课时测评23　椭圆的几何性质-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版）

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 对应学生 课时测评23椭圆的几何性质 用书P167 (时间：40分钟满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) √基础排查1一8每小题5分，共40分) 1.(多选)已知椭圆C:16x2+25y2=400,则关于椭圆C下列叙述正确的是() A.椭圆C的长轴长为10 B.椭圆C的两个焦点分别为(0，一3)和(0,3) C.椭圆C的离心率等于 3 的焦点且与长轴垂直的直线1与椭圆C交于p,C 答案：ACD 解析由题意知椭圆标准方程为+卫 2516 =1,则a=5,b=4,所以c=3.长轴长为2a=10,A 正确；两焦点为(3,0)，（一3,0），B错误；离心率为e=二=三，C正确：将x=3代入椭圆 a 5 32 16X3+25三0，解得y=士所以P D正确.故选ACD 2,(2024九省适应性测试椭圆十+2=1a>1)的离心率为，则a= ) 2W3 A. B.2 C.5 D.2 3 答案：A 解析：由题意得e=V一1=1 a2解得a=2 故选A 3 3.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为焦点的椭圆，近地点A距地面mk,远地点B 距离地面nkm,地球半径为kkm,则飞船运行轨道的短轴长为() A.2m+)n+k) B.(m+k)(n+k) C.mn D.2mn 答案：A 解柝由题意可得a-c=m+k,a+c=n+k,故(a-c(a十c)=(m+(n+,即a2-c2=b2= (m+)(n+).所以b=Vm十)(n十)，所以椭圆的短轴长为2Vm十n十).故选A 4.我们把离心率为黄金比5的椭圆称为“优美椭圆”设五，万是“优美椭圆”C:兰+ 22 ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 京=1(ab0)的两个焦点，则椭圆C上满足∠FP那，=90°的点P的个数为() A.0 B.1 C.2 D.4 答案：A 解析：如图所示， 在RIAOF B中，FB=a,oF=c,则sin∠FB0=OF=9=5-L2 FiB a 22 所以上 F1BO<45°，所以∠F1BF290°.又因为∠F1PF2≤∠F1BF2,所以满足∠F1PF2=90°的，点P 不存在 2必 5.（多选)己知椭圆 =1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,P是椭圆上一点，若1PF1= 2PF2,则椭圆的离心率可以是( 1 1 B.3 C. 2 D.3 答案：BCD 解析由椭圈的定义，可得PF1+PF=2a又PF=2PF,所以PF1=a,PF,=a当点P 2 与FA,B不共线时，在△PFE中，PF1-PF,KFF,即a<2c,所以e= c1当点P与 a 3 F,F共线时，分析知PF=a+c,PF=a-c,所以a十c=2a-c,即a=3c,所以e= a 三综上，椭图的离心率的取值范围是[？1故选BCD 3 6.比较椭圆①2十9=36与2+-1的形状，则 更扁（填序号） 95 答案：① 解标2+9236化为标准方程为石+以 4,故离心率e1=222心 6=39+5 =1的离心率 2 B=了因为>，故①更扁. 7,(一题两空己知椭圆兰+-1的左、右焦点分别为R,A,则梢圆的离心率为 43 ,若过点F2且垂直于长轴的直线与椭圆交于两点，其中一点为A,则FA= ·独家授权侵权必究 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 15 答案：22 c I 解析：由题意，可得a=2,b=V3,则c=l,所以椭圆的离心率e=-=一过点F2且垂直于 a 2 b23 3 长轴的直线与椭国交于点A,所以4F==)由椭圆的定义，可知F4=2a一4F2=4一2= a 2 5 -2 8.如图所示，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB,则椭圆的离心 率为 答案： 2 解析：因为P是稀园上一点，且PFx抽，则P点的丝标为广C 方法一设辆图方程为+=1a>b>0,则F-c,0,4a,0,B0,b,可得kB=- a2 b2 因为OP∥B,则直线OP的斜车为可得其方程为y=,可得=名 b b a a a 0 X一c力整理得b=C,所以精圆的离心率e=S=日 a va b2+c2 2 方法三：设司方相为学+后-1a>6≥0，F风-c,.0,0,B0.6,周为oP 62 PFOF AB,则Rt△OPF∽Rt△ABO,可得 ,即4=C,整理得b=C,所以椭圆的高 BO A0b a 心率e= c2- 1v2 a 9.(10分)求满足下列条件的椭圆的标准方程 椭圆42+92=36有相同的焦距，且离心率 (②)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴 长为6，且cos∠0FA=3 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解：0由4+9=36。+，力信距为25，所以所求精图的焦距花为25，c=5 又离心率为5 ,所以a=5, a 5 所以b2=a2-c2=25-5=20, 所以所求精图方程为二+巴=1或二+止-1 x2 2520 2025 2 ②)国为椭圆的长轴长是6，c0s∠OFA=3 所以点A不是长轴的端点（是短轴的端点）. 所以OF=c,AF=a=3, 所以了所以c=2,2=32-2=5, 所以精图的方程是兰+片=1或+上=1 95 9 10.010分)设横固兰十兰-1o60的两个焦点为，，若在椭圆上存在一点P,使∠F,Pm, a2 b2 =60°，求椭圆离心率e的取值范围， 解：由余弦定理得 c0s60°= PF12+PF2P-FF22 2PF PF2 (PF+PF2D2-2PF PF2-FF2R 2PF PF2 1 解得1PF1lPF2l=4a2-2PF1P℉2-4c2, 4b2 即PFPF2= 因为PFPF2≤ PFl+PFlY=d, 2 所以3a2≥4(a2-c2),解得-≥ 2 又因为椭圆中0<e<1, 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以所求精圆高心率e的取值范国为<1 √综合运用 1.6分（多选）如图，两个椭圆+-1， r2 .y2 ,x2 +二=1内部重叠区域的边界记为曲线C,P 259 259 是曲线C上的任意一点，下列四个选项中正确命题为() y A.P到F1(-4,0),F2(4,0),E1(0,-4),E2(0,4)四点的距离之和为定值 B,曲线C关于直线y=x,y=一x均对称 C.曲线C所围区域面积必小于36 D.曲线C的总长度不大于6π 答案：BC 解析：逐一考查所给的说法： 考虑点P不是交点的情元，若点P在精园兰十片=1上，P到乃(-4,0，F4,0两点的 259 距离之和为定值，到E1(0,一4)，E2(O,4)两点的距离之和不为定值，故A错；两个椭圆关 于直线y=x,y=一x均对称，所以曲线C关于直线y=x,y=一x均对称，故B正确曲线C 所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故C正确；曲线C所围区域在半 径为3的圆外部，所以曲线C的总长度大于圆的周长6π，故D错误.故选BC ⑤分)已知E,F,分别是椭圆，十21a>b>0)的左，右焦点，若直线：x=上有 一点P,使得线段P℉1的垂直平分线过点F2,则离心率的范围是 答案： 解析：由题意得F(一c,0,Be,0,设点上，mD 则由中点公式可得线段P℉的中点 m c心 2c, 所以直线P5,的斜率与您：的斜率之积等于-1，所以川-0三0 Ta R-c2 十c 2c-c 前以㎡=后女后3刘0，所以d2d-长0，两以3+2g-10,所以e 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3或e2≤-1（舍去），所以e≥ 又精图的离心率0<e<1,故5≤e<1 3 13.(10分)已知椭圆C: +-1o>>0的上顶点坐标为0，，离心率为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设P为椭圆上一点，A为椭圆左顶点，F为椭圆右焦点，求PAPF的取值范围. b=5, 解：(1)由题意， 得 =1 a=2, a 2' 解得b=V3, a2=b2+c2 c=1. 所以椭圆C的标准方程为 43 (2)由(1)得，A(-2,0),F(1,0),设Pc,y), 则PA=(-2-x,一)，PF=(1一，一) 所以PAPF=(-2-x)1-x)+y2 =2+x-2+34 3 -7++1=+2-2≤≤2. 1 所以PAPF∈[0,4]. √创新拓展 14,(5分)（多选）已知F1,F2分别是椭圆E: 兰+=1a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆E 2'b2 3 上一点，且PF=PF,cos∠PF,F-了则下列结论正确的有() 5 A,椭圆E的离心率为 7 B.椭圆E的离心率为 C.PF1⊥PF2 D.若△P℉F2内切圆的半径为2，则椭圆E的焦距为10 答案：ACD 解斩：由PA+pR:-2,Pm1k解得A-子A1-则cas∠ 6 ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 IPF2 P+FF:P-IPF R 402- PE2F= -整理得5a2+18ac-35c2=0即(a+5c)(5a 2PF2 FIF2 24 7 7 =0,则a=一5c(舍去)或a=0,故精图E的高心率为故A正确，B不正确；由a= 10 得FB=2c=7a,则PBP+1PBP=FB,故PF11PF,.故C正确，由PF1PF2 7 △PF1B内切圆的半径为2，得2c=2a-4国为a=0,所以c=5,即精圈E的焦距为10， 故D正确.故选ACD 15.(15分)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(一2,0)，且长轴长与短轴长的比是2： 5 (1)求椭圆C的方程； (2)设点Mm,O)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当MP最小时，点P恰好落 在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围. c=2, a 2 解：（①）由题意知 解得-16， b2=12. a2=b2+c2, 所以精圆C的方程为十二=1 1612 (2)设Po,o), 且+6三 =1, 1612 所以wMP2=(ko-m)2+6 1 三道2m+m+12=0-2m++25=4mP-3mr+12所以P为关手 o的二次函数，开口向上，对称轴为4m.由题意知，当o=4时，MP2最小，所以4m≥4， 所以m≥1. 又点M(m,0)在椭圆长轴上， 所以1≤m≤4 ·独家授权侵权必究