2.2.3.2 两条直线的垂直-【新课程学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦“两条直线的垂直”，涵盖斜截式与一般式的垂直判定及应用。课前通过自主预习落实基础，课堂以梯度进阶式题型（判定、应用、综合）为支架，衔接直线位置关系前序知识，构建完整认知体系。 其亮点是梯度进阶式教学，通过微点助解（如斜率特殊情况）和思维建模（判定步骤）培养数学思维的推理能力。综合应用实例（如直角梯形判定）用数学语言表达几何关系，提升学生问题解决能力，教师可直接使用结构化内容提升教学效率。

两条直线的垂直 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 1.能根据斜截式方程和一般式方程判定两条直线是否垂直. 2.能应用两直线垂直参数或直线方程.能解与直线位置关系有关的应用问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.两条直线的垂直 一般地,若已知平面直角坐标系中的直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1⊥l2⇔_____________.  2.两条直线垂直的一般形式 设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.因为v1= (A1,B1)是直线l1的一个法向量, v2=(A2,B2)是直线l2的 一个法向量,如图所示,l1与l2垂直的充要条件是v1与 v2垂直,即v1·v2=0,因此A1A2+B1B2=0.即l1⊥l2⇔_______________________. k1k2=-1 A1A2+B1B2=0 |微|点|助|解| (1)利用k1·k2=-1仅能判断斜率存在且不为0时的直线垂直关系.一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,这两条直线也垂直. (2)与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C0=0,过(x0,y0)且与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为B(x-x0)-A(y-y0)=0. 基础落实训练 1.(多选)满足下列条件的直线l1与l2,其中l1⊥l2的是 (　　) A.l1的倾斜角为45°,l2的斜率为1 B.l1的斜率为-,l2经过点A(2,0),B(3,) C.l1经过点P(2,1),Q(-4,-5),l2经过点M(-1,2),N(1,0) D.l1的方向向量为(1,m),l2的方向向量为 √ √ √ 解析:=tan 45°=1,=1,·≠-1,故A不正确； ==,·=-×=-1,故B正确； ==1,==-1,·=-1,故C正确； 因为(1,m)·=1-1=0,所以两直线的方向向量互相垂直,故l1⊥l2,故D正确. 2.直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则l的方程是 (　　) A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0 √ 3.若原点在直线l上的射影是点P(-2,1),则直线l的方程是___________.  2x-y+5=0 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　两条直线垂直的判定 [例1]　判断下列各题中l1与l2是否垂直. (1)l1经过点A(-1,-2),B(1,2)；l2经过点M(-2,-1),N(2,1)； 解: k1==2,k2==,k1k2=1,所以l1与l2不垂直. (2)l1的斜率为-10；l2经过点A(10,2),B(20,3)； 解: k1=-10,k2==,k1k2=-1,所以l1⊥l2. (3)l1经过点A(3,4),B(3,10)；l2经过点M(-10,40),N(10,40)； 解:由A,B的横坐标相等得l1的倾斜角为90°, 则l1⊥x轴. k2==0,则l2⊥y轴,所以l1⊥l2. (4)l1:y=x+1,l2:y=-x+3； 解:直线l1:y=x+1的斜率为,直线l2:y=-x+3的斜率为-, 因为×=-1,所以l1⊥l2. (5)l1:x-y-1=0,l2:x+3y-1=0. 解:直线l1:x-y-1=0的斜率为,直线l2:x+3y-1=0的斜率为-, 因为×=-1,所以l1⊥l2. |思|维|建|模| 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看:就是看所给两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等,若相等,则垂直,若不相等,则进行第二步. (2)二代:就是将点的坐标代入斜率公式. (3)求值:计算斜率的值,进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式要对参数进行讨论. 针对训练 1.已知两条直线l1和l2,其斜率分别是一元二次方程k2+2 024k=1的两个不等实数根,则其位置关系是 (　　) A.平行 B.垂直 C.重合 D.异面 √ 解析:由题意,设两条直线l1和l2的斜率分别为k1,k2,又k1,k2为一元二次方程k2+2 024k=1的两个不等实数根,则k1·k2=-1,所以l1⊥l2. 2.若直线l的一个方向向量是e=(-1,2),则下列选项中的直线与直线l垂直的是 (　　) A.x-2y+3=0 B.x+2y-3=0 C.2x-y+3=0 D.2x+y-3=0 √ 解析:因为直线l的一个方向向量是e=(-1,2),所以直线l的斜率k1==-2, 所以与直线l垂直的直线的斜率为k2=. 由x-2y+3=0,可得斜率为,故A正确； 由x+2y-3=0,可得斜率为-,故B错误； 由2x-y+3=0,可得斜率为2,故C错误； 由2x+y-3=0,可得斜率为-2,故D错误. 题型(二)　两条直线垂直的应用 [例2]　(1)与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是 (　　) A.y=x+4 B.y=2x+4 C.y=-2x+4 D.y=-x+4 解析:因为所求直线与直线y=2x+1垂直,所以设直线方程为y=-x+b.又因为直线在y轴上的截距为4,所以直线的斜截式方程为y=-x+4. √ (2)若直线(2-m)x+my+3=0与直线x-my-3=0垂直,则m的值为　　　　.  解析:当m=0时,两直线分别为2x+3=0,x-3=0,不垂直,所以m≠0, 所以两直线的斜率都存在. 由k1·k2=-1,可得·=-1, 解得m=-2或m=1. -2或1 |思|维|建|模| (1)与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0(m为参数). (2)与直线y=kx+m平行的直线方程可设为y=kx+b(b≠m)；与它垂直的直线方程可设为y=-x+n(k≠0). 针对训练 3.过点(1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线的方程为 (　　) A.2x+y-1=0 B.2x+y-5=0 C.x+2y-5=0 D.x-2y+7=0 √ 解析:由垂直关系可得直线的斜率,可得点斜式方程,化为一般式即可.∵直线x-2y+3=0的斜率为,∴由垂直关系可得要求直线的斜率为 -2,∴方程为y-3=-2(x-1),化为一般式可得2x+y-5=0.故选B. 4.若直线ax+(1-a)y=3与直线(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直,则a的值为____________.  解析:若两直线垂直,则满足a(a-1)+(1-a)·(2a+3)=0,整理得a2+2a-3=0,解得a=1或a=-3. 1或-3 [例3]　已知四边形ABCD的四个顶点坐标分别为 A(5,-1),B(1,1),C(2,3),D(4,2). (1)试判断四边形ABCD的形状,并给出证明； 题型(三)　两条直线位置关系的综合应用 解:由已知可判断四边形ABCD是直角梯形,证明如下: 因为A(5,-1),B(1,1),C(2,3),D(4,2). 由斜率公式得kCD==-,kAB==-,kBC==2,kAD==-3, 所以kCD=kAB,kBC≠kAD, 即AB∥CD且BC不平行AD, 所以四边形ABCD是梯形, 又因为kBC·kCD=-1,所以BC⊥CD, 综上,四边形ABCD是直角梯形. (2)求∠ABC的平分线所在直线的方程. 解:根据题意,设∠ABC的平分线所在直线的斜率为k,则有=,即=, 整理得3k2+8k-3=0,解得k=-3或k=,又由∠ABC的平分线所在直线的斜率k应在BA,BC的斜率之间,所以k=,则∠ABC的平分线所在的直线方程为y-1=(x-1),即x-3y+2=0. |思|维|建|模| 判定几何图形形状的注意点 (1)在顶点确定的前提下,判定几何图形的形状时,要先画图,猜测其形状,以明确证明的目标. (2)证明两直线平行时,仅仅有k1=k2是不够的,还要注意排除两直线重合的情况. (3)判断四边形形状,要紧扣四边形的特点,防止产生其他的情况. 5.已知点A(2,3),B(4,1),△ABC是以AB为底边的等腰三角形,点C在直线l:x-2y+2=0上. (1)求AB边上的高CE所在直线的方程；(结果写成直线的一般式方程) 针对训练 解:由题意可知,E为AB的中点,因为A(2,3),B(4,1),所以E(3,2),kAB== -1,所以kCE=-=1,所以CE所在直线方程为y-2=x-3,即x-y-1=0. (2)求△ABC的面积. 解:由 解得所以C(4,3), 所以AC平行于x轴,CB平行于y轴,即AC⊥BC,如图所示, 所以|AC|=|BC|==2, 所以S△ABC=|AC|·|BC|=2. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.过点P(1,1)和Q(a,2)的直线与直线ax-y+3=0互相垂直,则a等于 (　　) A.1 B.2 C. D.-1 √ 解析:因为kPQ==,直线ax-y+3=0的斜率为a,所以×a=-1,a=. 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 2 3 4 2.(多选)设点P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12),下面四个结论正确的是 (　　) A.PQ∥SR B.PQ⊥PS C.PS∥QS D.PR⊥QS √ 15 √ √ 解析:由斜率公式知kPQ==-,kSR==-,kPS==,kQS== -4,kPR==,∴PQ∥SR,PQ⊥PS,PR⊥QS.而kPS≠kQS,∴PS与QS不平行,故选ABD. 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 3 4 2 3.已知点M(0,-1),点N在直线x-y+1=0上,若直线MN垂直于直线x+2y-3=0,则N点的坐标是 (　　) A.(-2,-3) B.(2,1) C.(2,3) D.(-2,-1) √ 15 解析:将A、B、C、D四个选项代入x-y+1=0否定A、B,又MN与x+2y-3=0垂直,否定D,故选C. 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 3 4 2 4.已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直,垂足为(1,p),则m-n+p= (　　) A.24 B.20 C.0 D.-4 √ 15 解析:因为两直线互相垂直,所以k1·k2=-1,所以-·=-1,所以m=10.又因为垂足为(1,p),所以代入直线10x+4y-2=0得p=-2,将(1,-2)代入直线2x-5y+n=0得n=-12,所以m-n+p=20. 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 3 4 2 5.(多选)已知直线l的倾斜角等于120°,且l经过点(-1,2),则下列结论正确的是 (　　) A.l的一个方向向量为u= B.l在x轴上的截距等于 C.l与直线x-3y+2=0垂直 D.l与直线x+y+2=0平行 √ 15 √ √ 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 3 4 2 解析:由题意直线l的斜率为k=tan 120°=-,直线方程为y-2=-(x+1),即x+y-2+=0,它与直线x+y+2=0平行,D正确；直线的一个法向量是(,1),而(,1)·=-+=0,因此是直线l的一个方向向量,A正确；在直线方程中令y=0得x==-1,B错误；由于×+1×(-3)=0,C正确. 15 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 3 4 2 6.(多选)已知直线l1:ax-3y+1=0,l2:x-by+2=0,则 (　　) A.若l1⊥l2,则=-3 B.若l1∥l2,则ab=3 C.若l1与坐标轴围成的三角形面积为1,则a=± D.当b<0时,l2不经过第一象限 15 √ √ √ 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 3 4 2 解析:当l1⊥l2时,a+3b=0,解得=-3或a=b=0,故A错误.当l1∥l2时,-ab+3=0,解得ab=3.故B正确.在直线l1:ax-3y+1=0中,当x=0时,y=,当y=0时,x=-,所以l1与坐标轴围成的三角形面积为 S=··=1,解得a=±.故C正确. 由题知当b<0时,l2:y=x+的图象如图, 故D正确. 15 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 3 4 2 7.(5分)直线l1的斜率为2,直线l2上有三点M(3,5),N(x,7),P(-1,y),若l1⊥l2,则x=___________,y=_____________.  15 解析:∵l1⊥l2,且l1的斜率为2,则l2的斜率为-, ∴==-,∴x=-1,y=7. -1 7 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 3 4 2 8.(5分)当直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直时,a=__________.  15 解析:由题意知直线l1⊥l2,∴(a+2)(a-1)+(1-a)·(2a+3)=0,解得a=±1.将a=±1代入方程,均满足题意.故当a=1或a=-1时,l1⊥l2. ±1 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 3 4 2 9.(5分)经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0垂直的直线l的方程为_____________.  15 解析:由方程组得故交点为.又所求直线l与直线3x+y-1=0垂直,故k=.∴直线l的方程为y+=.即5x-15y-18=0. 5x-15y-18=0 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 3 4 2 10.(5分)过点P(3,0)作直线l,使它被两条相交直线2x-y-2=0和x+y+3=0所截得的线段恰好被点P平分,则直线l的一般式方程为_______________.  15 解析:当直线l的斜率不存在时,两交点为(3,4),(3,-6),不满足所截得的线段恰好被点P平分；当直线l的斜率存在时,设直线l:y=k(x-3),k≠2且k≠-1,联立方程组可得A,同理联立方程组可得B,由中点坐标公式得+=6,解得k=8,所以直线l的方程为y=8(x-3)=8x-24.所以直线l的一般式方程为8x-y-24=0. 8x-y-24=0 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知直线l1:mx+y+4=0和直线l2:(m+2)x-ny+1=0(m,n>0)互相垂直,则的取值范围为__________.   15 解析:因为直线l1:mx+y+4=0与直线l2:(m+2)x-ny+1=0(m,n>0)互相垂直,所以-m·=-1,即n=m2+2m.因为m>0,所以==,则0<<,故的取值范围为. 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求: (1)BC边所在直线的方程；(3分) 15 解:直线BC的方程为=,即x+2y-4=0. (2)BC边上的高AD所在直线的方程；(3分) 解:由(1)知kBC=-,则kAD=2.又直线AD过点A(-3,0),故直线AD的方程为y=2(x+3),即2x-y+6=0. 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 3 4 2 (3)BC边上的中线AE所在直线的方程.(4分) 15 解:BC边上的中点为E(0,2),故AE所在的直线方程为+=1, 即2x-3y+6=0. 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 3 4 2 15 13.(10分)已知四边形ABCD的顶点A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),求四边形ABCD为直角梯形时,m和n的值. 解:若四边形ABCD是直角梯形. 则有2种情形,如图所示. ①AB∥CD,AB⊥AD,此时A(2,-1). ∴m=2,n=-1. 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 3 4 2 ②AD∥BC,AD⊥AB,∴ 即解得 综上,或 15 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 3 4 2 14.(10分)已知△ABC的顶点为A(5,-1),B(1,1),C(2,m),是否存在m∈R使得△ABC为直角三角形?若存在,求出m的值；若不存在,请说明理由. 15 解:若A为直角,则AC⊥AB,∴kAC·kAB=-1, 即·=-1,解得m=-7；若B为直角, 则BC⊥AB,∴kBC·kAB=-1,即·=-1, 解得m=3；若C为直角,则AC⊥BC, ∴kAC·kBC=-1,即·=-1,解得m=±2. 综上所述,存在m=-7或m=3或m=±2,使△ABC为直角三角形. 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 3 4 2 15.(15分)如图,在平面直角坐标系xOy中,设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0), C(c,0),点P(0,p)是线段AO上的一点(异于端点),设a,b,c,p均为非零实数,直线BP,CP分别交AC,AB于点E,F,若BE⊥AC,求证:CF⊥AB. 15 证明:由点B(b,0)和点P(0,p),知直线BP的斜率为-,由点A(0,a)和点C(c,0),知直线AC的斜率为-,因为BE⊥AC,所以=-1,即pa=-bc. 由点C(c,0)和点P(0,p),知直线CP的斜率为-,由点A(0,a)和点B(b,0),知直线AB的斜率为-,则直线CF与AB的斜率之积为===-1, 所以CF⊥AB. 11 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $