2.5.2 椭圆的几何性质-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册练习手册（人教B版）

第二章平面解析几何。 2.5.2 椭圆的几何性质 第1课时研究椭圆几何性质的思想方法 效果评价 A普+ B.2 1已知椭圆的离心率为号，焦点是 C.x22 16*121 D. (-3,0)和(3,0)，则椭圆方程为() 5.已知椭圆￥ +茶1(o>0,万，E A6+分1 B. 分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点 P使得PF⊥PF2,则椭圆的离心率的取值范 c号6l D.-=1 2736 围为() 2.已知椭圆，x2 10-m +m-21的长轴在y +2 A2,1 B2,1 轴上，且焦距为4，则m等于（) A.4 B.5 C.7 D.8 D,1 3.(多选题)已知椭圆C:号+1，则 6.若椭圆的两个焦点 与它的短轴的两个端点是 下列关于椭圆C的说法正确的是() A 一个正方形的四个顶点， A离心率为写 则椭圆的离心率为( 第6题图 B.焦点为（±2V2,0) A.V2 B.V3 2 2 C.长轴长为3 C. D.V6 D.椭圆C上的点的横坐标取值范围为 3 3 [-3,3] 7.在平面直角坐标系xOy中，F,F2分 4.阿基米德（公元前287年一公元前 别为椭圆+后=1(>b>0)的左、右焦点.已 62 212年)不仅是著名的物理学家，也是著名 知点P(a,b),△FPF2为等腰三角形，则椭 的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面 积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴 圆的离心率e= 长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦 &已知椭四云号1的左、右焦点分别 点在x轴上，且椭圆C的离心率为V3, 为F,F2,点P为椭圆上一动点，△PFF2面 2 积的最大值为 面积为8π，则椭圆C的方程为() 9椭圆C:号+卡1(b>0)的左顶点 练(65 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 为A,点P,Q均在C上，且关于y轴对称， 提升练习 若直线AP,AQ的斜率之积为4，求C的离 心率 L对情图G:产+芳-1(60)和稀 圆C2: 爷+景-1(a60)的几何性质的表 述正确的是() A.范围相同 B.顶点坐标相同 C.焦点坐标相同D.离心率相同 12.(多选题)下列四个选项中的多边 形均为正多边形，F,F2为椭圆的两个焦 点，椭圆与正多边形的交点为正多边形各边 中点，则离心率大于0.7的椭圆有（) 10.如图所示，F,F2分别为椭圆的左、 B 右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点 的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的子，求 椭圆的离心率 D 第10题图 (66)练 第二章平面解析几何。 第2课时点、直线与椭圆的位置关系 效果评价 0),B-1,2,cV2,2, 1平面内动点P在椭圆+兮1上，则 D-V3,分中的三个点，则下列命题为 IOP(O为坐标原点)的最大值为() 真命题的有() A.4 B.2C.1 D.V3 A.椭圆E的方程为+x2=1 4 2.直线x-2y-3=0与椭圆x2+2y2=3的公 B.点B不在椭圆E上 共点个数是() C.椭圆E上的点与其焦点距离的最大 A.0B.1 C.2 D.4 值为2+V3 3.筒线6号-1与脯线后+号传0) D.椭圆的一个顶点和它的两个焦点相 的() 连所得三角形的面积为V3 A.长轴长相等B.短轴长相等 7已知%MC:产+后1(o动0，过 C.焦距相等 D.离心率相等 焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴 4已知椭圆C:兰+茶-1(a>60)的 两端点构成等边三角形，则椭圆的方程是 左、右顶点分别为A1、A2,且以线段AA2 为直径的圆与直线bx-y+2ab=0相切，则C 8椭圆后+学1内，过点M2.1)且 的离心率为() 被该点平分的弦所在的直线方程为 A.V6 B.V3 3 3 9.(多选题)已知直线y=kx+1与椭圆 C.V2 3 D. 等+云山，则(） 5.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为 A.直线y=kx+1恒过定点(0,1) 分，且它的长轴长等于圆C:-2x+2 B.方程+上-1表示椭圆的条件为m心0 5 m 14=0的直径，则椭圆的标准方程是（) C方程号+后1表示能阕的条件为0< A+ Bi65-1 m<5 C著 D.i D.使直线与椭圆总有公共点的m的取 值范围是m≥1且m≠5 6.(多选题)已知椭圆E经过A(-2, 10已知F是精圆E:荐+点-1(aw3 练(67 高中数学选择性必修第一册人教B版 0)的右焦点，点P山，多是椭圆上一点， 12.李华找了一条长度为8cm的细绳， 把它的两端固定于平面上两点F,F处， 且PF⊥x轴 IFF<8,套上铅笔，拉紧细绳，移动笔尖一 (1)求椭圆E的方程； 周，这时笔尖在平面上留下了轨迹C.当笔 (2)过F作直线I交E于A,B两点， 尖运动到点M处时，经测量此时∠FMF2= 且△0AB的面积为6Y2,0为坐标原点， 7 交，且△FME,的面积为4cm2 求直线1的斜率。 (1)以F,F所在直线为x轴，以FF 的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标 系，求李华笔尖留下的轨迹C的方程（铅笔 大小忽略不计)； (2)若直线I与轨迹C交于A,B两点， 且弦AB的中点为N(2,1),求△OAB的面 积. 提升练习 山（多选题）已知梢圆：导+卡1 (a>b>0),则下列结论正确的是() A.若a=2b,则椭圆2的离心率为V2 2 B.若椭圆2的离心率越趋近于0，椭圆 越接近于圆 C.若点F,F分别为椭圆2的左、右 焦点，直线I过点F且与椭圆2交于A,B 两点，则△ABF2的周长为4a D.若点A1,A2分别为椭圆2的左、右 顶点，点P为椭圆2上异于点A1,A2的任 意一点，则直线PA1,PA2的斜率之积为- d (68)练第2课时求有关椭圆的轨迹方程 效果评价 1.B【解析】设PM的中点坐标为(x,y),则P(x, 2),~点P在椭圆上，故号+等1，放选B 2.C【解析】当a=2时，F(-2,0),F(2,0),PFl +PF,引=4，则点P的轨迹是线段： 当a≠2时，PF+PF=+4>4,这时点P的轨迹是 椭圆.故选C 3.A【解析】由题意知IPF+PF=2FF=4,而F(0, -1),F2(0,1),…2a=4,c=1,且焦点在y轴上， :点P的轨迹方程为营片1.做选A 4.B【解析】设动点P的坐标为(x,y),则由条件 得4Y2.-Y2=-2,即芳+16x0), 动点P的轨迹方程为号+1（红≠0），故选B. 5.AD【解析】若方程二3+亡1表示一个圆， 罐m-3+-m 则1=，1>0，解得m=7,故A正确： m-311-m 当m<3时，m-3<0,11-m>0,B不正确； 当3<m<7时，0<m-3<4<11-m,方程表示一个焦点 在y轴上的椭圆，C不正确，D正确.故选AD. 6.号+-1【解析】设圆M的半径为r 圆M过点F(1,0),且与圆F相内切，∴MF=r, .·MF=2V2-MF,即MF+MF=2V2, ∴，点M的轨迹E是以F,F为焦点的椭圆， 其中2a=2V2,c=1,∴.a=V/2,b=1,.圆心M的 轨迹E的方程为号+1. 高+后1（≠生0）【解析】设边M8,1G的 中点分别为D,E,故ICD1+BE1=30, ,∴.ICG+BG=20>12=BC1,∴.点G的轨迹为去掉左、 右顶点的椭圆，且其两个焦点分别为点B和C, G的载速方程为+后1且x≠410 8.解：设P(x,y),由题意得V-2+=V2 x-4 2 整理得(x-24产号4月 化简得营+苦1，即曲线C的方程为营+片=1 参考答案。 9.解：设M(x,y),线段MB的垂直平分线1交 MA于点P,..lPB=lPM, 即有IPAI+PBI=IPAI+IPM=AMI=4>ABI,.∴.点P的轨 迹是以A,B为焦点，焦距为2的椭圆. 若以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y 轴，则2a=4,2c=2,b2=d2-c2=3,故动点P的轨迹方程 为+ 10.解：(1)设P(x,y),M(xo,yo),则N(xo,0), NP=(x-0,y),NM=(0,o),由Np=V2NM得x=x, M(o,为在C上，+y1,即号+号=1. .点P轨迹方程为x2+y2=2. (2)由题知：F(-1,0),设Q(-3,t),P(m,n), 则00=(-3，t),PF=(-1-m,-n),0p=(m,n), 00.Pp=3+3m-tm,PQ=(-3-m,t-n), 由0p.P0=1,得-3m-m2+tm-n2=1, 又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0, .00.PF=0,即0Q⊥PF 又过点P存在唯一直线垂直于OQ,过点P且垂 直于OQ的直线1过C的左焦点F 提升练习 11.解：由lsl+t=2V2得Vx+(y+1)+Vx2+(y-1) =2V2. 由椭圆定义知，点M(x,y)是以(0，-1)，(0,1) 为焦点，长轴为2V2的椭圆， 点M,)的轨查C的方程为+1 12.解：因为ADI=AC1,EB∥AC,所以∠EBD= ∠ACD=∠ADC,所以IEBI=EDI,所以IEA|+IEBI=EAI+ IEDI=ADI,因为lADI=4,所以IEAI+IEB1=4,由题知： A(-1,0),B(1,0),AB1=2,由椭圆定义，E点轨迹为 稀国，英方程为号+号1020)。 2.5.2椭圆的几何性质 第1课时研究椭圆几何性质的思想方法 效果评价 1 1.A【解标】由已知，c=3,又e=2,=6,b2 a2-c2=27. ~简圆的焦点在x箱上，椭圆方程为6号1故 105 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 选A. 2.D【解析】椭圆长轴在y轴上， .a2=m-2,b2=10-m. .c2=a2-b2=2m-12,即2m-12=4,∴m=8.故选D. 3.BD【解析】由椭圆方程号+-1，可知a=3,6= 1,6=2V2,e=-2Y2,故A错误： 3 ·c=2V2,且由方程可知，焦点在x轴上，故焦点 坐标为（±2V2,0),故B正确： 长轴长为2a=6,故C错误； 焦点在x轴的椭圆C上的点的横坐标取值范围为 [-a,a],即[-3,3]，故D正确.故选BD 4B【解析】由题意，设椭圆C的方程为导+发 (a>b>0) :椭圆C的离心率为Y)5,面积为8m, 2 a v a 2’解得=16，b2=4, 8T=abT, :据图C的方程为后学1，放远B 5.C【解析】由PF⊥PF,知△FPF是直角三角形， 0Pl=c≥b,即c2≥d-c2,∴.a≤V2c. 台，01，号51.截选c 6.A【解析】四边形BFBF,为正方形，则△B,OF 为等腰直角三角形，=b2+c2=2c,c=9=Y2.故 2 选A. 7.号【解折】设F(-e,0,Fc,0）（c0),由 题意得PF=F,F,即V(a-c)+b=2c.把b2=ad2-c2代入， 整理得2台+：-1-0，解得8=-1（舍去）或8号 a-2 82【解折】椭圆若+号-1中，-25,69. .c2=2-b2=16,∴.b=3,c=4. 由椭圆的几何性质知，当点P为椭圆的短轴端点 时，△PFF的面积最大，故)EFb=bc=I2. 9.【解析】设P(xo,yo)(xo≠±a),:P,Q两点均 在C上，且关于y轴对称，所以Q(-,0),且满足号 (106 +培1，则有b-等经a-(o≠如）. 由题知，A(-a,0),所以kn=a,kra xo+a 02 所以kpk产一G (d-x)2=1 t2-2=4, 所以c的离心幸-Vg-V-于-9 2 10.解：方法一：设椭圆的长半轴长、短半轴长、 半焦距长分别为a,b,c,则焦点为F(-c,0),F(c,0), M点的坐标为c,子b,则△MFB为直角三角形， 在R△MFS中，FFMF=WMFR,即4号6= WFR而MF+WF-V4c+号6+号6-2a, 9 整理得3c2-3d2-2ab. 又c2=a2-6,3b=2a,=4 3 方法二：设稀圆方程为等+茶-1(a6>0,则 Mc, 代人随圆方程，得导+签山，小学名台 a ,即e= 3 提升练习 1.D【解析】椭圆C:荐+云1(o>60)的范围 是-a≤x≤a,-b≤y≤b,顶点坐标是(-a,0),(a, 0),(0,-b),(0,b),焦点坐标是(-c,0),(c, 0,离心率e=:椭圆：若+若1(a®6>0)的范围 是-a≤y≤a,-b≤x≤b,顶点坐标是(-b,0),(b, 0),(0,-a),(0,a),焦点坐标是(0，-c),(0, c),离心率c=合，只有离心率相同.故选D. 12.ACD【解析】设IFF=2c, .QFl=c,QFLQF2, ∴lQF=V3c.又lQFl+lQF=2a, .2a=c+V3c, .离心率e=c= 2c=V3-1>0.7,故A正确. a c+v3c QF=c,FF2⊥QF2,QF=V5c.又QF+IQF= 2a,2a=c+V5c,∴离心率e=C=2e=V5-1 a c+v5c 2 <0.7,故B错误. QF=,∠FFQ=牙， :IQFEV(FFY4(QFy-2FF.-QFcosLFFQ=V13c. 2 又：1QF1+Qr3=2a,2a=S+V13c 2 2 ∴.离心率e=C= 4e=V3-l>0.7,故C正确. a c+V13c 3 设坐标原点为0，则0Q1QF,又：∠FF,Q=3π 8 0F-ccos QF=VEQ2FFQEcosZFE0 -c1/1+3sin23 QFH4QFa.-cim .离心率e=C 2 a es餐1i4m Cos2 3m 1+cos 8 2 -≈0.15 ，16e经05 8 2 ∴.e≈ VuI5V3V06V0 2 2 故D正确.故选ACD. 第2课时点、直线与椭圆的位置关系 效果评价 1.B【解析】由题意=2，OP的最大值是2.故选B. 2B【解折】由题意得)宁子，代入椭圆方程得 x2-2x+1=0,△=22-4=0，.直线和椭圆的交点的个数为 1,故选B. 3.D【解析】由方程形式可知，曲线后*亏1的长 轴长是8，短轴长是6，焦距是2V7,离心率e=C= ?:将后+亏女(0)》化简为标准方程为忘+或 =1(k>0),可知该椭圆的长轴长是8V下，短轴长是 6VF,焦距是2V压，离心率e=合，离心率 参考答案⊙ 相等.故选D. 4.A【解析】由题意知，以A4,为直径的圆的圆心 坐标为(0,0)，半径为a. 又直线bx-awy+2ab=0与圆相切，∴圆心到直线的距 离d2ab=a,解得a=V3b,b=,1.而e=C Va+b2 a v3 V名V方5故选A 3 5.B【解析】圆C的方程可整理为(x-1)2+(y+1)2= 2a=8, 16,.圆C的半径为4， e=是.解得4 ea2’ (c=2, 2,椭圆的标准方程为花方引放透B 6.BCD【解析】，B,C的纵坐标相同，横坐标的绝 对值不同，根据椭圆的对称性可知点B,C中有且只有 一个点在椭圆E上，则A,D必在椭圆上. 设椭圆E的方程为二+上=1(m>0,>0),将点A, m n 41 D代入椭圆方程得 解得m=4,n=1,∴.椭圆 3+=1, 【m4n E的方程为年+=1，A错误：将点B,C分别代人椭圆 E的方程中，则点B坐标不满足若+1，点C坐标满 足聋+1，即点B不在椭圆E上，点C在椭圆E上， B正确：椭圆E上的点与其焦点的距离的最大值为a+c= 2+√3，C正确：椭圆的一个顶点（此顶点为上顶点或 下顶点)和它的两个焦点相连接所得三角形的面积S= ×2cxh=V了，D正确.故选BCD, 7千1【解析】~过焦点垂直于长轴的弦长为1， :2=1.又：焦点与短轴两端点构成等边三角形， a 2b=0,联立解得a-2,l,六椭圆方程为等+1 8.x+2y-4=0【解析】设直线与椭圆的两个交点为 A(x,y),B(x2,2),A,B在椭圆上， +=1， 164 164 器6 (107 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 r6= 4B的方程为y-1-2),即+2-40 9.AD【解析】由于直线y=kx+1可化为y-1=k(x- 0),恒过点(0,1)，故A正确： 方程号+片-1表示椭圆的条件为m0且m≠5，故 m B,C错误： 若直线与椭圆总有公共点，则点(0,1)必在椭圆 内或椭圆上，则0<1≤1且m≠5，故m≥1且m≠5， m 故D正确.故选AD c=1, 10.解：(1)由题意可知 b2-3 a2,解得a=2,c= a2=b2+c2 1,6V了，稀圆的方程为年+芳1 (2)设1的方程为y=k(x-1),A(x1,y),B(x2,y2), 联立方程组得)x》；可得（3+42-8+42 3x2+4y2=12, 8k2 12=0,则xt344, 4k2-12 3+42, MB=V1+kV(x+P4=121+) 3+4h2’ 0到直线1的距离为 V1+h, v △OAB的面积S=1, x121+k)=6V2 3+4k2 7 解得k2=1,即直线的斜率为±1. 提升练习 11.BCD【解析】，a=2b,且a2=b2+c2,解得离心率 e=c=V3 a 2 -,故A错误： 根据椭圆离心率的性质“离心率越小椭圆越圆”， 故B正确： 根据椭圆的定义，MFl+lMF=2a,IBFI+lBF=2a, .△ABF,的周长为AB+AF,I+HBF,=AFI+AF+BFI+ IBF=4a,故C正确： 根据题意，A1(-a,0),A2(a,0),设点P(x,y), x2-a2 2 ,故D正确故选BCD. 12.解：(1)由题意可知，轨迹C为椭圆，设椭圆 108 的标准方程为若+养-1（®>0。 由椭圆的定义知，2a=8,故a2=16. .·在Rt△FMF中，lFF=2c 设1MF=x,MF=y(x,>0), 又△FMF,的面积为4cm,六8，故c=+ xy=8, y2=(x+y)2-2xy=48,∴c2=12,b2=a2-c2=4, 人椭圆的标准方程为名苦-山 (2)方法一：设A(x1,y),B(x2,y2),弦AB的 中点为N(2,1),x+x=4,y+y2=2且1≠x2 又A,B均在椭圆上， G+4=16,整理得后- x2+4y2=16, =-4(y7-y3),即(x1+2)·(x1-x2)=-4(y1+y2)·(y1-y2), .(x1-x2)=-2(0y1-y2)· 故直线AB的方程为x+2y-4=0. 联立+2-40， 整理得x2-4x=0. x2+4y2-16=0, 解得x1=0,x2=4,A(0,2),B(4,0), :5n心×2x4-4,即△0AB的面积为4cm 方法二：易知直线的斜率k存在， .可设直线1的方程为y-1=k(x-2),A(x1,1), B,2,联立-2)得（41D-823x+ x2+4y2-16=0. 4(2k-1)2-16=0. 点N(2,1)在椭圆的内部，则必有△>0， 8,126 4k2+1 又点N(2,1)为弦AB的中点，x+x2=4, 故2(22-k)=4+1,解得k=-7 ·.直线1的方程为x+2y-4=0且x1x2=0. 在方程x+2y-4=0中，令x=0,得y=2, .直线1与y轴交于点Q(0,2), :5am=2101--l=7x2xVat+g-4=7× 2×4=4,∴.△0AB的面积为4cm2. 一"阶段性练习卷（六） 1.B【解析】设m=1,n=-1,x2+y2=1表示圆，不一 定为椭圆.反之，若方程表示椭圆，则mn<0.故“mn<0” 是“方程mx2-y2-1表示椭圆”的必要不充分条件.故选B.