第一章 1.2.2 第2课时 三垂线定理及其逆定理（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦三垂线定理及其逆定理，承接空间直线垂直的方向向量判断方法，通过问题驱动引入定理，以向量法证明为核心，结合知识梳理、例题及跟踪训练构建学习支架，帮助学生从直观感知过渡到逻辑论证。 资料以问题链引导学生用数学眼光观察空间垂直关系，通过向量运算培养数学思维的推理能力，例题与习题梯度设计贴合学情。课中助力教师分层教学，课后知识清单与多样练习帮助学生查漏补缺，强化空间观念与应用意识。

第2课时　三垂线定理及其逆定理 [学习目标]　1.了解三垂线定理及其逆定理.2.会用三垂线定理及其逆定理解决简单的问题． 导语 前面我们学习了空间两条直线垂直的判断方法，借助两条直线的方向向量的数量积是否为0，就可以断定两条直线是否垂直，除此之外，是否还有更直观、更简洁的证明方法呢？三垂线定理及其逆定理在证明线线垂直问题上就可以达到这一效果，这就是学习本节内容的目的所在． 一、三垂线定理 问题1　如图，已知AB是平面α的一条斜线且B为斜足(即AB不垂直于α，且AB∩α＝B)，设A′是A在平面α内的射影，l是平面α内的一条直线，当l⊥A′B时，你能判断l与AB之间的关系吗？ 提示　l⊥AB.证明：设v∥l，则由⊥α且l⊂α， 可知⊥v，即·v＝0， 由l⊥A′B，则v⊥，v·＝0， 又因为＝＋＝－＋， 所以·v＝(－＋)·v＝－·v＋·v＝0， 因此l⊥AB. 知识梳理 三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．简记为：和射影垂直，则和斜线垂直． 注意点：(1)三垂线定理描述的是斜线PA，射影OA和直线a之间的垂直关系； (2)直线a可以移动，但只能在平面内移动．因此，直线a和斜线PA可以相交也可以异面； (3)三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理． 例1　如图，已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：PC⊥BC. 证明　因为PA⊥平面ABC， 所以PC是平面ABC的斜线， 所以AC是PC在平面ABC上的射影， 因为BC⊂平面ABC且AC⊥BC， 所以由三垂线定理得PC⊥BC. 反思感悟　三垂线定理的实质是空间内的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理，关于三垂线定理的应用，关键是找出平面的垂线，至于射影，则是由垂足、斜足来确定的；利用三垂线定理证明两直线a⊥b的步骤：一垂，二射，三证．即第一找平面及平面垂线，第二找射影线，这时a，b便成平面上的一条直线与一条斜线，第三证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直． 跟踪训练1　如图，已知PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：PO⊥BD，PC⊥BD. 证明　∵PA⊥正方形ABCD所在平面， 则PC，PO在平面ABCD内的射影为AC，AO， 又AC⊥BD，AO⊥BD， 由三垂线定理得，PO⊥BD，PC⊥BD. 二、三垂线定理的逆定理 问题2　如图，如果将三垂线定理中的“l⊥A′B”改为“l⊥AB”，你能得到什么结论呢？ 提示　l⊥A′B. 证明：设v∥l，则由⊥α且l⊂α可知⊥v，即·v＝0.由l⊥AB，则v⊥，v·＝0， 又因为＝＋， 所以·v＝(＋)·v＝·v＋·v＝0，因此l⊥A′B. 知识梳理 三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 简记为：和斜线垂直，则和射影垂直． 例2　已知α∩β＝AB，PQ⊥α于点Q，PO⊥β于点O，OR⊥α于点R，求证：QR⊥AB. 证明　如图． ∵PQ⊥α于点Q，OR⊥α于点R， ∴PO在平面α内的射影为QR，又PO⊥β于点O，α∩β＝AB，∴PO⊥AB， ∴由三垂线定理的逆定理知，QR⊥AB. 反思感悟　三垂线定理的逆定理的实质是空间内一条斜线的射影与平面内一条直线垂直的判定定理，其应用关键是找出平面的垂线；证明步骤：第一找平面与平面的垂线，第二找该射影线是哪条斜线的射影，第三证明平面内的直线与斜线垂直，从而得出平面内的直线与射影垂直． 跟踪训练2　如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥CD，四边形ABCD是平行四边形，且△PAD为等边三角形．求证：四边形ABCD是矩形． 证明　平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形， 故点P在平面ABCD内的射影为AD的中点O， 所以PO⊥平面ABCD， 直线OA为直线PA在平面ABCD内的射影， 又PA⊥CD， 由三垂线定理的逆定理可知AD⊥CD， 又因为四边形ABCD是平行四边形， 所以四边形ABCD是矩形． 三、三垂线定理、逆定理的综合应用 例3　如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD. 证明　如图，取BC的中点O，连接AO交BD于点E，连接PO. 因为PB＝PC，所以PO⊥BC. 又平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，PO⊂平面PBC， 所以PO⊥平面ABCD，所以AP在平面ABCD内的射影为AO. 在直角梯形ABCD中，由于AB＝BC＝2CD， 易知Rt△ABO≌Rt△BCD， 所以∠BEO＝∠OAB＋∠DBA＝∠DBC＋∠DBA＝90°，即AO⊥BD. 由三垂线定理，得PA⊥BD. 反思感悟　利用三垂线定理及其逆定理证明垂直的关键是找到平面的垂线、斜线、射影，要区分三垂线定理与三垂线定理的逆定理． 跟踪训练3　如图，点P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC.若O和Q分别是△ABC和△PBC的垂心，求证：OQ⊥平面PBC. 证明　如图，连接BO并延长交AC于点F， 连接BQ并延长交PC于点M，连接FM， ∵O是△ABC的垂心， ∴BC⊥AE，∵PA⊥平面ABC， 根据三垂线定理得BC⊥PE， ∴BC⊥平面PAE， ∵OQ⊂平面PAE，∴BC⊥OQ， ∵BF⊂平面ABC，∴PA⊥BF， 又BF⊥AC，AC∩AP＝A，AC，AP⊂平面APC， ∴BF⊥平面APC， 因此FM是BM在平面PAC内的射影， ∵BM⊥PC，据三垂线定理的逆定理， 可得FM⊥PC， 从而PC⊥平面BFM， 又OQ⊂平面BFM， ∴OQ⊥PC， ∵PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC， ∴OQ⊥平面PBC. 1.知识清单： (1)三垂线定理． (2)三垂线定理的逆定理． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：三垂线定理与三垂线定理的逆定理易混淆． 1．下列命题中正确的是(　　) A．如果直线l与平面α外的一条直线l′在平面α内的射影垂直，则l⊥l′ B．如果直线l与平面α外的一条直线l′垂直，则l与l′在平面α内的射影垂直 C．如果向量a和直线l在平面α内的射影垂直，则a⊥l D．如果非零向量a和平面α平行，且和直线l垂直，直线l不与平面α垂直，则a垂直于l在平面α内的射影 答案　D 解析　由三垂线定理的逆定理，知D正确． 2．在平面α内和这个平面的斜线l垂直的直线　(　　) A．只有一条 B．可能一条也没有 C．可能有一条也可能有两条 D．有无数多条 答案　D 3．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　) A．AC B．BD C．A1D1 D．AA1 答案　B 解析　∵B1D1⊥C1E， ∴由三垂线定理得B1D1⊥CE， ∵BD∥B1D1， ∴BD⊥CE. 4．菱形ABCD∥平面α，PA⊥α，则PC与BD的位置关系是________． 答案　垂直 解析　由三垂线定理，可知PC与BD垂直． 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1．正方体的体对角线与各个面上与其不共端点的面对角线的位置关系是　(　　) A．异面垂直 B．异面不垂直 C．可能相交可能异面 D．可能相交、平行或异面 答案　A 2．点P在平面ABC内的射影是O，且PA，PB，PC两两垂直，那么点O是△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 答案　C 解析　因为PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P， 所以PC⊥平面PAB，所以PC⊥AB. 又点P在平面ABC内的射影为O，连接CO， 则CO是PC在平面ABC内的射影， 由三垂线定理的逆定理可知，AB⊥CO， 同理可证AO⊥BC，即O是△ABC的垂心． 3．已知PO⊥平面ABC，垂足为O，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，PA＝PB＝PC＝10，则PO的长等于(　　) A．5 B．5 C．10 D．10 答案　B 解析　在△ABC中， ∠ABC＝90°， 满足PA＝PB＝PC＝10， PO⊥平面ABC，O为垂足， 所以O是AC的中点， ∠BAC＝30°，BC＝5， 解得AC＝10，所以OC＝5， 利用勾股定理得PO＝＝5. 4．已知AB⊂平面α，AC⊥α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，AB＝m，AC＝BD＝n，则C与D之间的距离是(　　) A. B. C.或 D.或 答案　D 5．在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，下列说法正确的是(　　) A．A在平面BCD内的投影是△BCD的重心 B．A在平面BCD内的投影一定在△BCD的内部 C．AD⊥BC D．AD∥BC 答案　C 解析　如图，作AO⊥平面BCD，连接OB，OC，OD，则AO⊥CD，又因为AB⊥CD，由三垂线定理的逆定理可知BO⊥CD，同理CO⊥BD，则O为△BCD的垂心，故A错；若△BCD为钝角三角形，则其垂心在三角形的外部，故B错；同理DO⊥BC，由三垂线定理可知AD⊥BC，故C正确，D错． 6.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为(　　) A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 答案　C 解析　取CD的中点P′，连接PP′，AP′，MP′(图略)，易知PP′⊥平面ABCD， 所以MP′为PM在平面ABCD内的射影． 由题意得，AM＝，MP′＝，AP′＝3， 所以AP′2＝AM2＋MP′2，所以AM⊥MP′， 由三垂线定理知AM⊥PM. 7．(5分)已知PA垂直于△ABC所在的平面，AB＝AC＝13，BC＝10，PA＝5，则P点到BC的距离为____________． 答案　13 解析　取BC的中点E，连接AE，PE(图略)， ∵PA⊥平面ABC， ∴AE为PE在平面ABC内的射影， 又AB＝AC，∴AE⊥BC， 由三垂线定理得，PE⊥BC， 又AE＝12，PA＝5，∴PE＝13. 8．(5分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(注：填写一个正确的答案即可) 答案　DM⊥PC(答案不唯一) 解析　连接AC(图略)， 因为底面各边都相等，所以BD⊥AC. 由题意易知，AC为PC在平面ABCD内的射影， 又BD⊥AC，由三垂线定理知BD⊥PC， 所以当DM⊥PC时，即有PC⊥平面MBD. 又PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD. 9．(10分)已知H是锐角△ABC的垂心，PH⊥平面ABC，∠BPC＝90°.求证：∠BPA＝90°，∠APC＝90°. 证明　利用三垂线定理可证BP⊥AC， 又BP⊥PC，故BP⊥平面APC，得∠APB＝90°， 同理可证∠APC＝90°. 10．(12分)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，P为B1C1的中点，A1C1与PD1交于M，B1C与PB交于N.求证：MN⊥A1C1，MN⊥B1C，并求MN的长． 证明　连接BD1(图略)，利用＝＝，得MN∥BD1，MN＝BD1，得MN＝a.由三垂线定理知，BD1⊥A1C1，BD1⊥B1C，所以MN⊥A1C1，MN⊥B1C. 11．已知△ABC三边的长分别为3,4,5，平面ABC外一点P到△ABC三边的距离都等于2，则点P到平面ABC的距离等于(　　) A．1 B. C. D．4 答案　C 解析　如图，点P在平面ABC内的射影点为O，PE，PF，PD分别是点P到△ABC各边的距离，由三垂线定理的逆定理可知，OE，OF，OD分别是△ABC各边的垂线， 因为三条侧高相等，所以OE＝OF＝OD， 所以O为△ABC的内心， 设OE＝OF＝OD＝r， 则由面积相等得×3×4＝(3＋4＋5)r， 所以r＝1，所以点P到平面ABC的距离是. 12.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为(　　) A．1∶2 B．1∶1 C．3∶1 D．2∶1 答案　B 解析　方法一　连接AE(图略)， ∵PA⊥平面ABCD，且BF⊥PE， 由三垂线定理的逆定理可知，BF⊥AE， ∴∠EAD＝∠ABF，∴△ABF≌△DAE， ∴AF＝DE，即F为AD的中点， ∴AF∶FD＝1∶1. 方法二　建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方形边长为1，PA＝a， 则B(1,0,0)，E， P(0,0，a)． 设点F的坐标为(0，y,0)， 则＝(－1，y,0)，＝. ∵BF⊥PE，∴·＝0，解得y＝， 即点F的坐标为. ∴F为AD的中点，∴AF∶FD＝1∶1. 13.(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则下列结论正确的有(　　) A．直线DD1与直线AF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行 C．点C与点G到平面AEF的距离相等 D．平面AEF截正方体所得的截面面积为 答案　BD 解析　对于A，取DD1的中点M，连接AM，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影， ∵AM与DD1不垂直，∴AF与DD1不垂直，故A错误； 对于B，取B1C1的中点N，连接A1N，GN， 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1N∥AE，NG∥EF， A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF， 所以A1N∥平面AEF，同理可证NG∥平面AEF， A1N∩NG＝N，所以平面A1GN∥平面AEF， A1G⊂平面A1GN，所以A1G∥平面AEF，故B正确； 对于C，假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于H，而H不是CG的中点， 则假设不成立，故C错误； 对于D，连接AD1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD1∥EF， 把截面AEF补形为四边形AEFD1， 由等腰梯形计算其面积S＝，故D正确． 14．(5分)空间四边形ABCD的四条边及两条对角线的长均为1，则点A到平面BCD的距离为____________． 答案　 解析　设点A′是点A在平面BCD上的射影，分别连接A′B，A′C，A′D， 因为AB＝AC＝AD， 所以它们在平面BCD上的射影A′B，A′C，A′D也都相等， 所以点A′是△BCD的外心． 因为BC＝1，所以△BCD的高为， 所以A′D＝， 在Rt△AA′D中，AA′＝＝， 即点A到平面BCD的距离为. 15．(5分)如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ABC＝60°，PA＝AB＝2，PA⊥平面ABCD.若PC⊥BD，则AD＝________，该四棱锥的体积为________． 答案　2　 解析　∵PA⊥平面ABCD，且BD⊥PC， 由三垂线定理的逆定理知，BD⊥AC. 又四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD为菱形， ∴AD＝AB＝2， ∴S四边形ABCD＝2S△ABC＝2， ∴VP－ABCD＝×2×2＝. 16．(12分)如图，四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝. (1)求证：AO⊥平面BCD；(4分) (2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值；(4分) (3)求点E到平面ACD的距离．(4分) (1)证明　如图，连接OC， ∵BO＝DO，AB＝AD， ∴AO⊥BD. ∵BO＝DO，BC＝CD， ∴CO⊥BD. 在△AOC中，由题设知AO＝1，CO＝，AC＝2， ∴AO2＋CO2＝AC2， ∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC. ∵AO⊥BD，BD∩OC＝O， ∴AO⊥平面BCD. (2)解　取AC的中点M，连接OM，ME，OE， 由E为BC的中点，知ME∥AB，OE∥DC， ∴直线OE与EM所成的角就是异面直线AB与CD所成的角， 在△OME中，EM＝AB＝，OE＝DC＝1， ∵OM是Rt△AOC斜边AC上的中线， ∴OM＝AC＝1， ∴cos∠OEM＝＝＝， ∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为. (3)解　设点E到平面ACD的距离为h. ∵VE－ACD＝VA－CDE， ∴h·S△ACD＝·AO·S△CDE. 在△ACD中，CA＝CD＝2，AD＝， ∴S△ACD＝××＝， ∵AO＝1，S△CDE＝××22＝， ∴h＝＝＝， ∴点E到平面ACD的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $