第2章 28-三年高考模拟练（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了平面解析几何的核心内容，涵盖圆、椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线及直线与曲线位置关系，通过高考模拟题将定义、方程、性质与距离、最值等问题串联，构建完整知识网络。 其亮点在于结合“数学抽象”“逻辑推理”素养，设计分层练习，如圆上动点距离最值题通过对称转化培养几何直观，折纸问题抽象为椭圆定义强化建模能力。不同题型满足个性化复习需求，助力学生巩固知识，教师精准教学。

第二章 平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 三年高考模拟练 第1讲　描述运动的基本概念 应用实践 1.[2026河南安阳第一中学检测]已知点P(t,t),t∈R,点M是圆A:x2+(y-1)2= 上的动点,点N是圆B:(x-2)2+y2=  上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是 ( ) A. -1　　    B.2　　     C.3　　     D.      B     解析　圆x2+(y-1)2= 的圆心为A(0,1),圆(x-2)2+y2= 的圆心为B(2,0),则|PN|-|PM|≤|PB|+ - =|PB|- |PA|+1.设A关于直线y=x的对称点为A',则A'(1,0),所以|PB|-|PA|+1=|PB|-|PA'|+1≤|A'B|+1=2,即|PN|-|PM|的 最大值为2. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026福建南平松溪月考]已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则下列说法正确的是( ) A.y-x的最大值为 -2 B.x2+y2的最大值为7+4  C. 的最大值为  D.|x|+|y|的最小值为2-      ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　方程x2+y2-4x+1=0即(x-2)2+y2=3,它表示圆心为(2,0),半径为 的圆. 对于A,设y-x=z,(方程y-x=z表示平行直线系,利用直线与已知圆有公共点列不等式,求参数z的取值范围) 则x-y+z=0,由题知直线x-y+z=0与圆(x-2)2+y2=3有公共点,则 ≤ , 解得- -2≤z≤ -2,则z=y-x的最大值为 -2,因此A正确; 对于B,设t= , 其几何意义为圆(x-2)2+y2=3上的点到原点的距离,则t的最大值为圆心(2,0)到点(0,0)的距离加上半径,即2 + ,所以x2+y2的最大值为 =(2+ )2=7+4 ,因此B正确; 对于C,设k= ,  的几何意义为圆上的点与原点连线的斜率  则kx-y=0,由题知直线kx-y=0与圆(x-2)2+y2=3有公共点,则 ≤ ,解得- ≤k≤ ,即 的最大值为  ,因此C错误; 第1讲　描述运动的基本概念 对于D,因为(x,y)是圆(x-2)2+y2=3上的点,所以|x|的最小值为2- ,|y|的最小值为0,且两个最小值可在点(2-  ,0)处同时取得,所以|x|+|y|的最小值为2- ,因此D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025福建福州金山中学质量检测]已知椭圆C: + =1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交 椭圆C于A,B两点,若|AF1|=3|AF2|,点M满足 =3 ,且AM⊥F1B,则椭圆C的离心率为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a=2 . 又|AF1|=3|AF2|,所以|AF1|= ,|AF2|= . 因为 =3 ,所以|F1M|=3|MF2|,所以 = = , 又 = , = , 所以 = = = . 易知∠AMF1+∠AMF2=180°,所以sin∠AMF1=sin∠AMF2,所以sin∠F1AM=sin∠F2AM,所以∠F1AM=∠F2 AM,所以AM平分∠F1AF2,又AM⊥F1B,所以|AB|=|AF1|= ,所以|BF2|= - = ,所以|BF1|=2 - =  . 第1讲　描述运动的基本概念 易得cos∠AF2F1= = ,cos∠BF2F1= = . 因为∠AF2F1+∠BF2F1=180°,所以cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0,即 + =0,即3c2-2=0, 所以c= ,所以e= .   第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026河南九师联盟期中]已知点A是抛物线C:y2=8x上一点,C的准线与x轴交于点P,圆F是以C 的焦点F为圆心,1为半径的圆,点B是圆F上一点,则下列说法正确的是 ( ) A.圆F的方程为(x-2)2+y2=1 B.若直线PA与C相切,则直线PA的斜率为±  C.存在点A,B,使得点B是线段AF的中点 D.∠APB的正切值的最大值为      AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,由题知,C的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,所以P(-2,0),圆F的方程为(x-2)2+y2=1,A正确; 对于B,显然直线PA的斜率存在,设直线PA的方程为y=k(x+2), 与y2=8x联立,消y并整理,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,则Δ= -16k4=0,解得k=±1,B错误; 对于C,设A ,若点B是线段AF的中点,则B , 将点B的坐标代入(x-2)2+y2=1,整理得 + =0,解得y0=0(二重根),即A(0,0),B(1,0), 所以存在点A,B,使得B为AF的中点,C正确; 由B中分析可知,∠APFmax= , 当直线PB与圆F相切时,有tan∠BPF= = <1,所以∠BPFmax< ,所以∠APB∈ , 当A与B在不同象限内,且直线PA与曲线C相切,直线PB与圆F相切时,∠APB最大,为(∠APF)max+(∠BPF) 第1讲　描述运动的基本概念 max,此时tan∠APF=1,tan∠BPF= , 所以(tan∠APB)max= = ,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026黑龙江大庆实验中学期中]椭圆C1: + =1(a1>b1>0)与双曲线C2: - =1(a2>0,b2>0)具有相同 的左、右焦点F1,F2,它们在第一象限内的交点为P,过点P作∠F1PF2的内角平分线和外角平分线,分别交 x轴于点M,N,过F1作∠PF1F2的内角平分线,分别交PM,PN于点I1,I2,如图所示,设 =λ, =μ,若∠F1 PF2=60°,则λ+ μ的最大值是 ( )   A.2　　    B.2 　　    C.2 　　    D.4     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1,e2. 由题意可得 解得  在△F1PF2中,由余弦定理可得 = + -2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2,即4c2= + -(a1+a 2)·(a1-a2),整理可得4c2= +3 ,即4= + ,可得 + =4. 由题意可知I1为△F1PF2的内心, 则 = =λ, = =λ, 可得λ= = = = , 连接I2F2,因为点I2在∠PF1F2的内角平分线上,所以点I2到直线PF1,F1F2的距离相等, 又点I2在∠F1PF2的外角平分线上,所以点I2到直线PF1,PF2的距离相等, 第1讲　描述运动的基本概念 可知点I2到直线PF2,F1F2的距离相等,则F2I2平分∠PF2N,则 = =μ, = =μ, 可得μ= = = = , 由 + =4可得λ2+3μ2=4, 又4=λ2+3μ2≥ ,且λ,μ>0,所以λ+ μ≤2 ,当且仅当λ= μ= 时,等号成立, 所以λ+ μ的最大值是2 . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025湖南长沙一中检测]斜率为1的直线与双曲线E: - =1(a>0,b>0)交于A,B两点,点C是双曲线E上 一点,满足AC⊥BC,△OAC和△OBC的重心分别为P,Q,△ABC的外心为R,记直线OP,OQ,OR的斜率分别 为k1,k2,k3,若k1k2k3=-8,则双曲线E的离心率为_________. 解析　取AC,BC的中点M,N,连接OM,ON(图略). 易知△OAC的重心P在中线OM上,△OBC的重心Q在中线ON上,所以k1=kOP=kOM,k2=kOQ=kON. 设直线AC的方程为y=kx+m. 由 得(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0,所以xA+xC= ,所以xM= = ,所以yM=  +m= ,所以kOM= = ,所以kAC·kOM= .同理,kON·kBC= . 所以k1·kAC=k2·kBC= . 第1讲　描述运动的基本概念 由AC⊥BC,得kAC·kBC=-1,所以k1·k2=- . 因为AC⊥BC,且△ABC的外心为点R,所以R为线段AB的中点,所以kOR·kAB= ,又kAB=1,所以kOR= .所以k1k 2k3=- =-8,所以 = , 所以e= = . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026云南丽江永胜第一中学期中]已知椭圆E: + =1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作直线l1交E于 A,B两点,过F2作垂直于直线l1的直线l2交E于C,D两点,直线l1与l2相交于点P. (1)若直线l1的斜率为1,求直线l2的方程; (2)求点P的轨迹方程; (3)求四边形ACBD面积的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)易得F1(-1,0),F2(1,0). 因为直线l1的斜率为1,所以直线l2的斜率为-1, 又直线l2过点F2(1,0), 所以直线l2的方程为y=-(x-1),即x+y-1=0. (2)设P(x,y). 由题意得 · =0. 易得 =(-1-x,-y), =(1-x,-y),所以 · =(-1-x)·(1-x)+y2=0,即x2+y2=1, 所以点P的轨迹方程为x2+y2=1. (3)不妨设A在B的左侧,C在D的左侧. 易知四边形ACBD的面积S= |AB||CD|. 第1讲　描述运动的基本概念 如图,过F1作平行于l2的直线交E于M,N两点,由对称性可知|CD|=|MN|.   ①当l1的斜率为0或不存在时,S= ×4×3=6. ②当l1的斜率存在且不为0时,设l1:x=my-1(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2). 由 得(3m2+4)y2-6my-9=0, 所以Δ=144(m2+1),y1+y2= ,y1y2= , 所以|AB|=  = . 第1讲　描述运动的基本概念 同理,得|CD|=|MN|= = , 所以S= |AB||CD|= . 令t=m2+1,则t∈(1,+∞),S= = , 易知- + +12=- + ∈ ,所以S∈ . 综上,S∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025福建厦门第一中学月考]已知直线l1:y=x,直线l2:y=-x,动点M到x轴的距离小于它到y轴的距离,过M 分别作l1和l2的垂线,垂足分别为D,E,O为坐标原点,四边形ODME的面积为 ,设动点M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)若C交x轴的正半轴于点A,C上一点B和直线x=-1上一点Q满足△ABQ是以BQ为底的等腰直角三角形. (i)求直线BQ的斜率; (ii)若B在第一象限内,过A且垂直于l2的直线和过B且垂直于l1的直线交于P1,过P1且平行于AB的直线交C 于A1,B1(A1在B1下方).按照如下方式依次构造点Pn,An,Bn(n=2,3,…):过An-1且垂直于l2的直线和过Bn-1且垂直 于l1的直线交于Pn,过Pn且平行于AB的直线交C于An,Bn(An在Bn下方),求证: (n∈N*)是定值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)如图1,设M(x,y),因为l1的斜率为1,l2的斜率为-1,所以l1⊥l2,所以四边形ODME为矩形. 易知M到直线l1的距离d1= ,所以|MD|= ,同理,得|ME|= , 所以四边形ODME的面积为|MD|·|ME|= · = ,所以|x2-y2|=9. 因为M到x轴的距离小于它到y轴的距离, 所以|x|>|y|,所以x2>y2,所以x2-y2=9, 即C的方程为x2-y2=9.   第1讲　描述运动的基本概念 (2)(i)解法一:设T(-1,0),B(xB,yB). 对于x2-y2=9,令y=0,得A(3,0). ①如图2,当B在第一象限内时,xB>0,yB>0,因为△ABQ是以BQ为底的等腰直角三角形,所以Q在x轴上方,| AB|=|AQ|,∠QAB= . 作BS⊥x轴,垂足为S,则△ABS≌△QAT,所以|BS|=|AT|=4,所以yB=4, 又 - =9,所以xB=5,所以B(5,4),所以|QT|=|AS|=2,所以Q(-1,2),所以kBQ= = .  　      第1讲　描述运动的基本概念 ②如图3,当B在第二象限内时,xB<0,yB>0,因为△ABQ是以BQ为底的等腰直角三角形,所以Q在x轴下方,| AB|=|AQ|,∠QAB= . 作BS⊥x轴,垂足为S,则△ABS≌△QAT,所以|BS|=|AT|=4,所以yB=4,又 - =9,所以xB=-5,所以B(-5,4),所以 |QT|=|AS|=8,所以Q(-1,-8),所以kBQ= =-3. ③当B在第三象限内时,由对称性知,直线BQ的斜率为3. ④当B在第四象限内时,由对称性知,直线BQ的斜率为- . 综上,直线BQ的斜率为± 或±3. 解法二:将y=0代入x2-y2=9,得A(3,0). 易知直线AB的斜率存在且不为零,故可设直线AB的方程为x=my+3(m≠0),则直线AQ的方程为y=-mx+ 3m,所以|AQ|= ·|3-(-1)|=4 . 第1讲　描述运动的基本概念 由 得(m2-1)y2+6my=0,所以yB= , 所以|AB|= |yA-yB|=  . 由| |=| |得  =4 ,即3|m|=2|m2-1|,所以2(m2-1)=±3m,所以m=±2或m=± . 当m=2时,Q(-1,8),yB=-4,xB=-5,所以B(-5,-4),所以kBQ= =3; 当m=-2时,Q(-1,-8),yB=4,xB=-5,所以B(-5,4),所以kBQ= =-3; 当m= 时,Q(-1,2),yB=4,xB=5,所以B(5,4),所以kBQ= = ; 当m=- 时,Q(-1,-2),yB=-4,xB=5,所以B(5,-4),所以kBQ= =- . 综上,直线BQ的斜率为± 或±3. 第1讲　描述运动的基本概念 (ii)证明:由(i)知,B(5,4).记A0=A,B0=B. 设An(x1,n,y1,n),Bn(x2,n,y2,n)(n∈N),Pn(xn,yn)(n∈N*). 由于n≥2,n∈N*时,An-1Bn-1∥A0B0,所以对n∈N*, = =kAB= =2,所以 =2. 由 得 - = - , 所以(x1,n-1-x2,n-1)(x1,n-1+x2,n-1)=(y1,n-1-y2,n-1)·(y1,n-1+y2,n-1), 所以x1,n-1+x2,n-1=2(y1,n-1+y2,n-1).(*) 因为An-1Pn⊥l2,所以 =1,所以直线An-1Pn的方程为y=x-x1,n-1+y1,n-1.① 同理,得直线Bn-1Pn的方程为y=-x+x2,n-1+y2,n-1.② 由①②得xn= = ,yn= = , 第1讲　描述运动的基本概念 所以yn= ,所以点Pn在直线y= 上. 另一方面,设线段AnBn的中点为Tn(x0,n,y0,n),则由(*)知,x1,n+x2,n=2(y1,n+y2,n),即x0,n=2y0,n,所以点Tn也在直线y=  上. 所以Pn,Tn均为直线y= 与直线AnBn的交点,所以Pn与Tn重合,所以Pn是线段AnBn的中点. 因为AnPn+1⊥l2,BnPn+1⊥l1,l1⊥l2,所以AnPn+1⊥BnPn+1,所以 =2(n∈N*),为定值. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026上海市北中学期中]某些折纸活动蕴含着丰富的数学内容,如图,将半径为4的圆形纸片按如下步 骤折叠:   步骤1:设圆心是O,在圆内(除去圆心)取一点F,使|OF|=2; 步骤2:把纸片折叠,使圆周正好通过点F; 步骤3:把纸片展开,于是就留下一条折痕; 步骤4:不停重复步骤2和3,能得到越来越多条的折痕. 这些折痕可围成一个图形. 第1讲　描述运动的基本概念 (1)以FO的中点(记为S)为原点, 的方向为x轴的正方向,垂直于FO且竖直向上的方向为y轴的正方向, 建立平面直角坐标系,求折痕围成的图形对应的曲线的标准方程; (2)经过点O且与直线FO的夹角为 的直线交折痕围成的图形于C,D两点,求△FCD的面积; (3)设折痕围成的图形与x轴的两个交点分别为Q,B(Q在B的左侧),与过点O的直线l交于M,N两点,直线 QM,BN交于点T,求证点T在定直线上,并求出此定直线的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设AO与第一条折痕的交点为P,P(x,y),如图所示.   由题意可知|PF|+|PO|=|PA|+|PO|=|AO|=4且|FO|=2<4, 所以由椭圆的定义可知点P在以F,O分别为左、右焦点的椭圆上,且2a=4,2c=2, 所以a=2,c=1,b2=a2-c2=3,所以此椭圆的标准方程为 + =1. (2)经过点O且与直线FO的夹角为 的直线的倾斜角为 或 , 由椭圆的对称性,不妨设此直线的倾斜角为 ,即此直线的斜率k=1, 第1讲　描述运动的基本概念 又O(1,0),所以直线CD:y=x-1. 设C(x1,y1),D(x2,y2), 联立 消去x,得7y2+6y-9=0,则Δ=36-4×7×(-9)=288>0,且y1+y2=- ,y1y2=- , ∴|y1-y2|= = = , ∴S△FCD= ×|FO|×|y1-y2|= ×2× = . (3)显然直线l的斜率不为0,则可设直线l的方程为x=my+1, 另设M(x3,y3),N(x4,y4), 联立 消去x,得(3m2+4)y2+6my-9=0,此时Δ>0,y3+y4=- ,y3y4=- ,所以y3y4= (y3+y4), 第1讲　描述运动的基本概念 又Q(-2,0),B(2,0),所以直线QM的方程为y= (x+2)①,直线BN的方程为y= (x-2)②. 联立①②,可得 = = = =3,解得x=4, 所以点T在定直线x=4上. 核心素养　本题通过折纸艺术与椭圆的融合,系统考查了数学的核心素养的多个维度:①数学抽象:学 生需将“折叠纸片,使圆周通过点”的操作转化为代数条件,根据题中建立的坐标系来推导出椭圆方 程.②逻辑推理:证明折痕图形为椭圆时,需运用定义进行演绎;第(3)问中通过联立方程证明点在定直线 上,要求有精细严谨的推理思路.③直观想象:折叠时想象折痕为对称轴,折叠前后存在等量关系;第(2)问 中通过画图分析直线夹角的情形.④数学运算:通过代数计算得到结果. 第1讲　描述运动的基本概念 $