拓视野 向量概念的推广(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

该高中数学导学案聚焦向量概念的推广，从已学的一维、二维、三维向量入手，通过问题探究引导学生思考更高维度向量的存在，构建从具体到抽象的知识支架，帮助学生理解n维向量的定义及运算。 资料以问题驱动和分层练习为特色，通过迁移应用和随堂检测，培养学生用数学眼光抽象现实问题，用数学思维推理运算规律，用数学语言表达向量关系，提升知识迁移与应用能力，适合引导学生自主探究与巩固练习。

　向量概念的推广 我们已经知道，（1）直线l以及这条直线上一个单位向量e，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a=xe，此时称x为向量a在直线l上的坐标，直线上的向量又称为一维向量，用该坐标x即可表示a的方向，又可以求得|a|；　 （2）平面向量a可以用含两个实数的有序实数对（x，y）表示，即a=（x，y），（x，y）称为平面向量a的坐标，此时的向量又称为二维向量，用该坐标可以表示a的方向，也可求|a|；　 （3）空间向量a可用含三个实数的有序实数组（x，y，z）表示，即a=（x，y，z），（x，y，z）称为空间向量a的坐标，此时的向量a称为三维向量，用该向量的坐标可以表示a的方向，也可求|a|． 【问题探究】 向量的概念可由一维推广到二维、三维向量，那么对于现实生活中的实际问题，涉及到需要四个或四个以上的量来表示，此时向量的概念是否可以再进一步推广？ 结论：用n元有序实数组（a1，a2，…，an）表示n维向量，它构成了n维空间，a=（a1，a2，…，an ）． 对于n维空间的向量也可以定义加、减、数乘、数量积及模运算． 设a=（a1，a2，…，an），b=（b1，b2，…，bn）， 那么a±b=（a1±b1，a2±b2，…，an±bn）， λa=λ（a1，a2，…，an）=（λa1，λa2，…，λan），λ∈R， a•b=（a1，a2，…，an）•（b1，b2，…，bn）=a1b1＋a2b2＋…＋anbn， |a|=， n维空间中A（a1，a2，…，an），B（b1，b2，…，bn）两点间的距离|AB|=． 【迁移应用】 　设a=（a1，a2，a3，a4，…，an），b=（b1，b2，b3，b4，…，bn）（n∈N且n≥2），规定向量a与b夹角θ的余弦为cos θ= ．当a=（1，1，1，1，…，1），b=（－1，－1，1，1，…，1）时，cos θ=（　　） A．　　 B． C．　　 D． 1.已知向量a=（1，1，0），b=（－1，0，2），则3a＋b=（　　） A．（－2，－3，－2）　　 B．（2，3，2） C．（－2，3，2）　　 D．（4，3，2） 2.在空间直角坐标系中，点P（1，3，－5）关于平面xOy对称的点的坐标是（　　） A．（－1，3，－5）　　 B．（1，3，5） C．（1，－3，5）　　 D．（－1，－3，5） 3.设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到点C的距离|CM|=（　　） A．　　 B． C．　　 D． 4.已知a=（1，2，－y），b=（x，1，2）且（a＋2b）∥（2a－b），则x=　　　　，y=　　　　． 完成课后作业　第一章　1.1　1.1.3 答案 拓视野　向量概念的推广 迁移应用 D　因为a=（a1，a2，a3，a4，…，an），b=（b1，b2，b3，b4，…，bn）， aibi=a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn=1×（－1）＋1×（－1）＋1×1＋…＋1×1=n－4， =＋＋＋…＋=12＋12＋12＋…＋12=n， =＋＋＋…＋=12＋12＋12＋…＋12=n，所以cos θ==，故选D． 随堂检测 1.B　3a＋b=3（1，1，0）＋（－1，0，2）=（3，3，0）＋（－1，0，2）=（2，3，2）． 2.B　P（1，3，－5）关于平面xOy对称的点的坐标为（1，3，5）． 3.C　由已知得中点M（2，，3），|CM|==． 4.　－4　解析：由题意知，a＋2b=（2x＋1，4，4－y），2a－b=（2－x，3，－2y－2）．∵（a＋2b）∥（2a－b），∴存在实数λ，使a＋2b=λ（2a－b）， ∴解得 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $