第二章 平面解析几何全章高频重点题型突破（23大高频+7大重难题型+4大易错点，专项训练）数学人教B版高二选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦平面解析几何全章高频重点与重难题型，构建"基础-提升-易错-专练"四维训练体系，通过分层突破培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|23题型|覆盖直线、圆、圆锥曲线定义与方程|从几何直观到代数表达，构建坐标法解决问题的思维链| |核心提升|7题型|聚焦离心率、定点定值等综合问题|强化方程思想与转化能力，体现知识纵向深化| |易错归纳|4要点|针对截距、斜率等高频易错点|通过反例分析完善概念理解，培养严谨思维| |题型专练|多题组|精选跨年级期中期末真题|以题载法，实现从知识掌握到应试能力的转化|

第二章 平面解析几何全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 直线的倾斜角与斜率 题型13 两圆的公共弦问题 题型2 直线与线段的交点问题 题型14 两圆的公切线问题 题型3 两条直线的平行与垂直 题型15 圆锥曲线的定义 题型4 直线方程的五种形式 题型16 焦点三角形问题 题型5 直线的交点问题 题型17 根据圆锥曲线方程求参数 题型6 三种距离公式 题型18 求圆锥曲线的标准方程 题型7 对称问题 题型19 圆锥曲线的简单几何性质 题型8 圆的方程 题型20 直线与圆锥曲线位置关系的判断 题型9 直线与圆的位置关系 题型21 圆锥曲线的弦长及面积问题 题型10 直线与圆的相交弦问题 题型22 圆锥曲线的中点弦问题 题型11 圆的切线与切线长问题 题型23 圆锥曲线中的轨迹问题 题型12 圆与圆的位置关系的判断 核心提升·重难题型归纳 题型1 直线与圆中的最值问题 题型2 圆锥曲线的离心率问题 题型3 圆锥曲线中的最值与范围问题 题型4 圆锥曲线的定点定值问题 题型5 圆锥曲线中的定直线问题 题型6 圆锥曲线中的非对称韦达定理问题 题型7 圆锥曲线中的新定义问题 易错归纳·查缺补漏避陷阱 易错归纳1 利用截距式方程前应考虑截距为0 易错归纳2 忽略二元二次方程表示圆的条件 易错归纳3 利用点斜式方程前应该考虑斜率不存在 易错归纳4 忽略圆锥曲线定义中的限制条件 题型专练·高频重难特训 ◆题型1 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26高二下·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得， 解得，经检验符合题意. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求解. 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 3．（25-26高二·全国·暑假作业）若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率计算公式，列出不等式求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为锐角， 所以斜率，所以. 即的取值范围是. 4．（25-26高二上·浙江杭州·期中）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由直线经过两点，得直线的斜率， 则直线的倾斜角，直线的倾斜角为， 所以的斜率为. 5．（25-26高二下·云南昆明·开学考试）已知直线经过点，则下列选项中正确的是（   ） A．直线的斜率为1 B．直线的倾斜角为 C．直线的方向向量为 D．直线在y轴上的截距为2 【答案】C 【分析】由斜率公式求得斜率，得到直线方程，再结合倾斜角、方向向量和截距的概念逐项判断即可. 【详解】设直线的倾斜角为 由斜率公式得，故A错误； ，故B错误； 由斜率可得方向向量为，是直线方向向量，所以C正确． 直线方程为：，令得，即直线在轴上截距为，D错误. 6．（25-26高二上·四川自贡·期中）已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 【答案】 【分析】根据斜率公式可得关于m的方程，求解可得实数的值. 【详解】由题可知，直线的斜率为. 所以，化简得， 即，解得. 故答案为：. ◆题型2 直线与线段的交点问题 1．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D．或 【答案】D 【详解】整理直线的方程，可知直线恒过定点， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 直线与线段相交（包含端点），则直线的斜率需或： 当时，直线的方程为，即轴，与线段交于点，符合条件； 当时，直线的斜截式方程为，斜率为， 若，解得；若，解得或， 综上，的取值范围是或. 2．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记点为，求出直线的斜率，结合斜率的变化情况可得. 【详解】记点为， 由题意可得，，， 当直线由转到与轴重合时，直线l的斜率k满足； 当直线由轴转到与直线重合时，直线l的斜率k满足， 若要保证直线与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 故选：D 3．（25-26高二上·河南信阳·阶段检测）已知点，，直线与线段AB总有交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线所过定点P和两点间斜率公式求出即可由斜率定义数形结合求解. 【详解】直线过定点， 所以，如图，    由图可知实数k的取值范围是. 故选：B 4．（2026高三·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 【答案】 8 【分析】由题可知表示定点和曲线上任一点的连线的斜率，再结合函数图像求解． 【详解】解析：如图，作出的图像（曲线段）， 则表示定点和曲线段上任一点的连线的斜率， 连接，，则．易得，， 所以，，所以， 故的最大值是8，最小值是． 5．（25-26高一下·上海·阶段检测）若直线与点构成的线段相交，则的取值范围是_________. 【答案】或 【分析】首先求出直线过定点，利用斜率计算公式求出，，再数形结合即可得解． 【详解】直线过定点，如图，    由，， 由直线与线段相交，可得的取值范围是或. 6．（25-26高二下·上海·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 【答案】 【详解】点，点，可得，， 如下图示，所以. ◆题型3 两条直线的平行与垂直 1．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知直线与直线平行，则实数的值为（    ） A．-4 B．1 C．-1 D．-4或1 【答案】A 【分析】由两直线平行可得，求解得的值，检验可得结论. 【详解】因为直线与直线平行，所以，解得或. 当时，直线，直线，满足题意； 当时，直线，直线0，两直线重合，舍去. 综上所述，. 故选：A. 2．（25-26高二上·湖北·期末）直线的倾斜角为，的一个方向向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的倾斜角和的方向向量分别求出两直线的斜率，再利用两直线垂直的条件计算即可. 【详解】直线的斜率，直线的斜率， 由，得， 故. 故选：B. 3．（25-26高二上·广东江门·期末）已知直线：，，则直线的倾斜角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】D 【分析】根据两直线垂直求出直线的斜率，再由直线的倾斜角与斜率的关系即可求得答案. 【详解】由：可得直线的斜率为， 因，则直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 又，则. 故选：D. 4．（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知直线l过点且与直线垂直，则直线l方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直时斜率的关系，以及点斜式方程定义，求出结果即可. 【详解】直线的斜率为，则与它垂直的直线l的斜率为， 又直线l过点，，即. 故选：A. 5．（多选）（25-26高二上·安徽宿州·期末）已知直线和直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 【答案】ABD 【分析】根据直线过定点、两直线平行、直线的图像以及两直线垂直逐项计算判断即可． 【详解】对于A，直线：， 由，得，，始终过定点，故A正确； 对于B，若，则有，解得，故B正确； 对于C，，则，解得或，故C错误； 对于D，当时，始终过， 因为，所以直线斜率，不会过第三象限，故D正确． 故选：ABD． 6．（多选）（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．可能垂直于轴 B．可能垂直于轴 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据直线平行的条件、直线垂直的条件逐项判断即可. 【详解】对于A，因为直线，的系数不为0，所以不垂直于轴，A错误； 对于B，当时，，与轴垂直，B正确； 对于C，当时，. 因为直线的斜率均为且不重合，所以两直线平行，C正确； 对于D，因为，所以，解得或. 当时，由C选项知两直线是平行的； 当时，，斜率均为，且两直线不重合，所以两直线平行. 故时或，D错误； 故选：BC. ◆题型4 直线方程的五种形式 1．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出. 【详解】直线的斜率为， 又直线过点，，即. 故选：C. 2．（25-26高二上·江苏泰州·期末）已知，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用两点式求斜率，再由点斜式写出直线方程. 【详解】由题设，则，可得. 故选：A 3．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向向量求出斜率，代入点斜式方程求解. 【详解】因为l的一个方向向量为， 所以直线l的斜率， 直线l过点，所以直线l的方程为，即， 故选：C. 4．（25-26高二上·新疆和田·期末）已知直线，则过点且与直线垂直的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线垂直时斜率的关系，以及点斜式方程定义，求出结果即可. 【详解】直线斜率为，则与直线垂直的直线斜率为， 则过点且与直线垂直的直线方程为，即. 故选：C. 5．（25-26高二上·江西景德镇·期中）在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求边上的中点坐标，再求边上的中线的斜率与方程. 【详解】∵， ∴边上的中点坐标为， ∴边上中线所在的直线的斜率为， ∴边上中线所在的直线方程为，即 故选：A 6．（25-26高二上·江西赣州·期末）经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由题意分截距为0与截距不为0两种情况求解即得. 【详解】当直线经过原点时，此时直线方程可设为， 代入点，解得，所以直线方程为即； 当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为， 代入点，解得，所以直线方程为. 综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是或. 故选：C. ◆题型5 直线的交点问题 1．（25-26高三·全国·一轮复习）直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线方程求解即可. 【详解】联立，解得，即l1与l2的交点坐标为． 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然时不合题意，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为两条直线垂直，所以，解得， 联立可得，解得，即两条直线的交点坐标为. 3．（2026·广东·模拟预测）已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 【答案】A 【详解】因为直线，，能构成三角形， 所以不平行于且不平行于且，，不共点， 当不平行于时，可得， 当不平行于时，可得， 当，，不共点时，由，解得， 所以，解得， 所以且且，所以， 所以的子集个数为. 4．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两直线相交，求得交点坐标，再根据交点所在位置，得不等式组，求解即可. 【详解】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 5．（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立方程可得经过的点，由垂直可得直线的斜率，由点斜式可写直线的方程，化为一般式即可． 【详解】直线经过两条直线和的交点， 由， 可得交点为， 直线与直线垂直， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即． 故选:B． 6．（25-26高二上·河南郑州·阶段检测）若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 【答案】B 【分析】将方程组进行消元，再对消元后的方程的解进行讨论可得所求值. 【详解】易知当时，方程组有解，不满足题意； 当时，方程组消去y得，， 当时，方程无解，所以原方程组无解，符合题意； 当时，方程的解集为，此时原方程组有无数多组解，不符合题意，故. 故选：B. 7．已知，直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出两直线所过定点，确定动点P的轨迹方程，结合圆上的点到定直线的距离的最值，即可求得答案； 【详解】直线整理可得，， 即直线恒过，同理可得恒过， 又，直线和互相垂直， 两条直线的交点在以，为直径的圆上， 即的轨迹方程为，去掉， （这是因为不能表示直线，不能表示直线） 设该圆心为，则，则， 由于垂直于直线，故M到的距离即为，而， 即，而当时，点的坐标为，不符合题意. 故的取值范围是， 故选：C． ◆题型6 三种距离公式 1．（2026·山西忻州·模拟预测）圆的圆心到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，求得圆心的坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】将圆，化为，可得圆心为， 圆心到直线的距离为． 2．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设点的坐标为，根据点到直线的距离列方程求出的值即可． 【详解】设点的坐标为， 则点到直线的距离为， 解得或， 所以点的坐标为或． 故选：D． 3．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由点到直线的距离公式，即得解 【详解】由点到直线的距离公式得，即， 又，所以． 故选：B. 4．（25-26高二上·重庆·阶段检测）若点到直线（为任意实数）的距离取最大值时，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先求出直线所过定点，得到最大距离时，然后由斜率关系可得. 【详解】直线方程可化为， ，解得， 所以直线恒过点，设为点 此时为点到直线的最大距离，且， 由斜率关系可得. 故选：B. 5．（25-26高二上·北京·期中）平行线与之间的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】应用平行线间距离公式计算求解. 【详解】平行线与之间的距离为. 故选：A. 6．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知直线，直线，若直线，则直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据求出参数的值，再利用两平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由，得，解得或． 当时，，，直线与直线之间的距离为； 当时，，，直线与直线重合，舍去． 故直线与直线之间的距离是． 故选：D. ◆题型7 对称问题 1．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 2．（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 3．（25-26高二上·天津西青·期末）与直线关于轴对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取所求直线上任意一点，可求得关于轴的对称点的坐标，将其代入即可求解. 【详解】设与直线关于轴对称的直线为l, 取l上任意一点，则关于轴的对称点为， 所以在直线上，即，亦即. 故选：D. 4．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求直线与直线的交点，再在直线上取点关于直线对称的点为，即，解出，利用点斜式即可求解. 【详解】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 5．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设对称点坐标，再利用两个核心条件列方程：一是两点中点在已知直线上，代入得关于对称点坐标的方程；二是两点连线与已知直线垂直，由斜率乘积为-1得另一方程,联立方程组求解，最终得对称点为. 【详解】设点关于直线的对称点为， 直线，即，因此斜率为1，又垂直直线斜率乘积为-1， 所以的斜率为-1，即，化简得， 又的中点在直线上，代入得 ，化简得，联立和， 解得故对称点为. 故答案选：B. 6．（25-26高二上·河北·阶段检测）在平面直角坐标系中，由点发出的一条光线射向轴上的点后，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点关于轴的对称点，则反射光线所在的直线即为直线，求出直线的方程即可. 【详解】点关于轴的对称点的坐标为， 由题意反射光线所在的直线即为直线， ， 所以直线的方程为，即， 即反射光线所在的直线方程为. 故选：A. 7．（25-26高二上·贵州贵阳·期末）已知直线和，两点，若直线l上存在点C使得最小，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点关于直线的对称点为，求出，进而联立直线与的方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 当三点共线时，最小， 则由题意得，，解得，即， 则，则直线，即， 联立，得，， 故点C的坐标为. 故选：A 8．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】求出点关于直线的对称点，利用轴对称性质及两点间线段最短求出最小值. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得，即点， 因此，当且仅当为线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是4. 故选：D ◆题型8 圆的方程 1．（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆上任意一点为，由题可得，据此可得圆方程. 【详解】设圆上任意一点为，因为圆直径，当不同于两点时，有， 当点与两点中任意一点重合时，可得或为，则. 综上对圆上任意一点，.从而, 即 2．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆的标准方程为，代入三点坐标解方程组可得答案. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过点，所以 ，即， 化简得, 解得，代入方程得, 则圆的标准方程为. 故选：A. 3．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出线段的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径即可. 【详解】线段的中点，直线的斜率为， 则线段的中垂线的斜率为，所以线段的中垂线方程为， 即，由，解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 4．（2026·湖南·模拟预测）设A，B是半径为4的球O的表面上两定点，且，球O的表面上一动点P满足，则点P的轨迹长度为______． 【答案】 【分析】在平面内建立直角坐标系，并求出点P在平面内轨迹方程，得到该轨迹为圆，转化到空间得到轨迹为两球的交线，通过球心距求得交线圆的半径，即可得其周长，即点P的轨迹长度. 【详解】由题意知，，所以是正三角形. 如图，在平面内，以的中点为坐标原点，分别以所在直线及的垂直平分线为轴，建立直角坐标系， 则.设， 由动点P满足，得， 化简得，，即点P在平面内的轨迹为以点为圆心，半径为的圆. 转化到空间中：当以为轴旋转一周时，动点P依然满足， 故空间中点的轨迹为以为球心，半径为的球. 同时点在球上，故点P的轨迹为两球的交线，是一个圆. 因为，， 所以，所以， 所以点P的轨迹（圆）的半径为. 所以其周长，即点P的轨迹长度为. 5．（2026高三·全国·专题练习）已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________． 【答案】（且） 【详解】法一：设顶点，因为，且，，三点不共线，所以且． 又因为，，且， 所以，化简得． 因此，直角顶点的轨迹方程为（且）． 法二：设的中点为，由中点坐标公式得． 由直角三角形的性质知，． 由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（由于，，三点不共线，所以应除去与轴的交点）， 直角顶点的轨迹方程为（且）． ◆题型9 直线与圆的位置关系 1．（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】A 【详解】因为圆心到直线的距离为， 又圆的半径. 由可知，直线与圆相离. 2．（河北衡水中学2024届高三年级下学期二调考试数学试题）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 【答案】A 【详解】圆，则圆心，半径， 所以圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相交． 3．（24-25高三上·河南南阳·期末）直线交圆于、两点，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】直线与圆方程联立，求出点坐标，再根据平面向量数量积的坐标运算，可求. 【详解】联立解得：，， 所以. 故选：D 4．（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】直线与圆相交转化为圆心到直线的距离小于半径，列不等式求解即可. 【详解】圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交， 所以，化简得. 5．（25-26高二下·上海·阶段检测）设，若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】将方程的根的个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题求解即可. 【详解】关于的方程有两个不相等的实根，即方程有两个不相等的实根. 所以的图象与函数的图象有两个交点. 的图象恒过定点，且直线的斜率，作出的图象，如图所示.    当直线经过点时，直线与的图象恰好有两个交点，此时直线的斜率. 当直线与半圆相切于点时，此时圆心到直线的距离，解得. 由图象可得，当直线的斜率由逐渐增大到时，此时直线与半圆始终有两个交点，符合题意，故的取值范围是. 6．（22-23高二上·河南新乡·期末）若直线：与曲线有两个交点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图象，即可求出的取值范围. 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， 又曲线可化为， 其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图. 当直线与该曲线相切时，点到直线的距离， 解得，设，则， 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则实数， 即实数的取值范围是. ◆题型10 直线与圆的相交弦问题 1．（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】A 【详解】因为圆心到直线的距离为， 又圆的半径. 由可知，直线与圆相离. 2．（河北衡水中学2024届高三年级下学期二调考试数学试题）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 【答案】A 【详解】圆，则圆心，半径， 所以圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相交． 3．（24-25高三上·河南南阳·期末）直线交圆于、两点，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】直线与圆方程联立，求出点坐标，再根据平面向量数量积的坐标运算，可求. 【详解】联立解得：，， 所以. 故选：D 4．（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】直线与圆相交转化为圆心到直线的距离小于半径，列不等式求解即可. 【详解】圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交， 所以，化简得. 5．（25-26高二下·上海·阶段检测）设，若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】将方程的根的个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题求解即可. 【详解】关于的方程有两个不相等的实根，即方程有两个不相等的实根. 所以的图象与函数的图象有两个交点. 的图象恒过定点，且直线的斜率，作出的图象，如图所示.    当直线经过点时，直线与的图象恰好有两个交点，此时直线的斜率. 当直线与半圆相切于点时，此时圆心到直线的距离，解得. 由图象可得，当直线的斜率由逐渐增大到时，此时直线与半圆始终有两个交点，符合题意，故的取值范围是. 6．（22-23高二上·河南新乡·期末）若直线：与曲线有两个交点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图象，即可求出的取值范围. 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， 又曲线可化为， 其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图. 当直线与该曲线相切时，点到直线的距离， 解得，设，则， 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则实数， 即实数的取值范围是. ◆题型11 圆的切线与切线长问题 1．（2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出过点的半径所在直线的斜率，由垂直关系得切线斜率，从而可得切线方程． 【详解】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 2．（25-26高二下·全国·期中）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，直线过点， 而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 3．（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设过点的切线与圆的切点分别为，连接， 易得，在中，，则， 故这两条切线的夹角为. 4．（25-26高二下·河南驻马店·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解. 【详解】由 可得， 所以，进而可得， 故， 所以四边形的面积为. 5．（25-26高二上·河南洛阳·期末）过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知当与直线垂直时，取最小值，利用点到直线的距离公式可求出的最小值，结合勾股定理可求得的最小值. 【详解】连接，则，如下图所示： 圆的圆心为坐标原点，半径为，由勾股定理可得， 所以当取最小值时，取最小值， 故当与直线垂直时，取最小值， 即的最小值为， 所以. 故选：B. 6．（25-26高二上·陕西渭南·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦AB所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求以为直径的圆的方程,再通过两圆的方程相减得到公共弦的直线方程. 【详解】已知圆的圆心.半径.且, 所以的中点的坐标为. ， 故有以为直径的圆的方程为: . 化简得，. 将圆的标准方程展开得，. 是两圆的公共弦，其方程为两圆方程相减， 化简得,. 故选：C ◆题型12 圆与圆的位置关系的判断 1．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 2．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查两圆内切的位置关系，利用两圆内切的充要条件：圆心距等于两圆半径之差的绝对值，建立等量关系即可求解a的值. 【详解】解：由题知： 圆方程可化为：，所以圆心为，半径， 由圆的方程可知，圆心为，半径， 所以圆心距. 因为圆与圆内切，所以圆心距，即，所以或，而，因此. 3．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．外离 C．相切 D．相交 【答案】D 【分析】根据两圆方程求出圆心距，并与两圆半径之和、之差进行比较，即可得出结论. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则，因， 即两圆相交， 故选：D. 4．（25-26高二上·江苏扬州·期末）若圆与圆相交，则正整数的值为（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先求圆心坐标，再求圆心距，再利用两圆相交得，解出即可求解. 【详解】圆的圆心，半径为，圆，所以， 所以圆心，半径为， 所以， 由圆与圆相交，所以， 即，解得，又，所以， 故选：B. 5．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，圆与圆相交于A，B两点，则四边形OACB的面积为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】联立方程可求解两圆的交点，即可根据对称性求解面积. 【详解】联立可得或， 故, 又, 故四边形OACB的面积为, 故选：B    6．已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆的标准方程得出圆心及半径，再设点应用圆外切得出化简得出轨迹方程. 【详解】圆的标准方程为，所以圆的圆心为，半径． 因为圆与圆外切，且半径为3，所以点与点的距离． 设，则，化简得， 故选:C. ◆题型13 两圆的公共弦问题 1．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 2．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查两圆内切的位置关系，利用两圆内切的充要条件：圆心距等于两圆半径之差的绝对值，建立等量关系即可求解a的值. 【详解】解：由题知： 圆方程可化为：，所以圆心为，半径， 由圆的方程可知，圆心为，半径， 所以圆心距. 因为圆与圆内切，所以圆心距，即，所以或，而，因此. 3．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．外离 C．相切 D．相交 【答案】D 【分析】根据两圆方程求出圆心距，并与两圆半径之和、之差进行比较，即可得出结论. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则，因， 即两圆相交， 故选：D. 4．（25-26高二上·江苏扬州·期末）若圆与圆相交，则正整数的值为（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先求圆心坐标，再求圆心距，再利用两圆相交得，解出即可求解. 【详解】圆的圆心，半径为，圆，所以， 所以圆心，半径为， 所以， 由圆与圆相交，所以， 即，解得，又，所以， 故选：B. 5．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，圆与圆相交于A，B两点，则四边形OACB的面积为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】联立方程可求解两圆的交点，即可根据对称性求解面积. 【详解】联立可得或， 故, 又, 故四边形OACB的面积为, 故选：B    6．已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆的标准方程得出圆心及半径，再设点应用圆外切得出化简得出轨迹方程. 【详解】圆的标准方程为，所以圆的圆心为，半径． 因为圆与圆外切，且半径为3，所以点与点的距离． 设，则，化简得， 故选:C. ◆题型14 两圆的公切线问题 1．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以圆与圆的公切线条数为3. 2．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知点到直线的距离分别为3，4，则符合条件的直线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】以A为圆心，3为半径的圆的标准方程为， 以B为圆心，4为半径的圆的标准方程为， 又， 由题意可知直线是两圆的公切线， 因为，所以两圆相交， 即两圆的公切线有2条，则符合条件的直线的条数为2条. 3．（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆内切求出圆的半径，分析可知公切线与直线垂直，据此可设公切线的方程为，即，利用直线与圆相切可得出关于的方程组，求出的值，即可得出所求公切线的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 其圆心为，半径为， 因为，即圆心在圆外，故圆内切于圆， 故， 易知公切线与直线垂直，且，故公切线的斜率为， 设公切线的方程为，即， 所以，解得，所以两圆公切线方程为. 故选：D. 4．（多选）（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆与圆，则（    ） A．圆心距 B．两圆的公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公共弦长为 D．直线是两圆的一条公切线 【答案】ABD 【分析】根据圆的方程确定圆心坐标后计算圆心距，可得A;两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，再在其中一个圆中计算公共弦弦长可判断B,C;计算两个圆到给定直线的距离是否分别等于各自半径，可判断D. 【详解】根据两圆方程，可知圆的圆心坐标,半径,圆的圆心坐标,半径. 对于A：,故A正确； 对于B：由A可知，,因此两圆相交.两圆的公共弦所在直线方程可由两圆方程相减得到，即将减去, 得到,整理化简得,故B正确； 对于C：两圆相交，存在公共弦，在其中一个圆中计算该弦长即可.圆心到公共弦的距离,故弦长,故C错误； 对于D：圆心到直线的距离,圆心到直线的距离,故直线是两圆的一条公切线，故D正确. 故选：ABD. 5．（多选）（25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）点P在圆：上，点Q在圆：上，则（   ） A．两圆的位置关系为外切 B．的最大值为12 C．两圆公切线段长为 D．两圆相交弦所在直线的方程为 【答案】BCD 【分析】对于A，由圆的方程明确圆心与半径，利用圆心距与半径差和的大小关系，可得其正误；对于B，根据圆的性质，可得圆上点的位置，可得其正误；对于C，根据圆切线的性质，结合直角梯形的性质以及勾股定理，可得其正误；对于D，联立两圆的方程，作差化简，可得其正误. 【详解】对于A，由圆可知圆心与半径， 圆可知圆心与半径， 因为，且，即，所以两圆相交，故A错误； 对于B，由圆的性质可知，故B正确； 对于C，由过圆心的半径垂直于切线，则公切线的长度为，故C正确； 对于D，联立方程可得，即， 两式相减可得，则相交弦所在直线的方程为，故D正确. 故选：BCD. 6．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【分析】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【详解】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. ◆题型15 圆锥曲线的定义 1．（2026高二·全国·专题练习）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【详解】因为， 得， 即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 直线过点， 因为定点在定直线上，且动点到定点的距离等于到定直线的距离， 则轨迹为过点与直线垂直的直线. A正确. 2．（25-26高二下·北京延庆·期中）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得动点所在轨迹为焦点在y轴上双曲线的下支，据此可得答案. 【详解】由题可得动点所在轨迹为焦点在y轴上双曲线的下支，其中实轴长为， 焦距长为，则虚轴长为：，则轨迹方程为： 3．若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到到的距离与到直线 的距离相等，再利用抛物线的定义即可得解. 【详解】设动圆圆心为，半径为，由已知可得圆C的圆心为，半径. 因为两圆外切，所以. 又动圆M与已知直线相切， 所以圆心M到直线的距离. 所以. 即动点到定点的距离等于它到定直线的距离． 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，为准线的抛物线， 且，， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 4．（2026高三·全国·专题练习）坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 平面内到定点与不经过该点的定直线距离相等的点的轨迹为抛物线，其中定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线. ∴ 由题意可知，所求点的轨迹为抛物线，焦点为，准线为. ∴ 所求轨迹方程为. 5．（多选）（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）若两圆，有公共点，当m变化时，与圆，都相切的圆的圆心可能在（     ） A．椭圆上 B．双曲线的一支上 C．抛物线上 D．一条直线上 【答案】ABD 【分析】根据双曲线、椭圆的定义，结合圆的位置关系分析可得. 【详解】由得， 易知圆心，半径， 圆的圆心，半径. 因为圆，有公共点，则， 解得，则， 设动圆的圆心为，半径为， 若圆与圆，都外切，则， 当时，由双曲线定义可知，此时圆心在双曲线的一支，B正确； 当时，圆心在轴上（不含线段）， 若圆与圆外切，与圆内切，则， 当时，由椭圆定义可知，圆心在椭圆上，A正确； 当时，圆心在线段上， 综上，圆心在轴上（不含点，），D正确； 由上述分析可知，动圆圆心只能在椭圆、双曲线和轴上，不可能在抛物线上，C错误. 6．（多选）（25-26高二下·吉林长春·期中）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（ ） A． B．离心率 C．的面积为3 D．的周长为12 【答案】ABD 【分析】根据椭圆的标准方程求出，再由题意及椭圆定义列出方程求解可判断A，根据离心率定义判断B，根据A可知三角形为直角三角形，求面积及周长可判断CD . 【详解】由，得，则， 因为是椭圆上一点，所以， 因为，所以，，故A正确； 离心率为，故B正确； 因为，所以，所以为直角三角形，，所以，故C错误； 的周长为，故D正确. 7．（多选）（2026·广东深圳·二模）下列说法正确的是（    ） A．若定点，满足 ，动点P满足，则动点P的轨迹是椭圆 B．若定点，满足，动点M满足 ，则动点M的轨迹是椭圆 C．当时，方程表示椭圆 D．若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 【答案】BD 【详解】对于A，若定点，满足，动点P满足 ， 则动点P的轨迹为以，为端点的线段，所以A选项不正确; 对于B，若定点，满足，动点M满足 ， 则由椭圆的定义，可得动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆，所以B选项正确; 对于C，当 ，即时，方程表示圆，所以C选项不正确; 对于D，若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点在轴上. 其中，，可得，所以焦点坐标为，所以D选项正确. 8．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知点到点的距离比到直线的距离大2，则点的轨迹方程为__________． 【答案】 【分析】先将题设的距离关系转化为带绝对值的等式，通过平方消去根号后分类讨论去绝对值，验证后得到完整轨迹方程. 【详解】设动点的坐标为， 由题意得， 等式两边平方得： 化简得： 当时，，代入得； 当时，，代入得即. 综上，点的轨迹方程为（）和（）. ◆题型16 焦点三角形问题 1．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（ ） A．4 B．8 C．12 D． 【答案】B 【分析】由垂直平分线性质得，，再根据椭圆的定义求解即可. 【详解】因为为线段的垂直平分线， 所以，根据对称性有：，， 所以的周长等于的周长， 所以，利用椭圆的定义，的周长为． 2．（25-26高二上·广西梧州·期末）若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据椭圆定义和余弦定理求出，再根据面积公式求出答案. 【详解】因为椭圆方程为，，. 根据椭圆的定义，对于椭圆上的任意一点有： ，. 因为，在中使用余弦定理有：. . 即，. . 故选：B 3．（2026高三·全国·专题练习）已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为，在椭圆上存在一点，使得，设的内切圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据离心率和长轴长求椭圆参数，再利用定义求得，结合余弦定理求，然后根据三角形面积公式及内切圆半径与面积、周长的关系求. 【详解】因为椭圆的离心率为，长轴长为4，所以， 在中，由余弦定理得 因，，代入解得. 所以. 即，解得． 故选：A 4．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义设出两焦半径，再在焦点三角形中由余弦定理列方程求边长，最后相加得周长. 【详解】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，且，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义及勾股定理，得到与关系，从而求得双曲线的离心率. 【详解】设，则，. 在中，有，整理得，故. 设， 在中，有，即， 所以的离心率. 6．（26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 【答案】48 【分析】根据所给条件结合双曲线的定义求出.方法一：过点作的垂线交于，求出的高，即可求出三角形的面积；方法二：在中运用余弦定理求得，求得，进而求出三角形的面积；方法三：根据海伦公式求三角形的面积. 【详解】由可得，，， ， ， 方法一：过点作的垂线交于，则， ， 所以的面积为. 方法二：在中，. 因为，所以， 所以. 方法三:根据海伦公式，，其中是三角形的三边长，得 . ◆题型17 根据圆锥曲线方程求参数 1．（2026·四川遂宁·二模）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】由题意得：，解得或. 2．（25-26高二上·云南保山·期末）“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由方程表示双曲线，得或，则“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件． 3．（2026高二·全国·专题练习）已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，即m的取值范围为． 5．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知方程表示椭圆，则k的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】因为方程表示椭圆，所以， 解得且． 6．（2026高二上·浙江温州·专题练习）若方程所表示的曲线为，则下列命题不正确的是（   ） A．曲线可能是圆 B．若曲线为双曲线，则 C．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线为椭圆，则且 【答案】D 【分析】由圆、椭圆、双曲线方程的结构特点逐项判断即可. 【详解】由方程，得. 对于A选项，若曲线表示圆，所以，解得，即曲线可能是圆，A选项说法正确； 对于B选项，若曲线为双曲线，则，解得，B选项说法正确； 对于C选项，若曲线为焦点在轴上的椭圆，则，解得，C选项说法正确； 对于D选项，若曲线为椭圆，则，解得且，D选项说法不正确. 故选：D. ◆题型18 求圆锥曲线的标准方程 1．（25-26高二下·重庆渝中·期末）离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设为长半轴长，为短半轴长，为半焦距，因为离心率为，可得， 因为长轴长为 6，可得，所以，，所以，， 因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为. 2．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）若椭圆过抛物线的焦点， 且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标后，列方程组求得得椭圆方程. 【详解】抛物线的焦点为， 双曲线的焦点为， 所以，又，则， 所以椭圆方程为. 3．（25-26高二下·湖南郴州·期中）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x＋2y＝0垂直，且C的焦点到l的距离为，则C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由垂直关系推出，再由焦点到直线的距离推出，即可代入的关系式求出从而求得双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线C的一条渐近线与直线l垂直，所以， 又C的焦点到l的距离为，所以，所以， 因为，所以，故C的标准方程为． 4．（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程和几何性质求解即得. 【详解】因为双曲线的焦点为和，虚半轴长为， 所以设双曲线方程为：，其中， 因为，所以， 所以双曲线方程为：. 5．（25-26高二上·吉林长春·期中）若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦半径公式求得的值，则抛物线方程可知. 【详解】由焦半径公式可知，解得， 所以抛物线方程为， 故选：A. 6．若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点P的轨迹方程是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】因为点在直线的右侧，且点P到点的距离比它到直线的距离小1， 所以点P到的距离与它到直线的距离相等，故P点的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右， 所以，故点P的轨迹方程为． ◆题型19 圆锥曲线的简单几何性质 1．（25-26高二下·陕西商洛·期末）椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆方程知，故短轴长为. 2．（25-26高二下·海南省直辖县级单位·阶段检测）椭圆C:的一个焦点F坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆方程为，可得，，且； ； 又，. ，焦点在轴上，可得焦点坐标为； 椭圆的一个焦点F坐标为. 3．（2026·广东茂名·二模）已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】D 【分析】通过设等轴双曲线的通用方程，代入已知点求出参数，转化为标准方程后计算实轴长. 【详解】由等轴双曲线的性质，设曲线的方程为， 将点代入方程，得， 可得， 因此，双曲线的标准方程为， 可得，即， 因此，实轴长. 4．（2026·北京顺义·一模）若双曲线：与椭圆的焦点相同，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】对椭圆，因为，且，所以椭圆的焦点坐标为. 对双曲线：，其中，所以，. 又椭圆与双曲线焦点相同，所以. 所以双曲线的离心率为：.故选项C正确. 5．（25-26高二下·安徽马鞍山·期末）已知双曲线上一点到两条渐近线的距离之积等于，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式求出距离，再根据距离之积为，结合点在曲线上，化简求值即可. 【详解】由题可知：，渐近线方程为，即， 设在双曲线上，则，即， 根据点到直线的距离公式，到两条渐近线的距离分别为，， 因为点到两条渐近线的距离之积等于，所以， 又，所以，解得，又，所以. 6．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）双曲线： （， ）过点和，则其渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知点和在双曲线上，则，解得， 故其渐近线方程为． ◆题型20 直线与圆锥曲线位置关系的判断 1．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定，与的取值有关 【答案】A 【分析】分析直线的特点，联立直线与椭圆的方程，根据判别式确定位置关系 【详解】直线，化简可得：，则直线过定点， 将定点代入椭圆方程，则得到：， 因为，所以定点在椭圆的内部， 所以过定点的直线与椭圆相交. 故选：A. 2．（26-27高三·全国·一轮复习）过点作与双曲线仅有一个公共点的直线，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】过点作与双曲线仅有一个公共点的直线，分两类讨论：平行于渐近线的直线，和与双曲线相切的直线，再统计总数． 【详解】解：双曲线方程为，点在双曲线的两支之间（代入得，无实数解，说明轴与双曲线无交点） 过该点作直线与双曲线仅有一个公共点的情况如下： 双曲线的渐近线方程为 过点 作平行于这两条渐近线的直线，即 和 这两条直线分别与双曲线的一支交于一点，共有2条 由于点在双曲线两支之间，过该点可以向双曲线的两支各作一条切线，共有2条 综上，满足条件的直线共有 4 条． 故选：D. 3．（2026·山西临汾·二模）椭圆：，若上存在两点，关于直线对称，则实数的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理和中点坐标公式求出AB中点坐标M，将其代入直线方程即可求解. 【详解】设，线段AB的中点为， 若此椭圆上存在不同的两点、关于直线对称，则可设， 联立， 则即， 且，即， 中点在直线上， 所以. 4．（多选）（25-26高二上·四川成都·期末）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则k的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先判断直线经过定点，结合图象可得时直线与抛物线相交于一点，再由直线与抛物线方程联立，利用根的判别式等于0即可求得. 【详解】由直线方程可知直线经过定点， 而该点恰在抛物线的对称轴上，故时， 两者有且仅有一个公共点； 联立，消去，可得， 由，可得. 此时直线方程为与，恰与抛物线相切，两者有且仅有一个公共点. 故k的值可以是0，. 故选：ACD. 5．若直线与双曲线的左支交于不同的两点，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】把两个交点问题转化为直线和双曲线联立方程组判别式大于零及两根和为负两根积为正，求解即可. 【详解】联立方程得,① 若直线与双曲线的左支交于不同的两点，则方程①有两个不等的负根. 所以 解得. 故答案为：. 6．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知双曲线与直线交于不同的两点A，B，若线段的中点在圆上，则________. 【答案】2 【分析】利用中点弦的性质代入原方程即可得解. 【详解】设，线段的中点，由 ,得，判别式，解得， 由韦达定理，所以，. 因为中点在圆上，故，解得. ◆题型21 圆锥曲线的弦长及面积问题 1．（25-26高二下·重庆渝中·期末）已知是抛物线上两点，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 5 C．的最小值为 D．的最小值为 5 【答案】A 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，由得出与的等式，再由基本不等式即可求解的最小值． 【详解】由题可知，直线的斜率不为0，设直线方程为， 代入抛物线方程整理得，，， ， 则， 所以，则， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 而没有固定的最小值，因为当直线的斜率变化时， 可以取到不同的值，不存在固定的最小值. 2．（26-27高三·全国·一轮复习）已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，则弦的长为________． 【答案】/ 【分析】依题意，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求得. 【详解】由题意知，椭圆的右焦点的坐标为，直线的方程为． 联立方程，消去y整理得． 设，由根与系数的关系，得． 则. 3．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆的离心率为且经过点.试求： (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线的方程；若不存在，试说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或. 【分析】（1）由题设可得，，结合即可求出，进而求解即可； （2）分直线的斜率不存在、存在，两种情况结合弦长公式讨论求解即可. 【详解】（1）根据题意，椭圆的离心率为，则①， 又因为椭圆过点，则②，又③， 由①②③联立解得，，所以椭圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线：，与曲线的交点为，， 联立，得，则， 且，， 则， 整理得，所以或（舍）. 经检验，符合题意， 所以直线的方程为，即或.    4．（2026·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，一动直线分别交，于A，B（A，B横坐标同号）两点，且的面积恒为4. (1)求中点的轨迹的方程； (2)若直线交轨迹于，两点，的面积为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用三角形面积为4，建立，两点坐标之间的等量关系；设中点的坐标，利用中点坐标公式将点坐标用，两点坐标表示，即可求出点的轨迹的方程； （2）联立方程组，分别根据弦长公式表示出，再根据点到直线的距离公式求出距离，根据面积为建立等量关系即可求出. 【详解】（1）解：设，，由题知， 则，    设，则，，所以， 因此，中点的轨迹的方程. （2）解：设，， 将代入，整理得， 则，解得，，， 由弦长公式可得： ， 设点到直线的距离为，则， 所以， 两边同时平方，化简整理得， 解得或（舍），所以. 5．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）将点A坐标代入抛物线方程求解p即可得抛物线方程； （2）设直线方程联立抛物线，结合韦达定理和抛物线焦点弦长公式求斜率. 【详解】（1）已知点在抛物线上， 代入方程得，解得，因此抛物线的方程为. （2）由（1）得抛物线焦点. ①当直线斜率不存在时，则，代入得，此时，不合题意； ②当直线斜率存在时，设直线方程为，， 联立方程得，整理得，恒成立， 由韦达定理得. 则，因此， 所以，解得，即，因此直线的方程为或. ◆题型22 圆锥曲线的中点弦问题 1．（25-26高二上·福建厦门·期末）设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用点差法，设出和两点坐标代入抛物线方程作差，结合中点坐标求出直线斜率，再用点斜式得到直线方程. 【详解】设，，则，由：作差得， 得，所以直线方程为，即. 故选：C 2．（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据点差法求出直线的斜率，解出直线方程，然后与双曲线方程联立解出，点坐标，根据两点间距离公式求出． 【详解】设，直线的方程为． 由题意知，为的中点， 因为， 两式相减，得， 所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为， 与双曲线联立， 得，即， 解得或， 所以. 3．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知抛物线，直线与抛物线相交于两点，且的中点为，则__________. 【答案】 【分析】利用中点在直线上，解得斜率，设点，代入抛物线方程并作差，结合中点坐标、斜率公式，即可得解. 【详解】根据题意，点在直线上，所以，解得. 设点， 则，两式作差得， 整理得， 又，且，解得. 故答案为：. 4．（2026·北京·模拟预测）双曲线：的一条渐近线的方程是________；若，为双曲线上的两点，且线段的中点为，则实数的一个取值为________． 【答案】 （或） 3（答案不唯一） 【详解】对于双曲线：，有， 其渐近线方程为； 设，则， 两式相减得，即， 线段的中点为，则， 若，则中点为双曲线顶点，此时直线AB的方程为，与双曲线只有一个交点，不符合题意，故， 则，即得，即得直线的斜率为， 可得直线的，联立， 得， 则， 化简得，解得或， 故实数的一个取值可为3. 5．（2026高三·全国·专题练习）倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则线段AB中点M的轨迹方程是_______． 【答案】 【分析】由题意，设直线方程为，，中点，应用点差法得到，结合在椭圆内部求自变量范围即可得. 【详解】倾斜角为，故直线斜率，   设直线方程为，，中点，则， 由在椭圆上，故，则， 由，，，可得， 联立椭圆方程，得，而中点在椭圆内部，故， 所以点M的轨迹方程为. 6．（25-26高二下·云南楚雄·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为2，离心率为. (1)求的标准方程； (2)过点的直线与相交于两点，若线段的中点的纵坐标为，求的面积. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据已知及离心率求椭圆参数，即可得； （2）由（1）及已知，设直线的方程为，，，联立椭圆并应用韦达定理，结合中点坐标求参数m，再由面积公式求面积. 【详解】（1）由题意知：椭圆短轴长为，即，所以， 离心率，且， 代入得 ， 所以，从而， 因此，椭圆的标准方程为； （2）由题意，直线过右焦点， 当直线斜率不存在时，，此时中点纵坐标为，不合题意，    设直线的方程为， 代入椭圆方程中，得， 整理得关于的一元二次方程， 设，，由韦达定理得，， 已知线段的中点的纵坐标为，即，所以， 因此， 整理得， 因式分解得，解得或， 由， 其中， 当时，，面积， 当时，，面积， 综上所述，的面积为或. ◆题型23 圆锥曲线中的轨迹问题 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在平面内，两定点A，B之间的距离为4，动点M满足，则点M的轨迹是（   ） A．椭圆 B．圆 C．直线 D．三角形 【答案】B 【分析】通过建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式将几何条件转化为代数方程，再配方得到圆的标准方程，从而确定点的轨迹. 【详解】以所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 则，设, 则由得， 整理得，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 2．（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义判断即可. 【详解】关系式表示点到两个定点和的距离之和，符合椭圆的定义. 则，，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 3．（26-27高三·全国·一轮复习）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为___. 【答案】 【分析】利用两圆位置关系建立等式，再利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径， 设动圆的圆心，半径，而，点在圆内， 由动圆与圆内切，与圆外切，得动圆在圆内，且， 因此，动圆圆心C的轨迹为以为左右焦点， 长轴长的椭圆，半焦距，短半轴长， 所以动圆圆心C的轨迹方程为． 4．（25-26高二下·广东东莞·期末）已知圆，点，若点是圆上一动点，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程为______________. 【答案】 【分析】根据题设条件结合椭圆的定义判断点的轨迹为椭圆，运用待定系数法求解即得. 【详解】如图，连接,因是线段的中垂线，则, 由可得,因, 可得点的轨迹为以为两焦点的椭圆，设椭圆方程为， 易得，则，故点的轨迹方程为. 5．（25-26高二下·湖北·阶段检测）已知点，动点满足，动点在直线上，则的最小值为________． 【答案】1 【分析】分析可知动点N的轨迹是以为圆心，半径的圆，根据圆的性质结合图形分析最值即可. 【详解】设， 因为，即，整理可得， 可知动点N的轨迹是以为圆心，半径的圆， 则点到直线的距离， 可知直线与圆相离， 设动点N到直线的距离为，则， 所以的最小值为1. 6．（2026高二下·上海·专题练习）已知平面直角坐标系中定点，，O为坐标原点．动点M满足，记M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)求线段AM中点P的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意建立方程化简即可得解； （2）利用中点公式表示的坐标，代入曲线的方程求解即可. 【详解】（1）设，由，， 可得， 两边同时平方，整理可得， 即， 故曲线C的方程是； （2）设， 因为，所以由中点坐标公式可得， 将点M坐标代入 得到，化简可得， 即点P的轨迹方程为. ◆题型1 直线与圆中的最值问题 1．（25-26高二下·广东深圳·期中）如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将其看作为过原点的直线的斜率，数形结合进行求解. 【详解】中，解得， 由题意可得设过原点的直线的斜率为，即直线方程为， 同一坐标系内画出草图， 由图可得当直线与圆相切时，斜率最小或最大，圆心为，半径为， 则，解得或， 所以的最小值是. 2．（25-26高二上·云南文山·期末）已知点P为直线上的一点，Q为圆上的一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】根据以及点到直线的距离公式可求. 【详解】圆心到直线的距离为， 因为，等号成立时，所以的最小值为. 故选：A    3．（25-26高二上·广东广州·期末）已知直线与相交于点，点为坐标原点，则直线的斜率的最大值与最小值之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析两条直线的定点，再求交点的轨迹，最后计算直线的斜率的最值之和. 【详解】直线整理为， 令，得定点； 直线整理为， 令，得定点； 因为，所以，则交点在以为直径的圆上. 的中点为，半径， 圆的方程为. 设直线的方程为，则圆心到直线的距离， 整理得，解得， 所以斜率的最大值为，最小值为，最值和为. 故选： 4．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知直线与圆交于两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线过定点，结合圆的性质，利用最短弦来求角的余弦值即可. 【详解】 由直线， 所以当时，可得，所以动直线经过定点， 要使得取最大值，即满足最小， 根据是等腰三角形，则只需要满足弦长最短， 故由圆的几何性质可知：，由于， 从而有：，解得：， 此时，， 即 故选：A. 5．（多选）（25-26高一下·陕西西安·期末）已知点在圆：上运动.则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为 D．若，，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】先由圆的方程可得圆心坐标及半径，对A转化为直线与圆有交点时斜率最大值可得；对B转化为直线与圆有公共点时的最小值；对C设出直线方程求得点坐标，再用两点距离公式并结合圆点坐标范围可得；对D直接转化圆上的点到原点的距离的最小值问题可得. 【详解】对原圆方程配方得，圆心，半径 对A选项，令表示点与原点连线的斜率，即直线与圆有交点. 所以圆心到直线的距离，即， 平方整理得： ， 解得， 故​最大值为​​，A正确. 对B选项，设，即，即直线与圆有公共点， 所以圆心到直线距离 ，即， 解得，​ 所以的最小值为，不是，故B错误； 对C选项，过斜率为​的直线为， 令，得， ， 因为在圆上，所以，因此，故C正确； 对D选项，设，，， 所以， 因为，所以 ， 所以，故D正确. 6．（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则有（   ） A．四边形面积的最小值为 B．最大度数为 C．直线过定点 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】，当时有最小值，求出可判断A；通过计算得到的值可以趋近于,可以任意接近，可以任意接近，从而可判断B；设点，，，求出直线的方程 ，整理得 ，由可得直线AB过的定点可判断C；直线AB所过定点为P，当时，弦长最小，求出的最小值可判断D. 【详解】对于A选项，由题意可知， 当时，有最小值，即，此时， 所以四边形面积的最小值为，故选项A正确； 对于B，当点M在直线l上运动时，的取值范围是，因此 的值可以趋近于,可以无限接近，可以无限接近，故选项B错误； 对于C，设点，，，则， 易知在点、处的切线方程分别为 ， ， 将点分别代入两切线方程得 ， ， 所以直线方程为 ，整理得，代入， 得 ， 解方程组得所以直线过定点，故选项C错误； 对于D，设直线所过定点为，则，当时，弦长最小， 此时，则的最小值为，故选项D正确． 7．（多选）（25-26高二上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点是曲线上一动点，点分别是直线与轴的交点，则（    ） A．面积的最小值为1 B．的最大值为 C．若直线与曲线有且只有一个公共点，则 D．的取值范围为 【答案】ABD 【分析】先确定曲线的图形，再求出两点坐标，然后根据直线与圆的位置关系、三角形面积公式、向量数量积公式等逐一分析各选项即可. 【详解】选项A：等价于，即曲线为单位圆的上半圆（包括端点）， 当点为时，的最小值为，故A正确； 选项B：取最大值时，与曲线相切， 设直线 的斜率为 ，方程为 ， 圆心到直线的距离 ，解得 . 此时，又的最大值为，故B正确； 选项C：直线与曲线有且只有一个交点时， 直线与半圆相切时，圆心到直线的距离 ，解得 （ 舍去） 直线过点 时 ，过点 时 ， 直线与半圆只有一个公共点时，，故C错误； 选项D：设点（），则 ，， 因为 ，所以 ， 代入得 即 ，故D正确； 故选：ABD．    8．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）动点与两个定点，满足，则点到直线的距离的最大值为________． 【答案】/4.8 【分析】利用两点距离公式求出点的轨迹方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，进而求圆上的点到直线的距离的最大值. 【详解】设，则，整理得. 所以点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆. 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离， 故点到直线的距离的最大值为. 9．（河北武邑中学2026届高三下学期学生全过程纵向评价（六）数学试题）对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 【答案】 【分析】先求出动直线恒过的定点，原点到直线距离的最大值即为原点到该定点的距离，计算该距离即可。 【详解】将直线方程分离参数，变形为， 由于对任意实数等式恒成立，因此需满足，解得， 即直线恒过定点， 根据几何性质，原点到动直线的距离，当且仅当直线与垂直时取等号， 故距离的最大值为，由两点间距离公式得：， 因此原点到直线距离的最大值为. 10．（25-26高二上·北京顺义·期末）若实数，满足，则的最小值为______；的最大值为______． 【答案】 / 【分析】由题意知，结合二次函数的图象与性质计算即可求解第一空；分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定直线的最短距离即可判断. 【详解】由，得， 则， 是关于的一元二次函数，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为， 所以； 由，知点的轨迹为以为圆心，半径的圆. 的几何意义是动点（即圆上一点）到直线的距离. 则动点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离， 再加半径，即， 因此的最大值为，故的最大值为. 故答案为：； ◆题型2 圆锥曲线的离心率问题 1．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知双曲线的两个焦点分别为，点在上，则的离心率为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】根据两点之间距离公式分别求得，由双曲线定义得出，由离心率公式即可求解． 【详解】由题意，设， 则，，， 所以，则离心率． 2．（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的离心率，则实数的值为（    ） A．3 B．3或 C． D．或 【答案】B 【分析】分类讨论焦点在轴和轴上的情况. 【详解】①当焦点在轴上时，，，，则，解得； ②当焦点在轴上时，，，， ，解之得. 综合①②知，适合条件的实数或. 3．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知椭圆的左右焦点分别为是上一点．若（为坐标原点），则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的定义，设，结合已知得，再由及向量数量积的定义和运算律、余弦定理得到，最后列方程得，即可得. 【详解】由椭圆的定义可知，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为，即， 由题意知，设，则，， 代入得，所以，，， 由于原点是两焦点的中点，所以是边上的中线， 所以，则， 由且， 所以，则， 综上，即， 所以，则，即， 椭圆的离心率满足，且，解得， 故椭圆的离心率为. 4．（25-26高二下·广西梧州·期末）若两双曲线中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴且具有相同的渐近线，则称两双曲线为共轭双曲线，已知双曲线，为共轭双曲线，离心率分别为和，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出共轭双曲线的标准方程，分别表示出两者的离心率平方，再结合基本不等式求乘积的最小值. 【详解】设焦点在x轴上的双曲线的标准方程为（）， 由共轭双曲线的定义，其共轭双曲线的标准方程为， 对，半焦距，离心率，故； 对，半焦距，离心率，故； 则， 由基本不等式，，当且仅当即时等号成立， 因此， 又，故， 即的最小值为2. 5．（26-27高三·全国·一轮复习）椭圆C：的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，设， 则·， 所以椭圆的离心率=. 6．（25-26高二下·河南驻马店·期末）直线与双曲线：（，）交于，两点，存在以为的中点，则的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点差法求得，结合已知可得，求解即可. 【详解】设， 因为，两点在双曲线上，所以， 两式相减得， 又为的中点，所以， 所以，所以， 又双曲线的渐近线方程为，为的中点，所以， 所以，两边平方得，所以， 所以，所以，所以，又，所以， 所以的离心率的取值范围是. 7．（2026·福建福州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别是，．若C的渐近线上存在一点P，满足，则C的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用距离差的绝对值计算判断定义结合计算判断. 【详解】解法一：双曲线的渐近线方程为. 当时，满足轨迹不存在，舍去； 当时，满足轨迹为x轴挖去线段，与题意不符，舍去； 当时，满足轨迹为双曲线. 联立方程，得到． 由，解得或（舍去）， 故，解得，故该双曲线离心率的取值范围是． 解法二：上同解法一.双曲线的渐近线方程为， 因为由题意可知与双曲线相交， 所以由双曲线渐近线性质可知只需，即，后仿照解法一即可求得. ◆题型3 圆锥曲线中的最值与范围问题 1．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）已知直线与椭圆交于两点，则的最大值为（     ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】设，，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，即可表示出，再由二次函数的性质求最值. 【详解】设，，联立，消去整理得， 不妨令或，则，，则，， 所以 ， 所以当，即时，最大值. 故选：C 2．（2025高二·全国·专题练习）已知双曲线，O为坐标原点，P，Q为双曲线上两动点，且，则面积的最小值为（   ） A．20 B．15 C．30 D．25 【答案】A 【分析】根据，设，，代入双曲线方程可得，，再利用三角形面积公式和基本不等式求最值. 【详解】根据题意，， 令，即， 分别代入双曲线方程得：， 同理， 两式相加得：， 根据基本不等式：，当且仅当时等号成立，则. 故选：A． 3．（25-26高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据抛物线定义将问题转化为焦点到直线的距离求解. 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点，准线方程， 由抛物线定义可知，点到直线的距离和点到的距离相等， 所以点到直线、直线的距离之和的最小值即点到直线的距离， 由知，距离之和的最小值为， 故选：C. 4．（2026高三·全国·专题练习）已知为双曲线上经过原点的一动弦，为圆上一动点，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】根据题设画出双曲线和圆，数形结合得，并确定，，即可得最大值. 【详解】如下图示，，，， 所以，    由图知：，且可以同时取到， 所以的最大值为. 故选：D 5．（25-26高二上·四川成都·期中）圆锥曲线具有丰富的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的A，B两点（非长轴上顶点）反射后回到焦点；过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M，则下列说法正确的是（   ） A．面积的最大值为6 B．的最小值为 C．M的轨迹方程为 D．的最小值为8 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义和性质、等腰三角形的性质，结合圆的定义、对勾函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：根据题意可知直线如果存在斜率，斜率一定不为零， 由椭圆， 设直线的方程为， 于是有， ，设， ， ， 令， ， 对钩函数在上单调递增， 所以当时，对钩函数单调递增， 于是由， 所以，即， 所以当，面积有最大值为3，因此本选项不正确； B：因为， 所以 ， 即，当且仅当时取等号， 即当时，的最小值为，所以本选项不正确； C：因为过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M， 所以， 因为， 所以点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其方程为，所以本选项正确； D：由上可知：， 所以， 因为A，B两点是椭圆上非长轴上顶点， 所以由椭圆的性质可知：， 所以没有最小值，故本选项不正确， 故选：C      6．（25-26高二上·上海·期中）已知点为双曲线上位于第二象限内的动点，是该双曲线的右顶点，，则面积的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据条件，找到临界值，即可求解. 【详解】由条件可知，，，即， 双曲线的过第二象限的渐近线的斜率，渐近线方程为，即， 此时渐近线与直线的距离， ，渐近线上的点与点、构成的三角形的面积为， 左顶点到直线的距离， 左顶点与点构成的三角形的面积为， 点是第二象限的点，所以面积的取值范围为. 故答案为： 7．（25-26高二上·天津蓟州·阶段检测）已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为_____ . 【答案】3 【分析】根据双曲线的顶点到渐近线的距离求双曲线方程，根据抛物线的定义结合几何关系转化，利用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，进行转化求解. 【详解】双曲线的渐近线方程，右焦点， 到其一条渐近线的距离，解得，所以双曲线的焦点坐标， 所以抛物线焦点坐标，准线方程为，即抛物线方程，示意图如下： 过点作，垂足为A，作准线的垂线，垂足为，连接MF， 根据抛物线定义有：， 即动点到直线和距离之和等于， 当三点共线时，最小，即点F到直线的距离， 所以动点到直线和距离之和最小为. 故答案为：3 ◆题型4 圆锥曲线的定点定值问题 1．（25-26高二下·云南曲靖·期末）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点．当时，，． (1)求的标准方程； (2)若在第一象限，，是上的两点，若直线，关于直线对称，证明：直线的斜率为定值． 【答案】(1) (2)设，．由题可知直线与的斜率互为相反数， 当，代入椭圆方程得， 又在第一象限，故． 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 于是直线的方程为，直线的方程为 代入，的坐标并作差，得．①   由，得． 由韦达定理，得，即，②   同理可得．③   将①②③代入，得， 故直线的斜率为定值 【分析】（1）通过焦距确定，通过椭圆定义求得，进而可求解； （2）设，．直线的斜率为，得到直线的斜率为，通过点在直线上作差，及直线方程和椭圆方程联立，进而可求解. 【详解】（1）由题可知，即， ， 所以，即， 则， 故的标准方程为． （2）略 2．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知双曲线经过点 (1)求E的方程； (2)设直线经过E的右焦点，且与E交于不同的两点M，N，点N关于x轴的对称点为P，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)由（1）知E的右焦点为，则， 联立消去y得，. 设，则，即， 故，. 因为点N关于x轴的对称点为P，所以， 则直线的方程为. 根据对称性可知，直线经过的定点必在x轴上， 令，得 . 当且时，， 所以直线过定点. 【分析】（1）由两点坐标代入方程，求解可得； （2）设，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理表示出直线的方程，由对称性知直线若过定点必在轴上，所以令，化简可得横坐标为定值，即直线过定点. 【详解】（1）由题意可得解得所以E的方程为. （2）略 3．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知椭圆C：（）的离心率，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C的上顶点，直线l交椭圆C于A，B两点（A，B均不与P重合），直线与的斜率之积为，探究：直线l是否过定点？若是，求该定点坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点， 【分析】（1）由离心率及过定点列方程组，解出与，得椭圆方程； （2）先讨论斜率不存在情形并排除，再设直线方程，联立椭圆由韦达定理及斜率条件化简，得直线过定点. 【详解】（1）由题意可得， 解得，所以椭圆C的方程为． （2）显然，当直线的斜率不存在时， 设（且） 则，． ． 即当直线l的斜率不存在时，不符合要求． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为（）． 联立，消去得， 则， 设，， 所以，， 则 ， 则， 则， 整理得，解得（舍去）． 所以直线过定点． 4．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知圆与抛物线：在轴上方的交点为，与抛物线的准线在轴下方的交点为，且点，关于直线对称． (1)求抛物线的方程； (2)若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且直线和的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2)由（1）得， 设，，直线的方程为． 将直线的方程代入，得， 所以，． ，整理得， 所以直线的方程为， 直线过定点，定点坐标为． 【分析】（1）联立抛物线准线与圆的方程求得点B的坐标，再根据点A和点B关于对称获得点A的坐标，最后根据点A在抛物线上，列方程求得，最后求得抛物线的方程; （2）设，，直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程，由韦达定理可知，，又，整理化简得到，最后得到直线过定点. 【详解】（1）将代入，得，所以， 由点，关于直线对称，可得， 将的坐标代入抛物线的方程得，解得， 所以抛物线的方程为． （2）略 5．（25-26高二下·江苏连云港·期末）已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3)由双曲线得，右焦点， ①当直线的斜率存在时，设直线，，中点. 联立​，整理得, 由韦达定理得：， 因此：， 因为圆以为直径，圆心为，半径​，所以， 设，将代入圆方程， 得，故， 所以 ， 因为，所以，且，代入上式， 所以. ②当直线斜率不存在时，，易得， 所以，仍成立. 综上，为定值. 【分析】（1）直接由待定系数可求得双曲线方程； （2）直接用点差法求中点弦的方程并检验可得； （3）分直线的斜率存在或不存在两种情况讨论：当直线的斜率存在时，设直线，，中点，结合根与系数关系得，，再圆的方程中令，设，所以由根与系数关系得，进而可将，再将代入可得；当直线的斜率不存在时，得，进而可得所求值，综上可得所证结果. 【详解】（1）将点、代入双曲线方程，得， 令，​，解得​，即. 因此，双曲线的标准方程. （2）设，且两点均在双曲线上，故 两式相减得点差公式：，即. 又因为中点为，故，代入上式得，即. 若，则，则重合，且中点，则三点重合， 这与直线交的右支于，两点矛盾. 所以，因此直线斜率. 又因为直线经过点，由点斜式得直线方程，整理得. 联立​，得，判别式， 且，所以两根均为正根，符合交右支于两点的条件. 因此直线的方程为. （3）略 6．（25-26高二下·广西贺州·期末）在平面直角坐标系中，已知定点和定直线：.动点到定点的距离等于它到定直线的距离，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设为坐标原点，点，是曲线上异于原点的两个动点，且满足. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）因为直线不垂直于轴，设其方程为：， 设，，联立直线与抛物线方程，，可得，， 因为，所以，得， 又因为，所以，即直线方程为，则过定点 . （ii）16 【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可； （2）（i）设直线的方程为：，联立直线与抛物线的方程，得出韦达定理，再代入计算即可. （ii）由（i）知直线过定点结合，结合基本不等式求得最小值. 【详解】（1）由已知得曲线是以为焦点，直线：为准线的抛物线，， 所以曲线的方程为：. （2）（i）略 （ii）由（i）知直线过定点，所以 故， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，即面积的最小值为16. ◆题型5 圆锥曲线中的定直线问题 1．（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆焦距为4，短轴长为4． (1)求椭圆的方程． (2)若椭圆与轴的交点为A，B（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)在定直线上 【分析】（1）根据条件，可得b，c的值，根据的关系，可得的值，即可得答案. （2）将直线l与椭圆联立，根据韦达定理，可得表达式，求出直线AN、BM的方程，联立求解，化简整理，即可得答案. 【详解】（1）依题意可得，解得，则， 所以椭圆的方程为； （2）点在定直线上，理由如下： 设点， 联立，与直线联立消去，整理得， 由，得 且， 所以， 易知，则， 两式作商得，解得， 故在定直线上． 2．（25-26高二上·北京西城·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，点是线段上一点，且满足.求证：点在一条定直线上. 【答案】(1)； (2) 证明：由题可知直线l斜率存在，设直线， 联立， 则，即， 由题可设，， 则，且， 所以， ， 同理，， 所以由得即， 又由题意可知， 所以，所以，整理得， 所以，整理并化简得， 所以，在定直线上.    【分析】（1）由题设结合椭圆中的几何意义及其关系即可求解； （2）先由题设直线，与椭圆联立得韦达定理，将韦达定理代入转换化简后的代数式求出点T的横坐标为定值即可得证. 【详解】（1）由题可得即， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）略 3．已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由. 【答案】(1) (2)在， 【分析】（1）分析可知，可得出，利用三角形的面积公式可求出的值，进而可得出、的值，由此可得出双曲线的方程； （2）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，将直线、的方程联立，求出这两条直线交点的横坐标，即可得出结论. 【详解】（1）因为双曲线的离心率为，可得，则， 则，可得，则， 因此，双曲线的方程为. （2）若直线与轴重合，则点、为双曲线实轴的端点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，可得， 由韦达定理可得， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得 ，解得. 因此，点在定直线上. 4．已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程. (2)已知直线与轨迹交于A，B两点，以A，B为切点作两条切线，分别为，，且，相交于点.若点在直线上，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，结合抛物线的定义与其标准方程，可得答案； （2）设出直线方程，联立抛物线方程，写出韦达定理，由切点设出切线方程，根据根的判列式为零，求得切线方程，联立求交点，可得答案. 【详解】（1）由题意知动点到的距离与到直线的距离相等， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为 （2）设，，联立方程组，得， 可得，则，. 易知，的斜率存在，设的方程为， 联立方程组，得. 由，解得， 所以的方程为，同理可得，的方程为. 由，解得，即点，即为 又因为若点在直线上，所以，解得. 5．已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 【答案】(1)过定点，理由如下： 抛物线Ω：的焦点， 互相垂直的直线，与抛物线各有两个交点，知直线，斜率存在且不为0， 设直线的斜率为，则直线，设， 由，消去并整理得，， ，，弦MN的中点， 由垂直的条件，可将换为，设， 同理得，，有， 当或时，直线的方程为， 当且时，直线的斜率为，方程为， 即，当时，恒有， 所以直线过定点，其坐标为. (2)直线的斜率，同理得直线的斜率， 此时直线的方程为，即， 同理，直线的方程为，即，整理得， 由，消去解得， 所以直线ME与直线NP的交点在直线上. 【分析】（1）设直线和的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理表示出A，B两点坐标，得直线AB方程，由方程判断所过定点坐标； （2）表示出直线ME与直线NP方程，联立方程组求交点坐标即可. 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型6 圆锥曲线中的非对称韦达定理问题 1.椭圆C:的一个焦点为，且过点． (1)求椭圆C的标准方程和离心率； (2)若过点且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，点P在直线上，且NP与x轴平行，求直线MP恒过的定点． 【答案】(1)标准方程为C：，离心率为；(2) 【分析】（1）法一：由题意可得，解方程即可求出，可求出椭圆C的标准方程和离心率；法二：由椭圆的定义求出，再结合求出，可求出椭圆C的标准方程和离心率； （2）设方程为，，，联立直线MN方程和椭圆的方程可得，表示出直线MP方程，对称性可知直线MP恒过的定点在x轴上，令，将代入化简即可得出答案. 【详解】（1）法一：由题意，可得， 则椭圆C的标准方程为C：，离心率为； 法二：设椭圆的左焦点为， 则由椭圆的定义知， 所以，又，得，则椭圆C的标准方程为C：， 离心率为； （2）因为直线MN过点且斜率不为0， 所以设直线MN方程为，，，则， 联立，消去x得，， 所以，所以， 直线MP方程为，由对称性可知直线MP恒过的定点在x轴上， 所以令，得，且， 所以， 可得，直线MP恒过的定点．    【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 2.已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点，，，为椭圆上关于轴对称的两点（不与点B重合），，直线与椭圆交于另一点，直线垂直于直线，为垂足． (1)求的方程； (2)证明：（i）直线过定点，（ii）存在定点，使为定值． 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）设方程为，代入点的坐标，得出方程组，求解即得. （2）（i）设的方程为，与椭圆方程联立，根据韦达定理表示出坐标关系，得出的方程为，令，整理可得，即可得出定点；（ii）由已知可得，即可得出的轨迹，得出答案. 【详解】（1）设的方程为，则，解得， 所以的方程为. （2）（i）依题意，直线的斜率存在且不为0，设的方程为， 设点，，则， 由消去并整理得，则， ，，显然， 直线的斜率，直线的方程为， 令，则， 所以直线恒过定点. （ii）令直线过的定点为点，由，在上，得， 则点在以为直径的圆上，从而的中点为定点，使为定值.    【点睛】思路点睛：设的方程为，与椭圆联立得出方程，根据韦达定理得出坐标关系.进而整理化简，即可得出定点坐标. 3.椭圆的左、右顶点分别为A，B，过左焦点的直线与椭圆交于C，D两点（其中C点位于x轴上方），当CD垂直于x轴时， (1)求椭圆的方程； (2)记直线AC，BD的斜率分别为，问；是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，定值为3． 【分析】（1）根据题意结合通径长即可求出椭圆的标准方程. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，得到根与系数关系，将表示出化简即可. 【详解】（1）因为椭圆的左焦点为， 所以，将代入，得， 故，所以   解得，所以， 所以椭圆方程为. （2） 因为直线CD过点， 且点C位于x轴上方， 所以直线CD斜率不为0，设直线CD的方程为， 联立消去x得， 方程的判别式， 设，由已知， 于是， 所以， 又椭圆的左顶点A的坐标为，右顶点B的坐标为（2，0）， 所以， 因为， 所以， 所以 所以定值，定值为3． 4.已知圆，圆，动圆与圆和圆均相切，且一个内切、一个外切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程． (2)已知点，过点的直线与轨迹交于两点，记直线与直线的交点为．试问：点是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点恒在定直线上 【分析】（1）设动圆的圆心为，利用两圆外切和内切的关系得到，由椭圆的定义即可得到动点的轨迹，利用待定系数法求出方程即可； （2）设直线的方程为，直曲联立，结合韦达定理得到，求出直线与直线的方程，进而得到点满足的关系式，整理化简可得点恒在定直线上． 【详解】（1）设点的坐标为，圆的半径为． 由已知条件，得． ①当动圆与圆外切，与圆内切时，， 从而． ②当动圆与圆内切，与圆外切时，， 从而． 综上可知，圆心的轨迹是以为焦点，6为长轴长的椭圆． 易得圆与圆交于点与， 所以动圆圆心的轨迹的方程为． （2）设直线的方程为，． 联立直线与轨迹的方程，得 消去并整理，得． 所以，， 则有． 由已知条件，得直线的方程为， 直线的方程为， 则点的坐标满足． 又， 所以． 把代入上式，得． 故点恒在定直线上． ◆题型7 圆锥曲线中的新定义问题 1．加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家.他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.若长方形G的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（   ） A．椭圆M的离心率为 B．椭圆M的蒙日圆方程为 C．若G为正方形，则G的边长为 D．长方形G的面积的最大值为14 【答案】D 【分析】由椭圆的性质，结合矩形的面积公式及基本不等式的应用求解． 【详解】已知椭圆，则，，， 结合题意得，该椭圆的“蒙日圆”的半径为， 对于A，椭圆M的离心率为，正确； 对于B，椭圆M的蒙日圆方程为，正确； 对于C，若G为正方形，设G的边长为m，则，即，正确； 对于D，G的长为m，宽为n，则，则， 当且仅当时取等号，即长方形G的面积的最大值为28，错误． 故选：D 2．（25-26高三上·湖南·开学考试）若双曲线与关于直线对称，且的离心率与的离心率之积为常数），则称与互为型双曲线.已知双曲线，则的3型双曲线的渐近线为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由3型双曲线定义可知双曲线的方程为，且，求得，即可求出渐近线方程. 【详解】由新概念可知，的3型双曲线的方程为，且， 所以，即，则， 所以的3型双曲线的渐近线为. 故选：D. 3．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知分别为曲线（包含点与直线）上的点，定义曲线之间的最短距离为（其中表示点与点距离的最小值）.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合椭圆上点的横坐标范围，利用距离公式求解最小值，根据新定义即可得解. 【详解】记，设椭圆上的点为，由椭圆的性质可知， 则 ， 当时，最小，，所以. 故选：B. 4．（多选）中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条.其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（    ） A．曲线的图象关于原点对称 B．曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】把代入曲线的方程可判断A；分别令、、，得的范围可判断B；由曲线的方程可得，根据可判断 C； 直线与曲线方程联立，根据方程的解可判断D. 【详解】把代入得， 所以曲线的图象关于原点对称，故A正确； 令解得，或，即曲线经过， 结合图象，， 令，得，令，得， 因此结合图象曲线只能经过3个整点，，故B错误； 可得， 所以曲线上任意一点到坐标原点的距离，即都不超过3， 故 C正确； 直线与曲线一定有公共点， 若直线与曲线只有一个交点， 所以，整理得无解， 即，解得，故D正确. 故选：ACD. 5．（25-26高二上·山东菏泽·期末）椭圆是坐标原点，若的三个顶点都在椭圆上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”. (1)是否存在“核心三角形”，其中两个顶点恰好是椭圆的两个顶点，并说明理由； (2)已知是“核心三角形”. （i）证明：的面积是定值； （ii）若为等腰三角形，这样的三角形有几个？并说明理由. 【答案】(1) 不存在，理由如下：不妨设，为椭圆的两个顶点， 椭圆的四个顶点坐标分别为， 由知，原点不可能是的中点， 所以为长轴的两个顶点和短轴的两个顶点显然不成立． 不妨设，则由得， 显然不满足椭圆方程，即点不在椭圆上． 同理可得，或时，点不在椭圆上． 综上所述，不存在＂核心三角形＂，其中两个顶点恰好是椭圆的两个顶点． (2) （i）当直线的斜率不存在时，，两点关于轴对称， 此时或，不妨设，则 由知：直线的方程为， 所以的面积为：． 当直线的斜率存在时，设的方程为：， 联立消去y得：， 由得：，① 设，则由韦达定理知：， ，又由可得 ，即. 把代入得：②， 因为是的重心，所以， 由，原点到直线的距离， 所以 所以． 综上所述，的面积是定值． （ii）若为等腰三角形，这样的三角形有4个．理由如下： 由题意不妨令， 当直线的斜率不存在时，满足题意的等腰三角形有2个； 当直线斜率为0时，满足题意的等腰三角形也有2个． 当直线的斜率存在且不为0时，由（i）知：， 所以的斜率， 那么由，即与不垂直， 这与且为的重心矛盾， 即当直线BC的斜率存在且不为0时，不存在满足题设的等腰三角形． 综上所述，若为等腰三角形，这样的三角形有4个． 【分析】（1）求出椭圆四个顶点，根据向量和为0得不可能是的中点，假设，求出，分析其不在椭圆上，同理得到其他情况，即可判断； （2）（i）首先求出当直线的斜率不存在时，的面积，再设的方程为：，联立椭圆方程，得到韦达定理式，从而得到点坐标，再将其代入回椭圆方程得到关系式，最后根据弦长公式和点到距离公式计算三角形面积即可； （ii）首先考虑当直线的斜率和其斜率为0时的情况，最后再讨论斜率存在且不为0的情况即可. 【详解】（1）略 （2）略 ◆易错归纳1 利用截距式方程前应考虑截距为0 1．（25-26高二上·安徽合肥·期末）若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】讨论直线是否经过原点，经过原点时，设为，不经过原点时设为，代入求解. 【详解】当直线经过原点时，在两个轴上的截距都为， 设直线方程为，代入点，，此时直线的斜率为； 当直线不经过原点时，设直线的截距式方程为， 代入点解得，此时直线的斜率为. 故选：D. 2．（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分截距为零与不为零两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为， 当截距都不为零，设直线方程为，则， 所以直线方程为，即. 综上直线方程为：或. 故选：C 3．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据条件分截距为零和截距不为零两种情况，分别设出相应的直线方程，再结合条件，即可求解. 【详解】当在轴，轴上的截距为零时，此时直线过原点，设直线方程为， 又直线过点，所以，所以直线方程为， 当在轴，轴上的截距不为零时，设直线方程为， 又直线过点，所以，解得，所以直线方程为， 所以过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是或， 故选：D. 4．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设直线的方程为，将点代入，求得，即可求解. 【详解】因为直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 所以，设直线的方程为，可得，解得， 所以，即. 故选：C. 5．（25-26高二上·青海海南·期末）直线l经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为______. 【答案】或 【分析】根据题意，分截距均为0和截距不为0，两种情况讨论，结合题意，列出方程组，即可求解. 【详解】当截距均为0时，即过，此时直线的方程为； 当截距不为0时，设直线的方程为，满足，解得， 此时直线的方程为， 综上可得直线的方程为或. ◆易错归纳2 忽略二元二次方程表示圆的条件 1．（25-26高二上·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的一般方程的条件，对各个选项进行逐一判断． 【详解】对于A，因为等价于，表示圆，故A符合题意； 对于B，含项，不表示圆，故B不符合题意； 对于C，，易知时，不表示圆，故C不符合题意； 对于D，，，不表示圆，故D不符合题意． 故选：A． 2．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. 3．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆的判别式结合一元二次不等式计算求解. 【详解】因为方程表示圆， 则，即得，解得， 则整数m的值为. 4．（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）已知圆与直线相切，则的值为（   ） A．或2 B．6或 C． D．2 【答案】C 【分析】首先将圆的方程化成标准方程，再利用直线与圆相切的条件即可求解． 【详解】将圆的方程化成标准方程为， 因为圆与直线相切， 则有，解得． 5．（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 6．（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程成立的条件列出关于的不等式求解即可. 【详解】由题意可知，，即，解得. 故选：B. ◆易错归纳3 利用点斜式方程前应该考虑斜率不存在 1.（多选）已知点和则过点且与的距离相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由题意，，不共线，所以存在两种情况： 直线过且与平行时，根据直线的点斜式方程可得：， 化简得：． 直线过且经过中点，因为中点， 所以直线方程：． 综上所述：直线方程为： 和． 故选:AD． 2.若直线过点，且到点和点的距离相等，则直线的方程为 ． 【答案】或 【详解】解法1：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即． 由题意知，解得．故直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或． 解法2：如图，当时，，的方程为，即． 当直线经过线段的中点时，又直线过点，故其方程为. 综上所述，直线的方程为或． 故答案为：或. 3.已知直线l经过点，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为 ． 【答案】或 【详解】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合原点到直线l的距离等于2； 当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为，即， 由， 得，即直线l的方程为． 综上，直线l的方程为或． 4.已知的三个顶点坐标为 、 、 (1)求边 上的高所在的直线方程； (2)若圆 是 的外接圆，且经过点的直线 被圆 所截得的弦长为 ，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由可得，直线斜率为， 所以边上的高所在直线的斜率为：， 则边上的高所在直线方程为：，整理得； （2）设圆的方程为，代入三点坐标可得： 则，解得，，． 圆的方程为，化为标准方程：； 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 代入圆的方程得：， 此时直线被圆所截得的弦长为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即． 由垂径定理可得，当弦长为时，可知圆心到直线的距离 再由圆心到直线的距离公式得：，解得． 直线方程为． 即直线的方程为或． ◆易错归纳4 忽略圆锥曲线定义中的限制条件 1.设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【答案】D 【详解】因为，所以， 当且仅当时等号成立， 当时，，而，此时点的轨迹是线段； 当时，， 此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆. 综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段. 故选：D 2.（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为两条射线 【答案】AD 【详解】对于A，，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，A正确； 对于B，，则点的轨迹是以为焦点双曲线的右支，B错误； 对于C，由，得，则点的轨迹是以为直径的圆，C错误； 对于D，，则点的轨迹是以为端点，且不过的两条射线，D正确. 故选：AD 3.（多选）已知定圆，点是圆所在平面内异于的定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点.则点的轨迹可能为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．圆 【答案】AC 【详解】由题，，圆的半径为3，连接， 则， 当点在圆内时，如图， 所以， 所以此时点的轨迹为以为焦点的椭圆； 当点在圆上时，如图，为圆的弦， 所以点的轨迹为点； 当点在圆外时，如图， 则， 所以点的轨迹为以为焦点的双曲线. 综上，点的轨迹可能为椭圆和双曲线. 故选：AC. 一、单选题 1．（25-26高二上·河南郑州·期末）下列说法正确的是（   ） A．过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为 B．若直线：与直线：互相平行，则或2 C．对任意的，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 【答案】C 【分析】对于选项A，按照过点的直线过原点和不过原点进行讨论求解；对于选项B，利用两条直线平行的公式求出的值，将的值代入直线检验是否有平行，从而得到结论；对于选项C，利用两条直线垂直的公式求出的值，利用充分条件和必要条件求解；对于选项D，求出直线恒过的定点，求出，，结合图形得到的范围. 【详解】对于选项A，当过点的直线过原点时，此直线在两坐标轴上的截距均为， 截距相等，此时，此直线的斜率为，方程为； 当过点的直线不过原点时， 此直线在两坐标轴上截距相等，设此直线方程为， 代入，得到，解得， 设此直线方程为， 综上可知，过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为或，故选项A错误； 对于选项B，直线：与直线：互相平行， ，，或， 当时，直线：与直线：，； 当时，直线：与直线：，直线重合； 综上可知，直线：与直线：互相平行， 则，故选项B错误； 对于选项C，直线与直线垂直， ，，或， “”是“直线与垂直”的充分不必要条件， 故选项C正确； 选项D，直线转化为，，解得， 则直线恒过点， ，， 直线和以，为端点的线段相交， 或，故选项D错误. 故选：C. 2．（25-26高二下·湖南·期末）已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（     ） A． B．直线的方程是 C．四边形的面积是48 D．的最大值是 【答案】C 【分析】对于A，B选项，联立，化简即可求解，对于C，分别求出，，由四边形的面积等于即可求解；对于D，分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时，利用圆的弦长公式化简可得，结合向量数量积不等式即可求出最大值. 【详解】对于A：若，代入，即点点在圆上， 联立，化简得：， 所以直线的方程是，故B正确； 联立，解得：，或， 由于，所以，，所以A正确； 圆心距， 公共弦长， 由于，所以四边形的面积是，故C错误； 当直线斜率不存在时，，，此时， 当直线斜率存在时，设方程为， 所以点到直线的距离为，此时， 点到直线的距离为，此时 所以， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，不满足，此时， 综上的最大值是，故D正确. 3．（25-26高二下·广西河池·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知内切圆的半径，可利用焦点三角形面积公式建立等式，得到关于的表达式，根据余弦定理建立的齐次式，进而计算离心率． 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由直线，整理可得，恒过点；故直线过点； 由点到直线的距离公式可知到的距离为； 则（为内切圆半径）， 因为点在右支上，所以， 则； 又因为；所以， 解得，故； 故，解得； 因为点在右支上，斜率为负，故，故， 代入直线方程可得，解得； 因为在双曲线上，所以代入可得， 由整理可得， 由；则； 则原式化简可得， 两边同乘可得， 约分可得 即，整理得； 即，化简得， 化简得，解得或或； 由题意得，则符合题意，故A正确. 4．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）记点，，，，第三象限内一点P满足与的斜率之积为3，则周长的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据直线斜率之积确定点的轨迹方程，然后结合双曲线的定义计算即可. 【详解】设，由条件得，得， 可知其轨迹为双曲线第三象限的一部分，易知B为该双曲线的右焦点，左焦点为， 由定义与位置知，于是， 当且仅当F，P，D三点共线时等号成立，于是的周长． 5．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知抛物线C：的焦点为，过的直线l与C交于A，B两点，与圆交于M，N两点.若点A，M在第一象限，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线：，与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得，，再求得，再结合抛物线的焦半径公式，用表示，结合基本不等式可求其最小值. 【详解】如图： 因为，可设直线：，代入，整理得. 设，，则，. 所以， 所以. 又. 因为，所以，当且仅当即时取等号. 即. 6．（多选）（25-26高二下·广东广州·期中）（多选题）已知抛物线的准线方程为，点P在抛物线上，过P作圆的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B．则以下说法正确的是（     ） A．抛物线的标准方程为 B．当P，A，B三点共线时， C．当时，直线的斜率为或 D．满足的点P有且仅有2个 【答案】ABD 【分析】对于选项A，根据准线方程求出的值；对于选项B，根据P，A，B三点共线， 求出点坐标，再求的值；对于选项C，由，求出点的坐标求解；对于选项D，根据，得出点在的垂直平分线上，求出垂直平分线的方程与抛物线方程联立判断根的多少求解. 【详解】对于选项A，抛物线的准线方程为，所以，所以，抛物线的标准方程为，A选项正确； 对于选项B，由P，A，B三点共线,，，所以，又 所以，即， 又在上，解得，所以（-4舍去） 所以，，B选项正确； 对于选项C，当时，， ，由，解得或，此时或，选项C错误； 对于选项D，由，且，所以， 所以点在和的中垂线上，求得中垂线方程为， 与抛物线方程联立得，判别式，有两个实根，即满足的点P有且仅有2个，选项D正确. 7．（多选）（25-26高二下·河南新乡·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，其离心率为为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的最大值为 B．若，则的最大值为9 C．若的重心为，内心为，其中，不重合，则 D．若的角平分线交于点，且，则 【答案】BCD 【分析】由离心率得到，，利用椭圆定义，结合三角不等式，可确定差的最大值，判断选项A；由焦点坐标确定椭圆方程，设坐标后计算，利用参数方程转化为三角函数求最值，判断选项B；重心坐标公式为，内心纵坐标等于内切圆半径，利用面积法和内切圆半径公式，证明与的纵坐标相同，判断选项C；设，，利用角平分线性质和得，再结合正弦定理及椭圆定义，转化为三角方程求解，判断选项D. 【详解】A项：由，得，. 若，则，，. 由椭圆定义，且， 故的最大值为，不是，A错误. B项：若，则，，，椭圆. 设，则.令，， 则， 当时取等，故最大值为9，B正确. C项：设，，，则重心. 设内心，内切圆半径，为的面积 由得，故内心的纵坐标满足关系， 又内心纵坐标与纵坐标同号，因此， 所以轴，即，C正确. D项：设，. 由角平分线平分，且在上， 则. 又因为，， 故，所以，即. 在中，. 由正弦定理，，， 且，得. 化简得， 解得或. 因，故，D正确. 8．（多选）（2026·山东聊城·二模）已知抛物线过点，焦点为，点为抛物线上不同的两点，则（    ） A． B．存在直线，使得当直线过点时，有成立 C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】选项A.将代入抛物线方程求解即可.选项B.分析过焦点的弦长的最小值与题干比较求解即可.选项C.设出坐标，利用向量内积得到，再利用二次函数最值求解即可.选项D.根据题意分析，再利用焦半径公式得到，进而得到，利用三角函数的最值求解即可. 【详解】对于A，将点代入可得，得，故A正确； 对于B，若直线过点，则为抛物线的焦点弦长. 因为抛物线最短焦点弦长为其通径长，为，故B错误， 对于C，显然直线不与轴平行，设直线与轴交于点，， 设直线方程为.联立方程，化简得， 根据韦达定理，，故. 当时，取得最小值，故C正确； 对于D，设为以射线为始边，射线为终边的角，由在抛物线上运动，不妨取. 因为，所以. 设，则，进而. 根据抛物线定义，，解得，故或. ①当时，， 当时，取得最小值 ②当时，， 当时，取得最小值. 综上，，故D正确. 9．（25-26高二下·北京海淀·期中）2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的LOGO（如图所示），设计师的灵感来源于曲线.当，，时，给出下列四个结论： ①曲线关于原点对称； ②曲线所围成的封闭图形的面积小于24； ③曲线上的点到原点的距离的最大值为3； ④设，直线交曲线于两点，则的周长大于12. 其中所有正确的结论有__________（填序号）. 【答案】①②④ 【分析】确定在曲线上，①正确，曲线在一个长为6，宽为4的矩形内部，②正确，利用三角换元计算得到③正确，确定椭圆在曲线内，④正确，得到答案. 【详解】曲线：， 对①：取曲线上点，则满足在曲线上， 故曲线关于原点对称，故①正确； 对②：取，，取，，故曲线在一个长为，宽为的矩形内部， 故其面积小于，故②正确； 对③：设曲线上一点为，则，设， 到原点的距离的平方为，， ，当时，距离平方有最大值为，故距离的最大值为，故③错误； 对④：对于曲线和椭圆，设点 在上， 点在上，则， ，故， 所以， 设点在上，点在上，则， 所以，即， 故椭圆在曲线内(除四个交点外)， 如图： 设直线交椭圆 于两点，交轴于， 为椭圆的两个焦点， 由椭圆的定义可知：，， 所以的周长为12，由图可知，的周长大于12，故④正确. 2 / 129 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 平面解析几何全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 直线的倾斜角与斜率 题型13 两圆的公共弦问题 题型2 直线与线段的交点问题 题型14 两圆的公切线问题 题型3 两条直线的平行与垂直 题型15 圆锥曲线的定义 题型4 直线方程的五种形式 题型16 焦点三角形问题 题型5 直线的交点问题 题型17 根据圆锥曲线方程求参数 题型6 三种距离公式 题型18 求圆锥曲线的标准方程 题型7 对称问题 题型19 圆锥曲线的简单几何性质 题型8 圆的方程 题型20 直线与圆锥曲线位置关系的判断 题型9 直线与圆的位置关系 题型21 圆锥曲线的弦长及面积问题 题型10 直线与圆的相交弦问题 题型22 圆锥曲线的中点弦问题 题型11 圆的切线与切线长问题 题型23 圆锥曲线中的轨迹问题 题型12 圆与圆的位置关系的判断 核心提升·重难题型归纳 题型1 直线与圆中的最值问题 题型2 圆锥曲线的离心率问题 题型3 圆锥曲线中的最值与范围问题 题型4 圆锥曲线的定点定值问题 题型5 圆锥曲线中的定直线问题 题型6 圆锥曲线中的非对称韦达定理问题 题型7 圆锥曲线中的新定义问题 易错归纳·查缺补漏避陷阱 易错归纳1 利用截距式方程前应考虑截距为0 易错归纳2 忽略二元二次方程表示圆的条件 易错归纳3 利用点斜式方程前应该考虑斜率不存在 易错归纳4 忽略圆锥曲线定义中的限制条件 题型专练·高频重难特训 ◆题型1 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26高二下·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 3．（25-26高二·全国·暑假作业）若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·浙江杭州·期中）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·云南昆明·开学考试）已知直线经过点，则下列选项中正确的是（   ） A．直线的斜率为1 B．直线的倾斜角为 C．直线的方向向量为 D．直线在y轴上的截距为2 6．（25-26高二上·四川自贡·期中）已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. ◆题型2 直线与线段的交点问题 1．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D．或 2．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南信阳·阶段检测）已知点，，直线与线段AB总有交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 5．（25-26高一下·上海·阶段检测）若直线与点构成的线段相交，则的取值范围是_________. 6．（25-26高二下·上海·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． ◆题型3 两条直线的平行与垂直 1．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知直线与直线平行，则实数的值为（    ） A．-4 B．1 C．-1 D．-4或1 2．（25-26高二上·湖北·期末）直线的倾斜角为，的一个方向向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东江门·期末）已知直线：，，则直线的倾斜角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 4．（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知直线l过点且与直线垂直，则直线l方程为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高二上·安徽宿州·期末）已知直线和直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 6．（多选）（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．可能垂直于轴 B．可能垂直于轴 C．若，则 D．若，则 ◆题型4 直线方程的五种形式 1．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏泰州·期末）已知，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·新疆和田·期末）已知直线，则过点且与直线垂直的直线方程为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江西景德镇·期中）在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江西赣州·期末）经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（   ） A． B． C．或 D．或 ◆题型5 直线的交点问题 1．（25-26高三·全国·一轮复习）直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 3．（2026·广东·模拟预测）已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 4．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河南郑州·阶段检测）若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 7．已知，直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． ◆题型6 三种距离公式 1．（2026·山西忻州·模拟预测）圆的圆心到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 2．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C．或 D． 4．（25-26高二上·重庆·阶段检测）若点到直线（为任意实数）的距离取最大值时，则（   ） A． B． C． D．2 5．（25-26高二上·北京·期中）平行线与之间的距离为（   ） A． B． C．1 D． 6．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知直线，直线，若直线，则直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． ◆题型7 对称问题 1．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 2．（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·天津西青·期末）与直线关于轴对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河北·阶段检测）在平面直角坐标系中，由点发出的一条光线射向轴上的点后，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·贵州贵阳·期末）已知直线和，两点，若直线l上存在点C使得最小，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 ◆题型8 圆的方程 1．（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_________． 4．（2026·湖南·模拟预测）设A，B是半径为4的球O的表面上两定点，且，球O的表面上一动点P满足，则点P的轨迹长度为______． 5．（2026高三·全国·专题练习）已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________． ◆题型9 直线与圆的位置关系 1．（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 2．（河北衡水中学2024届高三年级下学期二调考试数学试题）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 3．（24-25高三上·河南南阳·期末）直线交圆于、两点，则（   ） A． B． C．1 D．2 4．（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 5．（25-26高二下·上海·阶段检测）设，若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是________． 6．若直线：与曲线有两个交点，则实数的取值范围是__________． ◆题型10 直线与圆的相交弦问题 1．（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 2．直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 3．直线交圆于、两点，则（   ） A． B． C．1 D．2 4．（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 5．（25-26高二下·上海·阶段检测）设，若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是________． 6．（22-23高二上·河南新乡·期末）若直线：与曲线有两个交点，则实数的取值范围是__________． ◆题型11 圆的切线与切线长问题 1．（2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·全国·期中）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 3．（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河南驻马店·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·河南洛阳·期末）过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·陕西渭南·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦AB所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． ◆题型12 圆与圆的位置关系的判断 1．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．外离 C．相切 D．相交 4．（25-26高二上·江苏扬州·期末）若圆与圆相交，则正整数的值为（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 5．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，圆与圆相交于A，B两点，则四边形OACB的面积为（   ） A． B． C．1 D． 6．已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． ◆题型13 两圆的公共弦问题 1．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．外离 C．相切 D．相交 4．（25-26高二上·江苏扬州·期末）若圆与圆相交，则正整数的值为（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 5．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，圆与圆相交于A，B两点，则四边形OACB的面积为（   ） A． B． C．1 D． 6．已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． ◆题型14 两圆的公切线问题 1．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知点到直线的距离分别为3，4，则符合条件的直线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆与圆，则（    ） A．圆心距 B．两圆的公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公共弦长为 D．直线是两圆的一条公切线 5．（多选）（25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）点P在圆：上，点Q在圆：上，则（   ） A．两圆的位置关系为外切 B．的最大值为12 C．两圆公切线段长为 D．两圆相交弦所在直线的方程为 6．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. ◆题型15 圆锥曲线的定义 1．（2026高二·全国·专题练习）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2．（25-26高二下·北京延庆·期中）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）若两圆，有公共点，当m变化时，与圆，都相切的圆的圆心可能在（     ） A．椭圆上 B．双曲线的一支上 C．抛物线上 D．一条直线上 6．（多选）（25-26高二下·吉林长春·期中）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（ ） A． B．离心率 C．的面积为3 D．的周长为12 7．（多选）（2026·广东深圳·二模）下列说法正确的是（    ） A．若定点，满足 ，动点P满足，则动点P的轨迹是椭圆 B．若定点，满足，动点M满足 ，则动点M的轨迹是椭圆 C．当时，方程表示椭圆 D．若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 8．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知点到点的距离比到直线的距离大2，则点的轨迹方程为__________． ◆题型16 焦点三角形问题 1．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（ ） A．4 B．8 C．12 D． 2．（25-26高二上·广西梧州·期末）若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（   ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为，在椭圆上存在一点，使得，设的内切圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，且，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 6．（26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. ◆题型17 根据圆锥曲线方程求参数 1．（2026·四川遂宁·二模）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 2．（25-26高二上·云南保山·期末）“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026高二·全国·专题练习）已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知方程表示椭圆，则k的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 6．（2026高二上·浙江温州·专题练习）若方程所表示的曲线为，则下列命题不正确的是（   ） A．曲线可能是圆 B．若曲线为双曲线，则 C．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线为椭圆，则且 ◆题型18 求圆锥曲线的标准方程 1．（25-26高二下·重庆渝中·期末）离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）若椭圆过抛物线的焦点， 且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖南郴州·期中）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x＋2y＝0垂直，且C的焦点到l的距离为，则C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·吉林长春·期中）若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点P的轨迹方程是（   ） A． B． C． D．或 ◆题型19 圆锥曲线的简单几何性质 1．（25-26高二下·陕西商洛·期末）椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·海南省直辖县级单位·阶段检测）椭圆C:的一个焦点F坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东茂名·二模）已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 4．（2026·北京顺义·一模）若双曲线：与椭圆的焦点相同，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．4 5．（25-26高二下·安徽马鞍山·期末）已知双曲线上一点到两条渐近线的距离之积等于，则（   ） A．3 B．2 C． D． 6．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）双曲线： （， ）过点和，则其渐近线方程为（     ） A． B． C． D． ◆题型20 直线与圆锥曲线位置关系的判断 1．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定，与的取值有关 2．（26-27高三·全国·一轮复习）过点作与双曲线仅有一个公共点的直线，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．（2026·山西临汾·二模）椭圆：，若上存在两点，关于直线对称，则实数的范围为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高二上·四川成都·期末）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则k的值可以是（ ） A． B． C． D． 5．若直线与双曲线的左支交于不同的两点，则的取值范围为________. 6．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知双曲线与直线交于不同的两点A，B，若线段的中点在圆上，则________. ◆题型21 圆锥曲线的弦长及面积问题 1．（25-26高二下·重庆渝中·期末）已知是抛物线上两点，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 5 C．的最小值为 D．的最小值为 5 2．（26-27高三·全国·一轮复习）已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，则弦的长为________． 3．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆的离心率为且经过点.试求： (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线的方程；若不存在，试说明理由. 4．（2026·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，一动直线分别交，于A，B（A，B横坐标同号）两点，且的面积恒为4. (1)求中点的轨迹的方程； (2)若直线交轨迹于，两点，的面积为，求的值. 5．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． ◆题型22 圆锥曲线的中点弦问题 1．（25-26高二上·福建厦门·期末）设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知抛物线，直线与抛物线相交于两点，且的中点为，则__________. 4．（2026·北京·模拟预测）双曲线：的一条渐近线的方程是________；若，为双曲线上的两点，且线段的中点为，则实数的一个取值为________． 5．（2026高三·全国·专题练习）倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则线段AB中点M的轨迹方程是_______． 6．（25-26高二下·云南楚雄·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为2，离心率为. (1)求的标准方程； (2)过点的直线与相交于两点，若线段的中点的纵坐标为，求的面积. ◆题型23 圆锥曲线中的轨迹问题 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在平面内，两定点A，B之间的距离为4，动点M满足，则点M的轨迹是（   ） A．椭圆 B．圆 C．直线 D．三角形 2．（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高三·全国·一轮复习）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为___. 4．（25-26高二下·广东东莞·期末）已知圆，点，若点是圆上一动点，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程为______________. 5．（25-26高二下·湖北·阶段检测）已知点，动点满足，动点在直线上，则的最小值为________． 6．（2026高二下·上海·专题练习）已知平面直角坐标系中定点，，O为坐标原点．动点M满足，记M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)求线段AM中点P的轨迹方程． ◆题型1 直线与圆中的最值问题 1．（25-26高二下·广东深圳·期中）如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·云南文山·期末）已知点P为直线上的一点，Q为圆上的一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 3．（25-26高二上·广东广州·期末）已知直线与相交于点，点为坐标原点，则直线的斜率的最大值与最小值之和为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知直线与圆交于两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高一下·陕西西安·期末）已知点在圆：上运动.则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为 D．若，，则的最小值为 6．（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则有（   ） A．四边形面积的最小值为 B．最大度数为 C．直线过定点 D．的最小值为 7．（多选）（25-26高二上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点是曲线上一动点，点分别是直线与轴的交点，则（    ） A．面积的最小值为1 B．的最大值为 C．若直线与曲线有且只有一个公共点，则 D．的取值范围为 8．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）动点与两个定点，满足，则点到直线的距离的最大值为________． 9．（河北武邑中学2026届高三下学期学生全过程纵向评价（六）数学试题）对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 10．（25-26高二上·北京顺义·期末）若实数，满足，则的最小值为______；的最大值为______． ◆题型2 圆锥曲线的离心率问题 1．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知双曲线的两个焦点分别为，点在上，则的离心率为（   ） A． B．3 C．2 D． 2．（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的离心率，则实数的值为（    ） A．3 B．3或 C． D．或 3．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知椭圆的左右焦点分别为是上一点．若（为坐标原点），则的离心率为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·广西梧州·期末）若两双曲线中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴且具有相同的渐近线，则称两双曲线为共轭双曲线，已知双曲线，为共轭双曲线，离心率分别为和，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27高三·全国·一轮复习）椭圆C：的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·河南驻马店·期末）直线与双曲线：（，）交于，两点，存在以为的中点，则的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·福建福州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别是，．若C的渐近线上存在一点P，满足，则C的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． ◆题型3 圆锥曲线中的最值与范围问题 1．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）已知直线与椭圆交于两点，则的最大值为（     ） A．2 B． C． D．4 2．（2025高二·全国·专题练习）已知双曲线，O为坐标原点，P，Q为双曲线上两动点，且，则面积的最小值为（   ） A．20 B．15 C．30 D．25 3．（25-26高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2026高三·全国·专题练习）已知为双曲线上经过原点的一动弦，为圆上一动点，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 5．（25-26高二上·四川成都·期中）圆锥曲线具有丰富的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的A，B两点（非长轴上顶点）反射后回到焦点；过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M，则下列说法正确的是（   ） A．面积的最大值为6 B．的最小值为 C．M的轨迹方程为 D．的最小值为8 6．（25-26高二上·上海·期中）已知点为双曲线上位于第二象限内的动点，是该双曲线的右顶点，，则面积的取值范围为___________． 7．（25-26高二上·天津蓟州·阶段检测）已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为_____ . ◆题型4 圆锥曲线的定点定值问题 1．（25-26高二下·云南曲靖·期末）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点．当时，，． (1)求的标准方程； (2)若在第一象限，，是上的两点，若直线，关于直线对称，证明：直线的斜率为定值． 2．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知双曲线经过点 (1)求E的方程； (2)设直线经过E的右焦点，且与E交于不同的两点M，N，点N关于x轴的对称点为P，证明：直线过定点. 3．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知椭圆C：（）的离心率，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C的上顶点，直线l交椭圆C于A，B两点（A，B均不与P重合），直线与的斜率之积为，探究：直线l是否过定点？若是，求该定点坐标；若不是，请说明理由. 4．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知圆与抛物线：在轴上方的交点为，与抛物线的准线在轴下方的交点为，且点，关于直线对称． (1)求抛物线的方程； (2)若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且直线和的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 5．（25-26高二下·江苏连云港·期末）已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 6．（25-26高二下·广西贺州·期末）在平面直角坐标系中，已知定点和定直线：.动点到定点的距离等于它到定直线的距离，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设为坐标原点，点，是曲线上异于原点的两个动点，且满足. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最小值. ◆题型5 圆锥曲线中的定直线问题 1．（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆焦距为4，短轴长为4． (1)求椭圆的方程． (2)若椭圆与轴的交点为A，B（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 2．（25-26高二上·北京西城·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，点是线段上一点，且满足.求证：点在一条定直线上. 3．已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由. 4．已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程. (2)已知直线与轨迹交于A，B两点，以A，B为切点作两条切线，分别为，，且，相交于点.若点在直线上，求的值. 5．已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． ◆题型6 圆锥曲线中的非对称韦达定理问题 1.椭圆C:的一个焦点为，且过点． (1)求椭圆C的标准方程和离心率； (2)若过点且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，点P在直线上，且NP与x轴平行，求直线MP恒过的定点． 2.已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点，，，为椭圆上关于轴对称的两点（不与点B重合），，直线与椭圆交于另一点，直线垂直于直线，为垂足． (1)求的方程； (2)证明：（i）直线过定点，（ii）存在定点，使为定值． 3.椭圆的左、右顶点分别为A，B，过左焦点的直线与椭圆交于C，D两点（其中C点位于x轴上方），当CD垂直于x轴时， (1)求椭圆的方程； (2)记直线AC，BD的斜率分别为，问；是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 4.已知圆，圆，动圆与圆和圆均相切，且一个内切、一个外切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程． (2)已知点，过点的直线与轨迹交于两点，记直线与直线的交点为．试问：点是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由． ◆题型7 圆锥曲线中的新定义问题 1．加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家.他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.若长方形G的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（   ） A．椭圆M的离心率为 B．椭圆M的蒙日圆方程为 C．若G为正方形，则G的边长为 D．长方形G的面积的最大值为14 2．（25-26高三上·湖南·开学考试）若双曲线与关于直线对称，且的离心率与的离心率之积为常数），则称与互为型双曲线.已知双曲线，则的3型双曲线的渐近线为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知分别为曲线（包含点与直线）上的点，定义曲线之间的最短距离为（其中表示点与点距离的最小值）.已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选）中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条.其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（    ） A．曲线的图象关于原点对称 B．曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 5．（25-26高二上·山东菏泽·期末）椭圆是坐标原点，若的三个顶点都在椭圆上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”. (1)是否存在“核心三角形”，其中两个顶点恰好是椭圆的两个顶点，并说明理由； (2)已知是“核心三角形”. （i）证明：的面积是定值； （ii）若为等腰三角形，这样的三角形有几个？并说明理由. ◆易错归纳1 利用截距式方程前应考虑截距为0 1．（25-26高二上·安徽合肥·期末）若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．或 2．（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 4．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·青海海南·期末）直线l经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为______. ◆易错归纳2 忽略二元二次方程表示圆的条件 1．（25-26高二上·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 4．（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）已知圆与直线相切，则的值为（   ） A．或2 B．6或 C． D．2 5．（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． ◆易错归纳3 利用点斜式方程前应该考虑斜率不存在 1.（多选）已知点和则过点且与的距离相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2.若直线过点，且到点和点的距离相等，则直线的方程为 ． 3.已知直线l经过点，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为 ． 4.已知的三个顶点坐标为 、 、 (1)求边 上的高所在的直线方程； (2)若圆 是 的外接圆，且经过点的直线 被圆 所截得的弦长为 ，求直线的方程. ◆易错归纳4 忽略圆锥曲线定义中的限制条件 1.设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 2.（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为两条射线 3.（多选）已知定圆，点是圆所在平面内异于的定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点.则点的轨迹可能为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．圆 一、单选题 1．（25-26高二上·河南郑州·期末）下列说法正确的是（   ） A．过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为 B．若直线：与直线：互相平行，则或2 C．对任意的，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 2．（25-26高二下·湖南·期末）已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（     ） A． B．直线的方程是 C．四边形的面积是48 D．的最大值是 3．（25-26高二下·广西河池·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）记点，，，，第三象限内一点P满足与的斜率之积为3，则周长的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 5．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知抛物线C：的焦点为，过的直线l与C交于A，B两点，与圆交于M，N两点.若点A，M在第一象限，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高二下·广东广州·期中）（多选题）已知抛物线的准线方程为，点P在抛物线上，过P作圆的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B．则以下说法正确的是（     ） A．抛物线的标准方程为 B．当P，A，B三点共线时， C．当时，直线的斜率为或 D．满足的点P有且仅有2个 7．（多选）（25-26高二下·河南新乡·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，其离心率为为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的最大值为 B．若，则的最大值为9 C．若的重心为，内心为，其中，不重合，则 D．若的角平分线交于点，且，则 8．（多选）（2026·山东聊城·二模）已知抛物线过点，焦点为，点为抛物线上不同的两点，则（    ） A． B．存在直线，使得当直线过点时，有成立 C． D．若，则 9．（25-26高二下·北京海淀·期中）2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的LOGO（如图所示），设计师的灵感来源于曲线.当，，时，给出下列四个结论： ①曲线关于原点对称； ②曲线所围成的封闭图形的面积小于24； ③曲线上的点到原点的距离的最大值为3； ④设，直线交曲线于两点，则的周长大于12. 其中所有正确的结论有__________（填序号）. 2 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $