1.2.2 空间中的平面与空间向量-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第一册人教B版 1.2.2 空间中的平面与空间向量 是平面a的一个法向量，则n∥v台l上a, 学习目标 n⊥v→l∥a,或lCa. 1.理解平面的法向量的概念，会求平面 4.如果n1是平面心的一个法向量，n2 的法向量 是平面a2的一个法向量，则n1⊥n2→a1⊥2， 2.会用平面的法向量证明平面的平行与： n1∥n2→a1∥a2或a1与2重合. 垂直 思考平面的法向量唯一吗？如果 3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理 不唯一，它们之间有什么关系？ 证明有关垂直问题， 例1如图1-2-6，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD, 要点精析 E为PD的中点，AB=AP=1,AD=V3,试 要点1平面的法向量 建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量， 1.如果是空间中的一个平面，n是空 间中的一个非零向量，且表示n的有向线段 所在的直线与平面α垂直，则称n为平面 的一个法向量.此时，也称n与平面垂直， 图1-2-6 记作n⊥x. 2.平面的法向量的性质 (1)如果直线l垂直平面a,则直线1 的任意一个方向向量都是平面α的一个法 向量 (2)如果n是平面的一个法向量，则 对任意的实数入≠0，空间向量入n也是平面 :的一个法向量，且平面的任意两个法向 量都平行. 变式训练1 (3)如果n为平面a的一个法向量，A 如图1-2-7，已知在三棱锥PABC中， 为平面a上一个已知的点，则对于平面a上PA⊥底面ABC,∠BAC=90°，点D,E,N 任意一点B,向量AB一定与向量n垂直， 分别为棱PA,PC,BC的中点，M是线段 即n·AB=0,从而可知平面a的位置可由n AD的中点，PA=AC=4,AB=2. 和A唯一确定， (1)求证：MN∥平面BDE; (2)已知点H在棱PA上，且直线NH 3.如果v是直线l的一个方向向量，n 16 第一章空间向量与立体几何。 与直线E所成角的余弦值为7，求线 变式训练② 段AH的长 给出下列命题： ①直线1的方向向量为a=(1,-1,2), 直线m的方向向量为6=2,1，-)，则1 A 与m垂直； ②直线1的方向向量为a=(0,1,-1), 图1-2-7 平面的法向量为n=(1,-1,-1),则lL: ③平面a,B的法向量分别为n1=(0,1, 3),n2=(1,0,2),则a∥B; ④平面经过三点A(1,0,-1),B(0, 1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是 例2如图1-2-8所示， 平面a的法向量，则u+t=1. 在正方体ABCD-A B C D1中， 其中真命题的是 (把你认为正 E,F,M分别为棱BB1, 确命题的序号都填上)· CD,AA1的中点.求证： (1)CM∥平面ADE; 图1-2-8 ③变式训练3 (2)平面ADE⊥平面ADF (变条件、变结论)在例2中，设DB 的中点为N,其他条件不变.试证：EW⊥平 面BAC. 反思感悟 利用向量法证明空间中平行或垂直的 关系，关键是建立坐标系，用坐标向量，证 法的核心是利用向量的数量积或数乘运算. 学(17 高中数学选择性必修第一册人教B版 川要点2三垂线定理及其逆定理 变式训练4 1.三垂线定理：如果平面内的一条直线 在四面体P-ABC中，PA⊥BC,PB⊥ 与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直， AC,求证：PC⊥AB. 则它也和这条斜线垂直 2.三垂线定理的逆定理：如果平面内的 一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它 也和这条斜线在该平面内的射影垂直 例3如图1-2-9，已知在正方体 ABCD-ABCD1中，连接BD1,AC,CB1, BA,求证：BD1⊥平面ABC. 图1-2-9 数学文化 例 《九章算术》第 五卷中涉及一种隧道 羡除.书中描述如下：今 有羡除，下广六尺，上广 图1-2-10 一丈，深三尺，末广八 尺，无深，袤七尺.如图，可知该羡除是一 个如图1-2-10所示的多面体ABCDFE,四 边形ABCD、四边形ABEF均为等腰梯形， AB∥CD∥EF,平面ABCD⊥平面ABEF,梯 形ABCD,梯形ABEF的高分别为3,7，且 反思感悟 AB=6,CD=10,EF=8,则AD·BF= 利用三垂线定理证明垂直的步骤： 分析过点A分别作CD,EF的高， (1)找平面（基准面）及平面的垂线， 垂足分别为N,M,可证明AN,AB,AM (2)找射影线（平面上的直线与斜线） 两两垂直，然后建立空间直角坐标系，求 (3)证明射影线与直线垂直，从而得 出B,D,F,A的坐标，从而求出AD·BF 线线垂直，更进一步证明线面垂直或面面 的值即可. 垂直 18)学 NN 高中数学选择性必修第一册人教B版 (2)证明：如图所示，建立 空间直角坐标系D-z,则有 D(0,0,0),A(2,0,0),C(0 2,0),C(0,2,2),E(2,2, 1),F(0,0,1),.FC=(0,2, 1),DA=(2,0,0),AE=(0 例4答图 2,1). DAC平面ADE,AEC平面ADE, 且(0,2,1)=0(2,0,0)+(0,2,1)， 即FC=0DA+AE, .FC,C平面ADE或FC∥平面ADE. 又FC,平面ADE,FC∥平面ADE. 变式训练3（月，弓，-1【解析】设C(,,2), AC=(x-1,y-1,z+4),AB=(1,-5,6),由AC= z+4=3, z=-1. 变式训练40【解析】由题意，得AB=(-1,-2-y,z- 3》,则分号，解得=号号50 1 数学文化 A【解析】如图，以矩形ABCD的中心O为原点， CB的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系. 例题答图 四边形ABCD为矩形，EF∥AB,△ADE和△BCF 都是正三角形，EFC平面yOz,且z轴是线段EF的垂 直平分线.设AB=3,则EF1,AD=2,D-L,-号，0)， E0,-3,V2,BL,,0,F0,分，V2 DE=(1,1,V2),BF=(-1,-1,V2),DE BF=-1x1+1x(-1)+V2×V2=0,.DE⊥BF,.异面 直线DE与BF所成的角为三.故选A 26 1.2.2空间中的平面与空间向量 要点精析 例1解：在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD为矩形，PA⊥ 平面ABCD,E为PD的中点， AB=AP=1,AD=V3, ,以A为原点，AB所在直 线为x轴，AD所在直线为y 例1答图 轴，AP所在直线为z轴，建立 如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0),C(1,V3,0), D0.V3,0.P0,0,10.E0,, a正=0,5，，C=,V,0. 设平面ACE的法向量=(x,y,z), 则 E+分0. n.AC=x+V3y=0, 取y=-V3,得n=(3,-V3,3). .平面ACE的一个法向量为n=(3,-V3,3). 变式训练1解：以A为原点，分别以AB,AC,AP的 方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系 (图略)，可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0), P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1), N(1,2,0). (1)DE=(0,2,0),DB=(2,0,-2). 设n=(xo,o,zo)为平面BDE的法向量， nD呢=0，即 2y0=0, 则 n-DB=0,2xw-2z=0. 令0=1，n=(1,0,1),又MN=(1,2,-1),可得 MNn=O.MN4平面BDE,MN∥平面BDE. (2)BE=(-2,2,2),设AH=h(0≤h≤4)， 则H(0,0,h),进而可得Ni=(-1,-2,h). 由已知得los(NH,BELW7·BE2h-21 INH IBEI V452V3 V7 21 整理得10h-21h+8-0,解得h=号或=7 :线段41的长为号或子 例2证明：(1)以D为原点， 向量DA,DC,DD的方向分别 为x轴、y轴、z轴的正方向建 A 立如图所示的空间直角坐标系， D 设正方体的棱长为1， 则D(0,0,0),A(1,0,0), E1,1,,C0,1,1). 例2答图 M1,0,2,D=(1,0,0. E-1,1,,c-1,-1, 设平面ADE的法向量为m=(a,b,c), 则m0-0, a=0, m-DE=0 令c=2,得m=(0,-1,2). m:G=(0,-1,2)-1,-1,-2)=0+1-10, CM⊥m 又.CM丈平面ADE,..CM∥平面ADE. (2)由D,(0,0,1,A,(1,0,1),F0,,0, 得D-1,0,0.D0.分- 设平面ADF的法向量为n=(x,y,z), 则nD4-0,=0, n…DF=0 0 令y=2,则n=(0,2,1). .mn=(0,-1,2)(0,2,1)=0-2+2=0, ,m⊥n..平面ADE⊥平面ADE 变式训练2①④【解析】a=(1,-1,2),b= 2,1,-,ab=1x2-1x1+2x-0,a1b, .直线l与m垂直，故①正确； a=(0,1,-1),n=(1,-1,-1),.an=0×1+1× (-1)+(-1)x(-1)=0,.a⊥n,l∥a或lC,故②错误； n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),n1与n2不共线 .α∥B不成立，故③错误； 点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0), AB=(-1,1,1),BC=(-1,1,0),向量n=(1,u,t) 是平面α的法向量， n:-0,即一70，则u* nBC=0, -1+u=0, 1,故④正确， 参考答案。 综上，真命题的序号是①④. 变式训练3证明：如例2，设正方体棱长为1，以D为 原点，AD,DC,DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴 的正方向建立空间直角坐标系（图略），则1,1，)， N分，1，A1,0,0,B,1,),c0.1,0. -3,分，，A6=0,1,10,Ac-(1,1 0),EN.AB=0,ENAC=0,EN⊥AB,EN⊥AC, 即EN⊥AB,EN⊥AC.又AB,∩AC=A,EN⊥平面 BAC. 例3证明：如图所示，连接BD, AB,四边形ABCD是正方形， .∴AC⊥BD 又DD1⊥平面ABCD BD是斜线BD1在平面 ABCD内的射影，.BD1⊥AC 例3答图 而AB是BD1在平面ABBA1内的射影， .BD1⊥AB1 又AB,∩AC=A,.BD1⊥平面AB,C 变式训练4证明：如图，过点P 作PH⊥平面ABC,连接AH并延 长交BC于点E,连接BH并延长交 AC于点F,PH⊥平面ABC,PA⊥ BC,而PA在平面ABC内的射影为 AH,由三垂线定理的逆定理知 变式训练4答图 BC⊥AH,同理可证BF⊥AC,则H 为△ABC的垂心.连接CH并延长交AB于点G,于是 CG⊥AB,而CH是PC在平面ABC的射影，故PC⊥AB. 数学文化 14【解析】如图所示，过点 A分别作CD,EF的高，垂足分 别为N,M, M .·平面ABCD⊥平面ABEF,D AB∥CD∥EF, 平面ABCD∩平面ABEF=AB,例题答图 故NA⊥平面ABEF,故AN⊥AB,AN⊥AM. 又AM⊥AB,故AN,AB,AM两两垂直 以A为坐标原点，AB,AM,AN的方向分别为x 轴、y轴、z轴的正方向， 建立空间直角坐标系A-xy2,则由题意可知： B(6,0,0),D(-2,0,3),F(-1,7,0), A(0,0,0), 27 高中数学选择性必修第一册人教B版 故BF=(-7,7,0),AD=(-2,0,3), 故AD.BF=14. 1.2.3直线与平面的夹角 要点精析 例1(1)证明：PA⊥平面ABC,BCC平面ABC, .PA⊥BC. 又.∠BCA=90°，，AC⊥BC.又.ACC平面PAC, PAC平面PAC,PA∩AC=A,.BC⊥平面PAC (2)解：如图所示，取PC的中点 E,连接DE D为PB的中点，.DE∥BC DE⊥平面PAC. 连接AE,则AE是AD在平面 PAC内的射影， 例1答图 .∠DAE是直线AD与平面PAC的夹角. 设PA=AB=a,在Rt△ABC中， ∠ABC=60,∠BCA=90,BC-=号，DE=4 4 在Rt△ABP中，AD=V2， 2a. ∴sin DAE=DE= 4 、V2 AD V2 4 2 -a 即AD与平面PAC夹角的正弦值为V2 4 变式训练1D【解析】连接 D BD,BD,BB1⊥平面ABCD, DA⊥平面AABB,所以BD与 平面ABCD和平面AABB所成 的角分别为∠BDB,∠ABD, .∠BDB=∠ABD=30° 变式训练1答图 设AD=1,则AB1=V3,BD=2,∴BB1=1,BD= V3,.AB=V2..AB=V2AD,故A错误： 易求AC=V3,CB=V2,AC≠CB,故C错 误；过B作BH⊥AB,交AB,于H,.∠HAB为AB 与平面AB,CD所成的角，BH=ABBB=V6 AB 3 sin∠HAB=BH=Y了，故B错误： AB 3 又.∠DB1C为BD与平面BB1C1C所成的角， m∠BC-%=,六∠DBC-45,故D正箱 例2解：方法一：OA=OB=0C=a, 28 N ∠AOB=∠AOC=60°，.AB=AC=a 又BC=V2a,∴AB2+AC=BC .△ABC为等腰直角三角形 同理△BOC也为等腰直角三角形 如图所示，取BC的中点H, 连接AH,OH, 例2答图 AH-V2 a,OH-V2a,A0-a, 2 2 AH+OHP=AO2. .△AHO为等腰直角三角形..AH⊥OH. 又.AH⊥BC,OH∩BC=H,∴AH⊥平面ax. .OH为A0在平面内的射影，∠AOH为OA与平 面a所成的角 在R△AOH中，sin∠AOH=AH-V2 A02 .,∠A0H=45°..0A与平面所成的角为45° 方法二：，'∠AOB=∠AOC=60°， .OA在a内的射影为∠BOC的平分线 作∠BOC的平分线OH交BC于H, 又.OB=0C=a,BC=V2a,∴.∠BOC90° 故∠B0H=45°.由公式cos0=cos01·cos02, 得cos∠AOH=Cos∠AOB=V2 Cos∠BOH2 .0A与平面a所成的角为45°. 变式训练2解：由题意得∠CBD=45°， ∠PBD即为直线PB与平面ABCD所成的角A. .cos∠PBC=cos0·cos∠CBD,∠PBC=60° 即cos60°=c0s0:c0s45,cos9V2,949 例3(1)证明：在直三棱柱AB,C-ABC中，AC⊥ BC,AC=BC=1,CC=2,点M是AB,的中点. 以C为原点，建立如图所示的 空间直角坐标系， 则B(0,1,2),C(0,0,0), A(1,0,0),C1(0,0,2), A1(1,0,2), B w3,3,2, 例3答图 B,C=(0,-1,-2),AC=(-1,0,2), af-(3,3,2 设平面ACM的法向量n=(x,y,z), nAC1=-x+2z=0, 则 n4=++2-0，