3.1.3 函数的奇偶性-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学函数的奇偶性核心知识点，系统梳理偶函数（f(-x)=f(x)，图象关于y轴对称）与奇函数（f(-x)=-f(x)，图象关于原点对称）的定义及几何意义，构建从函数基本概念到判断方法（定义法、图象法）再到应用（求参数、解析式、不等式）的学习支架。 资料以题型研究式教学为特色，通过微点助解细化定义域对称等关键点，结合例题与变式（如奇函数改偶函数的图象绘制）培养学生几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维），课中助力教师突破重难点，课后检测帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

3.1.3　函数的奇偶性 [教学方式:深化学习课题型研究式教学] [课时目标] 1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.掌握函数奇偶性的判断和证明方法. 2.会应用奇偶函数的图象的对称性解决简单问题. 　　函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),则称y=f(x)为偶函数 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),则称y=f(x)为奇函数 图象 特征 关于y轴对称 关于原点对称 |微|点|助|解| 对函数奇偶性的理解 (1)奇、偶函数的对应关系的特点 ①奇函数有f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔=-1(f(x)≠0); ②偶函数有f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔=1(f(x)≠0). (2)函数奇偶性的三个关注点 ①若奇函数在原点处有定义,则必有f(0)=0,有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数; ②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,x∈D,其中定义域D是关于原点对称的非空集合; ③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数. (3)利用性质判断函数的奇偶性 ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数; ②奇函数的和、差仍为奇函数; ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数; ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)函数f(x)=x2,x∈[0,+∞)是偶函数. (　 ) (2)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数. (　 ) (3)不存在既是奇函数,又是偶函数的函数. (　 ) (4)若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数就是偶函数. (　 ) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.下列图象表示的函数具有奇偶性的是 (　 ) 解析:选B　B选项的图象关于y轴对称,是偶函数,其余选项都不具有奇偶性. 3.下列函数是偶函数的是 (　 ) A.y=x B.y=3x2 C.y=x-1 D.y=|x|(x∈[0,1]) 解析:选B　选项A、C中的函数是奇函数,选项B中的函数是偶函数,选项D中的函数既不是奇函数,也不是偶函数. 4.已知函数y=f(x),x∈[-1,a](a>-1)是奇函数,则a等于 (　 ) A.-1 B.0 C.1 D.无法确定 解析:选C　∵奇函数的定义域关于原点对称,∴a-1=0,即a=1. 题型(一)　函数奇偶性的判断 [例1]　判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|x+1|-|x-1|; (2)f(x)=+; (3)f(x)=; (4)f(x)= [解]　(1)因为x∈R,所以-x∈R. 又因为f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x), 所以f(x)为奇函数. (2)因为函数f(x)的定义域为{-1,1}, 关于原点对称,且f(x)=0, 所以f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x). 所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)因为f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1], 即有-1≤x≤1且x≠0, 所以-1≤-x≤1,且-x≠0. 又f(-x)==-=-f(x), 所以f(x)为奇函数. (4)易知f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 当x>0时,-x<0,f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x); 当x<0时,-x>0,f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x). 综上可知,对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数. 　　|思|维|建|模|　判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 (2)图象法 　　[针对训练] 1.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3+x5; (2)f(x)=|x+1|+|x-1|; (3)f(x)=. 解:(1)函数f(x)的定义域为R.∵f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x), ∴f(x)是奇函数. (2)函数f(x)的定义域是R. ∵f(-x)=|-x+1|+|-x-1| =|x-1|+|x+1|=f(x),∴f(x)是偶函数. (3)∵函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞), 不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数. 题型(二)　奇、偶函数的图象及应用 [例2]　已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示. (1)画出在区间[-5,0]上的图象; (2)写出使f(x)<0的x的取值集合. [解]　(1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称.由y=f(x)在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图实线部分所示. (2)由图象知,使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5). 　　[变式拓展] 　若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,试画出在区间[-5,0]上的图象. 解:因为函数f(x)是偶函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于y轴对称.由y=f(x)在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图实线部分所示. 　　|思|维|建|模|　巧用奇、偶函数的图象求解问题 依据 奇函数⇔图象关于原点对称,偶函数⇔图象关于y轴对称 求解 根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇、偶函数图象的问题 　　[针对训练] 2.已知函数y=f(x)是偶函数,且图象与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是 (　 ) A.4 B.2 C.1 D.0 解析:选D　因为f(x)是偶函数,且图象与x轴有四个交点,所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的.故所有实根之和为0. 3.如图,给出了偶函数y=f(x)的局部图象,试比较f(1)与f(3)的大小. 解:法一　∵函数f(x)是偶函数,∴图象关于y轴对称,补全图象如图所示.由图象可知f(1)<f(3). 法二　由题图可知f(-1)<f(-3). ∵函数y=f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1),f(-3)=f(3).∴f(1)<f(3). 题型(三)　函数奇偶性的应用 题点1　利用函数的奇偶性求参数值 [例3]　(1)已知y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=6,则a的值为　　　　.  (2)若函数f(x)=ax2+(b-1)x+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a+b=　　　　.  [解析]　(1)因为f(x)是奇函数,所以f(-3)=-f(3)=-6.所以(-3)2+a(-3)=-6.解得a=5. (2)因为定义域[a-1,2a]关于原点对称, 所以(a-1)+2a=0.解得a=. 所以f(x)=x2+(b-1)x+1+b. 又f(-x)=f(x),所以x2-(b-1)x+1+b=x2+(b-1)x+1+b.由对应项系数相等得-(b-1)=b-1.所以b=1.所以a+b=+1=. [答案]　(1)5　(2) |思|维|建|模|　利用奇偶性求参数的常见类型及策略 定义域含参数 奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数 解析式含参数 根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数即可求解 题点2　利用函数的奇偶性求函数解析式 [例4]　已知函数f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,函数f(x)的解析式为　　　　.  [解析]　当x<0时,-x>0, 则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函数, 故f(x)=-f(-x), 所以当x<0时,f(x)=2x2+3x-1. 因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0. 综上可得,函数f(x)的解析式为f(x)= [答案]　f(x)= 　　[变式拓展] 　本典例中,若条件改为“f(x)为R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=-2x2+3x+1”,则函数f(x)的解析式为　　　　.  解析:当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式为f(x)= 答案:f(x)= |思|维|建|模| 利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤 (1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设; (2)转化到已知区间上,代入已知的解析式; (3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x). 　　[针对训练] 4.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)等于 (　 ) A.-2 B.0 C.1 D.2 解析:选A　因为当x>0时,f(x)=x2+, 所以f(1)=1+1=2.又f(x)为奇函数, 所以f(-1)=-f(1)=-2.故选A. 5.若函数f(x)=ax4+(a-2b)x+a-1是定义(-a,0)∪(0,2a-2)上的偶函数,则f= (　 ) A.1 B. C. D.3 解析:选D　∵f(x)=ax4+(a-2b)x+a-1是定义在(-a,0)∪(0,2a-2)上的偶函数,∴f(-x)=f(x),即a(-x)4-(a-2b)x+a-1=ax4+(a-2b)x+a-1,∴a-2b=0,又定义域关于原点对称,∴2a-2=a,∴a=2,b=1,∴f(x)=2x4+1,∴f=f(1)=3. 6.已知函数f(x)=为奇函数,则a+b=　　　　.  解析:由题意知 即解得 当a=-1,b=1时,经检验知f(x)为奇函数, 故a+b=0. 答案:0 [课时检测] 1.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)+f(-1)的值为 (　 ) A.-2 B.2 C.1 D.0 解析:选A　由题图知f(1)=,f(2)=.因为f(x)为奇函数,所以f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=--=-2.故选A. 2.函数f(x)=2x-的图象关于 (　 ) A.y轴对称 B.直线y=-x对称 C.直线y=x对称 D.坐标原点对称 解析:选D　因为函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),又f(-x)=-2x+=-=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.则函数f(x)=2x-的图象关于坐标原点对称.故选D. 3.下列函数为偶函数的是 (　 ) A.f(x)=x3 B.f(x)=+x C.f(x)=x2 D.f(x)=-2x 解析:选C　对于A,f(x)=x3的定义域为R,且f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),故f(x)=x3为奇函数,故A错误;对于B,f(x)=x+定义域为{x|x≠0},且f(-x)=-x-=-=-f(x),故f(x)=x+为奇函数,故B错误;对于C,f(x)=x2的定义域为R,f(-x)=(-x)2=x2=f(x),故f(x)=x2为偶函数,故C正确;对于D,f(x)=-2x的定义域为R,且f(-x)=2x=-f(x),故f(x)=-2x为奇函数,故D错误. 4.已知f(x)为定义在R上的函数,f(2)=2,且g(x)=f(2x)+x2为奇函数,则f(-2)= (　 ) A.-4 B.-2 C.0 D.2 解析:选A　因为g(x)=f(2x)+x2是奇函数,所以g(-1)+g(1)=f(-2)+1+f(2)+1=0,即f(-2)=-4. 5.已知函数f(x)=ax2-bx-3a-b是偶函数,且其定义域为[2a,1-a],则 (　 ) A.a=,b=0 B.a=-1,b=0 C.a=1,b=1 D.a=-,b=-1 解析:选B　因为偶函数f(x)的定义域为[2a,1-a],所以解得所以a=-1.由偶函数定义得f(x)=f(-x),所以f(x)=ax2-bx-3a-b=ax2+bx-3a-b=f(-x),即2bx=0,所以b=0.故a=-1,b=0. 6.已知偶函数f(x)与奇函数g(x)的定义域都是[-2,2],它们在[0,2]上的图象如图所示,则关于x的不等式f(x)·g(x)<0成立的x的取值范围为 (　 ) A.(-2,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,2) D.(-2,-1)∪(1,2) 解析:选C　由题图,知当0<x<1时,f(x)>0,g(x)>0,f(x)·g(x)>0;当1<x<2时,f(x)<0,g(x)>0,f(x)·g(x)<0,故当x>0时,其解集为(1,2).∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,∴f(x)·g(x)是奇函数.由奇函数的对称性可得,当x<0时,其解集为(-1,0).综上,不等式f(x)·g(x)<0的解集是(-1,0)∪(1,2). 7.已知f(x)=ax+bx3+2 024,其中a,b为常数,若f(-2)=2,则f(2)= (　 ) A.4 046 B.2 028 C.-4 046 D.-2 028 解析:选A　令g(x)=ax+bx3,则g(-x)=-ax-bx3=-g(x),所以g(x)为奇函数.又g(x)=f(x)-2 024,所以g(-2)=f(-2)-2 024=-2 022.因为g(2)=-g(-2)=2 022,所以f(2)=g(2)+2 024=4 046. 8.(5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=　　　　.  解析:由已知得,f(-2)=2×(-2)3+(-2)2=-12,因为函数f(x)是奇函数,所以f(2)=-f(-2)=12. 答案:12 9.(5分)设函数f(x)是偶函数,且值域为(-∞,1],则f(x)=　　　　　.(写出一个正确答案即可)  解析:因为函数f(x)是偶函数,且值域为(-∞,1],不妨取f(x)=-x2+1,二次函数f(x)=-x2+1的对称轴为y轴,该函数为偶函数,且f(x)=-x2+1≤1,即函数f(x)=-x2+1的值域为(-∞,1],符合题意. 答案:-x2+1 10.(5分)设函数f(x)=为奇函数,则a=　　　　.  解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即=-.显然x≠0,整理得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a. 故a+1=0,得a=-1. 答案:-1 11.(5分)已知函数f(x)是定义在[-3,0)∪(0,3]上的奇函数,当x>0时,f(x)的图象如图所示,那么f(x)的值域是　　　　.  解析:因为当0<x≤3时,函数单调递增,由题图可知1<f(x)≤3.由于函数f(x)是奇函数,所以当-3≤x<0时,-3≤f(x)<-1. 答案:[-3,-1)∪(1,3] 12.(10分)已知函数f(x)=x-的图象经过点(2,1). (1)求a的值;(3分) (2)判断f(x)的奇偶性.(7分) 解:(1)因为函数f(x)=x-的图象经过点(2,1), 所以f(2)=1,即2-=1.解得a=2. (2)由(1)知f(x)=x-,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 因为f(-x)=-x-=-x+=-=-f(x),所以函数f(x)是奇函数. 13.(10分)已知函数f(x)满足下列3个条件: ①函数f(x)的图象关于原点对称;②函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;③函数f(x)过定点(1,-2). (1)请猜测出一个满足题意的函数f(x),并写出其解析式;(6分) (2)求(1)中所猜函数在[-3,-2]上的最大值.(4分) 解:(1)由f(x)的图象关于原点对称知f(x)为奇函数.又函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,∴可猜想f(x)=kx(k<0),∴f(1)=k=-2.∴猜测一个满足题意的函数为f(x)=-2x. (2)易知函数f(x)=-2x在[-3,-2]上单调递减,∴f(x)max=f(-3)=6. 14.(10分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,f(x)=-x+1.　 (1)求f(0),f(2);(4分) (2)求函数f(x)的解析式.(6分) 解:(1)∵当x≤0时,f(x)=-x+1,∴f(0)=1. 又函数f(x)是定义在R上的偶函数, ∴f(2)=f(-2)=-(-2)+1=3,即f(2)=3. (2)令x>0,则-x<0,从而f(-x)=x+1. ∵函数f(x)是定义在R上的偶函数, ∴f(x)=f(-x)=x+1. ∴当x>0时,f(x)=x+1. ∴函数f(x)的解析式为f(x)= 15.(15分)定义在(-1,1)上的函数f(x)满足对任意的x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f,且当x∈(0,1)时,f(x)<0. (1)求证:函数f(x)是奇函数;(4分) (2)判断f(x)在(-1,1)上的单调性;(6分) (3)解不等式f(x-1)+f(x)<0.(5分) 解:(1)证明:令x=y=0,得f(0)+f(0)=f(0),即f(0)=0, 任取x∈(-1,1),则-x∈(-1,1), f(x)+f(-x)=f=f(0)=0, 即f(-x)=-f(x),所以f(x)在(-1,1)上为奇函数. (2)判断函数f(x)在(-1,1)上单调递减. 任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2, 则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f, 因为-1<x1<x2<1,1-x1x2>0,x2-x1>0, 所以1-x1x2-x2+x1=(1-x2)(1+x1)>0,即1-x1x2>x2-x1, 所以0<<1,所以f<0, 即f(x2)-f(x1)<0,得f(x2)<f(x1), 所以函数f(x)在区间(-1,1)单调递减. (3)f(x-1)+f(x)<0,即f(x-1)<-f(x)=f(-x), 因为函数单调递减,所以需满足 解得<x<1.所以不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $