1.2.1 空间中的点、直线与空间向量(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

该高中数学导学案聚焦空间中的点、直线与空间向量，涵盖位置向量、方向向量、线线角及异面直线等核心知识点。以足球裁判手势情境导入，通过问题链衔接，构建从现实情境抽象向量语言到理解空间几何元素表示的学习支架。 资料特色在于情境化导入与问题驱动结合，培养数学抽象和直观想象，题型设计一题多解，典例与检测呼应，强化数学运算能力，帮助学生构建逻辑体系，适合自主学习与教师教学评估，提升空间几何问题解决效率。

1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 课标 要求 1.能用向量语言描述直线，理解直线的方向向量，并能利用方向向量判定直线的位置关系（数学抽象、直观想象）． 2.能用向量方法解决直线与直线所成角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用（数学运算）． 　　一场正规的足球赛事需要有裁判执法才能进行．在比赛过程中，裁判员除了说一些必要的语言外，他们更多的借助专用的手势来把控整场比赛．比如，直接任意球要求裁判单臂侧平举，明确批示踢球方向；间接任意球要求裁判单臂上举，掌心向前，此手势应持续到球踢出后，并被场上其他队员触及或成死球时为止．这一规定有着明确的方向性和细节要求，必须进行专业培训才能掌握．在不同领域有不同的“语言”，研究空间中的直线及其夹角也可以先提炼出与之有关联的“向量语言”来进行． 【问题】　（1）一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？ （2）怎样用向量来表示直线在空间中的位置？ （3）怎样用向量来表示平面在空间中的位置？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　空间中的点与直线的向量表示 1.点的位置向量 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量．特别地，空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定，从而也就由它的坐标唯一确定． 2.直线的方向向量 一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l． 3.利用直线的方向向量证明相关平行 （1）设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1∥l2或l1与l2重合⇔v1∥v2； （2）已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得l∥α或l⊂α⇔存在一对实数x，y，使v=xv1＋yv2. 【想一想】 　直线l的方向向量唯一吗？直线l的方向向量之间有怎样的关系？ 知识点二　空间中两条直线所成的角 设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，如图①②所示， ①θ∈［0，］； ②θ=〈v1，v2〉或θ=　　　　　　，sin θ=　　　　　　或cos θ=　　　　　　； ③l1⊥l2⇔〈v1，v2〉=⇔v1•v2=0； ④l1∥l2或l1与l2重合⇔〈v1，v2〉=0或π． 知识点三　异面直线与空间向量 （1）设v1，v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量． 若l1与l2异面，则v1与v2的关系为v1与v2不平行； 若v1与v2不平行，则l1与l2的位置关系为　　　　　　； 若异面直线l1与l2所成的角为θ，则θ=〈v1，v2〉或π－〈v1，v2〉； （2）公垂线段：一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，　　　　　　　．则称MN为l1与l2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的　　　　． 提醒：空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一． 【想一想】 两异面直线所成的角与两直线的方向向量的夹角一定相等吗？ 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）直线l的方向向量是唯一的．（　　） （2）空间中，一个向量成为直线l的方向向量，该向量一定是非零向量．（　　） （3）与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量．（　　） （4）两异面直线的方向向量所成夹角的范围为（0，］．（　　） 2.已知一直线经过点A（2，3，2），B（－1，0，5），下列向量中不是该直线的方向向量的为（　　） A．a=（1，1，1） B．a=（－1，－1，1） C．a=（－3，－3，3）　　 D．a=（1，1，－1） 3.若直线l1，l2的方向向量分别为a=（1，2，－2），b=（－2，3，2），则l1与l2的位置关系是（　　） A．l1⊥l2　　 B．l1∥l2 C．l1，l2相交不垂直　　 D．不能确定 4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB与直线A1D1所成的角为　　　　，直线AB与直线CD1所成的角为　　　　．　 题型一　空间中点的位置确定 已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A（3，4，0），B（2，5，5），C（0，3，5）． （1）若=（－），求点P的坐标； （2）若P是线段AB上的一点，且AP∶PB=1∶2，求点P的坐标． 尝试解答 规律方法 求空间点的坐标 　　此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，常用方法一是把向量式转化为以原点为起点的位置向量求解；二是设出所求点的坐标，转化为方程组求解． 　已知点A（2，4，0），B（1，3，3），如图，以的方向为正方向，在直线AB上建立一条数轴，P为线段AB上的点，Q点在AB延长线上，且分别满足条件： （1）AP∶PB=1∶2； （2）AQ∶QB=2∶1. 求点P和点Q的坐标． 题型二　利用向量法求异面直线的夹角（或余弦值） 〔一题多解〕如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA=AB=BC=AD=1，求PB与CD所成的角． 尝试解答 规律方法 求异面直线所成的角的方法 （1）坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单； （2）基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取定基底的方法，这是小技巧．在由公式cos〈a，b〉=求向量a，b的夹角时，关键是求出a•b及|a|与|b|，一般是把a，b用基底表示出来，再求有关的量． 1.在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，D为SB的中点，C是的中点，SO=AB=4，则直线SA与直线CD所成角的余弦值为（　　） A．　　 B． C．　　 D． 2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为A1C的中点，=t，t∈［0，1］，当PQ与CD所成角的余弦值为时，t=　　　　． 题型三　利用空间向量解决平行与垂直问题 （链接教科书第31页例1、第33页例2、第36页例4）如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G，G1分别是棱CC1，BC，CD，A1B1的中点．求证： （1）AD1⊥G1G； （2）AD1∥EF； （3）A1G⊥DF． 尝试解答 规律方法 1.要证两直线垂直，由数量积的性质a⊥b⇔a•b=0可知，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可． 2.要证两直线平行，可求出两直线的方向向量，只要证明这两个向量满足a=λb即可． 　〔一题多解〕如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，点M，N分别是面对角线A′B与面对角线A′C′的中点．求证：MN∥AD′． 1.已知直线l的一个方向向量m=（2，－1，3），且直线l过A（0，y，3）和B（－1，2，z）两点，则y－z=（　　） A.0　　 B.1 C．　　 D.3 2.已知=（，，－），=（0，－1，0），则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（　　） A．　　　 B．　　 C．　　　 D． 3.在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为　　　　，直线BC1的一个方向向量为　　　　． 4.已知向量a=（2，4，5），b=（4，x，y）分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则x＋y=　　　　． 完成课后作业　第一章　1.2　1.2.1 答案 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量　 【基础落实】 新知初探 知识点一 想一想 提示：直线l的方向向量不唯一，若ν为直线l的方向向量，则λν（λ≠0）也为直线l的方向向量，直线l的任意两个方向向量都平行． 知识点二 ②π－〈v1，v2〉　sin 〈v1，v2〉　|cos〈v1，v2〉| 知识点三 （1）相交或异面　（2）MN⊥l1，MN⊥l2　距离 想一想 提示：不一定相等，若两异面直线的方向向量夹角〈v1，v2〉∈（0，］时等于异面直线所成角，若〈v1，v2〉∈（，π）时，则异面直线所成角为π－〈v1，v2〉． 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）√　（4）√ 2.A　由题知，=（－3，－3，3），则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量．A选项中的向量（1，1，1）与不共线，所以不是直线AB的方向向量．故选A． 3.A　由题意，直线l1，l2的方向向量分别为a=（1，2，－2），b=（－2，3，2），a•b=－2＋6－4=0，∴l1与l2的位置关系是l1⊥l2.故选A． 4.90°　45° 【典例研析】 【例 1】　解：（1）=（－1，1，5），=（－3，－1，5）， =（－）=（2，2，0）=（1，1，0）， ∴P点的坐标为（1，1，0）． （2）由P是线段AB上的一点，且AP∶PB=1∶2，知=． 设点P的坐标为（x，y，z）， 则=（x－3，y－4，z），=（2－x，5－y，5－z）， 故（x－3，y－4，z）=（2－x，5－y，5－z）， 即得 因此P点的坐标为（，，）． 跟踪训练 解：（1）由已知，得=2， 即－=2（－）， =＋=（2，4，0）＋（1，3，3）=（，，1）． 因此，P点的坐标是（，，1）． （2）因为Q点在AB延长线上且AQ∶QB=2∶1， 所以=－2，－=－2（－），=－＋2=－（2，4，0）＋2（1，3，3）=（0，2，6），因此，Q点的坐标是（0，2，6）． 【例 2】　解：法一　由题意知||=，||=，=＋，=＋＋． 因为PA⊥平面ABCD，所以•=•=•=0， 因为AB⊥AD，所以•=0， 因为AB⊥BC，所以•=0， 所以•=（＋）•（＋＋）=2=1. 所以cos〈，〉===， 所以〈，〉=60°， 所以PB与CD所成的角为60°． 法二　由题意得AB， AD，AP两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系， 则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）， 所以=（－1，0，1），=（1，－1，0）， cos〈，〉===－． 所以〈，〉=120°， 故PB与CD所成的角为60°． 跟踪训练 1.A　因为C为的中点，所以OC⊥AB．如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），A（0，－2，0），C（2，0，0），B（0，2，0）， S（0，0，4），因为D为SB中点，所以D（0，1，2）．所以=（0，－2，－4），=（－2，1，2）．设直线SA与直线CD所成的角为θ，则cos θ=|cos〈，〉|===． 2.或　解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），C（2，2，0），P（1，1，1），D（0，2，0），B1（2，0，2），设Q（x，y，z），则=（x，y，z），=（2，0，2），由=t，得（x，y，z）=（2t，0，2t），故Q（2t，0，2t），则=（2t－1，－1，2t－1），=（－2，0，0），设PQ与CD所成的角为θ，则cos θ===，解得t=或． 【例 3】　证明：设=a，=b，=c， 则|a|=|b|=|c|=1且a•b=b•c=a•c=0. （1）因为=b＋c，=＋＋＋=－a－c＋b＋a=b－c， 所以•=（b＋c）•（b－c）=|b|2－|c|2=0， 所以⊥，所以AD1⊥G1G． （2）因为=b＋c，=－=－=－b－c，所以=－，所以∥，所以EF∥AD1. （3）因为=＋＋=－c＋b＋a，=＋=a－b，所以•=（－c＋b＋a）•（a－b）=|a|2－|b|2=0， 所以⊥，所以A1G⊥DF． 跟踪训练 证明：法一（基向量法）　设=a，=b，=c，则=（a＋c），=c＋（a＋b），所以=－=（b＋c）． 又因为b＋c=，所以=，所以∥， 因为MN不在平面ADD′A′内，所以MN∥AD′． 法二（坐标法）　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），D′（0，2，2），M（1，0，1），N（1，1，2），所以=（0，2，2），=（0，1，1）， 所以=，所以∥，因为MN不在平面ADD′A′内，所以MN∥AD′． 随堂检测 1.A　∵A（0，y，3），B（－1，2，z），∴=（－1，2－y，z－3），∵直线l的一个方向向量为m=（2，－1，3），故设=km，∴解得k=－，y=z=．∴y－z=0. 2.B　cos〈，〉===，故选B． 3.（0，0，1）　（0，1，1）（答案不唯一） 解析：因为DD1∥AA1，=（0，0，1）， 故直线DD1的一个方向向量为（0，0，1）； 因为BC1∥AD1，=（0，1，1）， 故直线BC1的一个方向向量为（0，1，1）． 4.18　解析：∵l1∥l2，∴a∥b，∴存在实数λ，使得b=λa，则解得λ=2，x=8，y=10.∴x＋y=18. 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $