1.2.2 空间中的平面与空间向量(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

该高中数学导学案聚焦“空间中的平面与空间向量”，核心内容包括平面法向量的概念、线面及面面垂直平行关系的向量表示，以及三垂线定理的应用。课堂导入结合牌楼建筑实例，通过柱子与地面垂直、下边线与柱子垂直推证线面平行的问题，衔接空间直线与向量的前期知识，搭建从具体情境到抽象概念的学习支架。 资料特色在于情境导入贴近生活，以问题链驱动探究，如“柱子方向向量是否为地面法向量”等引导思考。设置自我诊断、典例研析及跟踪训练，分层落实知识应用，培养学生数学抽象（法向量定义）、逻辑推理（定理证明）和数学运算（法向量计算）素养，助力学生从直观感知过渡到向量工具的灵活运用，提升空间观念与解决问题能力。

1.2.2　空间中的平面与空间向量 课标 要求 1.能用向量语言描述平面，理解平面的法向量（数学抽象）． 2.能用向量语言表述线面、面面的垂直与平行关系（数学运算）． 3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）（逻辑推理）． 　　牌楼，与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝．在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃等几种，多设于要道口．牌楼中有一种柱门形结构，一般较高大．如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线l与柱子所在的直线l1垂直，我们就能知道下边线l与地面α平行． 【问题】　（1）柱子所在直线的方向向量是否可认为是地面α的法向量？ （2）能否用空间向量表示这一线面位置关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　平面的法向量 定义：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α　　　　，则称n为平面α的一个法向量，记作　　　　． 提醒：一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行． 知识点二　空间平行、垂直关系的向量表示 1.直线与平面位置关系的判断 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则：当　　　　时，l与α垂直；当　　　　时，l与α平行，或者l在α内． 2.平面与平面位置关系的判断 如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则：当　　　　时，α1与α2垂直；当　　　　时，α1与α2平行，或者α1与α2重合． 【想一想】 已知v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，如果n⊥v，那么直线l一定与平面α平行吗？ 知识点三　三垂线定理及其逆定理 1.三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直． 2.三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 【想一想】 1.定理中的已知直线是已知平面内的直线吗？ 2.若直线l是平面α外的一条直线，直线m垂直于l在平面α内的投影，l与m垂直吗？ 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则•n=0.（　　） （2）若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．（　　） （3）若两个平面平行，则这两个平面的法向量一定平行．（　　） （4）直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．（　　） 2.设平面α的法向量为（1，2，－2），平面β的法向量为（－2，－4，k），若α∥β，则k=（　　） A．2 B．－4 C．4　　 D．－2 3.若直线l的方向向量a=（1，0，2），平面α的法向量为n=（－2，0，－4），则（　　） A．l∥α　　 B．l⊥α C．l⊂α　　 D．l与α斜交 4.〔多选〕如图PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系正确的是（　　） A．PA⊥BC　　 B．BC⊥平面PAC C．AC⊥PB　　 D．PC⊥BC 题型一　平面法向量的求法 如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，试建立适当的坐标系． （1）求平面ABCD的一个法向量； （2）求平面SAB的一个法向量； （3）求平面SCD的一个法向量． 尝试解答 规律方法 利用待定系数法求法向量的步骤 　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD=2，PD⊥底面ABCD，且PD=AD，求平面PAB的一个法向量． 题型二　利用法向量证明空间中的位置关系 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．证明： （1）C1M∥平面ADE； （2）平面ADE⊥平面A1D1F． 尝试解答 【母题探究】 （变条件，变设问）在本例中设D1B1的中点为N，其他条件不变．试证：EN⊥平面B1AC．　 规律方法 利用向量法证明空间线面位置关系的思路 （1）线面平行：设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a•u=0； （2）面面平行：若能求出平面α，β的法向量u，v，则要证明α∥β，只需证明u∥v； （3）线面垂直：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，则要证明l⊥α，只需证明a∥u即可； （4）面面垂直：①证明两平面的法向量垂直；②证明一个平面的法向量平行于另一个平面． （2026•六安期中）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．求证： （1）BM∥平面ADEF； （2）BC⊥平面BDE． 题型三　三垂线定理及逆定理的应用 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心．求证：B1O⊥PA． 尝试解答 规律方法 利用三垂线定理证明垂直的步骤 （1）找平面（基准面）及平面的垂线； （2）找射影线（平面上的直线与斜线在平面上的射影线）； （3）证明射影线与直线垂直，从而得线线垂直，更进一步证明线面垂直或面面垂直． 　如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C． 1.已知u=（3，a＋b，a－b）（a，b∈R）是直线l的方向向量，n=（1，2，3）是平面α的法向量，若l⊥α，则a＋2b=（　　） A．　　　 B．－　　 C．6　　　 D． 2.两个不重合的平面α与平面ABC，若平面α的法向量为n=（2，－3，1），=（1，0，－2），=（1，1，1），则（　　） A．平面α∥平面ABC B．平面α⊥平面ABC C．平面α、平面ABC相交但不垂直 D．以上均有可能 3.已知平面α的一个法向量为（3λ，6，λ＋6），平面β的一个法向量为（λ＋1，3，2λ），若α∥β，则λ=　　　　． 4.如图，在四棱锥A1－BCDE中，A1E⊥平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，EB∥DC，DE⊥EB，EB=ED=1，DC=2，△A1ED为等腰直角三角形，点F在棱A1C上，若点P为DB的中点，且PF∥平面A1ED，则点F的坐标为　　　　． 完成课后作业　第一章　1.2　1.2.2 答案 1.2.2　空间中的平面与空间向量 【基础落实】 新知初探 知识点一 垂直　n⊥α 知识点二 1.n∥v　n⊥v 2.n1⊥n2　n1∥n2 想一想 提示：不一定．也可能l⊂α． 知识点三 想一想 1.提示：一定是． 2.提示：不一定．若直线m在平面α外，例如m⊥α，尽管m垂直于直线l在平面α内的投影，也不能得出m⊥l． 自我诊断 1.（1）√　（2）×　（3）√　（4）√ 2.C　3.B 4.ABD　由题意有，PA⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，故A对；∵AC⊥BC，且PA⋂AC=A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，故B对；由AC⊥BC，有三垂线定理可得BC⊥PC，故D对；若AC⊥PB，因为AC⊥BC，可得AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与已知矛盾，故C错． 【典例研析】 【例 1】　解：以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（，0，0），S（0，0，1）． （1）∵SA⊥平面ABCD，∴=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量． （2）∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB， ∴=（，0，0）是平面SAB的一个法向量． （3）在平面SCD中，=（，1，0），=（1，1，－1）． 设平面SCD的法向量是n=（x，y，z），则n⊥，n⊥，∴ 得方程组∴ 令y=－1，则z=1，x=2， ∴n=（2，－1，1）． ∴n=（2，－1，1）是平面SCD的一个法向量． 跟踪训练 解：∵∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=AD， 从而BD2＋AD2=AB2，故BD⊥AD，以D点为坐标原点，射线DA，DB，DP为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，1）． ∴=（－1，，0），=（0，，－1），设平面PAB的法向量为n=（x，y，z）， 则即即因此可取n=（，1，）． ∴平面PAB的一个法向量为（，1，）． 【例 2】　证明：（1）以D为原点，向量，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为1. 则D（0，0，0），A（1，0，0），E（1，1，），C1（0，1，1），M（1，0，），=（1，0，0），=（1，1，），=（1，－1，－）． 设平面ADE的法向量为m=（a，b，c）， 则⇒ 令c=2，得m=（0，－1，2）， ∵m•=（0，－1，2）•（1，－1，－）=0＋1－1=0， ∴⊥m． 又C1M⊄平面ADE， ∴C1M∥平面ADE． （2）由D1（0，0，1），A1（1，0，1），F（0，，0）， 得=（1，0，0），=（0，，－1）， 设平面A1D1F的法向量为n=（x，y，z）， 则⇒ 令y=2，则n=（0，2，1）． ∵m•n=（0，－1，2）•（0，2，1）=0－2＋2=0， ∴m⊥n．∴平面ADE⊥平面A1D1F． 母题探究 证明：如例题建系，E（1，1，），N（，，1），A（1，0，0），B1（1，1，1），C（0，1，0）． ∴=（－，－，），=（0，1，1）， =（－1，1，0）， ∴•=0，•=0， ∴⊥，⊥，即EN⊥AB1，EN⊥AC． 又AB1⋂AC=A，∴EN⊥平面B1AC． 跟踪训练 证明：（1）根据题意可知平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF⋂平面ABCD=AD， 又四边形ADEF是正方形，所以AD⊥ED．因为ED⊂平面ADEF，所以ED⊥平面ABCD，从而可得DA，DC，DE两两垂直． 以D为原点，以，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，2），F（2，0，2）． 又M为CE的中点，所以M（0，2，1），则=（－2，0，1），且易知平面ADEF的一个法向量为n=（0，1，0）， 因为n•=0，所以n⊥． 又BM⊄平面ADEF，所以BM∥平面ADEF． （2）由（1）可得=（－2，2，0），=（2，2，0），=（0，0，2）， 所以•=－4＋4=0，•=0，所以BC⊥DB，BC⊥DE． 又DB⋂DE=D，DB，DE⊂平面BDE，所以BC⊥平面BDE． 【例 3】　证明：如图，可知PA是平面BB1D1D的一条斜线段，B1O是平面BB1D1D内的一条线段． 由条件可知，AO⊥平面BB1D1D，连接PO，则PO为PA在平面BB1D1D内的射影．连接B1P，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则B1D1=，D1P=，DP=，DO=，BO=，BB1=1，∴B1P=，PO=，B1O=，∴PO2＋B1O2=B1P2，∴PO⊥B1O．根据三垂线定理可得B1O⊥AP． 跟踪训练 证明：连接BD，A1B，∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD． 又DD1⊥平面ABCD， ∴BD是斜线BD1在平面ABCD上的射影， ∴BD1⊥AC，而A1B是BD1在平面ABB1A1内的射影， ∴BD1⊥AB1. 又AB1⋂AC=A，∴BD1⊥平面AB1C． 随堂检测 1.D　因为u=（3，a＋b，a－b）（a，b∈R）是直线l的方向向量，n=（1，2，3）是平面α的法向量，且l⊥α，则u∥n，则==，所以解得a=，b=－，因此，a＋2b=＋2×（－）=． 2.A　设平面ABC的法向量为m=（x，y，z），则设z=1，则x=2，y=－3，即m=（2，－3，1），由n=m，得平面α∥平面ABC．故选A． 3.2　解析：∵α∥β，∴==，解得λ=2. 4.（，，）　解析：结合已知条件和题图可知，A1（0，0，1），E（0，0，0），D（0，1，0），B（1，0，0），C（2，1，0），P（，，0），不妨设F（x0，y0，z0），因为点F在棱A1C上，所以=λ，λ∈［0，1］，解得x0=2λ，y0=λ，z0=1－λ，所以F（2λ，λ，1－λ），从而=（2λ－，λ－，1－λ），又易知=（1，0，0）为平面A1ED的一个法向量，故•=2λ－=0，解得λ=∈［0，1］，从而点F的坐标为（，，）． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $