2.1 坐标法-【新课程学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学平面解析几何中的坐标法，系统梳理平面直角坐标系中两点间距离公式、中点坐标公式的推导与应用，构建从数轴距离公式推广到平面的知识脉络，以“逐点清”形式搭建从公式理解到坐标法解决几何问题的学习支架。 该资料通过“微点助解”多角度解析公式培养几何直观（数学眼光），例题建系转化问题发展推理能力（数学思维），坐标法建模体现数学语言。如证明等腰三角形性质、求外心实例，课中助教师系统授课，课后检测题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第二章　平面解析几何 2.1　坐标法 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学]　　　　 　[课时目标] 1.通过数轴上两点间的距离公式的探索，掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式. 2.进一步体会“坐标法”的基本思想，逐步学会用“坐标法”解决有关问题. 逐点清(一)　平面直角坐标系中的基本公式 [多维理解] 两点间距 离公式 已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有|AB|=||= 中点坐 标公式 已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设点M(x，y)是线段AB的中点，则有x=，y= |微|点|助|解| 　　两点间距离公式的几点说明 (1)公式中，点A，B的位置没有先后之分，即距离公式还可以写为|AB|=. (2)坐标平面内的两点间的距离公式是数轴上两点间的距离公式的推广. (3)若B点为原点，则AB=|OA|=. (4)若A，B两点在x轴上，或在与x轴平行的直线上，此时|AB|=|x2-x1|. (5)若A，B两点在y轴上，或在与y轴平行的直线上，此时|AB|=|y2-y1|. [注意]　(4)(5)在应用时，可根据实际情况去掉绝对值号，解题更容易. (6)在数轴上，点A(x1)，B(x2)，用绝对值定义两点间的距离，表示为d(A，B)=|x1-x2|.若A，B，C是数轴上任意三点，则d(A，B)≤d(A，C)+d(B，C). [微点练明] 1.已知A(-1，2)，B(3，-4)，则线段AB的中点坐标为 (　　) A.(1，-1) B.(-2，3) C.(2，-3) D. 解析:选A　由A(-1，2)，B(3，-4)，利用中点坐标可知，线段AB的中点坐标为，即(1，-1). 2.已知点A(3，3a+3)与点B(a，3)之间的距离为5，则实数a的值为 (　　) A.-1 B. C.-1或 D.1或- 解析:选C　由点A(3，3a+3)与点B(a，3)之间的距离为5，可得|AB|===5，整理得10a2-6a-16=0，即5a2-3a-8=0，解得a=-1或a=. 3.已知△ABC的三个顶点A(3，0)，B(-1，2)，C(1，-3)，则△ABC的中线AD的长是 (　　) A. B.3 C. D. 解析:选A　由题意可知，线段BC的中点为D，故|AD|==. 4.已知A(6，1)，B(0，-7)，C(-2，-3). (1)求证:△ABC是直角三角形； (2)求△ABC的外心的坐标. 解:(1)证明:|AB|2=(0-6)2+(-7-1)2=100，|BC|2=(-2-0)2+(-3+7)2=20， |AC|2=(-2-6)2+(-3-1)2=80.因为|AB|2=|BC|2+|AC|2，所以∠C=90°，故△ABC为直角三角形. (2)由(1)可知△ABC为直角三角形，所以其外心是斜边AB的中点，所以△ABC外心的坐标为，即(3，-3). 逐点清(二)　用坐标法证明几何问题 　　通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决了问题.这种解决问题的方法称为坐标法. [例1]　如图，在△ABC中，|AB|=|AC|，D是BC边上异于B，C的任意一点，求证:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|. 证明:如图，以BC边的中点为原点O，BC边所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系. 设A(0，a)，B(-b，0)，C(b，0)，D(m，0)(-b<m<b). 则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2， |AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2， |BD|·|DC|=|m+b|·|b-m|=(b+m)(b-m)=b2-m2，∴|AD|2+|BD|·|DC|=a2+b2， ∴|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|. 　　|思|维|建|模| 建立平面直角坐标系应遵循的原则 (1)要使尽可能多的已知点落在坐标轴上，这样便于计算； (2)如果图形中有互相垂直的两条线，可以考虑将其作为坐标轴； (3)如果图形具有中心对称性，可以考虑将图形的对称中心作为坐标原点； (4)如果图形具有轴对称性，可以考虑将对称轴作为坐标轴. 　　[针对训练] 1.已知Rt△ABC，∠B为直角，AB=a，BC=b，建立适当的坐标系，写出顶点A，B，C的坐标，并求证斜边AC的中点M到三个顶点的距离相等. 解:以B为坐标原点，以边BA所在的直线为x轴，边BC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则三个顶点的坐标分别为A(a，0)，B(0，0)，C(0，b).由中点坐标公式得斜边AC的中点M的坐标为. 所以|MA|= =， |MB|==， |MC|==. 所以|MA|=|MB|=|MC|. 逐点清(三)　坐标法的应用 [例2]　已知正△ABC的边长为a，在平面上求一点P，使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小，并求此最小值. 解:以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图.则A，B，C. 设P(x，y)，则|PA|2+|PB|2+|PC|2 =x2+++y2++y2 =3x2+3y2-ay+ =3x2+3+a2≥a2， 当且仅当x=0，y=时，等号成立， ∴所求最小值为a2，此时P点坐标为，是正△ABC的重心. |思|维|建|模| 坐标法解决问题的基本步骤 (1)根据题中条件，建立适当的坐标系，用坐标表示有关的点； (2)进行有关的代数运算； (3)把代数运算结果翻译成几何语言. 　　[针对训练] 2.在△ABC中，D为BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.则△ABC为 (　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.以上都不对 解析:选A　如图所示，作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. 设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，D(d，0)(b<d<c). 因为|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|， 所以b2+a2=d2+a2+(d-b)(c-d)， 所以-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d). 又因为d-b≠0，所以-b-d=c-d， 即-b=c.所以|OB|=|OC|. 又AO⊥BC，故△ABC为等腰三角形. 3.在Rt△ACB中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则= (　　) A.2 B.4 C.5 D.10 解析:选D　将直角三角形的直角顶点C与原点重合，建立平面直角坐标系(图略)，设B(a，0)，A(0，b)，则D，P，所以==10，故选D. [课时检测] 1.已知数轴上两点A，B的坐标分别是-4，-1，则||= (　　) A.-3 B.3 C.6 D.-6 解析:选B　由题意，向量的坐标为-1-(-4)=3，所以||=3. 2.若点M(4，m)关于点N(n，-3)的对称点为P(6，-9)，则m，n的值分别为 (　　) A.-3，10 B.3，10 C.-3，5 D.3，5 解析:选D　由中点坐标公式得=n，=-3，所以m=3，n=5. 3.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，-1)，则|AB|等于 (　　) A.5 B.4 C.2 D.2 解析:选C　设A(x0，0)，B(0，y0)，因为AB的中点是P(2，-1)，所以=2，=-1，所以x0=4，y0=-2，即A(4，0)，B(0，-2)，所以|AB|==2. 4.(多选)已知平行四边形的三个顶点坐标为(3，-2)，(5，2)，(-1，4)，则第四个顶点可能是 (　　) A.(9，-4) B.(1，8) C.(-3，0) D.(1，-3) 解析:选ABC　设第四个顶点的坐标为(x，y)， ①若点(3，-2)，(5，2)为平行四边形的对顶点，则有=，=，解得x=9，y=-4，即(9，-4)； ②若(5，2)，(-1，4)为对顶点，同理可求得第四个顶点为(1，8)； ③若(3，-2)，(-1，4)为对顶点，同理可求得第四个顶点为(-3，0).故选ABC. 5.已知点A(2，0)，B(4，2)，若|AB|=2|AC|，则C点坐标为 (　　) A.(-1，1) B.(-1，1)或(5，-1) C.(-1，1)或(1，3) D.无数多个 解析:选D　设C(x，y)，由|AB|=2|AC|， 得(2-4)2+(0-2)2=4(2-x)2+4y2， 即(x-2)2+y2=2，∴存在无数多个C点. 6.已知点A(1，0)，B(0，1)，C(-2，-3)，则△ABC的面积为 (　　) A.3 B.2 C.1 D. 解析:选A　由题意|AB|==，|AC|==3，|CB|==2， 所以|AB|2+|AC|2=|CB|2，即AB⊥AC， 所以△ABC的面积为S=|AB||AC|=××3=3. 7.已知A(-1，2)，B(0，4)，点C在x轴上，且|AC|=|BC|，则点C的坐标为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　因为点C在x轴上，设点C(a，0)，又|AC|=|BC|，所以=，解得a=，所以C. 8.(多选)对于，下列说法正确的是 (　　) A.可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B.可看作点(x，0)与点(-1，-2)的距离 C.可看作点(x，0)与点(-1，2)的距离 D.可看作点(x，-1)与点(-1，1)的距离 解析:选BCD　由题意，可得== =， 可看作点(x，0)与点(-1，-2)的距离，可看作点(x，0)与点(-1，2)或点(x，-1)与点(-1，1)的距离，故A不正确. 9.(多选)已知△ABC的两个顶点A(3，7)，B(-2，5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则C点的坐标是 (　　) A.(-3，-7) B.(2，-7) C.(2，-5) D.(-3，-5) 解析:选BD　设C(x，y)，显然AC，BC的中点不在同一条坐标轴上，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则有y+7=0，-2+x=0，即C(2，-7)；若AC的中点在y轴上，BC的中点在x轴上，则有3+x=0，5+y=0，即C(-3，-5). 10.已知点M(2，2)平分线段AB，且点A(x，3)，B(3，y)，则x=　　　　，y=　　　　.  解析:因为点M(2，2)平分线段AB， 所以=2，=2，解得x=1，y=1. 答案:1　1 11.在平面直角坐标系中，若点(2，b)到原点的距离不小于5，则b的取值范围是　　　　.  解析:根据两点的距离公式得点(2，b)到原点的距离d=≥5，即4+b2≥25，所以b2≥21，解得b≤-或b≥. 答案:(-∞，-]∪[，+∞) 12.已知点A(1，3)，B(3，1)，C(0，0)，则AB边上的中线长CM=　　　　，△ABC的面积为　　　　.  解析:设AB的中点M的坐标为(x，y)，则 即M的坐标为(2，2)，∴|CM|==2， 又|AB|==2， |AC|==，|BC|==， ∴CM⊥AB， ∴S△ABC=|CM|·|AB|=×2×2=4. 答案:2　4 13.(10分)已知ABCD是一个长方形，且M是ABCD所在平面上任意一个点，求证:|AM|2+|CM|2=|BM|2+|DM|2. 证明:因为ABCD是长方形，故以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系. 则A(0，0)，不妨设B，D的坐标为B(a，0)，D(0，b)，则C(a，b).设M(x，y)， 故|AM|2+|CM|2=x2+y2+(x-a)2+(y-b)2， |BM|2+|DM|2=(x-a)2+y2+x2+(y-b)2=x2+y2+(x-a)2+(y-b)2， 故|AM|2+|CM|2=|BM|2+|DM|2，得证. 14.(10分)已知以点A(-3，y)与点B(x，2)为端点的线段的中点C在x轴上，O为原点. (1)若|OC|=1，求点C的坐标；(4分) (2)当|AC|取最小值时，求点A关于点C对称的点的坐标.(6分) 解:由中点公式，得点C的坐标为， 由于点C在x轴上，∴y=-2，即A(-3， -2). (1)∵|OC|=1，∴=1， 解得x=5或x=1， 即点C的坐标为(-1，0)或(1，0). (2)∵|AC|= =， ∴当x=-3时，|AC|有最小值2， ∴C(-3，0). ∴点A关于点C对称的点的坐标为(-3，2). 学科网（北京）股份有限公司 $