1.1.2 空间向量基本定理-【新课程学案】2026-2027学年高中选择性必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦空间向量基本定理及共面向量定理核心知识点，前承共线向量基本定理，后接空间向量的共线共面证明、基底表示及几何应用，通过微点助解、基础训练、题型示例构建梯度学习支架。 采用梯度进阶式教学，从概念理解到应用实践层层递进。微点助解辨析易错点，思维建模提炼方法，培养数学思维的推理能力。结合正方体、直三棱柱等实例，用基底表示向量解决几何问题，发展数学眼光的空间观念和数学语言的符号表达。课中助力教师高效授课，课后通过课时检测帮助学生查漏补缺。

1.1.2　空间向量基本定理 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 　　　　　　　　　　　[课时目标] 1.理解共面向量定理及空间向量基本定理，并能应用其证明空间向量的共线共面问题. 2.理解空间向量的基底、基向量及向量线性组合的概念，并能应用其解决有关问题. 1.共面向量定理 (1)共线向量基本定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b=λa. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c=xa+yb. (3)共面向量定理的推论：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使=x+y. |微|点|助|解| (1)若与共线，则A，B，C，D四点不一定共线. (2)若P，A，B，C四点共面，对于空间任一点O，有=x+y+z，则 x+y+z=1，反之亦成立. 2.空间向量基本定理 (1)空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc. (2)基底：空间中不共面的三个向量a，b，c组成空间向量的一组基底，记为{a，b，c}.此时a，b，c都称为基向量；如果p=xa+yb+zc，则称xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式. |微|点|助|解| (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基底；基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式可能不同. (2)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，说明它们都不是零向量. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若对向量p可找到三个向量a，b，c，使p=xa+yb+zc，则{a，b，c}可构成空间向量的一组基底. (　　) (2)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}，使0=λ1a1+λ2a2+λ3a3. (　　) (3)若{a，b，c}为空间的一组基底，则a，b，c全不是零向量. (　　) (4)若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面. (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.在正方体ABCD-A'B'C'D'中，O1，O2，O3分别是AC，AB'，AD'的中点，以{，，}为基底，=x+y+z，则x，y，z的值是 (　　) A.1，1，1 B.，， C.，， D.2，2，2 答案：A 3.已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由=-2++λ可确定点M与A，B，C共面，则λ=　　　　.  答案：2 题型(一)　共面向量定理的应用 [例1]　如图，已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点，且=k，=k，=k，=+m，=+m，k≠0，m≠0. 求证：(1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)∥. 证明：(1)因为=+m，m≠0， 所以，，共面，即A，B，C，D四点共面. 因为=+m，m≠0，所以，，共面，即E，F，G，H四点共面. (2) =+m=-+m(-)=k(-)+km(-)=k+km=k(+m)=k，所以∥. 　　[变式拓展] 　本例条件不变，求证：平面ABCD∥平面EFCH. 证明：连接HF，BD， =+m=-+m(-)=k(-)+km(-) =k+km=k(+m)=k，所以∥.又因为EG⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以EG∥平面ABCD.因为=-=k(-)=k，所以∥.又FH⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以FH∥平面ABCD.因为EG与FH相交，EG，FH⊂平面EFGH，所以平面ABCD∥平面EFGH. |思|维|建|模| 向量共面的判定及应用 (1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下几个条件进行证明. ①=x+y；②对于空间任意一点O，=x+y+z(x+y+z=1). (2)若已知点P在平面ABC内，则有=x+y或=x+y+z(x+y+z=1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数. 　　[针对训练] 1.已知a，b，c是空间中不共面的向量，若=2a-b+c，=a+2b-c，=-a+m b+n c. (1)若B，C，D三点共线，则m，n的值分别为　　　，　　　；  (2)若A，B，C，D四点共面，则mn的最大值为　　　　.  解析：(1)因为B，C，D三点共线，设=λ， 又=-=-a+3b-2c，=-=-3a+(m+1)b+(n-1)c， 所以解得 (2)因为A，B，C，D四点共面，设=x+y，则-a+m b+n c=x(2a-b+c)+y(a+2b-c)=(2x+y)a+(-x+2y)b+(x-y)c， 所以 解得3m+5n=-1. 所以mn=m·=-=-+，当m=-时，mn取到最大值.故mn的最大值为. 答案：(1)8　-5　(2) 2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC=2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面. 证明：如图，连接A1M，A1N，A1B， 设=a，=b，=c，则=b-a， ∵M为DD1的中点， ∴=c-a，又AN∶NC=2∶1， ∴==(b+c)， ∴=-=(b+c)-a=(b-a)+=+， ∴，，为共面向量，又三向量有相同的起点A1， ∴A1，B，N，M四点共面. 题型(二)　用基底表示向量 [例2]　如图，在空间中平移△ABC到△A'B'C'，连接对应顶点，设=a，=b，=c，M，E，N分别是BC'，AA'，B'C'的中点，试用{a，b，c}表示向量，. 解：=+=+=+(+)=+(+)=(b+c)+a=(a+b+c)， =+=+(+)=+(+)=+[+(-)]=(++)=(a+b+c). 　　|思|维|建|模|　用基底表示向量的一般步骤 定基底 根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底 找目标 用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果 下结论 利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间内所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量 　　[针对训练] 3.如图，四棱锥P-OABC的底面为矩形，PO⊥平面OABC，E，F分别是PC和PB的中点.设=a，=b，=c，试用a，b，c表示，，，. 解：如图，连接BO，则==(+)=(c-b-a)=-a-b+c，=+ =-a+=-a+(+)=-a-b+c，=+=+=++(+)=-a+c+(-c+b)=-a+b+c，===a. 综上，=-a-b+c，=-a-b+c，=-a+b+c，=a. 题型(三)　利用空间向量基本定理解决几何问题 [例3]　如图，在直三棱柱ABC-A'B'C'中，AC=BC=AA'，∠ACB=90°，D，E分别为AB，BB'的中点. (1)求证：CE⊥A'D； (2)求异面直线CE与AC'所成角的余弦值. 解：(1)证明：设=a，=b，=c， 根据题意，得|a|=|b|=|c|，a·b=b·c=c·a=0. 易知=b+c，=-c+b-a. ∴·=-c2+b2=0. ∴⊥，即CE⊥A'D. (2)∵=-a+c，∴||=|a|. 又=b+c，∴||=|a|. ∵·=(-a+c)·=c2=|a|2， ∴cos<，>==. 即异面直线CE与AC'所成角的余弦值为. |思|维|建|模| 用空间向量基本定理解决几何问题的一般思路 (1)选取恰当的基底. (2)将所求向量用基底表示. (3)将几何问题转化为向量问题： ①将距离和线段长转化为向量的模； ②将线线、线面、面面垂直问题转化为向量垂直问题； ③将空间角问题转化为向量夹角问题. 　　[针对训练] 4.如图，直四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.证明：MN∥平面C1DE. 证明：设=a，=b，=c. 因为E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点， 由题意知=++(+)=-c-a+(b+c)=-a+b，=+=+=a-b=-， 所以=-，所以∥. 所以MN∥DE. 又因为MN⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE， 所以MN∥平面C1DE. [课时检测] 1.(多选)已知A，B，C，D，E是空间五点，且任何三点不共线.若{，，}与{，，}均不能构成空间的一个基底，则下列结论正确的是 (　　) A.{，，}不能构成空间的一个基底 B.{，，}不能构成空间的一个基底 C.{，，}不能构成空间的一个基底 D.{，，}能构成空间的一个基底 解析：选ABC　因为{，，}与{，，}均不能构成空间的一个基底，且A，B，C，D，E是空间五点，且任何三点不共线，所以空间五点A，B，C，D，E共面，所以这五点A，B，C，D，E中，任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以A、B、C正确，D错误. 2.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，点O为空间内任意一点，设=a，=b，=c，则向量可用a，b，c表示为 (　　) A.a-b+2c B.a-b-2c C.-a+b+c D.a-b+c 解析：选D　=+=+=+(-)=a-b+c. 3.已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p=a+b，q=a-b构成基底的向量是 (　　) A.a B.b C.a+2b D.a+2c 解析：选D　因为能与p，q构成基底的向量与p，q不共面，又a=p+q，b=p-q，a+2b=(a+b)-(a-b)=p-q，则a，b，a+2b都分别与p，q共面，故A、B、C错误；假设a+2c与p，q共面，则存在x，y∈R，使得a+2c=xp+yq=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b，则2c=(x+y-1)a+(x-y)b，所以a，b，c共面，这与{a，b，c}为基底矛盾，假设不成立，所以a+2c与p，q不共面，可构成基底，故D正确. 4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB=a，则MN的长为 (　　) A.a 　　　　B.a C.a 　　　　D.a 解析：选A　设=i，=j，=k，则{i，j，k}构成空间的一个正交基底.=++=i+j+(-j+k)=i+j+k，故||2=a2+a2+a2=a2，所以MN=a. 5.已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是边CB，OA的中点，点G在线段MN上，且使NG=2GM，用向量，，正确表示向量的是 (　　) A.=++ B.=++ C.=++ D.=++ 解析：选C　根据题意可得=+，由NG=2GM可得=，所以=+=+(+)=+×(+)=×+(+)=++. 6.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在棱BB1和DD1上，且DF=DD1，记=x+y+z，若x+y+z=，则等于 (　　) A. B. C. D. 解析：选B　设=λ，因为=+++=-λ-++=-λ-++=-++，所以x=-1，y=1，z=-λ. 因为x+y+z=-λ=，所以λ=. 7.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1=AB=AC=BC=1，M是B1C1的中点，则AM= (　　) A. B. C. D. 解析：选C　如图，=++=++(-)=++，故||2==||2+||2+||2+·+·+·，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，易知AA1⊥AC，AA1⊥AB，在△ABC中，由AB=AC=BC，则∠BAC=60°，由AA1=AB=AC=1，则=+1++×1×1×=，则AM=. 8.(多选)如图，已知AO⊥平面OBC，∠BOC=，OA=OB=2，OC=3，E为AB的中点，=3，则以下正确的是 (　　) A.·=0 B.OF= C.EF= D.与夹角的余弦值为 解析：选ABC　因为AO⊥平面OBC，OB，OC⊂平面OBC，所以OA⊥OB，OA⊥OC，所以·=0，·=0，·=||·||cos=-3，在△OAC中，=+=+(-)=+，所以||====，所以A、B正确；在△OEF中，=-=+-(+)=-+ ，||2==++-·+·-·=+1+1+1=，故||=，所以C正确；因为=-，·=(-)·=·-·=-3，||==2，cos<，>===-，所以与夹角的余弦值为-，所以D错误. 9.(5分)已知{a，b，c}是空间的一个基底，向量p=3a+b+c，{a+b，a-b，c}是空间的另一个基底，向量p=x(a+b)+y(a-b)+c，则x+y=　　　　.  解析：∵p=x(a+b)+y(a-b)+c=(x+y)a+(x-y)b+c，且p=3a+b+c，∴x+y=3. 答案：3 10.(5分)已知A，B，C三点共线，O为空间不同于A，B，C三点的任一点，则①=2+μ；②存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=0，那么使①②成立的μ与λ+m+n的值分别为　　　　，　　　　.  解析：∵A，B，C三点共线，=2+μ，∴2+μ=1，解得μ=-1.又由λ+m+n=0，得=--，由A，B，C三点共线知，--=1，则λ+m+n=0. 答案：-1　0 11.(5分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=，AD=2，P为C1D1的中点，M为BC的中点.则AM与PM所成的角为　　　　.  解析：=+，=-=+---=+---=--，故·=·=-·-·+·--·=×4-×8=0，即⊥，则AM与PM所成的角为90°. 答案：90° 12.(10分)如图，已知空间四边形ABCD各边的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点. (1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(5分) (2)求MN的长.(5分) 解：(1)证明：设=p，=q，=r. 由题意可知，|p|=|q|=|r|=a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°. ∵=-=(+)-=(q+r-p)，∴·=(q+r-p)·p=(q·p+r·p-p2)=(a2cos 60°+a2cos 60°-a2)=0，∴MN⊥AB，同理可证MN⊥CD. (2)由(1)可知=(q+r-p). ∴||2=(q+r-p)2=[q2+r2+p2+2(q·r-p·q-r·p)]==×2a2=. ∴||=a，∴MN的长为a. 13.(10分)已知{a，b，c}是空间的一个基底，且=3a+3b，=2a+4b+2c，=-a+2b+3c，=2a+b-c. (1)求证：A，B，C，D四点共面；(6分) (2){，，}能否作为空间的一个基底?若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由.(4分) 解：(1)证明：=-=2a+4b+2c-(3a+3b)=-a+b+2c， =-=-a+2b+3c-(3a+3b)=-4a-b+3c，=-=2a+b-c-(3a+3b)=-a-2b-c. 设=λ+μ，即-a-2b-c=λ(-a+b+2c)+μ(-4a-b+3c)， 故解得 即=-+，故A，B，C，D四点共面. (2)不能.理由如下： 设=m+n，则3a+3b=m(2a+4b+2c)+n(-a+2b+3c)， 故解得=-， 所以{，，}不能作为基底. 14.(15分)如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，E，F，G分别是A'D'，DD'，D'C'的中点，请选择恰当的基底向量证明： (1)EG∥AC；(6分) (2)平面EFG∥平面AB'C.(9分) 证明：取基底{，，}. (1)因为=+=+，=+=2，所以∥，又EG，AC无公共点，所以EG∥AC. (2)因为=+=+，=+=2，所以∥， 又FG，AB'无公共点，所以FG∥AB'. 又FG⊄平面AB'C，AB'⊂平面AB'C， 所以FG∥平面AB'C. 又由(1)知EG∥AC，由EG⊄平面AB'C，AC⊂平面AB'C，可得EG∥平面AB'C， 又FG∩EG=G，FG，EG⊂平面EFG， 所以平面EFG∥平面AB'C. 学科网（北京）股份有限公司 $