1.1.3.2 空间直角坐标系及空间向量坐标的应用-【新课程学案】2026-2027学年高中选择性必修第一册教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦空间直角坐标系及空间向量坐标的应用，系统梳理坐标系建立、点坐标确定、卦限符号、距离与中点公式等基础内容，逐步过渡到空间向量坐标表示及几何问题解决，构建从基础到应用的学习支架。 该资料采用梯度进阶式教学，通过“微点助解”提供建系技巧，题型分类（如三棱柱顶点坐标确定、直三棱柱垂直证明）与思维建模总结方法，培养学生数学眼光（空间结构观察）、数学思维（逻辑推理）和数学语言（坐标表达）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过检测查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　空间直角坐标系及空间向量坐标的应用　 　　　　　　　　[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解空间直角坐标系的建系方式,能在空间直角坐标系中求出点的坐标. 2.掌握空间两点间的距离公式及中点坐标公式,并能掌握空间向量坐标的简单应用. 1.空间直角坐标系的建立 在空间中任意选定一点O作为坐标原点,选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy,然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴.这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz. (1)x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的,它们都称为坐标轴. (2)通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面,分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面. (3)画空间直角坐标系Oxyz时,一般把x轴、y轴画成水平放置,x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°),z轴与 y轴(或x轴)垂直. 2.空间点的坐标 在空间直角坐标系中,点M的坐标为(x,y,z).此时,x,y,z都称为点M的坐标分量,且x称为点M的横坐标(或x坐标),y称为点M的纵坐标(或y坐标),z称为点M的竖坐标(或z坐标). 3.卦限及各卦限内的符号 在空间直角坐标系中,三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成八个部分,每一部分都称为一个卦限.各卦限的点(x,y,z)的坐标符号为第Ⅰ卦限(+,+,+),第Ⅱ卦限(-,+,+),第Ⅲ卦限(-,-,+),第Ⅳ卦限(+,-,+),第Ⅴ卦限(+,+,-),第Ⅵ卦限(-,+,-),第Ⅶ卦限(-,-,-),第Ⅷ卦限(+,-,-). |微|点|助|解| (1)基向量:|i|=|j|=|k|=1,i·j=i·k=j·k=0. (2)在水平面xOy中,x轴逆时针旋转90°为y轴. (3)建系的要求:使尽可能多的点落在坐标轴或坐标平面上,充分利用几何图形的对称性. (4)坐标原点选择的不同,会导致点的坐标不同,但不会影响结果. 4.空间直角坐标系中的坐标公式 在空间直角坐标系中,设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2). (1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1). (2)两点之间的距离公式:AB=|| =. (3)中点坐标公式:M为线段AB的中点,则M的坐标为. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)在空间直角坐标系Oxyz中,x轴上的点的坐标一定可以写成(0,y,z)的形式. (　　) (2)在空间直角坐标系Oxyz中,yOz平面内的点的坐标一定可以写成(0,y,z)的形式. (　　) (3)在空间直角坐标系Oxyz中,z轴上的点的坐标可以写成(0,0,z)的形式. (　　) (4)在空间直角坐标系Oxyz中,zOx平面内的点的坐标一定可以写成(x,0,z)的形式. (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2.(多选)在空间直角坐标系Oxyz中,下列说法不正确的是 (　　) A.向量的坐标与点B的坐标相同 B.向量的坐标与点A的坐标相同 C.向量与向量的坐标相同 D.向量与向量-的坐标相同 解析:选ABC　因为A点不一定为坐标原点,所以A不正确;同理B、C都不正确;由于=-,所以D正确. 3.已知M(-1,0,2)为空间直角坐标系中的一点,O为坐标原点,则OM的长等于　　　　.  解析:OM=||==. 答案: 题型(一)　确定空间任一点的坐标 [例1]　已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,所有的棱长都是1,试建立适当的空间直角坐标系,并写出各顶点的坐标. 解:如图所示,取AC的中点O和A1C1的中点O1,连接BO,OO1,可得BO⊥AC,OO1⊥AC,分别以OB,OC,OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. ∵三棱柱各棱长均为1, ∴OA=OC=O1A1=O1C1=,OB=. ∵A,B,C均在坐标轴上,∴A,B,C.∵点A1与C1在yOz平面内,∴A1,C1.∵点B1在xOy平面内的射影为B,且BB1=1,∴B1,即该三棱柱各顶点的坐标为A,B,C,A1,B1,C1. |思|维|建|模| 1.建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上. (2)充分利用几何图形的对称性. 2.求某点P的坐标的方法 一般先找到点P在xOy平面上的射影M,过点M向x轴作垂线,确定垂足N,其中|ON|,|NM|,|MP|即为点P坐标的绝对值,再按O→N→M→P确定相应坐标的符号(与坐标轴同向为正,反向为负),即可得到相应的点P的坐标. 　　[针对训练] 1.(多选)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=4,AA1=3,以直线DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,则下列结论正确的是 (　　) A.点B1的坐标为(3,5,4) B.点C1关于点B对称的点为(8,5,-3) C.点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3) D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0) 解析:选BCD　易知点B1的坐标为(4,5,3),故A错误;由C1(0,5,3),B(4,5,0),设点C1关于点B对称的点为P(x,y,z),则=4,=5,=0,解得x=8,y=5,z=-3,故P(8,5,-3),故B正确;在长方体中,AD1=BC1==5=AB,所以四边形ABC1D1为正方形,AC1与BD1垂直且平分,即点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3),故C正确;因为CB⊥平面ABB1A1,故点C(0,5,0)关于平面ABB1A1对称的点为(0+2×4,5,0),即(8,5,0),故D正确. 题型(二)　空间向量的坐标表示 [例2]　如图,在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,G分别为棱DD',D'C',BC的中点,建立适当的空间直角坐标系,求下列向量的坐标. (1),,; (2),,. 解:以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AA'为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz, ∴A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),C'(1,1,1),D'(0,1,1),由中点坐标公式得E,F,G. (1)=,=,=.(答案不唯一) (2)=,=,=.(答案不唯一) 　　[变式拓展] 　本例中,若以{,,}为基底,试写出,,的坐标. 解:以点D为原点,DA,DC,DD'分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(图略), ∵A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A'(1,0,1),B'(1,1,1),C'(0,1,1),D'(0,0,1), ∴E,F,G,∴=,=,=. 　　|思|维|建|模|　用坐标表示空间向量的步骤 　　[针对训练] 2.设正四棱锥S-P1P2P3P4的所有棱长均为2,建立适当的空间直角坐标系,求,的坐标. 解:如图所示,建立空间直角坐标系,其中O为底面正方形的中心,P1P2⊥y轴,P1P4⊥x轴,SO在z轴上.∵P1P2=2,而P1,P2,P3,P4均在xOy平面上,∴P1(1,1,0),P2(-1,1,0).在xOy平面内,P3与P1关于原点O对称,P4与P2关于原点O对称,∴P3(-1,-1,0),P4(1,-1,0).又SP1=2,OP1=, ∴在Rt△SOP1中,SO=,∴S(0,0,). ∴=-=(1,1,-), =-=(0,-2,0).(答案不唯一) 题型(三)　利用空间向量的坐标解决几何问题 [例3]　如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,线段BB1,A1C1,BC的中点分别为D,E,F.已知AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=2. (1)求证:A1F⊥DE; (2)求sin<,>. 解:(1)证明:由题意易知AB,AC,AA1两两相互垂直,以A为坐标原点,,,分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系. 则A1(0,0,2),C1(4,0,2),D(0,2,1),E(2,0,2),F(2,1,0). 因为=(2,1,-2),=(2,-2,1), 所以·=2×2+1×(-2)+(-2)×1=0,因此A1F⊥DE. (2)由(1)知=(2,-2,1),=(-2,1,-2), 则||==3, ||==3, 可得cos<,>= ==-, 所以sin<,>==. |思|维|建|模| 　　解决此类问题的关键是建立空间直角坐标系,即通过分析几何体的几何特征,建立适当的空间直角坐标系,使尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内,准确地写出各点的坐标,利用向量的运算性质求解. 　　[针对训练] 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱D1D的中点,P,Q分别为线段B1D1,BD上的点,且3=,若PQ⊥AE,=λ,求λ的值. 解:如图所示,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),E, B(1,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1),由题意,可设点P的坐标为(a,a,1),因为3=,所以3(a-1,a-1,0)=(-a,-a,0),所以3a-3=-a,解得a=,所以点P的坐标为. 由题意可设点Q的坐标为(b,b,0),因为·=0, 所以·=0, 即--=0,解得b=, 所以点Q的坐标为. 因为=λ,所以(-1,-1,0)=λ.所以=-1,故λ=-4. [课时检测] 1.在空间直角坐标系Oxyz中,点M(x,y,2 024)(x∈R,y∈R)构成的集合是 (　　) A.一条直线 B.平行于平面xOy的平面 C.两条直线 D.平行于平面zOx的平面 解析:选B　由题意知,点M在平面xOy的上方,且距平面xOy的距离始终为2 024,故选B. 2.如图,在空间直角坐标系中有四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=2,E为PD的中点,则||= (　　) A.2 B. C. D.2 解析:选C　由题意可得B(2,0,0),E(0,1,1),则=(-2,1,1),||=. 3.已知点A(1,1,-3),B(3,1,-1),则线段AB的中点M关于平面yOz对称的点的坐标为 (　　) A.(-2,1,-2) B.(2,1,-2) C.(2,-1,-2) D.(2,1,2) 解析:选A　∵点A(1,1,-3),B(3,1,-1),∴线段AB的中点M(2,1,-2),∴点M关于平面yOz对称的点的坐标为(-2,1,-2).故选A. 4.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是 (　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析:选C　因为=(3,4,-8),=(2,-3,1),=(5,1,-7),·=10-3-7=0,∴BC⊥AC,而||=,||=5,所以△ABC是直角三角形. 5.已知=(1,2,3),=(a,b,b-2),若点A,B,C共线,则||= (　　) A. B.2 C.3 D.9 解析:选C　因为点A,B,C共线,所以与共线,所以==,解得a=-2,b=-4,故=(-2,-4,-6),=-=(-3,-6,-9),||==3. 6.已知点A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则A,B两点的距离的最小值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　因为点A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),所以=(1+t,2t-1,0),所以||2=(1+t)2+(2t-1)2+0=5t2-2t+2,易知当t=时,||2取得最小值,即A,B两点的距离的最小值为. 7.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为 (　　) A.7 B.7 C. D. 解析:选B　因为A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),所以=(-2,-1,3),=(1,-3,2),所以||=,||=,所以cos∠BAC===,所以∠BAC=60°,平行四边形面积为2S△ABC,在△ABC中由正弦定理得S△ABC=||×||×sin∠BAC,设平行四边形的面积为S,所以S=××sin 60°=7. 8.“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型,图①是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体,其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱,两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点,另外两条相对的侧棱交于一点(该点为所在棱的中点).若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2,高为4的正四棱柱构成,在其直观图中建立如图②所示的空间直角坐标系,则 (　　) A.GE=2 B.点C的坐标为(-2,2,2) C.O,E,F,A四点共面 D.直线CE与直线DG所成角的余弦值为 解析:选C　依题意,正方形ABCD的对角线BD=2,ED=,则G(2,2,2),E(0,2,3),A(0,4,2),F(0,2,),D(-1,3,3),B(-1,3,).对于A,GE==,A错误;对于B,由==(-1,-1,-),得C(-2,2,2),B错误;对于C,=(0,4,2),=(0,2,3),=(0,2,),于是=2,又O为三个向量的公共起点,因此O,E,F,A四点共面,C正确;对于D,=(2,0,),=(3,-1,-),cos<,>===,直线CE与直线DG所成角的余弦值为,D错误.故选C. 9.(5分)已知点M(1,0,2),N(-1,1,0),=2,则点P的坐标为　　　　.  解析:点M(1,0,2),N(-1,1,0),则=(-2,1,-2),设点P(x,y,z),则=(x-1,y,z-2),由=2,得解得所以点P的坐标为. 答案: 10.(5分)在空间直角坐标系Oxyz中,点M(1,0,3),N(0,2,0),点P在xOz平面内,且PM=PN,请写出一个满足条件的点P的坐标:　　　　.  解析:设P(x,0,z),由PM=PN, 得 =, 化简得x+3z=3. 答案:(0,0,1)(答案不唯一,符合(x,0,z),x+3z=3即可) 11.(5分)如图,在空间直角坐标系中,BC=2,原点O是BC的中点.点D在平面yOz上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°,则点D的坐标为　　　　　.  解析:过点D作DE⊥BC,垂足为E(图略),在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2, 得BD=1,CD=,所以DE=CDsin 30°=,OE=OB-BE=OB-BDcos 60°=1-=.所以点D的坐标为. 答案: 12.(5分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动,则直线D1E与A1D所成角的大小为　　　,若D1E⊥EC,则AE=　　　　.  解析:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.又AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动. 则D(0,0,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),A1(1,0,1),C(0,2,0),设E(1,m,0),0≤m≤2, 则=(1,m,-1),=(-1,0,-1), ∴·=-1+0+1=0, ∴直线D1E与A1D所成角的大小为90°. ∵=(-1,2-m,0),D1E⊥EC, ∴·=-1+m(2-m)+0=0, 解得m=1,∴AE=1. 答案:90°　1 13.(10分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,E为棱C1C的中点,已知AB=,BB1=2,BC=1,∠BCC1=.试建立合适的空间直角坐标系,求出图中所有点的坐标. 解:在平面BB1C1C上过B点作垂直BB1的直线,与CC1相交于点D,如图所示,AB⊥平面BB1C1C,BD⊂平面BB1C1C,BB1⊂平面BB1C1C,∴AB⊥BD,AB⊥BB1.又∵BB1⊥BD,∴BD,BB1,BA两两垂直,以B为原点,分别以BD,BB1,BA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系. AB=,BB1=2,BC=1,∠BCC1=,则CD=,BD=,∴A(0,0,),B(0,0,0),C,A1(0,2,),B1(0,2,0),C1,E为棱CC1的中点,则有E. 14.(10分)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,AB⊥AD,AA1=AB=2AD=2CD=4,E,F,G分别为棱DD1,A1D1,BB1的中点,建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求·的值;(5分) (2)求证:C,E,F,G四点共面.(5分) 解:(1)∵AA1=AB=2AD=2CD=4, ∴C(2,0,2),E(2,2,0),F(1,4,0),G(0,2,4), ∴=(-2,2,2),=(-1,2,0), ∴·=-2×(-1)+2×2+0=6. (2)证明:由(1)得=(0,2,-2), 令=m+n,即解得∴=-+2. 故C,E,F,G四点共面. 15.(15分)如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,E,F分别是PC,PD的中点,PA=AB=1,BC=2. (1)求B,F两点间的距离;(5分) (2)求证:EF∥平面PAB;(5分) (3)求证:平面PAD⊥平面PDC.(5分) 解:(1)由题可知,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD, 以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1), 所以E,F,=,||=,即B,F两点间的距离为. (2)证明:由(1)知,=,=(1,0,0), 所以=-,即∥,即EF∥AB, 又AB⊂平面PAB,EF⊄平面PAB, 所以EF∥平面PAB. (3)证明:由(1)知,=(0,0,1),=(0,2,0),=(1,0,0),所以·=(0,0,1)·(1,0,0)=0,·=(0,2,0)·(1,0,0)=0, 则⊥,⊥,即AP⊥DC,AD⊥DC, 又AP∩AD=A,且AP,AD⊂平面PAD, 所以DC⊥平面PAD. 又DC⊂平面PDC, 所以平面PAD⊥平面PDC. 学科网（北京）股份有限公司 $