2.7.1 抛物线的标准方程（讲义）数学人教B版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦抛物线的标准方程核心知识点，从实际背景引入，通过定义（平面内到定点与定直线距离相等的点的轨迹）构建几何关系，系统梳理四种标准方程形式及焦点、准线的对应关系，形成解析几何中曲线方程学习的完整支架。 资料特色在于结合彩凤穿花纹碗等实际情境培养数学眼光，通过随学随练、分层题型示例发展数学思维，注重定义与方程的逻辑推理。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生通过实例巩固，查漏补缺，提升应用能力。

第二章 平面解析几何 2.7.1　抛物线的标准方程 课标要点 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界中的作用.2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程 学习重难点 重点： 抛物线的定义及其标准方程的四种形式． 难点： 应用抛物线的定义及其标准方程解决问题． 知识点一 抛物线的定义 一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线． 随学随练 1．（25-26高一下·重庆·期中）已知抛物线上的点与焦点的距离为7，则到轴的距离为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】设，根据抛物线的定义可知，结合抛物线方程运算求解即可. 【详解】由抛物线可知，准线为. 设，根据抛物线的定义可知，即， 由抛物线方程可得，即， 所以到轴的距离为. 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）抛物线C：的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线的距离，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义列方程，由此求得的值. 【详解】根据抛物线的定义，是其准线， 因为的准线方程为， 所以，解得. 知识点二 抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 特别提醒 (1)抛物线的标准方程是由焦点到准线的距离p以及焦点的位置确定的． (2)焦点坐标中横(纵)坐标的值是抛物线标准方程中一次项系数的，准线方程中的数值是抛物线标准方程中一次项系数的－. (3)注意抛物线的标准方程和二次函数的一般形式的区别与联系． [拓展]　灵活设抛物线上点的坐标 (1)当抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)这一类型时，可设抛物线上点的坐标为. (2)当抛物线的方程为x2＝2py(p≠0)这一类型时，可设抛物线上点的坐标为. 设点的坐标时注意横、纵坐标的范围限制． 随学随练 3．（25-26高二下·山西朔州·期中）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，所以准线方程为. 4．（25-26高二下·云南昭通·期中）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由抛物线，得抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以抛物线的准线方程为. 题型抛物线的定义及其应用 ▌例1（25-26高二上·河南·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在上，，则点到直线的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】直接根据抛物线的定义进行求解即可. 【详解】抛物线，其准线方程为：，因为，且点在上， 由抛物线定义可知，点到直线的距离为3， 因为与平行，且距离为2，所以点到直线的距离为5. 故选：C ▌对点练1-1．（2024·四川南充·三模）已知为抛物线上一点，点到抛物线焦点的距离为，则（    ） A．2 B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】根据条件，利用抛物线的定义，即可求出结果. 【详解】因为到抛物线焦点的距离为， 所以由抛物线定义知，，解得， 故选：A. 题型求抛物线的标准方程 ▌例1（25-26高二上·上海·期中）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到抛物线的标准方程，再由标准方程得到其准线方程； 【详解】抛物线的标准方程为，所以抛物线的焦点在轴正半轴， ，则准线方程为. 故选：D ▌对点练1-1（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为抛物线的标准方程为，所以准线方程为， 故选：A. 题型 利用抛物线的定义求轨迹方程 ▌例1（25-26高二下·上海闵行·期中）抛物线方程为，则此抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线方程为的焦点坐标为. ▌对点练1-1（25-26高二下·北京海淀·期中）抛物线的焦点为，若点在上且横坐标为，则（   ） A．9 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】抛物线的焦点为，所以，点在上且横坐标为，所以， 所以. 基础通关 1．（2026·北京海淀·一模）抛物线的焦点为F，点A在W上，且，则线段中点的横坐标为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据方程可得焦点和准线，结合抛物线定义可得，即可得结果. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 设，则，解得， 所以线段中点的横坐标为. 2．（2026·山东济宁·一模）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线方程为，标准形式：，可得，解得，焦点坐标为. 3．（25-26高二上·广东清远·期末）若点在抛物线上，点的纵坐标为1，则点到抛物线的准线的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据抛物线写出准线方程，结合抛物线的性质确定点到抛物线的准线的距离. 【详解】由题设，而抛物线的准线为，所以点到抛物线的准线的距离为. 故选：C 4．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【分析】先利用抛物线定义，将 “点到坐标轴的距离” 转化为 “点到焦点的距离”，消去动点到坐标轴的距离；再将原目标式转化为 “动点到两个定点的距离和（差）” 的形式，最后利用 “两点之间线段最短”，通过三点共线求出转化后式子的最值，并还原为原问题的答案即可. 【详解】因为抛物线方程的标准形式为， 所以焦点，准线方程为：，延长交准线于，连接，如图： 根据抛物线的定义得， 当且仅当，，三点共线时， ， 的最小值为. 5．（25-26高二下·河南·期中）彩凤穿花纹是中国传统瓷器经典装饰纹样．某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为1cm，曲线，均是焦点到准线的距离为5cm的抛物线的一部分，则该碗的高度为（    ） A．8cm B．10cm C．9cm D．11cm 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，利用方程求点的坐标即可得解. 【详解】如图，以该抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，则该抛物线的方程为． 设，，易得，，则， 所以该碗的高度为． 6．（25-26高二下·河南濮阳·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知焦点，准线方程， 因为，所以，解得， 所以，得，又. 7．（2026·四川广安·二模）已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为抛物线的焦点，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】画出图形，利用抛物线的定义以及性质，转化求解最小值． 【详解】由题可知，抛物线焦点，准线方程为，圆心，半径为1， 过点作直线，垂足为，如图所示， 由抛物线定义可知，， 所以， 当点在同一直线时，可取到最小值， 因为点到直线的距离为6， 所以，即的最小值为5． 8．（2026·广东·模拟预测）已知抛物线，则其焦点坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将抛物线化为标准式得，所以， 所以其焦点坐标为，B正确. 9．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得，利用两点之间的距离公式可得，结合二次函数的单调性即可判断出结论． 【详解】如图，作出符合题意的图形，设， 则，， 当且仅当时取等号，此时， ，. 10．（2026·广东广州·一模）已知抛物线：（）的焦点为，圆：与交于，两点，若直线与直线的斜率之积为，则（   ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】先由已知条件解出，两点坐标，再由焦半径公式求得. 【详解】由圆：可知，圆心，半径为. 而圆和抛物线都关于轴对称，则可设，. 由，得. 因为点在圆上，又有，即， 而，则解得，所以.而点又在抛物线上， 则有，所以，则. 所以. 素养提升 11．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，点Q在其准线上，三角形PQF为等边三角形，则P点的横坐标为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】如图由题意，因三角形为等边三角形，则准线上的点满足， 由抛物线的定义可知与准线垂直， ， 因，，解得，即P点的横坐标为3. 12．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，D两点，若，且的面积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设易得圆的半径、，结合的面积即可求参数， 【详解】由题意，，，且，    ∴圆的半径，即，而， 由抛物线的定义知：到的距离， ∴，即，解得， 故选：A 13．（25-26高二下·河北石家庄·期中）已知抛物线：的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】抛物线的定义与几何性质 【详解】由题意得， 设，则，，． 因为，所以，解得， 所以． 14．（25-26高二下·福建福州·期中）已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义及圆的性质可得． 【详解】解：由题可知抛物线焦点，准线方程为， 圆心为，半径为， 则． 15．（25-26高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，点是抛物线：的焦点，点，在抛物线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线，点在抛物线上， 代入可得， 因为，所以解得，即点坐标为， 点在抛物线上，代入可得， 因为，所以解得，即点坐标为， 点是抛物线的焦点，则点坐标为， ，， 则. 16．（25-26高二下·湖南长沙·期中）（多选）已知是抛物线的焦点，M是C上的点，为坐标原点，为抛物线的准线，过点M作于，则（    ） A． B． C．不可能为等边三角形 D．线段FQ的垂直平分线经过点M 【答案】ABD 【分析】由抛物线的定义与性质依次验证选项即可，对于C，只需要考虑是否存在内角为的情况即可. 【详解】因为是抛物线的焦点，所以，解得，A正确； 设，因为点在抛物线上，故， 所以，B正确； 当与轴的正半轴夹角为时，此时，又， 故为等边三角形，C错误； 由抛物线性质，可知，故点在的垂直平分线上，D正确． 17．（25-26高三上·河北·开学考试）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B． C．的面积为 D． 【答案】BC 【分析】先根据条件求出，根据双曲线方程可得渐近线的方程，求出的坐标可判断其余选项. 【详解】由已知，抛物线的焦点坐标为，所以双曲线右焦点，即. 又，所以，所以双曲线的方程为. 对于A项，双曲线的渐近线方程为，故A项错误； 对于B项，联立双曲线与抛物线的方程整理可得，， 解得或（舍去负值），所以，代入可得，. 设，又，所以，故B项正确； 对于C项，易知，故C项正确； 对于D项，因为， 所以，由余弦定理可得，，故D项错误. 故选：BC 18．（25-26高三下·甘肃武威·期中）（多选）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，则（    ） A． B．的方程为 C．原点到直线的距离为 D． 【答案】AC 【分析】根据抛物线的标准方程特点与几何性质求解. 【详解】将的坐标代入的方程，得，， 所以的方程为，，：， 由抛物线的定义，得，故A正确，BD错误； 直线的方程为， 故原点到直线的距离为，故C正确. 19．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为______________ 【答案】 【分析】利用抛物线的定义和数形结合，求点的坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】如图，和分别垂直于准线，， 所以， 所以当点是与抛物线的交点时，最小， 当时，代入抛物线方程，得，即此时， 点到直线的距离为. 20．（25-26高二下·陕西安康·期中）记抛物线，为坐标原点，直线与抛物线交于、两点，且，，则______． 【答案】 【分析】分析可知、关于轴对称，设点在第一象限，求出点的坐标，将点的坐标代入抛物线方程，即可求出的值. 【详解】直线与抛物线交于、两点，则、关于轴对称， 又因为，则，不妨设点在第一象限，则直线的方程为， 设点，则，故，即点， 将点的坐标代入抛物线方程得，解得. 试卷第1页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 平面解析几何 2.7.1　抛物线的标准方程 课标要点 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界中的作用.2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程 学习重难点 重点： 抛物线的定义及其标准方程的四种形式． 难点： 应用抛物线的定义及其标准方程解决问题． 知识点一 抛物线的定义 一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线． 随学随练 1．（25-26高一下·重庆·期中）已知抛物线上的点与焦点的距离为7，则到轴的距离为（    ） A． B． C．2 D．4 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）抛物线C：的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线的距离，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 知识点二 抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 特别提醒 (1)抛物线的标准方程是由焦点到准线的距离p以及焦点的位置确定的． (2)焦点坐标中横(纵)坐标的值是抛物线标准方程中一次项系数的，准线方程中的数值是抛物线标准方程中一次项系数的－. (3)注意抛物线的标准方程和二次函数的一般形式的区别与联系． [拓展]　灵活设抛物线上点的坐标 (1)当抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)这一类型时，可设抛物线上点的坐标为. (2)当抛物线的方程为x2＝2py(p≠0)这一类型时，可设抛物线上点的坐标为. 设点的坐标时注意横、纵坐标的范围限制． 随学随练 3．（25-26高二下·山西朔州·期中）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·云南昭通·期中）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 题型抛物线的定义及其应用 ▌例1（25-26高二上·河南·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在上，，则点到直线的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 ▌对点练1-1．（2024·四川南充·三模）已知为抛物线上一点，点到抛物线焦点的距离为，则（    ） A．2 B．1 C． D．4 题型求抛物线的标准方程 ▌例1（25-26高二上·上海·期中）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 题型 利用抛物线的定义求轨迹方程 ▌例1（25-26高二下·上海闵行·期中）抛物线方程为，则此抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高二下·北京海淀·期中）抛物线的焦点为，若点在上且横坐标为，则（   ） A．9 B．5 C．4 D．3 基础通关 1．（2026·北京海淀·一模）抛物线的焦点为F，点A在W上，且，则线段中点的横坐标为（   ） A．2 B． C．3 D． 2．（2026·山东济宁·一模）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东清远·期末）若点在抛物线上，点的纵坐标为1，则点到抛物线的准线的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 4．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 5．（25-26高二下·河南·期中）彩凤穿花纹是中国传统瓷器经典装饰纹样．某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为1cm，曲线，均是焦点到准线的距离为5cm的抛物线的一部分，则该碗的高度为（    ） A．8cm B．10cm C．9cm D．11cm 6．（25-26高二下·河南濮阳·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则（    ） A．4 B．3 C． D． 7．（2026·四川广安·二模）已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为抛物线的焦点，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 8．（2026·广东·模拟预测）已知抛物线，则其焦点坐标为（    ）． A． B． C． D． 9．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 10．（2026·广东广州·一模）已知抛物线：（）的焦点为，圆：与交于，两点，若直线与直线的斜率之积为，则（   ） A．3 B． C．4 D．5 素养提升 11．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，点Q在其准线上，三角形PQF为等边三角形，则P点的横坐标为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，D两点，若，且的面积为，则（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高二下·河北石家庄·期中）已知抛物线：的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．8 14．（25-26高二下·福建福州·期中）已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 15．（25-26高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，点是抛物线：的焦点，点，在抛物线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高二下·湖南长沙·期中）（多选）已知是抛物线的焦点，M是C上的点，为坐标原点，为抛物线的准线，过点M作于，则（    ） A． B． C．不可能为等边三角形 D．线段FQ的垂直平分线经过点M 17．（25-26高三上·河北·开学考试）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B． C．的面积为 D． 18．（25-26高三下·甘肃武威·期中）（多选）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，则（    ） A． B．的方程为 C．原点到直线的距离为 D． 19．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为______________ 20．（25-26高二下·陕西安康·期中）记抛物线，为坐标原点，直线与抛物线交于、两点，且，，则______ 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $