2.5.1 椭圆的标准方程-【新课程学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦椭圆的定义、标准方程及轨迹问题，课前通过“微点助解”解析定义限制条件和标准方程特征，搭配基础训练搭建自主学习支架，课堂围绕定义辨析、方程推导及轨迹应用展开，形成“预习-探究-迁移”的完整学习脉络。 其亮点是以梯度进阶式教学落实核心素养，用定义中2a与|F1F2|关系表培养数学眼光，通过“定义法四步”“待定系数法四步”等思维建模发展数学思维，轨迹问题中坐标法表达等量关系体现数学语言。含高考题实例，助力学生分层提升，教师可直接用于教学，提高效率。

2.5 椭圆及其方程 2.5.1 椭圆的标准方程 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.理解并掌握椭圆的定义. 2.掌握椭圆的标准方程的推导. 3.会求简单的椭圆的标准方程，能利用直接法、定义法、代入法解与椭圆有关的轨迹问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.椭圆的定义 定义 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足__________________的动点P的轨迹称为椭圆 相关 概念 两个定点F1，F2称为椭圆的______，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的_______ |PF1|+|PF2|=2a 焦点 焦距 |微|点|助|解| (1)对定义中限制条件“两个定点”的理解 椭圆定义中的两个定点F1，F2是指不重合的两点，当F1与F2重合时，相应点的集合是圆. (2)对定义中限制条件“2a(大于|F1F2|)”的理解 条件 结论 2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a=|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a<|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 2.椭圆的标准方程 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ______________ ______________ 图形 焦点坐标 ___________________ ___________________ 焦距 2c +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) a，b，c的 关系 _________________ 异同点 相同点：椭圆的大小、形状相同; 不同点：焦点位置不同，方程不同 a2=b2+c2 续表 |微|点|助|解| (1)椭圆标准方程中“标准”的含义： 椭圆放置在平面直角坐标系的“标准状况下”的方程，即： ①焦点F1，F2在坐标轴上;②线段F1F2的中点是坐标原点. (2)标准方程的结构特征：标准方程右边是1，左边是与的和，并且分母不相等. (3)判断焦点位置的方法：标准方程中含x2项的分母较大⇔焦点在x轴上;标准方程中含y2项的分母较大⇔焦点在y轴上.因此要根据标准方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)已知点F1(-1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=4，则点P的轨迹是椭圆.(　　) (2)已知点F1(-1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=2，则点P的轨迹是椭圆.(　　) (3)已知点F1(0，-1)，F2(0，1)，动点P满足|PF1|+|PF2|=1，则点P的轨迹是椭圆.(　　) (4)椭圆定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.(　　) √ √ × × 2.已知椭圆C：+=1(a>b>0)上任意一点到两焦点的距离之和为4，焦距为2，则C的方程为(　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析：由题设，知可得则b2=a2-c2=3， ∴C的方程为+=1. √ 3.若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为(　　) A. B. C.(-∞，-3) D.(2，+∞) 解析：由题意可得0<3+m<2-m，解得-3<m<-，所以m的取值范围为. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　椭圆的定义 [例1]　平面内有一个动点M及两定点A，B.设p：|MA|+|MB|为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆.那么p是q的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：当|MA|+|MB|为定值时，若定值大于|AB|时，点M轨迹是椭圆，若定值等于|AB|，点M轨迹是线段，若定值小于|AB|，则轨迹不存在; 当点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆时，|MA|+|MB|必为定值.所以 p q，但q⇒p，故p为q的必要不充分条件. √ |思|维|建|模| 椭圆定义的应用类型 (1)判定点的轨迹是否为椭圆，关键看是否符合椭圆的定义; (2)作为性质运用.椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数). 针对训练 1.(多选)设定点F1(0，-3)，F2(0，3)，动点P满足|PF1|+|PF2|=a+(a>0)，则点P的轨迹可能是(　　) A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线 √ √ 解析：易知a+≥6，故选BC. 2.已知P，Q为椭圆上两点且F1，F2为椭圆的两个焦点，当|PF1|=4时，|PF2|=8.求Q在运动过程中，|QF1|·|QF2|的最大值. 解：由题意|QF1|+|QF2|=|PF1|+|PF2|=4+8=12，由均值不等式|QF1|·|QF2|≤==36，当且仅当|QF1|=|QF2|=6时， 等号成立，故|QF1|·|QF2|的最大值为36. 题型(二)　椭圆的标准方程 方法1　定义法求椭圆的标准方程 [例2]　求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)一个焦点坐标为(-5，0)，且椭圆上的点到两焦点的距离之和是26; 解：由题意2a=26，a=13，又c=5，所以b= ==12， 椭圆标准方程为+=1. (2)一个焦点坐标为(0，2)，且椭圆经过点(-). 解：由题意椭圆另一焦点为(0，-2). 2a=+=+=-++=4，a=2，c=2， 所以b==2，焦点在y轴上，椭圆标准方程为+=1. |思|维|建|模| 　　定义法就是根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程. 方法2　待定系数法求椭圆的标准方程 [例3]　(1)求焦点在坐标轴上，且经过两点(2，-)和的椭圆的标准方程; 解：设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0，B>0，A≠B)，分别将两点的坐标(2，-)，代入椭圆的一般方程，得解得所以所求椭圆的标准方程为+=1. (2)求与椭圆+=1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆的标准方程. 解：由题意可设所求椭圆的标准方程为+=1(λ>-9).又椭圆过点(3，)，将x=3，y=代入方程得+=1， 解得λ=11或λ=-21(舍去).故所求椭圆的标准方程为+=1. |思|维|建|模| 待定系数法求椭圆的标准方程 (1)定位置：根据条件确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上. (2)设方程：设椭圆方程为+=1或+=1(a>b>0).无法确定焦点位置时，可设为Ax2+By2=1(A>0，B>0，且A≠B). (3)寻关系：根据条件列出关于a，b，c(或A，B)的方程组. (4)得方程：解方程组，将所求得的相应值代入所设方程即可. 针对训练 3.求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为(-3，0)，(3，0)，经过点(0，4); 解：设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)，依题可得c=3， 将(0，4)代入到方程+=1中得b=4，故a===5， 所以椭圆的标准方程为+=1. (2)焦点在y轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为8，c=; 解：设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)，依题可得2a=8，即a=4，所以b===，所以椭圆的标准方程为+=1. (3)两个焦点坐标分别是(0，-2)和(0，2)，并且经过点; 解：易知c=2，焦点在y轴上，可设椭圆的标准方程为+=1， 将代入标准方程解得b2=6，则椭圆的标准方程为+=1. (4)椭圆中c=b，且a+b=6; 解：因为c=b，a2-b2=c2，解得a=2b，又因为a+b=6，所以b=2，a=4， 椭圆的标准方程为+=1或+=1. (5)以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点，且经过点M(2，). 解：由题意，椭圆9x2+5y2=45化为标准方程+=1，知焦点F1(0，2)，F2(0，-2)，设所求椭圆方程为+=1(λ>0)， 将x=2，y=代入，得+=1，解得λ=8或λ=-2(舍去). ∴所求椭圆的标准方程为+=1. [例4]　(1)一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x2+4x+y2-32=0内切，则动圆圆心M的轨迹方程为_________.  题型(三)　与椭圆有关的轨迹问题 解析：将定圆的方程化为标准形式为(x+2)2+y2=62，这时，已知圆的圆心坐标为B(-2，0)，半径为6，如图，设动圆圆心M的坐标为(x，y)，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C. ∴|BM|+|CM|=6，又|CM|=|AM|， +=1 ∴|BM|+|AM|=6，根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(-2，0)和点A(2，0)为焦点，且2a=6的椭圆. ∴a=3，c=2，b= =， ∴所求圆心的轨迹方程为+=1. (2)已知△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，边AB，AC所在直线的斜率的乘积是-，则顶点A的轨迹方程是________________.  解析：设顶点A的坐标为(x，y)，因为A，B，C是△ABC的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，因此x≠0，由题意得·=-，化简整理，得+=1(x≠0)，所以顶点A的轨迹方程为+=1(x≠0). +=1(x≠0) |思|维|建|模| 　　求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立坐标系，设轨迹上任一点的坐标为(x，y)，轨迹方程就是x，y之间的等式，关键是找到等量关系，然后用x，y表示. 4.如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是点P在x轴上的射影，M是线段PD上一点，且|MD|=|PD|.当点P在圆上运动时，动点M的轨迹方程是________________.  解析：设M(x，y)，P(x1，y1)，因为点D是P在x轴上的射影，M是线段PD上一点，且|MD|=|PD|，所以因为P(x1，y1)在圆x2+y2=25上，所以x2+=25，化简得+=1. +=1 5.如图，在圆C：(x+1)2+y2=25内有一点A(1，0).Q为圆C上任意一点，线段AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，当点Q在圆C上运动时，求点M的轨迹方程. 解：如图所示，连接MA.由题意知点M在线段CQ上，从而有|CQ|=|MQ|+|MC|.又点M在AQ的垂直平分线上，则|MA|=|MQ|，故|MA|+|MC|=|CQ|=5>|AC|=2.又A(1，0)，C(-1，0)，故点M的轨迹是以(1，0)，(-1，0)为焦点的椭圆，且2a=5，故a=，c=1，b2=a2-c2=-1=.故点M的轨迹方程为+=1. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.已知点A(-3，0)，B(0，2)在椭圆+=1上，则椭圆的标准方程为(　　) A.+=1 B.+=1 C.+y2=1 D.+=1 √ 解析：由题意得解得m2=9，n2=4.所以椭圆的标准方程为+=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.若椭圆+=1(m>0)的一个焦点坐标为(1，0)，则m的值为(　　) A.5 B.3 C. D. √ 15 解析：根据题意知，椭圆的焦点在x轴上，且c=1，则有4-m2=1， 解得m=±.又m>0，则m=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.如果方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是(　　) A.(3，4) B. C. D. √ 15 解析：∵方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，∴4-m>0，m-3>0且m-3>4-m，解得<m<4.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.椭圆+=1的右焦点到直线x-y=0的距离为(　　) A. B. C.1 D. √ 15 解析：在椭圆+=1中，a2=4，b2=3，则c==1，所以椭圆的右焦点为F(1，0).所以椭圆的右焦点F(1，0)到直线x-y=0的距离为d==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2+y2=16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为 (　　) A.+=1(y>0) B.+=1(y>0) C.+=1(y>0) D.+=1(y>0) √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：法一　设点M(x，y)，则P'(x，0)，因为M为PP'的中点，所以P(x，2y)，又P在曲线x2+y2=16(y>0)上，所以x2+4y2=16(y>0)， 即+=1(y>0)，即点M的轨迹方程为+=1(y>0). 15 法二　因为P在曲线C上，不妨取P(0，4)，则P'(0，0)， 所以中点M(0，2).因为点M满足轨迹方程，代入选项，只有A符合. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.椭圆+=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为(　　) A.± B.± C.± D.± 15 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3， ∵点P在椭圆上，∴+=1，即y2=，则点P的纵坐标为±， 故点M的纵坐标为±. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.设A1，A2是椭圆+=1与x轴的两个交点，P1，P2是椭圆上垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为(　　) A.+=1(x≠±3) B.+=1(y≠±3) C.-=1(x≠±3) D.-=1(y≠±3) 15 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设交点为P(x，y)，A1(-3，0)，A2(3，0)，P1(x0，y0)，P2(x0， -y0)，易知x≠±3，x0≠±3，∵A1，P1，P共线，∴=， ∵A2，P2，P共线，∴=.两式相乘得=， ∵P1(x0，y0)在椭圆+=1上，∴+=1，∴=4， 将代入得=-=，∴P的轨迹方程为-=1(x≠±3). 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.已知点F是椭圆C：+=1的左焦点，点P为C上一点，A，则|PA|+|PF|的最小值为(　　) A. B. C.4 D. 15 解析：设椭圆C：+=1的右焦点为F'(2，0).由A，得|AF'|=.根据椭圆的定义可得|PF|+|PF'|=2a=6，所以|PA|+|PF|=|PA|+6-|PF'| ≥6-|AF'|=6-=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)椭圆+=1的焦距是_______，焦点坐标是_______________.  15 解析：由椭圆方程知，椭圆焦点在x轴上，且a2=100，b2=36，所以c2=a2-b2=64，解得c=8，所以焦距2c=16，两焦点的坐标分别是(-8，0)，(8，0). 16 (-8，0)，(8，0) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)若动点P(x，y)到点(1，0)的距离与到定直线x=3的距离之比是，则动点P的轨迹方程是___________.  15 解析：设点P的坐标为(x，y)，则由题意得=，整理得2x2+3y2=6，即+=1，所以动点P的轨迹方程是+=1. +=1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|AF2|+|BF2|=14，则|AB|=___________.  15 解析：因为a=6，|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，两式相加得|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=24.又|AF2|+|BF2|=14，所以|AB|=10. 10 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，P是C上一点，|PF1|=3|PF2|，∠F1PF2=，C的面积为12π，则C的标准方程为________________.  15 +=1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a，又|PF1|=3|PF2|，所以|PF1|=a，|PF2|=a.又∠F1PF2=，所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，所以4c2=a2+a2-a2，所以a=c，b==c.又椭圆的面积为12π，所以c·cπ=12π， 解得c2=7，a2=16，b2=9，所以椭圆C的标准方程为+=1. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)b=1，c=，焦点在y轴上;(2分) 15 解：因为b=1，c=，所以a2=b2+c2=16， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为+x2=1. (2)a=10，c=6;(2分) 解：因为a=10，c=6，所以b2=a2-c2=100-36=64，因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为+=1或+=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)经过点P(-2，0)，Q(0，2)两点;(3分) 15 解：由题意得P，Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，所以a=2，b=2， 所以椭圆的标准方程为+=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 (4)与椭圆+=1有相同的焦点且经过点(2，-).(3分) 解：设椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，且焦点在x轴上， 因为c==1，所以F1(-1，0)，F2(1，0)， 故设椭圆方程为+=1(a>b>0)， 由题意得解得或 (舍去).所以椭圆的标准方程为+=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)已知圆M：(x+1)2+y2=1，圆N：(x-1)2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程. 15 解：由已知得圆M的圆心为M(-1，0)，半径r1=1; 圆N的圆心为N(1，0)，半径r2=3. 设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆N内切， 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4>|MN|. 由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(点(-2，0)除外)， 其方程为+=1(x≠-2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15.(15分)已知椭圆M与椭圆N：+=1有相同的焦点，且椭圆M过点. (1)求椭圆M的标准方程;(7分) 15 解：由题意，知椭圆N的焦点为(-2，0)，(2，0)， 设椭圆M的方程为+=1(a>b>0)， 则化简并整理得5b4+11b2-16=0， 故b2=1或b2=-(舍去)，a2=5，故椭圆M的标准方程为+y2=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标.(8分) 15 解：由(1)知F1(-2，0)，F2(2，0)，设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|=1，解得y0=±.又+=1，所以=，x0=±， 所以点P有4个，它们的坐标分别为. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $