第2章 19-专题专项练-专题强化练7 双曲线的综合问题（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

该高中数学课件聚焦“双曲线的综合问题”，涵盖定义、离心率、焦点三角形等核心知识点。通过典型例题导入，先回顾双曲线定义及标准方程，再过渡到与几何图形结合的综合应用，搭建从基础到复杂问题的学习支架。 其亮点在于以问题驱动，融合数学思维与几何直观，通过焦点三角形内切圆、与圆的切线结合等例题培养学生推理能力。采用“例题-解析-知识拓展”结构，帮助学生用数学语言表达几何关系，提升解题能力，也为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

第二章 平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 专题强化练7 双曲线的综合问题 第1讲　描述运动的基本概念 1.[2025江苏南通期中]已知O为坐标原点,双曲线C: -y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,若P为双曲线C上 一点,射线PH为∠F1PF2的平分线,过右焦点F2的直线与直线PH垂直,垂足为H,则|OH|= ( ) A.1　　     B.2　　     C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　不妨设点P在双曲线的右支上,直线F2H交PF1于点Q. 因为射线PH为∠F1PF2的平分线,PH⊥QF2,所以H为线段QF2的中点,且|PQ|=|PF2|. 又O为线段F1F2的中点,所以|OH|= |QF1|= (|PF1|-|PQ|)= (|PF1|-|PF2|)=a=2.   第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026浙江台州书生中学检测]已知F1,F2分别是双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点,P,Q为双曲 线C上两点,且在双曲线的两支上,满足F1P∥F2Q,且|F2Q|=2|F2P|=5|F1P|,则双曲线C的离心率为 ( ) A. 　　    B. 　　     C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　延长QF2,与双曲线交于点P',则|F1P|=|F2P'|.   设|F1P|=|F2P'|=2t,则|F2P|=5t,|F2Q|=10t,所以|F2P|-|F1P|=3t=2a,即t= a,所以|P'Q|=12t=8a. 连接QF1,F1P',易得四边形PF2P'F1为平行四边形,则|QF1|=|QF2|+2a= a,|F1P'|=|F2P|= a, 所以|P'Q|2+|F1P'|2=|QF1|2,所以∠F1P'Q=90°,所以平行四边形PF2P'F1为矩形. 在△P'F1F2中,由勾股定理得|F2P'|2+|F1P'|2=|F1F2|2,即 + =4c2,所以e= = . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026山东青岛第一中学月考]已知F1,F2分别为双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2的直线 与双曲线的右支交于A,B两点,记△AF1F2的内切圆I1的半径为r1,△BF1F2的内切圆I2的半径为r2,若r1r2=a2, 则双曲线的离心率为 ( ) A. 　　    B.2　　     C. 　　    D.3     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　过I1分别作AF1,AF2,F1F2的垂线,垂足分别为D,E,F,连接I1F2,I2F2,如图所示,   则|AD|=|AE|,|F1D|=|F1F|,|F2E|=|F2F|, 由双曲线的定义及A在右支上得|AF1|-|AF2|=2a,则(|AD|+|DF1|)-(|AE|+|EF2|)=|F1F|-|F2F|=2a, 又∵|F1F2|=|F1F|+|F2F|=2c, ∴|F1F|=a+c,又|F1F|=|OF1|+|OF|,∴|OF|=a,即I1在直线x=a上,同理可知I2也在直线x=a上, ∵∠I1F2A=∠I1F2F1,∠I2F2B=∠I2F2F1,∴∠I1F2A+∠I2F2B=∠I1F2F1+∠I2F2F1=∠I2F2I1= , 第1讲　描述运动的基本概念 ∴tan∠I1F2F=tan  -∠I2F2F = , ∴ = ,则|I1F||I2F|= ,即r1r2=(c-a)2=a2,∴c=2a,故离心率e= =2. 知识拓展　在双曲线 - =1(a>0,b>0)中,焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为±a. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025安徽阜阳太和中学期中]已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A(- ,1)为椭圆 C内一点,对称中心在坐标原点,焦点在x轴上的等轴双曲线E经过点( ,1),点Q(a,b)在E上,若椭圆C上存 在一点P,使得|PA|+|PF2|=4,则C的离心率的取值范围是( ) A. 　　    B.  C. 　　     D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设等轴双曲线E的方程为x2-y2=t2,将( ,1)代入,得双曲线E的方程为 - =1.因为点Q(a,b)在E上, 所以a2-b2=2,所以F1(- ,0). 连接PF1,因为|PA|+|PF2|=4,所以|PA|+(2a-|PF1|)=4,即|PA|-|PF1|=4-2a. 连接AF1,易知||PA|-|PF1||≤|AF1|=1,当且仅当P,A,F1三点共线时,等号成立,所以|4-2a|≤1,解得 ≤a≤ ①. 因为点A(- ,1)在椭圆C内,所以 + <1,即 + <1,解得a2<1(舍去)或a2>4②. 由①②得2<a≤ ,所以 ≤ < ,所以e= = ∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题]已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A,B,点M在双 曲线C上,且点M在第二象限内,MF1⊥x轴,直线MA,MB分别与y轴交于点P,Q.若|OP|=e|OQ|(e为双曲线C 的离心率,O为原点),则( ) A.e= +1　　     B.|AF1|∶|AO|= ∶1 C.直线OM的斜率为-2　　     D.直线AM的斜率为-3     AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　根据题意,得A(-a,0),B(a,0),F1(-c,0),M ,所以|F1M|= ,|OB|=a,|OA|=a,|F1A|=c-a,|F1B|=c+a. 易知△BOQ∽△BF1M,△AOP∽△AF1M, 则 = , = , 所以|OQ|= ,|OP|= . 因为|OP|=e|OQ|,所以 =e· ,整理,得a+c=e(c-a),即1+e=e(e-1),即e2-2e=1,解得e= +1或e=1- ,因 为e>1,所以e= +1,故A正确.  = =e-1= ,故B错误. 在Rt△OF1M中,因为|MF1|= ,|OF1|=c,所以tan∠MOF1= = ,所以直线OM的斜率k=- = = -e 第1讲　描述运动的基本概念 =-2,故C正确. 易知直线AM的斜率k1=- =- =-(e+1)=- -2,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025湖南长沙望城第二中学月考]从双曲线 - =1的左焦点F引圆x2+y2=3的切线FP,交双曲线右支 于点P,T为切点,M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|=___________.      -      解析　由题意得|OT|=a= ,c2=3+5=8, 故c=2 ,|OF|=2 . 因为T为切点,所以|TF|= = . 设双曲线的右焦点为F',连接PF',则|PF|-|PF'|=2a=2 . 因为M为线段FP的中点,O为FF'的中点, 所以|MF|-|MO|= ,所以|MO|-|MT|=|MO|-|MF|+|TF|=|TF|-(|MF|-|MO|)= - . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025吉林省实验中学期中]已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径 的圆与双曲线在第一、三象限内的交点分别为A,B,设∠ABF2=α,且α∈ ,则该双曲线的离心率的 取值范围是_______________.     [ ,  +1)     解析　如图,连接AF1,AF2,BF1.   由圆的性质可知,AB,F1F2的中点均为O,且∠F1AF2= ,所以四边形AF1BF2为矩形. 易得∠AF1F2=∠ABF2=α,所以|AF1|=2ccos α,|AF2|=2csin α. 第1讲　描述运动的基本概念 由双曲线的定义得2a=|AF1|-|AF2|=2c(cos α-sin α)=2 ccos . 因为α∈ ,所以α+ ∈ , 又cos =cos =cos cos -sin sin = ,cos = ,所以cos ∈ , 所以双曲线的离心率e= = ∈[ , +1). 第1讲　描述运动的基本概念 $