序：新定义运算也要遵循常规的运算顺序和括号规则 ④探究运算律：通过举例验证新运算是否满足交换律、结合律等 ⑤解新定义方程：将新定义代入，转化为常规方程求解 ⑤检验：将结果放回实际问题中，检验是否合理 【例题10】.（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）定义新运算：，则的值为（   ） A． B．1 C． D．7 【变式题10-1】.（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）定义一种运算：，若，则的值为__________． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·山西临汾·期末）阅读理解：我们把只含有一个字母，且字母的指数都是1，系数之和为0，常数项之和也为0的两个整式称为互为零和整式．例如：整式与整式，它们都只含一个字母x，x的指数都是1，且系数，常数项，因此这两个整式互为零和整式．根据以上定义，解答下列问题： (1)下列各组整式中，互为零和整式的是____________． A．与 B．与 C．与 D．与 (2)若整式与整式互为零和整式，求的值． (3)现有两个互为零和整式M和N，其中；先化简整式M，再根据零和整式的定义直接写出整式N． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·河南南阳·期末）新定义型阅读理解题 【知识背景】 定义1：一个关于，的多项式，如果把其中，互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于，的二元对称多项式．如，都是关于，的二元对称多项式． 定义2：若多项式组（，，是关于，的整式)中的三个整式满足两个条件： ①多项式是二元对称多项式； ②整式，通过加减运算后可得到整式，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 【知识应用】 (1)请你写出一个满足下列条件的二元对称多项式：①它是关于，的三次四项式；②它不能合并同类项；③按照的降幂排列． (2)判断①，②能否成为“二元对称关联式”，说明理由． (3)若是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式A． 【题型11】跨学科与情境应用问题 1.核心知识点 代数式的实际应用；跨学科知识的理解；数学建模思想；应用意识 2.解题方法技巧 ①物理情境：运动问题、工程问题、电路问题等，利用物理公式列代数式 ②经济情境：销售利润、增长率、成本核算、方案优化等问题 ③生活情境：购物优惠、行程安排、面积计算、增长率等实际问题 ④先读懂情境：理解问题背景，提取关键数据和数量关系 ⑤建立数学模型：将实际问题转化为代数式或整式运算问题 ⑥求解并检验：计算结果后，检验是否符合实际意义 【例题11】.（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个长为米、宽为b米的小长方形花园． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简） (2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若，，预计每平方米地砖的价格是50元，求购买所需地砖的费用． 【变式题11-1】.（2026·浙江金华·一模）如图，光明中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形草坪，草坪的周围修建等宽的小路，路宽为a米． (1)草坪的周长为多少米（含a的代数式表示）； (2)当米时，求草坪的周长． 【变式题11-2】.（25-26七年级下·福建厦门·期末）术中蕴含着许多数学原理，基于数学原理可以设计一些扑克牌魔术． 小鹭设计了一款扑克牌魔术，具体步骤如下： ①将一副扑克牌（共52张，不含大小王）随机打乱； ②将打乱后的扑克牌，抽取三十张，依次背面向上，叠放在桌上，第1张扑克牌在最下方，第30张扑克牌在最上方，如下图所示： ③从剩余的扑克牌中，随机抽取两张，翻开后依次摆放在桌上，余下扑克牌背面向上，叠放在原来三十张扑克牌之上，形成牌堆； ④根据每张翻开的扑克牌点数，从牌堆中从上往下数取扑克牌，放在对应扑克牌的下方，使得数取张数与该张扑克牌点数之和为13； 例如，若翻开的扑克牌为4，则取9张扑克牌；若翻开的扑克牌为K，则不取牌． ⑤将步骤③中翻开的两张扑克牌点数之和记为，在剩余牌堆中从上往下数第张，翻开对应的扑克牌． 例如，步骤③中翻开的两张扑克牌为4，K，则此时，即翻开从上往下数的第17张扑克牌．（注：本魔术中，扑克牌中的A，J，Q，K分别视为点数1，11，12，13） 在该魔术中，只需在步骤②中提前记忆特定位置的扑克牌，即可准确预测最终翻开的结果． (1)如果在步骤③中翻开的扑克牌为3，Q，按照上述步骤，步骤④中共需取的扑克牌为几张？ (2)对于任意翻开的两张扑克牌，步骤⑤中最终翻开的扑克牌是剩余牌堆中从下往上数的第几张？请说明理由． 【变式题11-3】.（25-26七年级下·广东茂名·期末）项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 【题型12】阅读理解与探究创新问题 1.核心知识点 阅读理解能力；探究与归纳；数学思想方法；创新思维 2.解题方法技巧 ①阅读材料：仔细阅读题目给出的材料，理解新概念、新方法 ②提取信息：从材料中提取关键的数学信息和方法 ③模仿应用：模仿材料中的方法，解决类似的问题 ④拓展探究：在理解的基础上，进行拓展和延伸，解决更深层次的问题 ⑤注意：要严格按照材料中的定义和方法，不能凭主观想象 【例题12】.（25-26八年级上·北京·期中）阅读下列材料： 如果整数满足，其中都是整数，那么一定存在整数，使得． 例如，或 根据上述材料，解决下列问题： (1)已知或若，则___________； (2)已知，（为整数），．若，求；（用含的式子表示） (3)一般地，上述材料中的可以用含的式子表示，请直接写出一组满足条件的（用含的式子表示）． 【变式题12-1】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）【阅读材料】计算的值． 解：设，则 ， 得： ，，即 通过阅读，你一定学到了一种解决问题的方法．请用你学到的方法计算：． 【变式题12-2】.（25-26七年级上·浙江温州·期末）综合与探究 【阅读材料】 一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被9整除，那么这个自然数就能被9整除．比如： 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，通常记这个两位数为． 即． 因为和都能被9整除， 所以就能被9整除， 所以能被9整除． 【应用拓展】 (1)请参考以上阅读材料说明理由：设是一个三位数，若能被9整除，则就能被9整除． (2)若能被9整除时，也能被9整除，则的值为___________． 【变式题12-3】.（25-26七年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 一个含有多个字母的式子中，当字母的取值均不相等，且都不为0时，任意交换两个字母的位置，式子的值不变，这样的式子叫做“对称式”．例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，，．因为，所以是“对称式”，而式子中的字母，交换位置，得到式子，但是，所以不是“对称式”． 任务： (1)下列式子中，是“对称式”的是____________．（填序号） ①；②；③ (2)写出一个系数为，只含有字母且次数为4的单项式，使该单项式是“对称式”； (3)已知，求，并判断所得结果是否是“对称式”． 易错点 1.代数式书写不规范，如数写在字母后面、带分数未化成假分数、除法未写成分数形式等。 2.混淆单项式的系数和次数，特别是是常数不是字母，系数包括前面的符号。 3.同类项判断和合并错误，认为字母顺序不同或系数不同就不是同类项；合并时字母指数也相加。 4.去括号时符号错误，括号前是负号只改变第一项符号，或数字因数漏乘后面的项。 5.代数式求值时，负数或分数代入乘方忘记加括号，导致符号或运算顺序错误。 重点 1.代数式的概念与书写规范，列代数式的方法。 2.单项式、多项式、整式的有关概念，包括系数、次数、项等。 3.同类项的概念与合并同类项的法则。 4.去括号法则与整式的加减运算。 5.化简求值与整体代入思想。 难点 1.列代数式，特别是复杂数量关系和运算顺序的把握。 2.整体代入法求代数式的值，需要观察和变形能力。 3.规律探究问题，包括数式规律和图形规律。 4.整式加减中的无关项问题和新定义运算问题。 5.整式加减的实际应用与跨学科情境问题，需要数学建模能力。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各对单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．3与 2．对于多项式，下列结论中正确的是（　　） A．是六次三项式 B．是三次三项式 C．次数最高项的系数是1 D．常数项是3 3．图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，，则的值是（     ） A．8 B．16 C．32 D．64 二、填空题 4．把多项式按x的降幂排列正确的是_________． 5．若当时，的值为，那么当时，的值为____________． 6．找规律：，，，，…，第8个数是_____． 三、解答题 7．先化简，再求值：，其中 ． 8．我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是___________（填序号）； ①与；②与；③与； (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 9．魔术师说：“请你任意想一个数，把这个数乘2后加8，然后除以4，再减去你原来所想的那个数的一半，我可以知道你计算的结果是2．” (1)如果设魔术师任意想的那个数为x，请你帮助魔术师说明上述结论的正确性； (2)在（1）中，得到的代数式化简后结果为2，它不含有x，我们称之为“与x无关”．试解决下列“无关”类问题： ①多项式的值（    ）； A．仅与x的大小无关                    B．仅与y的大小无关 C．与x、y的大小都无关                D．与x、y的大小都有关 ②三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙．已知正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c．设图1中阴影部分周长为m，图2阴影部分周长之和为n，试判断的值是否与正方形A、B、C的边长有关，若有关，请说明理由；若无关，求出的值． 10．探索规律． 乐乐在计算：，这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积．他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”： ① ② ③ (1)图④的阴影部分表示，这个阴影部分可以转化成长是_______，宽是_______的长方形； (2)根据以上规律计算：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $