2.2.2 直线的方程 第一课时(导学案）-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦直线点斜式和斜截式方程，通过复习倾斜角、斜率、方向向量及法向量搭建学习支架，衔接前置知识与新知，引导学生掌握方程推导、求解及应用。 以“思议结合”引导学生辨析方程适用范围培养推理意识，通过直线过定点问题抽象方程本质发展抽象能力，课前自测、课中探究、课后检测闭环设计助力自主学习，体现数学思维与应用意识。

2.2.2 直线的方程（第一课时） 【学习目标】 1. 掌握直线点斜式方程的推导过程，能够根据条件熟练求出直线的点斜式和 斜截式方程。 2. 会应用直线的点斜式方程和斜截式方程解决有关问题。 【学习重点】求直线的点斜式方程 【学习难点】点斜式方程成立的条件 【知识梳理】 1． 直线的方程与方程的直线 一般地，如果直线l上点的坐标都是方程的解，而且以方程的解为坐标的点都在直线l上，则称为 ，而直线l称为 3. 直线的点斜式方程 我们称方程 为过点，斜率为的直线的方程．由于该方程由直线上一定点及其斜率确定，因此把方程称为直线的 ，简称点斜式． 4. 直线的斜截式方程 （1）截距的概念： 一般地，当直线l既不是x轴也不是y轴时：若与轴的交点为，则称 为a；若与轴的交点为，则称 为b，一条直线在轴上的截距简称 ． （2）斜截式方程： 已知直线l的斜率为k，截距为b，那么直线的方程为 ，称为直线的斜截式方程. 名称 条件 方程 适用范围 点斜式方程 斜率k与点 斜截式方程 斜率k与直线在y轴上的截距b 5.直线的一般式方程 所有的直线方程都可以写成 的形式，其中都是实常数，而且A与B不同时为0（即 ）,称为直线的一般式方程. 【课前自测】 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 直线y＝2x－3在y轴上的截距为3. ( ) (2) 直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1，3)． ( ) 2. 根据下列条件，分别写出直线的方程： (1) ； (2) (3)直线经过点，斜率为； (4)直线与轴交点的横坐标为，倾斜角为 （5）斜率是，截距是-2 （6）倾斜角是1350，截距是3 【课中案】 【导】复习提问直线的倾斜角和斜率、直线的方向向量和法向量 【思】思考直线点斜式和斜截式的适用范围 【议】题型一：直线的点斜式方程 【例1】根据下列条件，分别写出直线的方程： (1)直线经过点且垂直于轴； (2)直线经过点、. （3）直线经过（1，1）且方向向量为（2，1） （4）直线经过（1，1）且法向量为（1，1） 题型二：直线的斜截式方程 【例2】　已知直线l经过点，且直线的倾斜角为，求直线l的方程，并求直线l在轴上的截距． 题型三：直线过定点问题 【例3】直线的方程为，则该直线过定点 ． 变式：已知直线l：，则下列说法不正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C．直线l的斜率可以等于0 D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 【展】小组成员展示本组讨论成果 【评】点斜式： （1）倾斜角为00时，K=0时，直线方程为y=y0(此时直线平行与x轴或与x轴重合，或者说直线与y轴垂直) 倾斜角为900时，直线没有斜率，直线方程为x=x0(此时直线与y轴平行或重合，或者说直线与x轴垂直) （2）经过点P的直线，分两类：斜率存在和斜率不存在 斜截式： （1）使用范围：斜率存在的直线，利用斜截式求直线方程时要讨论斜率是否存在 （2）截距可正可负可为0 【检】学生自主归纳本节学习内容 【练】完成课后案 【课后案】 1．倾斜角为135°，在y轴上的截距为-1的直线方程是　(　　) A．y=x+1 B．y=x-1 C．y=-x+1 D．y=-x-1 2．已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点 B．直线在y轴上的截距为 C．直线的倾斜角为 D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为 4.如图，在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是 （     ） A． B． C． D． 5. 如果，，那么直线不通过（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知一条直线经过点且其斜率与直线的斜率相等，则该直线的方程是________ ． 7．已知的三个顶点分别是，，，则边上的高所在直线的斜截式方程为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $