1.1.1 空间向量及其运算-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

参考答案。 N参考答案 学习手册参考答案 第一章空间向量与立体几何 "1.1空间向量及其运算 NCI-NCCC'-2BCMA-ADAA-6d. 11.1空间向量及其运算 NCi-a be e 要点精析 例4解：(1)正四面体的棱长为1，则10A=0B=1 例1D【解析】向量是有向线段，不能比较大小，故 △OAB为等边三角形，∠AOB=60°， A为真命题；两向量相等，则方向相同，模长相等，起 点相同，则终点也相同，故B为真命题：模为0的向量 OA'.OB =10A'llOB lcos(OA',OB) 为零向量，故C为真命题；共线的单位向量是相等向量 -0OosB-x1 或相反向量，故D为假命题.故选D. (2)由于E,F分别是OA,0C的中点，EFL 例2解：(1)与向量AB是相等向量的（除它自身之 外)有AB,DC及DC (2)向量AA的相反向量为A4,B,B,CC,D,D ..EF.CB=EF IICB lcos(EF,CB) (3)ACTVIABP+ADP+AA P =aci-oEicosaC,cd =V22+2+1平=V9=3. =号kIxIxc0s(4C,c） 变式训练1ABC【解析】对于A,有b=-2a,所以a与 b是平行向量：对于B,有d=-3c,所以d与c是平行向 xxlxcox120 4 量；对于C,f是零向量，与e是平行向量；对于D,不 (3)(0A+0B)·(CA+CB) 满足g=Ah,所以g与h不是平行向量，故选A,B,C. =(0A+0B)·(0A-0C+0B-0C) 例3(I)B【解析】若AB的中点为D,则CN=CD+ =(0A+0B)·(0A+0B-20C) DN=)(a+b+c),故选B. =0A'+0A.0B-20A.0C+0B.0A+0B-20B.0C (2)解：①AA-CB=AA-DA=AA+AD=AD =+号-23+7+1-2x31 2AA+AB+BC-(AAAB)+BC-AB+BC-AC 变式训练3 在图中标出略. 变式训练2解：(I)P是CD,的中点，AP=AA+ 解：：M=MB+BC+C=冬A店+(AC-A店)+ A.D+DP-atAD+3D.C-ate+3AB-atc+3b. }a0-aC)=-}E+}aD+号4C, (2)N是BC的中点，AN=AA+AB+BN=-a+b+ .iB+兮D+Cgga. 2BC--a+b:2AD--atb+3c. AB+号AC.Ad-号ABAC+)AD+号AC=) (3)是M的中点，证丽+号+马号名+号放iV丽 AF--atatea bse. 21 高中数学选择性必修第一册人教B版 变式训练4解：在△AOB及△BOC中，易知BE=OH= 由共面向量定理得EC,EF,EH共面，E,F, 5.又E=2o-0i,oM}(o丽+0C).BE: G,H四点共面. 2 om=4o.oi+4oi.oC-20io呢.oC-=4× 例2证明：设AB=a,AD=b,AA=c A店2D,A产-号元， 分+4×37-3×分=3os(BE,0丽)= ∴AE-AD,AF-AC, 丽严-子又：异面直线所成角的范围为0、号引 IBE HIOHI :AE=2AD=2五，AF=2(AC-AA 放异面直线0H与BE所成角的余弦值为号 =号aB+i-M-号+6-号c 数学文化 F-F-正号-b号号a号 B【解析】由题设可得示意图如图所示， D 又EB-BA+A+M店=-子b-c+a=a-子b-c, A EF=号BB.,E,R,B三点共线 变式训练2解：(1)FE=FD+DE,而FD=-DF= 例题答图 -3DC=-}c,DE=2(D+D成)=2(ab),F2=a+ AC=AC+CC=AD+AB+AA.又：以A为端点的 三条棱长均为1，且彼此的夹角都是60°，AC=AD2+ 2b-3e "3c. AB+AA2+2AD.AB+2AB.AA+2AD·AA=6,即IAC= 2)ma*b-3c-4+4+g+2a V6.故选B. 1.1.2空间向量基本定理 4 9 要点精析 43x3gx3xx号2，屁35 2 例1解：(1)易知0A+0B+0C=30M, 例3解：(1)假设a+b,b+c,c+a共面， .:0A-0M=(0M-0B)+(0M-0C, 则存在实数入，：使得a+b=入(b+c)+u(c+a), .MA'-BM+CM=-MB-MC .a+b=入b+a+(入+u)c. 1, .向量MA,MB,MC共面. {a,b,c}为基底，a,b,c不共面..1=A, (2)由(1)知向量MA,MB,MC共面，三个向 0=入+. 量有公共点M,M,A,B,C共面，即点M在平面 此方程组无解， ABC内. a+b,b+c,c+a不共面. 变式训练1证明：E,F,G,H分别是所在三角形的 .{a+b,b+c,c+a可以作为空间的一个基底。 重心，M,N,Q,R为所在边的中点。 (2)A=AB+B=A店+2BC 顺次连接M,W,Q,R,所得四边形为平行四边形， 且有P呢=PM,P㎡-PN,PG-P,m=pR, =A店+号(B+nC :四边形MNQR为平行四边形， =正+B丽+}aC-AG BC--p店-号P同-子pM-号M0-号(M -b+1a+1(c-b) 2 2 =子-pi+号(P尿-p 号（㎡E+mm)-+, 22第一章空间向量与立体几何。 第一章 空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其运算 5.单位向量：模等于1的向量称为单位 学习目标 向量 1.了解空间向量、向量的模、零向量、 6.相等向量：大小相等、方向相同的向 相反向量、相等向量、共面向量等概念， 量称为相等向量， 2.会用平行四边形法则、三角形法则作 7.相反向量：与向量4长度相等而方向 出向量的和与差，掌握向量加法、数乘向量 相反的向量，称为a的相反向量，记为-a. 运算的意义及运算律 AB的相反向量为BA: 3.掌握两个向量数量积的概念、性质及 8.平行向量：方向相同或者相反的两个 运算律 非零向量互相平行，此时表示这两个非零向 要点精析 量的有向线段所在的直线平行或重合.通常 规定零向量与任意向量平行. 川要点1空间向量的概念 9.共面向量：一般地，空间中的多个向 量，如果表示它们的有向线段通过平移后， 1.定义：空间中既有大小又有方向的量 都能在同一平面内，则称这些向量共面 称为空间向量， 思考空间中任意两个向量是否一定 2.模（或长度）：向量的大小 能够平移到同一个平面内？ 3.表示方法 例1下列命题中，假命题是() (1)几何表示法：可以用有向线段来直 A.同平面向量一样，任意两个空间向 观地表示向量，如始点为A终点为B的向 量都不能比较大小 量，记为AB,模为AB1: B.两个相等的向量，若起点相同，则终 (2)字母表示法：可以用字母a,b,c 点也相同 表示，模为ladl,bl,lcl, C.只有零向量的模等于0 4.零向量：始点和终点相同的向量称为 D.共线的单位向量都相等 零向量，记作0. 高中数学选择性必修第一册人教B版 例2如图1-1-1所示， a,b,作AB=a,AD=b,以向量AB,AD为 以长方体ABCD-ABCD1的 D--- 邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向 八个顶点中的两点为始点和 量AC为向量a,b的和向量. 终点的向量中： 图1-1-1 3.多边形法则：已知n个向量，依次把 (1)试写出与AB是相等向量的所有向量； 这个向量首尾相连，以第一个向量的始点 (2)试写出AA1的相反向量； 为始点，第n个向量的终点为终点的向量称 (3)若AB=AD=2,AA=1,求向量AC 为这n个向量的和向量 的模 4.向量加法运算律 交换律：a+b=b+a; 结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 思考能否借助空间图形说明加法结 合律的合理性？ 例3(1)如图1-1-2(A)所示，在 反思感悟 三棱柱ABC-AB,C,中，N是AB的中点，若 两个向量的模相等，则它们的长度相等， CA =a,CB=b,CC =c,CN=() 但方向不确定，即两个向量（非零向量）的 A.2 (asb-e) B.2(a+b+c) 模相等是两个向量相等的必要不充分条件， D.a+】(b+c) B变式训练① (多选题)下列各组向量中，是平行向 量的是( ) A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4) B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0) 图1-1-2(A) 图1-1-2(B) C.e=(2,3,0),f=(0,0,0) (2)如图1-1-2(B)所示，已知长方 D.g=(-2,3,5),h=(16,-24,40) 体ABCD-A'BCD',化简下列向量表达式， 川要点2空间向量的线性运算 并在图中标出化简结果的向量. ①AA-CB; 1.三角形法则：一般地，空间中给定两 个向量a,b,在该空间中任取一点A,作 ②AA+AB+B'C AB=a,BC-b,再作向量AC,则向量AC称 为向量a与b的和（或和向量）： 2.平行四边形法则：已知不共线的向量 第一章空间向量与立体几何。 (5)ab=b·a(交换律)· 变式训练② (6)(a+b)c=a·c+b·c（分配律). 如图1-1-3所示，在 D 例4如图1-1-4所示，已知正四面体 平行六面体ABCD-ABCD1 A1日 O-ABC的棱长为1，点E,F分别是OA, 中，设AA1=a,AB=b, MY OC的中点.求下列向量的数量积： D AD=c,M,N,P分别是 (1)0A.0B; AA1,BC,CD1的中点， 图1-1-3 (2)EF.CB; 试用a,b,c表示以下各向量： (3)(OA+0B)(CA+CB).图1-1-4 (1)AP;(2)AN;(3)MP+NC 分析根据数量积的定义进行计算， 求出每组向量中每个向量的模以及两向量 的夹角，要结合正四面体的特征 川要点3数量积的运算及应用 变式训练3 1.空间向量数量积的定义 在正四面体ABCD中，棱长为a,M,N 已知两个非零向量a,b,则allblcos(a,b)》 称为a,b的数量积（或内积），记作ab. 分别是棱AB,CD上的点，且MB=2AM1, 2.数量积的几何意义 C=D,求MN的值。 a与b的数量积等于a在b上的投影a 的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单 位向量e的数量积等于a在e上的投影a'的 数量.规定零向量与任意向量的数量积为0 3.空间向量数量积的性质 (1)a⊥b→a·b=0: (2）a·a=lalP-2. (3)la·bl≤lallbl.. (4)(λa)·b=入(ab). 学(3 高中数学选择性必修第一册人教B版 变式训练4 数学文化 在例4中，若H为BC中点，求异面直 例晶胞是能完整反映晶体内部原子或 线OH与BE所成角的余弦值. 离子在三维空间分布之化学-结构特征的平 行六面体单元.整块晶体可以看成是无数晶 胞无隙并置而成的.已知在平行六面体 ABCD-AB,CD1中，以顶点A为端点的三条 棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°， 则AC的长为() A.6 B.V6 c D.3V2 2 反思感悟 分析 由空间向量加法的几何意义可 在几何体中求空间向量的数量积的 得AC1=AD+AB+AA1,再利用向量数量积 步骤： 的运算律，进而求ACI即可. (1)首先将各向量分解成已知模和夹 角的向量的组合形式： (2)利用向量的运算律将数量积展开， 转化成已知模和夹角的向量的数量积。 (3)根据向量的方向，求出向量的夹 角及向量的模. (4)代入公式a·b=lal.Ib1cos(a,b)》 求解， (4)学