1.2.1 空间中的点、直线与空间向量-【新课程学案】2026-2027学年高中选择性必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦空间向量在立体几何中的应用，系统梳理空间点与向量的关系、直线方向向量的意义及求法，构建利用方向向量解决平行垂直问题和异面直线所成角的学习支架，衔接公垂线段概念形成完整知识链。 资料采用梯度进阶式教学，通过思维建模提炼方法、针对训练巩固应用，培养学生空间观念与推理能力。如题型示例结合坐标法、基底法解题，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升用数学语言表达几何问题的能力。

1.2 空间向量在立体几何中的应用　 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 　[课时目标] 1.理解空间中的点与空间向量的关系及空间直线的方向向量的意义及求法. 2.能利用空间直线的方向向量解决平行与垂直问题及两条直线所成的角. 1.空间中的点、直线与空间向量 直线的 方向向量 如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量.且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合,则称v为直线l的一个方向向量.此时,也称向量v与直线l平行,记作v∥l 空间向量 与直线 如果v1是直线l1的一个方向向量,v2是直线l2的一个方向向量,则v1∥v2⇔l1∥l2,或l1与l2重合 |微|点|助|解| (1)在空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线与直线l平行或重合. (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量,且直线l的方向向量有无数个. (3)给定空间中任意一点A和非零向量a,就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线. 2.空间中两条直线所成的角 设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小为θ. 如图(1)(2)所示,可以看出θ=<v1,v2>或θ=π-<v1,v2>. 特别地,sin θ=sin<v1,v2>,cos θ=|cos<v1,v2>|.而且l1⊥l2⇔<v1,v2>=⇔v1·v2=0. 3.公垂线段 一般地,如果l1与l2是空间中两条异面直线,M∈l1,N∈l2,MN⊥l1,MN⊥l2,则称MN为l1与l2的公垂线段.空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一.两条异面直线的公垂线段的长,称为这两条异面直线之间的距离. |微|点|助|解| (1)v1,v2分别为空间中直线l1,l2的方向向量,设l1与l2所成角的大小为θ:①θ的范围为.②θ=<v1,v2>或θ=π-<v1,v2>.③cos θ=|cos<v1,v2>|. (2)直线l,m是异面直线,它们之间的距离为d,P∈l,Q∈m,则|PQ|≥d. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)空间中两条相交直线所成角的大小,指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小. (　　) (2)两条直线的方向向量的夹角等于两条直线的夹角. (　　) 答案:(1)√　(2)× 2.已知v1=(1,2,3),v2=(3,6,9)分别是空间中直线l1,l2的方向向量,则直线l1,l2所成的角等于 (　　) A.0 B. C. D. 解析:选A　因为3v1=v2,即v1∥v2,所以直线l1,l2所成的角等于0. 3.若A(1,2,-1),B(1,-1,3)是空间直线l上的两点,下列向量可以作为直线l的方向向量的是 (　　) A.v=(0,1,4) B.v=(0,-3,-4) C.v=(0,-3,4) D.v=(2,1,-4) 答案:C 4.若v1=(1,1,0),v2=(-3,-3,0)分别是两条不重合的直线l1,l2的方向向量,则直线l1与l2的位置关系是　　　　.  解析:因为-3v1=v2,所以两向量共线,因此l1∥l2. 答案:l1∥l2 题型(一)　直线的方向向量 [例1]　(1)若A(0,1,2),B(2,5,8)在直线l上,则直线l的一个方向向量为 (　　) A.(3,2,1) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(1,2,3) 解析:选D　∵A(0,1,2),B(2,5,8)在直线l上,∴直线l的一个方向向量=(2,4,6),又∵(1,2,3)=(2,4,6),∴(1,2,3)是直线l的一个方向向量. (2)已知直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),且直线l过点A(0,a,3)和B(-1,2,b)两点,则a+b= (　　) A.0 B.1 C. D.3 解析:选D　因为直线l过点A(0,a,3)和B(-1,2,b)两点,所以=(-1,2-a,b-3),又直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),所以∥m,所以=λm,所以(-1,2-a,b-3)=(2λ,-λ,3λ),所以解得所以a+b=3. |思|维|建|模| 对直线方向向量的两点说明 (1)方向向量的选取:在直线上任取两点P,Q,可得到直线的一个方向向量. (2)方向向量的不唯一性:直线的方向向量不是唯一的,可以分为方向相同和相反两类,它们都是共线向量.解题时,可以选取坐标最简的方向向量. 一个方向向量. 　　[针对训练] 1.(多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上不与C,C1重合的任一点,则能作为直线AA1的方向向量的是 (　　) A. B. C. D. 解析:选ABD　由定义知,一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或重合,则这个向量就称为直线AA1的一个方向向量. 2.已知向量a=(2,-1,3),b=(-4,2x2,6x)(x≠0)都是直线l的方向向量,则x的值是　　　　.  解析:由题意设λa=b,即(-4,2x2,6x)=λ(2,-1,3),即解得 答案:-1 题型(二)　利用直线的方向向量处理平行与垂直问题 [例2]　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1的中点,F为CC1的中点,M为CD的中点.求证: (1)BF∥D1E; (2)BE不与D1M平行; (3)BE⊥C1M. 证明:如图,以A为原点,,,分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系.设正方体棱长为1, 则B(1,0,0),D1(0,1,1), E,F,M,C1(1,1,1). (1)∵=,=, ∴=-,∴∥ , ∵B∉D1E,∴BF∥D1E. (2)∵=,=, ∵≠,∴不与平行,即BE不与D1M平行. (3)∵=,=. ∴·=(-1)×+0×0+×(-1)=-=0,∴⊥,∴BE⊥C1M. |思|维|建|模| (1)判断两条直线平行可转化为判断两直线的方向向量平行. (2)判断两条直线垂直可转化为判断两直线的方向向量的数量积等于0. [提醒]　利用直线的方向向量证明直线与直线平行时,要注意所证两直线无公共点. 　　[针对训练] 3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=4,AA1=2,点M在棱BB1上,且BM=2MB1,点S在棱DD1上,且SD1=2SD,点N,R分别为棱A1D1,BC的中点.求证:MN∥RS. 证明:法一　如图所示,建立空间直角坐标系,根据题意得M,N(0,2,2),R(3,2,0),S. 则,分别为MN,RS的方向向量, 又=,=,所以=,所以∥,因为M∉RS,所以MN∥RS. 法二　设=a,=b,=c,则=++=c-a+b, =++=b-a+c.所以=,所以∥.又R∉MN,所以MN∥RS. 4.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AB=,BC=1,AD=AA1=3.求证:AC⊥B1D. 证明:因为在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,又AB,AD⊂平面ABCD,所以AA1⊥AB,AA1⊥AD. 又因为∠BAD=90°,所以AB⊥AD,即AA1,AB,AD两两垂直,故以,,分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,0),C(,1,0),B1(,0,3),D(0,3,0), 所以=(,1,0),=(-,3,-3), 所以·=-3+3+0=0, 所以AC⊥B1D. 题型(三)　异面直线所成的角 　　　[例3]　如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心,求EF和CD所成角的大小. 解:法一:基向量法　设正方体的棱长为1,取{,,}为空间向量的一组基底,则=-=(+)-(+ )=--,所以·=·=-,||==. 又||=1,所以cos<,>==-. 因为两直线所成角的范围是,所以EF和CD所成角的大小是. 法二:坐标法　以D为原点,分别以,,为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示,设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),C(0,1,0),E,F,=,=(0,1,0), 所以cos<,>==-, 所以<,>=, 因为异面直线所成角的范围为,所以EF和CD所成角的大小是. 法三:几何法　设正方体的棱长为1,连接A1D,DC1(图略),则F在线段A1D上且是线段A1D的中点,又因为E为A1C1的中点,故EF是△A1DC1的中位线,故有EF∥DC1,则∠CDC1即为直线EF与直线CD所成的角.在Rt△CDC1中,CD=CC1=1,DC1=,即Rt△CDC1为等腰直角三角形,所以∠CDC1=,故EF和CD所成角的大小是. |思|维|建|模| 1.求空间直线所成角的三种方法 (1)几何法:平移直线(两条或一条)到一个公共点,再通过解三角形求角. (2)基底法:确定一组基底,用基底表示两直线的方向向量. (3)坐标法:建立空间直角坐标系,用坐标表示两直线的方向向量. 2.向量所成角与空间直线所成角的差异 向量所成角的范围是[0,π],而空间直线所成角的范围是,故空间直线所成角的余弦值一定大于或等于0. 　　[针对训练] 5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则AM与CN所成角的余弦值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,如图,以C为原点,以CB,CA,CC1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,令BC=CA=CC1=2,则A(0,2,0),M(1,1,2),C(0,0,0),N(0,1,2),∴=(1,-1,2),=(0,1,2), ∴cos<,>===. 令AM与CN所成的角为θ,则cos θ=|cos<,>|=. 6.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E在线段CD1上,若直线BE与AD1所成角的余弦值为,则线段BE的长为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　如图,分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),设E(0,t,1-t),则=(-1,0,1),=(-1,t-1,1-t),∵直线BE与AD1所成角的余弦值为,∴|cos<,>|===. 解得t=,=,∴||==. [课时检测] 1.(多选)若A(1,0,-1),B(2,1,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量是 (　　) A.(2,2,6) B.(1,1,3) C.(3,1,1) D.(-3,0,1) 解析:选AB　=(2,1,2)-(1,0,-1)=(1,1,3),结合选项可知选AB. 2.直线l1的方向向量为v1=(1,2,3),直线l2的方向向量为v2=(λ,4,6),若l1∥l2,则λ= (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选B　∵l1∥l2,∴v1∥v2,则=,∴λ=2. 3.已知直线l1的一个方向向量a=(2,4,x),直线l2的一个方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且l1⊥l2,则x+y的值是 (　　) A.-3或1 B.3或-1 C.-3 D.1 解析:选A　∵|a|==6,∴x=±4. 又l1⊥l2,∴a⊥b,∴a·b=2×2+4y+2x=0, ∴y=-1-x. 当x=4时,y=-3;当x=-4时,y=1, ∴x+y=-3或1. 4.已知直线l∥平面ABC,且l的一个方向向量为a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),则实数m的值是 (　　) A.3 B.-3 C.2 D.-2 解析:选B　=(1,0,-1),=(0,1,-1). 因为l∥平面ABC,所以存在实数λ,μ,使a=λ+μ,即(2,m,1)=λ(1,0,-1)+μ(0,1,-1). 所以λ=2,m=μ,-λ-μ=1,解得m=-3. 5.在如图所示的空间直角坐标系中,直三棱柱ABC -A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　不妨令CB=1,则CA=CC1=2,可得O(0,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),A(2,0,0),B1(0,2,1),∴=(0,2,-1),=(-2,2,1),∴cos <,>====>0,∴与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角,其余弦值为. 6.如图,在圆锥SO中,AB是底面圆O的直径,D,E分别为SO,SB的中点,OC⊥AB,SO=AB=4,则直线AD与直线CE所成角的余弦值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　以点O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(2,0,0),A(0,2,0),D(0,0,2),E(0,-1,2),所以=(0,-2,2),=(-2,-1,2),所以直线AD与直线CE所成角的余弦值为|cos<,>|===. 7.(多选)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分别是棱DD1,D1C1的中点,则下列说法正确的是 (　　) A.直线AC与直线MN所成的角为60° B.直线OM垂直于AC,但不垂直于MN C.直线OM垂直于MN,但不垂直于AC D.OM为AC,MN的公垂线段 解析:选AD　以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为2a,则M(0,0,a),A(2a,0,0),C(0,2a,0),O(a,a,0),N(0,a,2a), ∴=(-a,-a,a),=(0,a,a), =(-2a,2a,0), ∴|cos<,>|===,∴直线AC与直线MN所成的角为60°,选项A正确. 又·=0,·=0, ∴OM⊥AC,OM⊥MN,选项B、C错误,D正确. 8.记动点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上一点,且=λ.当∠APC为钝角时,λ的取值范围为 (　　) A.(0,1) B. C. D.(1,3) 解析:选B　根据题意,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),∴=(1,1,-1),=(1,0,-1),=(0,1,-1),∴=(λ,λ,-λ),=+=(-λ,-λ,λ)+(1,0,-1)=(1-λ,-λ,λ-1),=+=(-λ,-λ,λ)+(0,1,-1)=(-λ,1-λ,λ-1),∵PA,PC不共线,∴当∠APC为钝角时,cos∠APC<0,∴·<0,即(1-λ)(-λ)+(-λ)(1-λ)+(λ-1)(λ-1)=(λ-1)(3λ-1)<0,解得<λ<1.故此时λ的取值范围是,故选B. 9.(5分)若直线l1与l2不重合,直线l1的方向向量v1=(-1,1,2),直线l2的方向向量v2=(2,0,1),则直线l1与l2的位置关系是　　　　.  解析:因为v1·v2=(-1,1,2)·(2,0,1)=-2+2=0,所以v1⊥v2.所以两直线垂直. 答案:垂直 10.(5分)若异面直线l1,l2的方向向量分别是a=(0,-2,-1),b=(2,0,4),则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于　　　　.  解析:∵|a|=,|b|=2,a·b=(0,-2,-1)·(2,0,4)=-4, ∴cos<a,b>==-. ∵异面直线夹角的范围是, ∴异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于. 答案: 11.(5分)如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,且SA=AB=BC=1,则异面直线SB与AC之间的距离为　　　　.  解析:构造如图所示的正方体,取AB的中点O,连接OD交AC于点E,连接OM交SB于点F,由平面几何知识可知,OF=OM,OE=OD,所以EF∥DM.又因为AC⊥BD,AC⊥BM,所以AC⊥平面BDM,AC⊥DM,因为EF∥DM,所以AC⊥EF.同理可证SB⊥DM,所以SB⊥EF,所以EF是异面直线AC和SB的公垂线段,所以EF=DM=. 答案: 12.(10分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为DD1的中点,M为四边形ABCD的中心.利用向量法证明:对A1B1上任一点N,都有MN⊥AP. 证明:以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),P,M. 设N(1,y,1)(0≤y≤1), 则=, =, ∴·=-1×+0×+×1=0, ∴⊥,即对A1B1上任一点N,都有MN⊥AP. 13.(10分)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1和BB1的中点,求直线AM与CN所成角的余弦值. 解:法一　∵=+,=+, ∴·=(+)·(+) =·=. 而||= = = =. 同理,||=,设直线AM与CN所成的角为α, 则cos α===. 即AM与CN所成角的余弦值为. 法二　如图,建立空间直角坐标系,把D点视作原点O,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴正方向. 则A(1,0,0),M, C(0,1,0),N, ∴=-(1,0,0)=, =-(0,1,0)=. 故·=0×1+×0+1×=, ||= =, ||= =. 设直线AM与CN所成的角为α, ∴cos α===. 即AM与CN所成角的余弦值为. 14.(15分)如图,在正四棱锥V-ABCD中,二面角V-BC-D的大小为60°,E为BC的中点. (1)求证:BC=VE;(6分) (2)已知F为直线VA上一点,且F与A不重合,若异面直线BF与VE所成的角为60°,求.(9分) 解:(1)证明:设V在底面的射影为点O,则O为正方形ABCD的中心,如图, 连接OE,因为E为BC的中点,所以易得OE⊥BC. 在正四棱锥V-ABCD中,VB=VC,则VE⊥BC, 所以∠VEO即为二面角V-BC-D的平面角,则∠VEO=60°,所以在Rt△VOE中,VE=2OE,又AB=BC=2OE,所以BC=VE. (2)取AB的中点G,以O为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系Oxyz,如图,设AB=2,则V(0,0,),E(0,1,0),B(1,1,0),A(1,-1,0),所以=(1,-1,-),=(1,1,-),=(0,1,-).设=λ(λ≠1),则=(λ,-λ,-λ), 则=-=(λ-1,-λ-1,-λ+), 从而|cos<,>|= ==cos 60°=,整理得λ2+10λ-11=0,解得λ=-11(λ=1舍去),故=11. 学科网（北京）股份有限公司 $