2.2.2.1 直线的点斜式与斜截式方程-【新课程学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦直线的点斜式与斜截式方程，课前通过自主学习落实定义及特殊情况，课堂以例题解析和思维建模深化应用，形成从基础到迁移的梯度学习支架，衔接几何要素与代数表达。 其亮点在于通过“微点助解”抽象方程要素培养数学眼光，“思维建模”强调斜率存在性判断发展数学思维，含参数直线问题训练数学语言表达。如例1分类讨论斜率情况，题型（三）构建恒过定点模型，帮助学生循序渐进掌握知识，为教师提供结构化教学资源提升效率。

2.2.2 直线的方程 直线的点斜式与斜截式方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程. 2.了解直线的斜截式方程与一次函数的关系.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.直线的点斜式方程 设过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程为___________，因为此方程由直线上一____和直线的斜率确定，所以通常称为直线的点斜式方程. 斜率 存在 不存在(α=90°) 点斜式 ________________ 无 特殊 情况 图示 k=0时，l与x轴平行或重合 k不存在时，l⊥x轴，不能用点斜式求方程 y-y0=k(x-x0) 点 y-y0=k(x-x0) |微|点|助|解| (1)构成直线的要素有两个:一个点和一个方向，点斜式方程是这两个要素的直接反映. (2)当倾斜角为90°时，直线没有斜率，点斜式方程不存在. (3)由点斜式方程y-y0=k(x-x0)中能观察到，直线过定点(x0，y0)，斜率为k. 2.直线的斜截式方程   斜截式 已知条件 经过点(0，b)且斜率为k 图示 方程形式 _____________ 适用条件 斜率存在 y=kx+b |微|点|助|解| (1)b为直线l在y轴上的截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零. (2)斜截式方程可由过点(0，b)的点斜式方程得到. (3)当k≠0时，斜截式方程就是一次函数的表示形式. (4)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. (5)斜截式是点斜式的特殊情况，在方程y=kx+b中，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)对于直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)也可写成k=.(　　) (2)直线y-3=k(x+1)恒过定点(-1，3).(　　) (3)直线y-2=3(x+1)的斜率是3.(　　) × √ √ 2.若直线l过点(-1，1)且斜率为1，则直线l的方程为 (　　) A.x-y-2=0 B.x+y-2=0 C.x-y+2=0 D.x+y+2=0 解析:直线l的斜率为1，又直线l过点(-1，1)，则直线l的方程为y-1=x+1，即x-y+2=0. √ 3.直线l在y轴上的截距为2，且斜率为-1，则该直线方程为 (　　) A.y=-x+2 B.y=x+2 C.y=x-2 D.y=-x-2 √ 4.直线y=x+3在y轴上的截距为_____________.  解析:由直线的斜截式可得，直线y=x+3在y轴上的截距为3. 3 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　直线的点斜式方程 [例1]　写出下列直线的点斜式方程: (1)过点A(-4，3)，斜率k=3； 解:由点斜式方程可知， 所求直线方程为y-3=3[x-(-4)]. (2)经过点B(-1，4)，倾斜角为135°； 解:由题意知，直线的斜率k=tan 135°=-1，故所求直线的点斜式方程为y-4=-[x-(-1)]. (3)过点C(-1，2)，且与y轴平行； 解:∵直线与y轴平行，∴斜率不存在， ∴直线的方程不能用点斜式表示.由于直线上所有点的横坐标都是-1，故这条直线的方程为x=-1. (4)过点D(2，1)和E(3，-4). 解:∵直线过点D(2，1)和E(3，-4)， ∴斜率k==-5. 故所求直线的点斜式方程为y-1=-5(x-2). |思|维|建|模| 求直线的点斜式方程的思路 针对训练 1.与向量a=平行，且经过点的直线方程为(　　) A.y=x- B.y=-x- C.y=x-18 D.y=-x+10 解析:依题意可知，所求直线的斜率为，所以所求直线的方程为y+4=(x-4)，即y=x-. √ 2.求满足下列条件的直线的点斜式方程. (1)过点P(-3，-1)，斜率k=； 解:∵直线过点P(-3，-1)，斜率k=， ∴直线的点斜式方程为y+1=(x+3). (2)过点P(0，5)，且与x轴垂直； 解:∵与x轴垂直的直线，其斜率不存在， ∴直线的方程为x=0. (3)过点P(，1)，倾斜角是120°. 解:∵直线的倾斜角是120°， ∴k=tan 120°=-.又直线过点P(，1)， ∴直线的点斜式方程为y-1=-(x-). 题型(二)　直线的斜截式方程 [例2]　写出下列直线的斜截式方程: (1)直线的斜率是3，在y轴上的截距是-3； 解:由直线的斜截式方程可知，所求方程为y=3x-3. (2)直线的倾斜角是60°，在y轴上的截距是5； 解:∵k=tan 60°=， ∴所求直线的斜截式方程为y=x+5. (3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为-2. 解:∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为-2， ∴直线过点(4，0)和(0，-2).∴k==， ∴所求直线的斜截式方程为y=x-2. |思|维|建|模| 直线的斜截式方程的求解策略 (1)求直线的斜截式方程只要分别把直线的斜率和在y轴上的截距代入方程即可. (2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程. 针对训练 3.如果直线l的斜率和在y轴上的截距分别为直线y=x+2的斜率的一半和在y轴上截距的两倍，求直线l的方程. 解:直线y=x+2的斜率为，在y轴上的截距为2，则直线l的斜率为，在y轴上的截距为4，故直线l的方程是y=x+4. 4.根据下列条件求直线的斜截式方程: (1)斜率是，截距是-2； 解:由题意，当直线在y轴上的截距为-2时，直线的斜截式方程为y=x-2；当直线在x轴上的截距为-2时，直线的方程为y=(x+2)， 即直线的斜截式方程为y=x+.综上，直线的斜截式方程为 y=x-2或y=x+. (2)倾斜角是135°，截距是3. 解:由题意，直线倾斜角是135°，截距是3，所以斜率为k=tan 135° =-1.当直线在y轴上的截距为3时，直线的斜截式方程为y=-x+3；当直线在x轴上的截距为3时，直线的方程为y=-(x-3)，所以直线的斜截式方程为y=-x+3.综上，直线的斜截式方程为y=-x+3. [例3]　已知直线l:y=kx+2k+1. (1)求证:直线l恒过一个定点； 题型(三)　含参数的直线方程的几何特征 解:证明:由y=kx+2k+1，得y-1=k(x+2)，由直线的点斜式方程可知，直线恒过定点(-2，1). (2)当-3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围. 解:设y=f(x)=kx+2k+1， 因为当-3<x<3时，直线上的点都在x轴上方， 需满足即 解得-≤k≤1， 所以实数k的取值范围是. |思|维|建|模| 　　对于含参数k的直线方程y-y0=k(x-x0)，该直线恒过定点(x0，y0). 5.已知直线l:y=ax+. (1)求证:无论a为何值，直线l必经过第一象限； 针对训练 解:证明:因为y=ax+=a+，所以直线l恒过定点. 因为点位于第一象限，所以无论a为何值，直线l必经过第一象限. (2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围. 解:设A，则直线OA的斜率kOA==3.若直线l不经过第二象限，则直线l的斜率kl≥3，即a≥3. 所以实数a的取值范围为[3，+∞). 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.已知直线l的方程为y+=(x-1)，则l在y轴上的截距为(　　) A.9 B.-9 C. D.- √ 解析:由y+=(x-1)，得y=x-9，∴l在y轴上的截距为-9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.过点(1，-1)且方向向量为(-2，3)的直线的方程为 (　　) A.y-1=-(x-1) B.y-1=-(x+1) C.y+1=-(x-1) D.y+1=(x-1) √ 解析:由方向向量得直线的斜率为-，所以得直线方程为y+1= -. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知直线方程为y=-x+2，则直线的倾斜角为 (　　) A. B. C. D. √ 解析:设直线y=-x+2的倾斜角为θ，可知tan θ=k=-1 ，又 0≤θ<π， 所以θ=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知直线y=kx+1-3k，当k变化时，所有的直线恒过定点 (　　) A.(1，3) B.(-1，-3) C.(3，1) D.(-3，-1) √ 解析:直线y=kx+1-3k变形为y-1=k(x-3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3，1). 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知直线l1:y=k1x+b1与l2:y=k2x+b2的位置关系如图所示，则有 (　　) A.k1<k2且b1<b2 B.k1<k2且b1>b2 C.k1>k2且b1>b2 D.k1>k2且b1<b2 √ 解析:设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2.由题图可知90°<α1<α2< 180°，所以k1<k2，又b1<0，b2>0，所以b1<b2.故选A. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.(多选)下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a不可能正确的是 (　　) √ √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:①当a>0时，直线y=ax的倾斜角为锐角，直线y=x+a在y轴上的截距为a>0，A、B、C、D都不成立；②当a=0时，直线y=ax的倾斜角为0°，所以A、B、C、D都不成立；③当a<0时，直线y=ax的倾斜角为钝角，直线y=x+a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距为a<0，只有C成立. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.在等腰△AOB中，|AO|=|AB|，O(0，0)，A(1，3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的点斜式方程为 (　　) A.y-1=3(x-3) B.y-1=-3(x-3) C.y-3=3(x-1) D.y-3=-3(x-1) 解析:设线段OB的中点为M，连接AM，因为|AO|= |AB|，则AM⊥x轴，则点M(1，0)，故点B(2，0)， 所以直线AB的斜率为k==-3，所以直线AB的点 斜式方程为y-3=-3(x-1). 15 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)经过点(3，-1)且斜率为的直线的点斜式方程为_____________.  解析:根据直线的点斜式方程，可得y-(-1)=(x-3). y-(-1)=(x-3) 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)在y轴上的截距为-6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是_____________________.  解析:因为直线与y轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，所以直线的斜率为或-.又因为在y轴上的截距为-6，所以直线的斜截式方程是y=x-6或y=-x-6. y=x-6或y=-x-6 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知直线y=kx+b，当x∈[-3，4]时，y∈[-8，13]，则此直线的方程为______________________(写成直线的斜截式方程形式).  解析:当k>0时，函数y=kx+b单调递增，则解得k=3，b=1，直线方程为y=3x+1； 当k<0时，函数y=kx+b单调递减，则解得k=-3，b=4，直线方程为y=-3x+4；k=0时，不满足题意. y=3x+1或y=-3x+4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.过点(-1，1)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线的方程为____________________.  解析:由题意可知，直线斜率存在且不为0，设直线方程为y-1=k(x+1)，令x=0，解得y=k+1；令y=0，解得x=-.由题意可得-=2(k+1)，解得k=-1或k=-，所以直线方程为y=-x或y=-x+. y=-x或y=-x+ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)写出下列直线上不同于已知点的一个点的坐标: (1)点P1(1，3)，斜率为2；(5分) 解:因为直线过点P1(1，3)，斜率为2， 所以直线方程为y-3=2(x-1)，即y=2x+1. 所以令x=0，可得y=1， 即直线过点(0，1).(答案不唯一) 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)点P2(-1，2)，斜率为-1.(5分) 解:因为直线过点P2(-1，2)，斜率为-1， 所以直线方程为y-2=-(x+1)，即y=-x+1.所以令x=0，可得y=1， 即直线过点(0，1).(答案不唯一) 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知直线m的一个方向向量为v=(3，)，直线l的倾斜角为直线m的倾斜角的2倍.求当直线l分别满足下列条件时直线l的点斜式方程. (1)过点P(3，-4)；(6分) 解:∵直线m的一个方向向量为v=(3，)， ∴直线m的斜率为，则直线m的倾斜角为30°，∴直线l的倾斜角为60°，即直线l的斜率为tan 60°=. ∵直线l过点P(3，-4)，∴直线l的点斜式方程为y-(-4)=(x-3)，即x-y-4-3=0. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)与y轴的交点为(0，-3).(4分) 解:由(1)知，直线l的斜率为. ∵直线l与y轴的交点为(0，-3)， ∴直线l的点斜式方程为y-(-3)=(x-0)，即x-y-3=0. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)已知直线y=(3-2k)x-6不经过第一象限，求实数k的取值范围. 解:由题意知，该直线在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零， 即解得k≥. 所以实数k的取值范围是. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15.(15分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(5，1)，点C在x轴上，且∠CAB=. (1)求直线AC的斜率；(7分) 解:如图，A(1，1)，B(5，1)，可知直线AB平行 于x轴，已知点C在x轴上且∠CAB=，可知直线 AC与x轴非负半轴所夹角度为，即直线AC的 倾斜角为，故直线AC的斜率kAC=tan =-1. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求直线BC的方程.(8分) 解:由(1)可知kAC=-1，可得直线AC的方程为y-1=-1(x-1)， 即lAC:x+y-2=0， 将y=0代入，即求得C点坐标为(2，0). 已知B(5，1)，kBC==，可得直线BC的方程为y-0=(x-2)， 化简得lBC:x-3y-2=0. 15 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $