1.1.1.2 空间向量的数量积-【新课程学案】2026-2027学年高中选择性必修第一册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量数量积，涵盖夹角、投影的概念，数量积的定义、性质、运算律及垂直判断、距离计算等应用。课前通过自主学习落实基础，课堂以求数量积、证明垂直、求夹角与模为梯度题型，构建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于“微点助解”辨析向量夹角与直线夹角，培养数学眼光的抽象与几何直观，“思维建模”总结解题步骤发展数学思维的推理能力，结合正四面体、长方体模型用向量语言表达空间关系强化数学语言的模型观念。如正方体中垂直证明实例，助力学生构建知识体系提升解题能力，为教师提供梯度化资源便于实施进阶教学。

空间向量的数量积 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律. 2.了解空间向量投影的概念以及投影的意义，会求向量的投影. 3.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.空间向量的夹角 定义 给定两个非零向量a，b，在空间中任选一点O，作=a，=b，则大小在[0，π]内的____________称为a与b的夹角，记作〈a，b〉 向量垂直 如果〈a，b〉=____，则称向量a与b垂直，记作_____ 约定 零向量与任意向量都________ ∠AOB a⊥b 垂直 |微|点|助|解| 设表示两向量的有向线段所在直线的夹角为α，两向量的夹角为<a，b>， (1)区别：范围不同，0≤α≤，0≤<a，b>≤π. (2)联系：当两向量的夹角为锐角时，α=<a，b>；当两向量的夹角为直角时，两直线垂直，α=<a，b>=；当两向量的夹角为钝角时，α=π-<a，b>. 2.空间向量的数量积的定义 定义 已知两个非零向量a，b，则___________________叫作a，b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b=__________________.零向量与任意向量的数量积为0，即0·a=____ 投影 一般地，给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α)，过a的______和______分别作直线l(或平面α)的_______，假设垂足为A，B，则__________称为a在直线l(或平面α)上的投影 |a||b|cos<a，b> |a||b|cos<a，b> 0 始点 终点 垂线 向量 3.空间向量数量积的性质 序号 空间向量数量积的性质 (1) a·e=|a|cos<a，e> (其中e为单位向量) (2) 若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b=_____ (3) a·a=|a|2或|a|=_______=______ (4) 若a，b为非零向量，则cos<a，b>=___________ 0 序号 空间向量数量积的性质 (5) |a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立) (6) (λa)·b=__________，λ∈R (7) a·b=_______(交换律) (8) (a+b)·c=____________(分配律) λ(a·b) b·a a·c+b·c 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)向量与的夹角不等于向量与的夹角.(　　) (2)若向量与的夹角为α，则直线AB与CD所成的角也为α.(　　) (3)对空间任意两个非零向量a，b，都有〈-a，b〉=〈a，-b〉= π-〈a，b〉.(　　) √ √ × 2.若a，b是空间中夹角为60°的两个单位向量，则|a-b|=_________  1 解析：∵|a-b|2=(a-b)2=a2+b2-2a·b=1，∴|a-b|=1. 3.如图，正四面体OABC的棱长为1，则·=_________.  解析：因为在正四面体OABC中，||=||=||=1，<，> =60°，所以·=||||cos∠AOB=1×1×cos 60°=. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　求空间向量的数量积 [例1]　如图，已知空间四边形ABDC的对角线和每条边长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点.计算： (1)·； 解：因为=，由题意，可知∠ABD=60°， 所以<，>=60°， 所以·=·=×1×1×cos 60°=×1×1×=. (2)·； 解：由题意，可知<，>=∠BDC=60°，·=·= -·=-×1×1×cos<，>=-×1×1×=-. (3)·. 解：·=(+)·(+)=[·(-)+·+· (-)+·]=[-·-·+(-)·+·]= (-·-·+·-·+·)=× =-. |思|维|建|模| 在几何体中计算空间向量数量积的一般步骤 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积. (3)代入公式a·b=|a||b|cos<a，b>求解. 针对训练 1.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点.计算： (1)·； 解：如图，设=a，=b，=c， 则|a|=|c|=2，|b|=4，a·b=b·c=c·a=0. ·=b·=|b|2=42=16. (2)·. 解：·=·(a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0. 题型(二)　利用数量积证明垂直问题 [例2]　如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，CD'与 DC'相交于点O，连接AO，求证： (1)AO⊥CD'； 证明：(1)因为=+=+(+)=(++2)，=-， 所以·=(++2)·(-)=(·-·+·-·+2·-2·)=(||2-||2)=0，所以⊥，故AO⊥CD'. (2)AC'⊥平面B'CD'. 证明：设正方体的棱长为a，则·=(++)·(+)= ·+·+·+·+·+·=0+0+0+a2-a2+0=0，所以⊥，所以AC'⊥B'C.同理可证AC'⊥B'D'. 又B'C，B'D'⊂平面B'CD'，B'C∩B'D'=B'， 所以AC'⊥平面B'CD'. |思|维|建|模| 用向量法证明垂直问题的方法 (1)由数量积性质a⊥b⇔a·b=0可知，要证两直线垂直，可构造与两直线分别平行的向量a，b(a，b是非零向量)，只要证明两个向量的数量积为零即可. (2)用向量法证明线面(面面)垂直，离不开线面(面面)垂直的判定定理，将线面(面面)垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明. 针对训练 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60°， AB=2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD. 证明：设AD=a，则AB=2a.因为PD⊥平面ABCD， 所以PD⊥AD，PD⊥AB，所以·=·=0， 所以·=(+)·(-)=·-·-+·=-||2+·= -a2+||||cos∠DAB=-a2+2a2×cos 60°=0， 所以⊥，故PA⊥BD. [例3]　如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点 A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°. (1)求||； 题型(三)　利用数量积求夹角与模 解： ||=||=||=6，·=·=·= 6×6×cos 60°=18，∵=++=++，则=(++)2=+++2·+2·+2·=3×62+3×2×18=216.∴||=6. (2)求<，>的值. 解：∵=+=-，=-，则=(-)2=-2·+=36，即||=6，||=6， ·=(-)·(-)=-·=18， ∴cos<，>===，则<，>=60°. 本例条件不变，求直线BD1与AC所成角的余弦值. 变式拓展 解：∵=++=-++，=+， 则=(-++)2=++-2·-2·+2·=72，=+2·+=108， 即||=6，||=6.·=(-++)·(+)= -++·+·=36.∴cos<，>== =，即直线BD1与AC所成角的余弦值为. |思|维|建|模| 1.求异面直线所成角的大小的一般步骤 取向量 根据题设条件分别取要求夹角的两异面直线的方向向量 转化角 将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题 求余弦 利用数量积求向量夹角的余弦值 定结果 异面直线所成的角的余弦值等于相应向量夹角余弦值的绝对值 2.求线段长度的步骤 (1)将线段用向量表示； (2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量； (3)利用|a|= 得所求长度. 3.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=，BB1=AD=2AB= 2BC=2，E是线段B1D上的点，且=2. (1)求||的长； 针对训练 解：因为=2，所以=+=++， ||2==+++· +·+·=+×4+×4+×1×2×+×0+×2× 2×=，故||=. (2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值. 解：因为=++=-， ||= ==， 所以·=· =·+·+--·-· =0+×2×2×+×22-×12-×2×1×-0=1， 所以cos<，>===. 故异面直线AE与CD所成角的余弦值为. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.在正四面体ABCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° √ 解析：由题意，可得=，所以<，>=<，>=180°-<，>=180°-60°=120°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.在三棱锥A-BCD中，AB=AC=AD=2，∠BAD=90°，∠BAC=60°，则·等于(　　) A.-2 B.2 C.-2 D.2 √ 解析：·=·(-)=·-·=2×2cos 90°-2 ×2cos 60°=-2. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.在空间四边形ABCD中，∠ABD=∠BDC=90°，AC=2BD，则在上的投影为(　　) A. B. C. D. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设AC=2，BD=1，由·=·=0，=++，则·=(++)·=||2，所以在上的投影为·=·=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为BB1，CD的中点，则||等于(　　) A. B. C. D. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为=++=++，所以||2= =+++·+·+·，因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CD，BB1，BC两两互相垂直，所以||==. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是 (　　) A.(++)2=3 B.·(-)=0 C.与的夹角为60° D.正方体的体积为||·(·) √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：如图所示，(++)2=(++)2==3，故A为真命题；·(-)=·=0，故B为真命题；连接CD1，易知与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°，故C为假命题；正方体的体积为||||||，故D为假命题. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i=1，2，…，8)是上底面上其余的八个点，则集合{y|y=·，i=1，2，3，…，8}中的元素个数为(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意可知，=+，则·=·(+)= +·.因为棱长为1，AB⊥BPi，所以·=0，所以·=+·=1+0=1，故集合{y|y=·，i=1，2，3，…，8}中的元素个数为1. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图所示，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=CD，M为AD的中点，则异面直线BM与CD所成角的余弦值为 (　　) A. B. C. D. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设AB=BC=CD=1，由题意得=(+)=(++)， 所以||2=(++)2=(++)=，·= (++)·==.设异面直线BM与CD所成的角为θ， 则cos θ===. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(多选)如图，在四面体A-BCD中，设=a，=b，=c，下列条件能证明⊥的是(　　) A.a·b=a·c B.||=||，||=||，||=|| C.||=||，||=|| D.·=0，·=0 √ √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为=-=c-b，要证⊥，即证·=a·(c-b)=a·c-a·b=0.由a·b=a·c，则a·c-a·b=0，所以⊥成立，故A正确.将四面体A-BCD放入长方体中，使||与||，||与||，||与||分别为相对面的对角线长，显然AB与CD不一定垂直，如图，长方体的底面不为正方形时，AB与CD不垂直，故B错误. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 因为||=||，||=||，即|b|=|a-b|和|c|=|a-c|，平方得b2=a2-2a·b+b2，c2=a2-2a·c+c2，即|a|2=2a·b和|a|2=2a·c，所以a·b=a·c，所以·=a·(c-b)=a·c-a·b=0，即⊥，故C正确.由·=0得，b·c=a·b ①，由·=0，得·-·=0，b·c=a·c ②，由①②得a·b=a·c，所以·=a·c-a·b=0，即⊥，故D正确. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则·=_______.  a2 解析：如图，=-，=-=-，∴·= (-)·(-)=·-·-·+||2=0-0-0+a2=a2. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·=0，·=0，·=0，则△BCD是________三角形.  锐角 解析：∵·=(-)·(-)=·-·-·+=>0，同理，·>0，·>0， ∴△BCD的三个内角均为锐角.∴△BCD为锐角三角形. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)如图，两条异面直线a，b所成的角为30°，在直线a，b上分别取点A'，E和点A，F，使AA'⊥a且AA'⊥b.已知A'E=2，AF=，EF=5，则线段AA'的长为______________.  2或2 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为=++，所以||2=(++)2=||2+ ||2+||2+2·+2·+2·，由于AA'⊥a，AA'⊥b，则2·=0，2·=0.又因为两条异面直线a，b所成的角为30°，所以<，>=30°或<，>=150°，故52=22+||2+3+2×2××cos<，>，可得||=2或||=2. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)正四棱台在古代被称为“方亭”，在中国古代建筑中有着广泛的应用.例如，古代园林中的台榭建筑常常采用这种结构，台上建有屋宇，称为“榭”，这种结构不仅美观，还具有广瞻四方的功能，常用于观赏和娱乐.在正四棱台ABCD-A'B'C'D'中，AA'=1，AB=2，∠BAA'=，则||=___________.  15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：在侧面ABB'A'中，A'B'=AB-2AA'cos=2-2×1×=1，因为==，所以A'C'=AC.设=a，=b，=c，则|a|=2，|b|=2，|c|=1，所以=+=+=+(+)=a+b+c，则||2==|a|2+|b|2+|c|2+a· c+b·c+a·b=×4+×4+1+2×1×+× 2×2×=5，故||=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)如图，正四面体V-ABC的高VD的中点为 O，VC的中点为M. (1)求证：AO，BO，CO两两垂直；(5分) 解：证明：设=a，=b，=c，正四面体的棱长为1，因为=+=+×(+)=+(-+-)=(++)=(a+b+c)， 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 =-=-=(a+b+c)-a=(b+c-5a)，=-=-=(a+b+c)-b=(a+c-5b)，=-=-=(a+b+c)-c=(a+b-5c)，所以·=(b+c-5a)·(a+c-5b)=(18a·b-9|a|2)==0，所以⊥，即AO⊥BO. 同理，AO⊥CO，BO⊥CO，所以AO，BO，CO两两垂直. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求<，>.(5分) 解：因为=+=-(a+b+c)+c=(-2a-2b+c)， 所以||= ===， 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 又||====，·=(-2a-2b+c)·(b+c-5a)=×9a2=×9=， 所以cos<，>===，又<，>∈[0，π]， 所以<，>=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，且AB=2AD=2，PA=2，∠PAB=∠PAD=. (1)求线段PC的长度；(3分) 解：∵=+=++，∴=+++2·+2·+2·=4+4+1-2×2-2×1=3，∴||=，∴线段PC的长度为. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值；(4分) 解：∵·=(++)·(-)=·-·+·-·+·-·=-1×2×-2×2+ 1×1+2×2×+0-0=-2，||=， ∴cos<，>===-， 故异面直线PC与BD所成角的余弦值为. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)若E为AB的中点，证明：PA⊥ED.(3分) 解：证明：∵E为AB的中点，∴AD=AE， ∵·=·(-)=·-·=2×1×-2×1×=0， ∴⊥，即PA⊥ED. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15.(15分)如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD. (1)求证：CC1⊥BD；(7分) 15 解：证明：设=a，=b，=c. 依题意有|a|=|b|，=-=a-b. 设，，的两两夹角均为θ，于是·=c· (a-b)=c·a-c·b=|c||a|cos θ-|c||b|cos θ=0，∴CC1⊥BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明.(8分) 15 解：若A1C⊥平面C1BD，则A1C⊥BD，A1C⊥DC1. 由·=(+)·(-)=(a+b+c)·(a-c)=|a|2-a·c+a·b-b·c+c·a-|c|2=|a|2-|c|2+|b||a|cos θ-|b||c|cos θ= (|a|-|c|)(|a|+|c|+|b|cos θ)=0，得当|c|=|a|时，A1C⊥DC1. 同理可证，当|a|=|b|时，A1C⊥BD. ∴当=1时，A1C⊥平面C1BD. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $