26.2.1 二次函数 y=ax²的图象和性质 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦二次函数y=ax²的图象和性质这一核心知识点，系统梳理描点法画图象的步骤、抛物线的开口方向与大小等图象特征，以及增减性、最值、对称性等性质，同时涵盖待定系数法、函数值比较及实际问题应用，为后续学习复杂二次函数奠定基础。 资料以考点突破-题型探究-分层通关为框架，题型探究含例题及变式，分层练习分基础、提升、培优三级。通过图象识别培养几何直观（数学眼光），性质应用强化推理意识（数学思维），实际问题（如拱桥模型）构建模型观念（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后帮助学生巩固提升，查漏补缺。

26.2.1 二次函数 y=ax²的图象和性质 目录 Part1考点突破 考点1：二次函数y=ax²的图象 考点2：二次函数y=ax²的性质 考点3：二次函数y=ax²的应用 Part2 题型探究 题型1：二次函数y=ax²的图象识别与画法 题型2：二次函数y=ax²的性质应用 题型3：二次函数y=ax²的综合应用 Part3 分层通关 【考点1：二次函数y=ax²的图象】 1、描点法画图象的步骤 画二次函数图象常用描点法，一般按以下步骤进行：①列表：在自变量允许的范围内，让x取一些代表性的值（正数、负数或0），代入函数解析式求出对应的y值，列出表格；②描点：把表中每一组对应值(x, y)看作平面直角坐标系中的一个点，并在坐标系中描出这些点；③连线：用平滑的曲线顺次连接所描出的点，得到函数图象。 2、图象特征 二次函数的图象是一条抛物线，它关于轴对称，顶点是坐标原点。 ①当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点。 ②决定抛物线的开口大小和方向：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大。 【考点2：二次函数y=ax²的性质】 1、增减性 当时，在对称轴左侧（），随的增大而减小；在对称轴右侧（），随的增大而增大。 当时，在对称轴左侧（），随的增大而增大；在对称轴右侧（），随的增大而减小。 2、最值 当时，时，有最小值；当时，时，有最大值。 3、对称性 抛物线关于轴对称，若点在抛物线上，则点也在抛物线上。即横坐标互为相反数的两个点，纵坐标相同。 【考点3：二次函数y=ax²的应用】 1、待定系数法求解析式 已知抛物线经过某一点，将该点坐标代入解析式，得到关于的方程，解方程即可求出的值，从而确定函数解析式。 2、函数值大小比较 比较抛物线上两点函数值的大小，常用方法：①直接代入计算法：将两点横坐标分别代入解析式，求出函数值再比较；②性质法：当a>0时，点到对称轴（y轴）的距离越远，函数值越大；当a<0时，点到对称轴的距离越远，函数值越小；③对称法：利用抛物线的对称性，将对称轴一侧的点转化到另一侧，再利用增减性比较。 3、实际问题中的抛物线模型 拱桥、喷泉、投篮等实际问题中的曲线常可看作抛物线。解决这类问题的关键是：建立适当的平面直角坐标系（通常以抛物线顶点为原点），设出函数解析式y=ax²，再利用已知点的坐标求出a的值，最后利用函数性质解决问题。 【题型1：二次函数y=ax²的图象识别与画法】 【例1】二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象与系数之间的关系是解决本题的关键．根据二次函数图象与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线开口向下，故选：A． 【变式1】在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系． 解法一：分和，根据一次函数的性质和二次函数的性质逐项判断即可； 解法二：根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解法一：当时，函数的图象开口向上，函数的图象经过第一、第二、第三象限，所以A、D错误，B正确； 当时，函数的图象开口向下，函数的图象经过第二、第三、第四象限，所以C错误． 解法二：A项，由一次函数的增减性，知，由一次函数图象与y轴的交点，知，故A不符合题意； B项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故B符合题意； C项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故C不符合题意； D项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故D不符合题意． 故选：B． 【变式2】关于函数，，的图象，下列说法中不正确的是（    ） A．顶点坐标相同 B．对称轴相同 C．图象形状相同 D．最低点相同 【答案】C 【分析】本题考查了的图象和性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据的性质求解即可． 【详解】解：函数，，都是形式， 二次函数， 顶点坐标均为，对称轴均为y轴，最低点均为， 但a值分别为，1，2，不相等， ∴图象开口大小不同，形状不同， 故选：C． 【变式3】已知二次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系为________（用“>”连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此可根据“当时，开口向上，当时，开口向下，越大，开口也就越小”进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：；故答案为． 【题型2：二次函数y=ax²的性质应用】 【例2】抛物线，，共有的性质是(　　) A．开口向上 B．顶点坐标都是 C．对称轴是y轴 D．在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；分别分析每个二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，找出共同点即可． 【详解】解：对于： ∵， ∴开口向上，顶点，对称轴为轴，在时随增大而增大； 对于： ∵， ∴开口向下，顶点，对称轴为轴，在时随增大而减小； 对于： ∵， ∴开口向下，顶点，对称轴为轴，在时随增大而减小； 综上，三条抛物线对称轴均为轴； 故选C． 【变式1】下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所学不同函数的性质逐一判断即可得到结果． 【详解】解：选项A，是正比例函数， ∵比例系数， ∴随的增大而增大，符合题意； 选项B，是二次函数，开口向上，对称轴为轴， 当时，随增大而减小，不符合题意； 选项C，是一次函数， ∵一次项系数， ∴随的增大而减小，不符合题意； 选项D，是反比例函数， ∵， ∴在每个象限内随的增大而减小，且定义域不连续，不符合题意． 【变式2】二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大， ∵点、、的横坐标满足，都在对称轴右侧， ∴． 【变式3】已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数增减性是关键． 根据二次函数的增减性即可解答． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 点距离对称轴有2个单位长度， 点距离对称轴有0个单位长度， 点距离对称轴有1个单位长度， ∴根据抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小可知：， 故选：C． 【题型3：二次函数y=ax²的综合应用】 【例3】如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点为坐标原点，水平方向为轴，以过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，解决本题的关键是将图像上的点代入求解． 根据该函数图像可知，该二次函数的顶点为，则可设该函数解析式为，将点代入函数解析式求解即可． 【详解】解：由函数图像可知，该二次函数的顶点为， 设该函数解析式为， ∵当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为． 则点， 将点代入可得，， 解得， ∴抛物线的表达式为． 故选：A． 【变式1】已知抛物线经过点． (1)求a的值； (2)当时， ． 【答案】(1)3 (2)12 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可得函数解析式，再把代入解析式中求出此时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， 当时，． 【变式2】已知二次函数的图象与直线交于点． (1)求a和b的值； (2)当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？ (3)求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标． 【答案】(1)，． (2)当时，二次函数的函数值随的增大而增大． (3)点的坐标为． 【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）联立两函数解析式，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴，即， 把点A的坐标代入得， ∴； （2）解：由（1）得二次函数的解析式为， ∴对称轴为y轴，函数图象开口向下， ∴当时，二次函数的函数值随的增大而增大； （3）解：联立，解得或， ∴点B的坐标为． 【变式3】如图，已知二次函数的图像和直线相交于、两点，且点的坐标是，点的坐标是． (1)________，并直接写出将二次函数的图像向左平移个单位长度所得的图像的函数表达式__________． (2)求的面积． (3)在二次函数的图像上是否存在点，使得的面积等于的面积，若存在，请求出所有符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质、三角形面积的计算，掌握相关知识是解题的关键． （1）将代入二次函数即可求出，根据二次函数的图像性质即可得出平移后的图像的函数表达式； （2）设直线的解析式为，将和代入即可求出解析式，再求出交点C坐标，根据即可求解； （3）设，根据面积等于的面积为求出，再代入抛物线求解即可． 【详解】（1）解：代入二次函数得， 解得， 向左平移个单位长度所得的图像的函数表达式为：； （2）设直线的解析式为， 将和代入直线的解析式得， 解得， 直线的解析式为， 联立直线与抛物线得， 解得， 交点C坐标为， ； （3）设，要求面积等于的面积为， 得， 解得：，， 代入抛物线得， 点的坐标为或． 【基础通关练】 1．抛物线的顶点坐标是（ ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键； 利用二次函数的顶点坐标特征即可求解． 【详解】解：∵二次函数的形式为时，其顶点坐标为， 又∵抛物线符合（）的形式， ∴抛物线的顶点坐标是， 故选：C． 2．嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“”按成了“”，和原图象相比，发生改变的是（    ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二次函数中，系数决定抛物线的开口方向和大小；的符号改变时，开口方向改变，但不变则开口大小不变；对称轴和顶点坐标均不变. 【详解】解：∵原函数，，开口向上；新函数，，开口向下， ∴开口方向改变； ∵， ∴开口大小不变； ∵对称轴均为， ∴对称轴不变； ∵顶点坐标均为， ∴顶点坐标不变． 故选：B． 3．已知二次函数的图像经过点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将代入解析式即可求出a的值． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 即， ∴． 故选：A． 4．下列函数中，当时，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数，一次函数，二次函数的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、因为，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； B、因为，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； C、因为，且对称轴为y轴，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； D、因为，则当时，的值随值的增大而减小，故本选项符合题意； 5．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质分别求出的值，再比较大小即可得出答案． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， 同理可得，，， ∵， ∴． 故选：C． 6．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则阴影部分的面积是_____． 【答案】8 【分析】根据二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称，利用割补法将阴影部分面积转化为正方形面积的一半求解． 【详解】解：二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称， ∴图中阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∴图中阴影部分的面积是． 【提升通关练】 1．抛物线 的图象开口最大的是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，的绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果 【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为，，，分别计算它们的绝对值得： ，， ∵ ，即 又∵对于抛物线，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大， ∴ 抛物线的开口最大 2．若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 3．在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（ ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数，一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图像性质即可顺利解题． 分别将，两点的横坐标代入，由图像知，时，，当时，，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：将代入中时，得 ， 将代入中时，得 ， 根据图像可知，时，，当时，， 则有： ， 解得：， ∴只有满足， 故选D． 4．已知抛物线经过两个不同的点和，那么的值是（   ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像的性质，根据抛物线关于轴对称的性质，由于点和点的纵坐标相同，因此它们的横坐标互为相反数，即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴为轴，且点和的纵坐标均为， 点和点关于轴对称， ， 故选：B． 5．已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴，增减性是关键． 通过计算点P和点Q的纵坐标，结合二次函数性质，判断各选项正误． 【详解】解：根据题意，， A、若，则， ∴，正确； B、若，则，， ， 解得，正确； C、若，则， ∴ ，即， ∴ ，正确； D、若，则，，， 解得，， 但不一定，如时，但， ∴ 错误； 故选：D． 6．如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图： 因为直线与两条抛物线的交点从上到下依次为，， 所以． 7．如图，四边形是正方形，且点恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（ ）． A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数和正比例函数的结合，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握二次函数的性质． 根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：C． 8．如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，抛物线在对称轴右侧部分下降，说明抛物线开口向下，据此可得的取值范围． 【详解】解：抛物线在对称轴的右侧部分下降， 抛物线开口向下， ， 故答案为：． 9．已知抛物线与直线都经过点． (1)求h，k的值； (2)如果一条过原点且对称轴是y轴的抛物线恰好经过点，请确定此抛物线的解析式． 【答案】(1) (2)抛物线解析式为 【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出，再把代入，进行求解出，即可作答． （2）理解题意，此抛物线的解析式为，则把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线都经过点， ∴， 把代入， 得， ∴， （2）解：依题意，设此抛物线的解析式为， 由（1）得， ∵抛物线恰好经过点， ∴抛物线恰好经过点， ∴， 解得． ∴． 10．已知关于x的函数是二次函数，当时y随x的增大而增大，则a的值为________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义和性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数的定义，指数部分必须为2，求出a的值，再根据函数的增减性条件确定a的取值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ 解得， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 11．如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． (1)求二次函数的解析式； (2)为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解、函数与直线的交点坐标计算，以及等边三角形的性质，熟练结合函数与几何图形的性质是解题关键． （1）利用二次函数图象上点的坐标特征，代入已知点坐标求出函数解析式； （2）先结合直线方程与二次函数解析式求出交点坐标，再根据等边三角形的中线、高的性质，计算出顶点的坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：将代入， 解得：，， 点、的坐标分别为，， ，， 是等边三角形， 易得点在轴上，且， 轴， ， ， 点的坐标为， 【培优通关练】 1．如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质：①抛物线的开口大小由决定，越大，抛物线的开口越窄，越小，抛物线的开口越宽；②抛物线的开口方向由决定，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下．根据以上抛物线性质即可分析出的大小关系． 【详解】解：抛物线、开口向上， 且抛物线的开口更窄， ， 抛物线、开口向下， 且抛物线的开口更窄， ， ． 故选C． 2．如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 3．如图所示，在同一坐标系中，作出①；② ；③的图象，则图象，，对应的函数解析式依次是 ________．（填序号） 【答案】①③② 【分析】本题主要考查二次函数的二次项系数与图象的关系，结合抛物线的形状与有关，根据的大小即可确定抛物线的开口的宽窄． 【详解】解：∵①；② ；③ ∴，二次项系数a分别为、、， ∵， ∴抛物线②的开口最宽，抛物线①的开口最窄． ∴图象，，对应的函数解析式依次是①③②． 故答案为：①③②． 4．如图，在平面直角坐标系中，四条直线围成正方形． (1)若抛物线与正方形有公共点，求的取值范围． (2)若抛物线与正方形没有公共点，则的取值范围为______ 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据抛物线经过点时，可得抛物线中的值最大，抛物线经过点时，可得抛物线中的值最小； （2）根据抛物线与正方形没有公共点，可得抛物线中值大于抛物线经过点时的值，抛物线中值小于抛物线经过点时的值． 【详解】（1）解：由越大，抛物线开口越小，得抛物线经过点时，的值最大；拋物线经过点时，的值最小． ，解得． ，解得． 综上所述，当抛物线与正方形有公共点时，的取值范围是． （2）解：由（1）得，当或时，开口向上的抛物线与正方形没有公共点； 当时，抛物线开口向下，抛物线与正方形没有公共点， 综上所述：当或或时，抛物线与正方形没有公共点． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用了二次函数的性质：越大，抛物线开口越小． 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 目录 Part1考点突破 考点1：二次函数y=ax²的图象 考点2：二次函数y=ax²的性质 考点3：二次函数y=ax²的应用 Part2 题型探究 题型1：二次函数y=ax²的图象识别与画法 题型2：二次函数y=ax²的性质应用 题型3：二次函数y=ax²的综合应用 Part3 分层通关 【考点1：二次函数y=ax²的图象】 1、描点法画图象的步骤 画二次函数图象常用描点法，一般按以下步骤进行：①列表：在自变量允许的范围内，让x取一些代表性的值（正数、负数或0），代入函数解析式求出对应的y值，列出表格；②描点：把表中每一组对应值(x, y)看作平面直角坐标系中的一个点，并在坐标系中描出这些点；③连线：用平滑的曲线顺次连接所描出的点，得到函数图象。 2、图象特征 二次函数的图象是一条抛物线，它关于轴对称，顶点是坐标原点。 ①当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点。 ②决定抛物线的开口大小和方向：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大。 【考点2：二次函数y=ax²的性质】 1、增减性 当时，在对称轴左侧（），随的增大而减小；在对称轴右侧（），随的增大而增大。 当时，在对称轴左侧（），随的增大而增大；在对称轴右侧（），随的增大而减小。 2、最值 当时，时，有最小值；当时，时，有最大值。 3、对称性 抛物线关于轴对称，若点在抛物线上，则点也在抛物线上。即横坐标互为相反数的两个点，纵坐标相同。 【考点3：二次函数y=ax²的应用】 1、待定系数法求解析式 已知抛物线经过某一点，将该点坐标代入解析式，得到关于的方程，解方程即可求出的值，从而确定函数解析式。 2、函数值大小比较 比较抛物线上两点函数值的大小，常用方法：①直接代入计算法：将两点横坐标分别代入解析式，求出函数值再比较；②性质法：当a>0时，点到对称轴（y轴）的距离越远，函数值越大；当a<0时，点到对称轴的距离越远，函数值越小；③对称法：利用抛物线的对称性，将对称轴一侧的点转化到另一侧，再利用增减性比较。 3、实际问题中的抛物线模型 拱桥、喷泉、投篮等实际问题中的曲线常可看作抛物线。解决这类问题的关键是：建立适当的平面直角坐标系（通常以抛物线顶点为原点），设出函数解析式y=ax²，再利用已知点的坐标求出a的值，最后利用函数性质解决问题。 【题型1：二次函数y=ax²的图象识别与画法】 【例1】二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式1】在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式2】关于函数，，的图象，下列说法中不正确的是（    ） A．顶点坐标相同 B．对称轴相同 C．图象形状相同 D．最低点相同 【变式3】已知二次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系为________（用“>”连接）． 【题型2：二次函数y=ax²的性质应用】 【例2】抛物线，，共有的性质是(　　) A．开口向上 B．顶点坐标都是 C．对称轴是y轴 D．在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 【变式1】下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式3】已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【题型3：二次函数y=ax²的综合应用】 【例3】如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点为坐标原点，水平方向为轴，以过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ） A． B． C． D． 【变式1】已知抛物线经过点． (1)求a的值； (2)当时， ． 【变式2】已知二次函数的图象与直线交于点． (1)求a和b的值； (2)当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？ (3)求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标． 【变式3】如图，已知二次函数的图像和直线相交于、两点，且点的坐标是，点的坐标是． (1)________，并直接写出将二次函数的图像向左平移个单位长度所得的图像的函数表达式__________． (2)求的面积． (3)在二次函数的图像上是否存在点，使得的面积等于的面积，若存在，请求出所有符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【基础通关练】 1．抛物线的顶点坐标是（ ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 2．嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“”按成了“”，和原图象相比，发生改变的是（    ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 3．已知二次函数的图像经过点，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．下列函数中，当时，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 5．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A．B． C． D． 6．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则阴影部分的面积是_____． 【提升通关练】 1．抛物线 的图象开口最大的是（ ） A． B． C． D．无法确定 2．若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 3．在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（ ） A．3 B．2 C． D． 4．已知抛物线经过两个不同的点和，那么的值是（   ） A．2 B． C．8 D． 5．已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 7．如图，四边形是正方形，且点恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（ ）． A．2 B． C．4 D． 8．如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 9．已知抛物线与直线都经过点． (1)求h，k的值； (2)如果一条过原点且对称轴是y轴的抛物线恰好经过点，请确定此抛物线的解析式． 10．已知关于x的函数是二次函数，当时y随x的增大而增大，则a的值为________． 11．如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． (1)求二次函数的解析式； (2)为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 【培优通关练】 1．如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 3．如图所示，在同一坐标系中，作出①；② ；③的图象，则图象，，对应的函数解析式依次是 ________．（填序号） 4．如图，在平面直角坐标系中，四条直线围成正方形． (1)若抛物线与正方形有公共点，求的取值范围． (2)若抛物线与正方形没有公共点，则的取值范围为______ 学科网（北京）股份有限公司 $