1.1.1.1 空间向量及其线性运算-【新课程学案】2026-2027学年高中选择性必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦空间向量的定义、特殊向量及线性运算核心知识点，通过类比平面向量构建知识体系，以“逐点清”分模块设计，包含概念辨析、例题解析和分层练习，形成从基础到应用的学习支架。 该资料突出数学眼光培养，借助长方体等模型直观理解空间向量，微点助解深化概念辨析体现数学思维严谨性。典例与变式训练强化运算能力，课时检测助力课后查漏补缺，有效提升教学效果与学生学习效率。

第一章　空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其运算 第1课时　空间向量及其线性运算 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.类比平面向量，理解空间向量的定义及表示方法，掌握几种特殊的空间向量. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算. 逐点清(一)　空间向量的有关概念 [多维理解] 1.空间向量的定义及表示 定义 空间中既有大小又有方向的量称为空间向量 长度 向量的大小称为向量的模(或长度) 表示法 几何表示 空间向量用有向线段表示 字母表示 用小写字母表示.若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或|| 2.几类特殊的空间向量 零向量 始点和终点相同的向量，记作0，|0|=0 单位向量 模等于1的向量，记作|e|=1或||=1 相反向量 与a方向相反、大小相等的向量称为a的相反向量，记作-a 相等向量 大小相等、方向相同的向量，记作a=b或= 共线向量 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行(也称为两个向量共线).规定：零向量与任意向量平行 共面向量 空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面 |微|点|助|解| (1)空间向量的模可以比较大小，任意两个空间向量可以相等，但不能比较大小. (2)共线向量不一定具有传递性，比如其中一向量为零向量时. (3)在空间中仍然有=(AB，CD不共线)⇔四边形ABCD为平行四边形. (4)若两个空间向量相等，则它们的方向相同，且模相等，但起点、终点未必相同. (5)单位向量有无数个，但方向不确定. [微点练明] 1.下列说法正确的是 (　　) A.空间中的向量就是空间中的一条有向线段 B.不相等的两个空间向量的模必不相等 C.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 D.将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 解析：选C　零向量不能用有向线段表示，A错误；任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错误；同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小，C正确；将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球，D错误. 2.给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b；④若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p；⑤空间中任意两个单位向量必相等；⑥设a，b，c是三个空间向量，a，b不一定共面，则a，b，c一定不共面.其中正确命题的个数为 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 解析：选D　零向量的方向是不确定的，不是没有方向，故①错误；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误；根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a与b的方向不一定相同，故③错误；命题④显然正确；空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误；a，b，c能移动，故a，b一定共面，a，b，c不一定共面，故⑥错误. 3.(多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=2，AA1=1，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中 (　　) A.与相等的向量有3个 B.的相反向量有4个 C.模为的向量有4个 D.向量，，共面 解析：选AB　与相等的向量有，，，共3个，故A正确；向量的相反向量有，，，，共4个，故B正确；模为的向量分别为，，，，，，，，共8个，故C错误；因为=，向量，，有一个公共点A，而点A1，B1，D1都在平面A1B1C1D1内，点A在A1B1C1D1外，所以向量，，不共面，故D错误. 逐点清(二)　空间向量的加减运算 [多维理解] 　　向量运算的两个法则及加法运算律 加法 运算 三角形 法则 首尾顺次相接，首指向尾为和，若封闭和为0 a+b=+= 平行 四边形 法则 共起点为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 a+b=+= 减法 运算 三角形 法则 共起点，连终点，方向指向被减向量 a-b=-= 加法 运算律 交换律 a+b=b+a 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) |微|点|助|解| (1)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即+++…+=0. (2)空间向量加、减法运算的两个技巧 巧用相 反向量 向量的三角形法则是解决空间向量加、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接 巧用 平移 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果 [微点练明] 1.已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则--= (　　) A. B. C. D. 解析：选B　--=+-=-=. 2.(多选)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式运算的结果为向量的是 (　　) A.(+)- B.(-)- C.(-)+ D.(-)- 解析：选ABC　如图所示，(+)-=-=+=；(-)-=-=；(-)+=+=；(-)-=(-)-=+=. 3.在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化简-+++，并在图中标出化简结果. 解：在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四边形，所以=.同理=，=，由正六棱柱性质可知=，所以-+++=-+(++)=+=，所以化简结果如图所示. 逐点清(三)　空间向量的数乘运算 定义 实数λ与空间向量a相乘的运算简称为数乘向量 几何 意义 (a≠0) λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 λa与向量a的方向相反 λ=0 λa=0，其方向是不确定的 运算律 结合律 λ(μa)=(λμ)a 分配律 (λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb |微|点|助|解| (1)λa=0⇔λ=0或a=0，λ的正负影响向量的方向λ的绝对值大小影响向量λa的长度. (2)向量λa与向量a一定是共线向量. [典例]　如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)；(2)；(3). 解：(1)∵P是C1D1的中点，∴=++=a++=a+c+=a+b+c. (2)∵N是BC的中点，∴=++=-a+b+=-a+b+=-a+b+c. (3)∵M是AA1的中点，∴=+=+=-a+a+c+b=a+b+c. 　　[变式拓展] 1.若本例条件不变，试用a，b，c表示向量. 解：因为P，N分别是C1D1，BC的中点， 所以=++=+(-)+=-a+b-c. 2.若把本例中“P是C1D1的中点”改为“点P在线段C1D1上，且=”，其他条件不变，如何表示? 解：=+=++=a+b+c. |思|维|建|模| (1)利用数乘运算解题时，要结合具体图形，运用三角形法则或平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量. (2)空间向量线性表示的常用结论 ①=-； ②在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，有=++； ③若O为空间中任意一点，则点P是线段AB中点的充要条件是=(+)；若G为△ABC的重心，则=(++). 　　[针对训练] 1.如图，在斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，M为A1C1与B1D1的交点.若=a，=b，=c，则= (　　) A.a-b-c B.a-b+c C.-a+b+c D.-a+b-c 解析：选A　依题意，=+=+=+(-)=--=a-b-c. 2.如图，在空间四边形ABCD中，已知点G为△BCD的重心，E，F，H分别为CD，AD，BC的中点，化简下列各式，并在图中标出化简结果. (1)+-； (2)(+-)； (3)++. 解：(1)连接EF，∵G是△BCD的重心，∴=.又=，∴由向量加法的三角形法则可知，++=++=+=.在图中标出，如图所示. (2)连接AH，∵F，H分别为AD，BC的中点，∴(+-)=(2-)=-=-=.在图中标出，如图所示. (3)++=+(-)+(-)=+(+)=+=+=.在图中标出，如图所示. [课时检测] 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.(多选)下列说法正确的是 (　　) A.向量与的长度相等 B.在空间四边形ABCD中，与是相反向量 C.空间向量就是空间中的一条有向线段 D.方向相同且模相等的两个向量是相等向量 解析：选AD　向量与是相反向量，长度相等，A正确；在空间四边形ABCD中，与的模不一定相等，方向也不一定相反，B错误；空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但不能说空间向量就是有向线段，C错误；由空间向量的有关概念与性质知D正确. 2.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，与向量相等的向量共有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：选C　如图，与向量大小相等，方向相同的向量有，，，共3个. 3.(多选)如图所示的三棱柱中，下列各组向量共面的是 (　　) A.， B.，， C.，， D.，， 解析：选ACD　由共面向量的定义可判断，空间中任意两向量都共面，故A正确；而，，不能平移到同一个平面内，故B错误；C、D中向量都能平移到同一个平面内，故选ACD. 4.已知四边形ABCD，O为空间任意一点，且+=+，则四边形ABCD是 (　　) A.空间四边形 B.平行四边形 C.等腰梯形 D.矩形 解析：选B　由已知可得=，由相等向量的定义可知，四边形ABCD的一组对边平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形，无法判断其是不是矩形.故选B. 5.(多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，则 (　　) A.-= B.-=2 C.= D.= 解析：选AC　-=+=，A正确，B不正确.=，C正确，D不正确. 6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，=2，则以下结论正确的是 (　　) A.=++ B.=-+- C.=-+ D.=+- 解析：选D　因为=2，所以=，=-=+-=+-=+(-)-=+-. 7.如图，在三棱锥O-ABC中，=a，=b，=c，点G是△ABC的重心，则等于 (　　) A.a+b-c 　　B.a+b+c C.(a+b+c) 　　D.(a+b+c) 解析：选D　延长AG，交BC于D，因为点G是△ABC的重心，所以D是BC的中点，所以=+=+=+×(+)=+(-+-)=++=(a+b+c). 8.(多选)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，=++，=++，则 (　　) A.E为棱D1C1的中点 B.F为棱CC1上更靠近C的三等分点 C.EF=CD1 D.EF∥平面ABB1A1 解析：选ABD　因为=++=++=+，所以-==，则E为棱D1C1的中点，A正确.因为=++=+，所以-==，则F为棱CC1上更靠近C的三等分点，B正确.因为E为棱D1C1的中点，F为棱CC1上更靠近C的三等分点，易得EF≠CD1，C错误.因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，EF⊂平面DCC1D1，所以EF∥平面ABB1A1，D正确. 9.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，-+=　　　　.  解析：-+=+-=+=. 答案： 10.(5分)光岳楼，亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市.其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比约为，则++=　　　　.  解析：如图，延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，则=，=，∴++=++=++=+=+=. 答案： 11.(5分)如图，在空间四边形OABC中，=a，=b，=c，点M在OA上，且=3，N为BC的中点，若=x a+yb+zc，则x+y+z=　　　　.  解析：因为=3，N为BC的中点，所以=，=(+).所以=-=(+)-=-a+b+c.因为=xa+yb+zc，所以x+y+z=-++=. 答案： 12.(10分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱B1C1上任意一点.只考虑图上已画出线段所对应的向量，写出： (1)的相等向量，的相反向量；(3分) (2)用另外两个向量的和或差表示；(3分) (3)用三个或三个以上向量的和表示.(4分) 解：(1)根据正方体棱与棱之间的关系，的相等向量有，，；的相反向量有，. (2)用“首尾规则”求解，如果只在含的三角形中考虑，有=+，=+，=-，=-.(答案不唯一) (3)用“首尾规则”求解，则=++，=++++.(答案不唯一) 13.(10分)如图，在平行六面体A1B1C1D1-ABCD中，M分成的比为，N分成的比为2，设=a，=b，=c，试用a，b，c表示. 解：连接AN，则=+，由题知四边形ABCD是平行四边形，故=+=a+b，因为M分成的比为，所以=-=-(a+b). 又N分成的比为2，故=+=-=-=-(-)=(c+2b)，则=+=-(a+b)+(c+2b)=(-a+b+c). 学科网（北京）股份有限公司 $