1.2 一元二次方程的解法（分层作业18题） 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 围绕一元二次方程解法，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，覆盖概念理解、运算技能到实际建模，适配新授课分层教学，培养运算能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一解法（配方法、因式分解）|直接解方程（15题），强化基本运算技能| |综合|解法综合与参数问题|判别式应用（7题），根与系数关系（16题），提升推理能力| |拓展|几何应用与实际建模|矩形面积问题（14题），梯子滑动探究（18题），发展模型意识|

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.2 一元二次方程的解法（分层作业18题） 一、选择题 1．下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项方程整理为的形式，若，方程有两个不相等的实数根；若，方程有两个相等的实数根；若，方程无实数根；据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，移项，得， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意； B、，移项，得， ∵， ∴此方程有两个不相等的实数根，故该选项符合题意； C、，系数化为，得， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意； D、， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意． 2．用配方法将二次三项式变形，结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 3．把关于x的一元二次方程配方，得，则的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．10 【答案】A 【分析】依题意，把展开得，结合，得出，解得，即可作答．此题考查了解一元二次方程配方法，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． 【详解】解：由得， ∵把关于x的一元二次方程配方，得， 则， 解得， ∴， 故选：A． 4．用因式分解法解方程，下列方法正确的是（    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查利用因式分解法解方程，解题需抓住两个关键点：方程右边是否为0，是否遗漏为0的因式． 【详解】解：A选项中，∵，∴或，方法正确； B、C选项中，方程右边不为0，不能直接令因式分别等于右侧的数，方法均错误； D选项中，∵，∴或，选项遗漏的情况，方法错误； 故选：A． 5．使得的值为整数的无理数的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】C 【分析】设分式的值为整数k，整理得到关于x的方程，利用一元二次方程根的判别式确定k的所有可能整数值，再分别解方程，判断x是否为无理数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：∵， ∴分母恒不为0， 设，其中k为整数， 整理得 ， 当时，得 ， 解得，是有理数，不符合要求； 当时，方程为一元二次方程，若方程有实根，则判别式：， 即， 解得， ∵k为整数，且， ∴k的可取值为1，2，3， 当时，方程为， 解得，都是无理数，符合要求； 当时，方程为， 解得或，都是有理数，不符合要求； 当时，方程为， 解得或，都是有理数，不符合要求； 综上，符合条件的无理数共有2个． 6．一元二次方程的根的判别式的值为（     ） A． B．12 C． D．8 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，根的判别式． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴． 7．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，据此计算即可求出的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 其中，，， ∴， 化简得， 解得． 二、填空题 8．若，该方程的解为______． 【答案】 ， 【详解】解： 或 ∴，． 9．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 【答案】4 【分析】通过配方法将原方程化为的形式，得到和的值，再代入计算即可. 【详解】解：移项，得， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， ∴，， ∴. 10．已知（x，y均为实数），则y的最大值是______． 【答案】 【分析】将根据题意，，原式两边同时平方，可得，故，进而即可求得最大值. 【详解】解：，，， ． ， ． 的最大值为． 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的求值问题，配方法的应用，解本题的关键是通过y2为媒介求得y的取值范围从而找出最大最小值. 11．一个三角形的两边长分别为5和7，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为___________． 【答案】16 【分析】先解一元二次方程得到方程的两个根，再根据三角形三边关系判断符合题意的第三边长度，最后计算三角形周长即可． 【详解】解：解方程，得． 设第三边长为， 根据三角形三边关系可得，即， 所以第三边长为． 所以三角形的周长为． 12．若实数满足，则的结果为_______． 【答案】1 【分析】设，则原方程转化为关于t的一元二次次方程，通过解方程求得t的值，即的值．本题主要考查了换元法，因式分解法解一元二次方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换． 【详解】解：设 则原式等于， 整理 得 解得（舍弃）， 即． 故答案为：1． 13．已知三个实数a，b，c满足，，且，则c的最小值为_____． 【答案】 【分析】将用含和的代数式表示，代入得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程有实根时判别式非负，结合求出的取值范围，即可得到的最小值． 【详解】解：由得 ， 将代入得 ， 整理得 ， 两边同除以得 ， 因为为实数，所以关于的一元二次方程有实数根，判别式， 即 ， 因式分解得 ， 因为已知， 所以， 即 故的最小值为． 14．如图，在矩形中，点，分别在边，上，，，将四边形分成四个三角形，记，和的面积分别为，，．若，，，，则______． 【答案】 【分析】设，由矩形的性质得，由三角形的面积公式得，求出y的值，再用矩形的面积减去，和的面积即可． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形，， ∴， ∵记，和的面积分别为，，，， ∴， 由①得， 将代入②，得， 化简得， 解得或（不合题意，舍去）， 经检验， 是原方程的解， ∴， ∴． 三、解答题 15．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法进行计算即可； （2）利用公式法进行计算即可． 【详解】（1）解：原方程变形为， 即， ．     ． ，； （2）解：原方程变形为， ，，． ， ，     ，． 16．已知关于的方程． (1)求证：无论取任何实数时，该方程总有两个实数根； (2)如果该方程的两个实数根的平方和为4，求的值． 【答案】(1)证明：． ， 无论取任何实数时，该方程总有两个实数根． (2)2 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出：无论取任何实数时，该方程总有两个实数根； （2）利用因式分解法解一元二次方程可求出原方程的两个根，结合该方程的两个实数根的平方和为4，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：， 即， 解得：． ， ， ． 17．若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】 为等腰三角形，理由： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，，且满足三角形三边关系， ∵， ∴为等腰三角形． 【分析】先将给定等式配方转化为几个完全平方式相加的形式，然后根据平方的非负性求出，，的值，最后利用等腰三角形的定义即可判断三角形形状． 【详解】略 18．实践与探索：一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ (1)请将解答过程补充完整： 解：设点B将向外移动x米，即，则，，．而，在中，由，得方程________，解方程得________，________．所以点B将向外移动________米． (2)探索： ①将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？ ②梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？ 【答案】(1)；0.8；（舍去）；0.8 (2)解：①不会是0.9米，理由如下： 若米， 则（米），（米）． ∵，， ∴， ∴该题的答案不会是0.9米； ②有可能，理由如下： 设梯子顶端从处下滑米，点向外也移动米， 则，，， 则有，即， 即，则， 解得，（舍去）， 梯子顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等． 【分析】（1）根据，，，代入中，可得方程，再根据一元二次方程的解法求解，舍去负值即可得． （2）①假设米，得到，构不成直角三角形，由此判断即可； ②设梯子顶端从处下滑米，点向外也移动米，利用勾股定理列式求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， 由可得，， 则有，即， 可得， 解得，（舍去）， 所以点B将向外移动0.8米． （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.2 一元二次方程的解法（分层作业18题） 一、选择题 1．下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法将二次三项式变形，结果是（     ） A． B． C． D． 3．把关于x的一元二次方程配方，得，则的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．10 4．用因式分解法解方程，下列方法正确的是（    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．， 5．使得的值为整数的无理数的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 6．一元二次方程的根的判别式的值为（     ） A． B．12 C． D．8 7．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 8．若，该方程的解为______． 9．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 10．已知（x，y均为实数），则y的最大值是______． 11．一个三角形的两边长分别为5和7，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为___________． 12．若实数满足，则的结果为_______． 13．已知三个实数a，b，c满足，，且，则c的最小值为_____． 14．如图，在矩形中，点，分别在边，上，，，将四边形分成四个三角形，记，和的面积分别为，，．若，，，，则______． 三、解答题 15．解方程： (1)； (2)． 16．已知关于的方程． (1)求证：无论取任何实数时，该方程总有两个实数根； (2)如果该方程的两个实数根的平方和为4，求的值． 17．若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 18．实践与探索：一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ (1)请将解答过程补充完整： 解：设点B将向外移动x米，即，则，，．而，在中，由，得方程________，解方程得________，________．所以点B将向外移动________米． (2)探索： ①将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？ ②梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $