1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

1.1.3空间向量的坐 学习目标 1.掌握空间向量的坐标表示，能在适当 的坐标系中写出向量的坐标 2.掌握空间向量的坐标运算 3.掌握空间向量的平行、垂直关系的坐 标表示 4.理解空间直角坐标系的定义、建系方 法，以及空间的点的坐标确定方法并能简单 运用 要点精析 川要点1空间中向量的坐标 1.一般地，如果空间向量的基底{e, e2,e}中，e1,e2,e3都是单位向量，而且 这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位 正交基底；在单位正交基底下向量的分解称 为向量的单位正交分解，而且，如果p=x1+ ye2+ze3,则称有序实数组(x,y,z)为向量 p的坐标，记作p=(x,y,z).其中x,y,z 都称为p的坐标分量. 2.假设空间中两个向量a,b满足a= (x1,1,),b=(x2,y2,2),则有以下 结论： (1)4+b=(x1+x2,y1+y2,21+z2)· (2)若u,v是两个实数，ua+b=(ux1+ vx2,uyitvy2,uz1+vz2). (3）a·b=xx2+y0y2+z122: (4)lal=Va…a=Vx+y+z. 第一章空间向量与立体几何。 标与空间直角坐标系 （5)当a≠0且b40时，cosa,b-8论 x1X2+yy2十2122 Vx+y斤+zV+yi+z 思考若a=xe1+ye2tze3,则a的坐标一 定是(x,y,z)吗？ 例1（1)如图1-1- 11,在棱长为1的正方体 ABCD-A'B'C'D'中，E,F,G 分别为棱DD',D'C',BC的 中点，以{AB,AD,AA} 图1-1-11 为基底，求下列向量的坐标 ①AE,AG,AF; ②EF,EG,DG. (2)已知空间四点A,B,C,D的坐标 分别是(-1,2,1)，(1,3,4)，(0，-1,4)， (2,-1,-2).若p=AB,q=CD.求： ①p+2q；②3p-q;③(p-q)·(p+q) 反思感悟 对空间向量进行坐标运算的规律是首 先进行数乘运算，再进行加法或减法运算， 最后进行数量积运算.先算括号里，后算括 号外 学 高中数学选择性必修第一册人教B版 B变式训练① 已知O为坐标原点，A,B,C三点的 坐标分别为(2，-1,2)，(4,5，-1)， (-2,2,3),求点P的坐标，使 ()0P=2(aB-AC: (2)AP=)(AB-AC). 要点2空间向量的坐标与空间向量的 平行、垂直 1.当a≠0时，a∥b台b=入a台(x2,y2, x2=入X1, z2)=入(x1,y1,z1)台y2=入y1,当a的每一个坐 z2=入z1; 标分量都不为零时，有a∥b曰2=2=2 X1y121 2.a⊥b→ab=0→x1x2tyy2+z22=0. 3.点P(x,y,z)到坐标原点0(0,0,0) 的距离0P-Vx2+y2+z2. 4.任意两点P(x1,y1,z1),2(x2,y2,22 间的距离PP=PP2=V(xx1)+0yxy1)+(2x1P 思考空间向量的坐标与空间向量的 平行、垂直的公式与平面向量有什么联系 和区别？ 10)学 例2已知空间三点A(-2,0,2), B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=AB, b=AC. (1)若lcl=3,c∥BC,求c; (2)若ka+b与ka-2b互相垂直，求k 的值。 分析先求a,b,再根据向量平行与 垂直的充要条件列方程求解. 反思感悟 解决空间向量平行问题的思路： (1)向量已知，通常需要设出向量的 坐标，例如，设向量=(x,y,) (2)在有关平行的问题中，通常需要 引入参数，例如，已知a∥b,则引入参数 入，有a=入b,再转化为方程组求解. (3)选择向量的坐标形式，可以达到 简化运算的目的」 色变式训练② (变条件)将例2(1)中“c∥BC”改 为“c⊥a且c⊥b”,求c. 川要点3距离和直线夹角 例3在棱长为1的正方体ABCD- ABCD1中，E,F分别是DD,BD的中点， G在棱CD上，且CG=CD,H为CC的中 点，试建立适当的空间直角坐标系，写出 E,F,G,H的坐标，并求GH的长度 第一章空间向量与立体几何。 变式训练③ 如图1-1-12所示， 点N为正方形ABCD 的中心，△ECD为正 三角形，平面ECD⊥ 平面ABCD,M是线段 图1-1-12 ED的中点，则() A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线 B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线 C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线 D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线 反思感悟 (1)建立空间直角坐标系时应遵循以 下原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐 标平面内； ②充分利用几何图形的对称性. (2)求某点的坐标时，一般先找出这 一点在某一坐标平面上的射影，确定其两 个坐标，再找出它在另一轴上的射影（或 者通过它到这个坐标平面的距离加上正负 号)，确定第三个坐标 例4如图1-1-13所 示，在棱长为1的正方体 B ABCD-ABCD1中，E,F分 别是DD,BD的中点，G在 图1-1-13 棱cD上，且CG=4CD,H为CG的中点 (1)求证：EF⊥BC; (2)求EF与C,G所成角的余弦值； 学(11 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 (3)求FH的长 分析根据正方体的特殊性，可考虑 建立空间直角坐标系，写出相关点及向量 的坐标，运用数量积、夹角、模长公式 计算即可 反思感悟 通过分析几何体的结构特征，建立适 当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴 上，以方便写出点的坐标.建立坐标系后， 写出相关点的坐标，然后再写出相应向量 的坐标表示，把向量坐标化，然后利用向 量的坐标运算求解夹角和距离问题， B变式训练④ 如图1-1-14所示，在直三棱柱（侧棱 垂直于底面的棱柱)ABC-A B C,中，CA= CB=1,∠BCA=90°，棱AA1=2,N为AA的 中点.求： (1)BN的长； 图1-1-14 (12)学 (2)BA1与CB1夹角的余弦值 数学文化 例笛卡儿是世界著名的数学家，他因 将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何 之父.在如图1-1-15所示的空间直角坐标系 中，单位正方体顶点A关于y轴对称的点的 坐标是() A.(-1,-1,1) B.(1,-1,1) C.(1,-1,-1) D.(-1,-1,-1) 图1-1-15 分析由图写出点A的坐标，然后再 利用关于y轴对称的点的性质写出对称点 的坐标」AN-AAABBN-AAABC ab (cb) b+c. 变式训练33a-b+3c 【解析】EF=)(E心+E) =4d+ci+4a+) =4A店+}B励+4Ci+4A4Ci+4D成 =号ag40d-3a-b+3c 变式训练4解：MP-MC+C'A+A'P =BC-ArC}A产=(B+C)-A衣-}A =2[AA+(A-Ai]-A亡-号AA2ac-b)-c-子a 数学文化 A【解析】如图所示，连接AG,并延长交BC于点 M,则M为BC的中点， AW-号A店MC)=3oi-20+oc. AG=号AM=3(0i-20i+0C). 0G=3GG1,.0G=3GG=3(0G-0G), .0G=30G 则oc=0G-(oi+MG G =子o+30呢-号0质+0C 4 =40i+4o+4o 例题答图 =行行故选A 1 1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系 要点精析 例1解：(1)由题意建立如图所示 zD 的空间直角坐标系，则A(0,0,0), A'(0,0,1),B(1,0,0), o,1,3,c1,30, 例1答图 参考答案。 F3,1,1,D0,1,0). ①AE=AD+D呢=AD+}DD=AD+}AA= 0,1,3月 AG-AB+BG=AB+AD=1,子，0 AF-AAADDF-AAAD+AB-1.1) ②E示=AF-AE=(AA产+AD+)AB)-(AD+)AA产= 2+分4B分，0,3 EG-AG-AE-AB+ADAD+AA =A店}40-号41,7 G=AC-A0=AB+号A0-AD=A店-号Ad 1,3,0 (2)由于A(-1,2,1),B(1,3,4),C(0,-1,4), D(2,-1,-2),p=AB=(2,1,3),9=CD=(2,0,-6). ①p+2q=(2,1,3)+2(2,0,-6)=(2,1,3) +(4,0,-12)=(6,1,-9): ②3p-9=3(2,1,3)-(2,0,-6)=(6,3,9) -(2,0,-6)=(4,3,15): ③(p-q)·(p+9)=p2-q2=pP-1q=(22+12+32)-(22+02+62) =-26. 变式训练1解：AB=(2,6,-3),AC=(-4,3,1), AB-AC=(6,3,-4). )0㎡=2a应Ad=号6,3,4)=3,3,2， 则点P的坐标为3,3，-2， (2)设点P的坐标为(x,y,z),则AP=(x-2,y+ 1,8-2) 3aB-AC)3,子，-2， x-2=3, x=5, 1号，即)3则点P的坐标为5，子0 z-2=-2.z=0, 例2解：(1)BC=(-2,-1,2),且c∥BC, 设c=ABC=(-2A,-入，2A), 得1cl=V/(-2入)2+(-A)2+(2入)2=31λ=3， 23 高中数学选择性必修第一册人教B版 解得入=±1，即c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2) (2)a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0,2), .ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4). 又.(ka+b)⊥(ka-2b), ∴.(ka+b)(ka-2b)=0, 即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,解得 2或=昌 故所求k的值为2或-三 2 变式训练2解：a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0,2). 设c=(x,y,z)· x2+y2+z2=9 x=2, x=-2, 由题意得x+y=0, 解得y=-2,或y=2, -x+2z=0, z=1 z=-1, 即c=(2,-2,1)或c=(-2,2,-1). 例3解：建立如图所示的空间 直角坐标系.点E在z轴上，它 A B 的x坐标、y坐标均为0，而E ◆E 为DD的中点，故其坐标为 0,0,3 4 过点F作FM⊥AD于点M, 例3答图 FNLDG于点N,由平面几何知FM=号，M= 则F点坐标为（分，子， 点G在y轴上，.其x,z坐标均为0.又GD= 子，放G点坐标为0，子，0 过点H作HK⊥CG于K点，由于H为CG的中点， :K=名，故H点坐标为0，令》 cf=0,g,3 .cn-Icm-Vo( 8 变式训练3B【解析】设线段DC的中点为H,连接 EH,则EH⊥平面ABCD,以H为坐标原点，CD所在的 直线为x轴，HN所在的直线为y轴，HE所在的直线为z 轴.建立空间直角坐标系H-xz.设AB=4,则D(2,0, 0),E(0,0,2V3),M(1,0,V3),N(0,2,0), B(-2,4,0),所以EN=(0,2,-2V3),BM=(3,-4, V3),所以IEN1=4,BM=2V7,所以BM≠EN.又因 24 为BM和EN都是△EDB的中线，所以直线BM,EN相 交，故选B. x 变式训练3答图 例4（1)证明：如图所 示，以D为坐标原点，建立 D 空间直角坐标系D-xyz,易知 E Eo,0,Fr3,,0 D C(01,0),C(0,1,1), B1,1,1),G0,,0, 例4答图 o,尽， 则F3分，0-0,0,3)=3,3， BC=(0,1,0)-(1,1,1)=(-1,0,-1),E.BC= x(-I+20号X-10.EF⊥BC,即EFLBC (2)解：由(1)易知cC=0,子，0-0,1,1)= 0,4-.m=3,,,cG7. 4 Ei3,.cC-3x0+3×-4+x- 专，oms《B,CG)-马C系-V,即异盾直线 IEF ICG 17 EF与C,C所成角的余弦值为Y 17 (3)解：由()知7分，H0.冬号， m(分，冬，，mV+g+ =V4.即FH的长为V4 8 8 变式训练4解：如图所示，以CA, CB,CC为正交基底建立空间直角 A 坐标系C-xyz. (1)依题意得B(0,1,0), N1,0,1), .BN=V(1-0)2+(0-1)2+(1-0 变式训练4答图 =V3, ..线段BN的长为V3. (2)依题意得A1(1,0,2),C(0,0,0),B(0,1, 0),B1(0,1,2),BA=(1,-1,2),CB1=(0,1,2), :BACB=1×0+(-1)x1+2x2=3. BA =V6,ICB I=V5,..cos(BA,CB ) BA·C6=Y0,即B1与CB夹角的余弦值为V30 IBA,IICB 10 10 数学文化 A【解析】由题图可知，点A(1,-1,-1),点A 关于y轴对称的点的坐标为(-1，-1,1).故选A. >1.2空间向量在立体几何中的应用 1.2.1空间中的点、直线与空间向量 要点精析 例1解：(1)AB=(-1,1,5),AC=(-3,-1,5), oP(AB-AC)=)(2,2,0)=(1,1,0,P点的 坐标为(1,1,0). (2)由P是线段AB上的一点，且AP:PB=1:2,知 AP-2PB. 设点P的坐标为(x,y,),则AP=(x-3,y-4, ),Pm=(2-,5-y,5-),故(x-3,y-4,)=号(2- x,5-y,5-z), x-3=22-0. 即y-4)(5-y,得3 13 5 2=3 因此P点的坐标为号，号，多 变式训练1解：(1)由已知，得P=2AP 即0B0示-2(0P-01),0P=?0A+30B 设点P坐标为(x,y,z),则将上式用坐标表示， 得x,y=号2,4,0)+31,3,3 即亭+兮亭号+1号01l 故点P的坐标是各，号， 参考答案。 (2)AQ:QB=2:1,AQ=-20B,00-0A=-2(0B -00),00=-0A+20B.设点Q的坐标为(x',y',z), 则将上式用坐标表示，得(x',y,z)=-(2,4,0)+2(1, 3,3)=(0,2,6),即x'=0,y'=2,z'=6.故点Q的坐标 是(0,2,6). 例2A【解析】：ab=x-8+10=x+2,la=Vx2+4I,b1= V1+44=3,.V2=cosa,b)=a-h=,x+2 6 lallbl 3V441 则x+2>0,即x>-2, 则整理方程得x2+8x-33=0, 解得x=-11(舍去)或x=3.故选A. 例3解：(1)如图，过点D作 21 DE⊥BC于E, ) 则DE=CD.sin30=V3 ’ OE=0B-BD.cos60=1-1=1 22 例3答图 D的坐标为0，号，Y3》 又c0,1,0.D=0.,3 (2)依题设有A点坐标为Y,号，0， 40.1,）c-0,2o 2 则AD与BC夹角的余弦值： COS(AD.BC)=AD'.BC=V10 ADIBCI 5 变式训练2解：(1)根据图形可求得下列点的坐标： A(V3,0,0),B(0,-1,0),C(0,1,0), A1(V3,0,2),B1(0,-1,2),C1(0,1,2), ,分 2)Cm3,2,m=(v3,1.2 ..CM.BA=5,ICM =V5,IBA =2V2, o.m-0 4 例4(1)6【解析】l∥12，∴.存在实数k使得b=ka, 3=2h, x=4,解得x=6. 15=10k, 25