26.2.1二次函数y=ax²的图象和性质（讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦二次函数y=ax²的图象与性质这一核心知识点，系统梳理抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性及系数a对开口大小的影响，作为二次函数学习的基础支架，衔接函数概念与后续复杂二次函数内容。 资料通过表格对比a>0与a<0的性质差异，结合易错提醒强化理解，分层练习与新定义问题培养抽象能力和创新意识，实际应用题型（如拱桥问题）发展模型观念。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

第二十六章 二次函数 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 课标要点 1.认识二次函数y=ax2的图象是抛物线，能够准确说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点。 2.理解系数a对抛物线开口方向、开口大小的影响，能根据a的取值判断抛物线基本特征。 3.结合函数图象掌握y=ax2的增减性，能分别表述x<0、x>0时，y随x的变化情况，区分抛物线的最高点与最低点。 学习重难点 重点： 1.当a>0时，抛物线y=ax2开口向上，对称轴为y轴，顶点是原点，顶点为最低点；a越大开口越小；x<0，y随x增大而减小；x>0，y随x增大而增大。 2.当a<0时，抛物线y=ax2开口向下，对称轴为y轴，顶点是原点，顶点为最高点；a越小开口越小；x<0，y随x增大而增大；x>0，y随x增大而减小。 难点： 1.分清a>0、a<0两种情形下增减性，避免混淆。 2.理解a的大小和抛物线开口宽窄之间的关系。3.结合图象，利用增减性判断自变量变化时函数值的变化趋势。 知识点 二次函数y=ax2的图象与性质 函数形式，图象叫做抛物线 共同特征(无论a>0还是a<0) ①对称轴：y轴(直线x =0)；②顶点坐标：原点(0,0)；③图象都关于y轴对称。 ④|a|决定开口宽窄：|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，开口越大。 y=ax2 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴，直线x=0 y轴，直线x=0 顶点坐标 (0，0)（原点） (0，0)（原点） 顶点位置特征 抛物线的最低点 抛物线的最高点 最值情况 当x=0时，最小值；无最大值 当x=0时，最大值；无最小值 增减性（对称轴左侧x<0） y随x的增大而减小 y随x的增大而增大 增减性（对称轴右侧x>0） y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 特别提醒 1.开口宽窄判断易错：不是a越大开口越窄，是|a|越大，抛物线开口越窄，与a正负无关。 2.增减性描述易错：不能笼统说y随x增大而增大/减小，要以对称轴x =0分左右两边分别描述。 3.书写规范易错：对称轴要写直线x=0，顶点写坐标(0，0)；二次函数前提a≠0，a=0不是二次函数。 随学随练 1．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆开口方向和大小与a的关系是解题关键． 直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a的关系进而得出答案． 【详解】解：如图所示：的开口向上，， 与开口向下，则， ∵的开口大于开口， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏淮安·期末）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质分别求出的值，再比较大小即可得出答案． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， 同理可得，，， ∵， ∴． 故选：C． 3．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期末）如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点为坐标原点，水平方向为轴，以过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，解决本题的关键是将图像上的点代入求解． 根据该函数图像可知，该二次函数的顶点为，则可设该函数解析式为，将点代入函数解析式求解即可． 【详解】解：由函数图像可知，该二次函数的顶点为， 设该函数解析式为， ∵当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为． 则点， 将点代入可得，， 解得， ∴抛物线的表达式为． 故选：A ． 4．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、、的图象； （2）观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴； （3）说出各图象中的最高点或最低点的坐标； （4）说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数y随x增大而变化的情况． 【答案】 解：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、、图象，如图所示： ； （2）函数顶点坐标是，开口向上，对称轴是y轴， 顶点坐标是，开口向下，对称轴是y轴， 顶点坐标是，开口向上，对称轴是y轴， 顶点坐标是，开口向下，对称轴是y轴； （3）图象中的最低点的坐标是， 图象中的最高点的坐标是， 图象中的最低点的坐标是， 图象中的最高点的坐标是； （4），时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大， ，时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， ，时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大， ，时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小． 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意画出函数图象即可； （2）结合图象求解即可； （3）结合图象求解即可； （4）结合图象求解即可． 【详解】略 拓展二次函数y=ax2图象与性质新定义类问题 题型特点：题目给出课本没有的新概念(新运算、新距离、新特征点、新图像、新规则),结合最简单二次函数y=ax²考理解、读图、计算、分类讨论。核心：先读懂新定义，再套二次函数y=ax²性质。 一、基础必备(y=ax²图像性质) 1.顶点永远(0,0),对称轴：y轴(x=0) 2.a>0：开口向上；x<0递减，x>0递增；有最小值0 3.a<0：开口向下；x<0递增，x>0递减；有最大值0 4.点(r,y)在图像上，则y=ax²;若点(m,n)在抛物线上，则n=am²,经常用来求a。 二、通用解题四步(新定义题万能流程) 第1步：翻译新定义，圈关键词 把题目文字定义翻译成数学式子/几何条件。 常见新定义：新距离、伴随点、可控点、友好点、“k一特征点”、镜像点、界点等。 操作：用笔画出定义中的等式、不等式、范围。 例：定义：若点P()满足，称P为抛物线上方点。 翻译：条件就是 第2步：设点坐标，代入定义 二次函数上动点常设：(用参数t表示横坐标，纵坐标直接写at²,减少未知数)。把P(t,at²)代入翻译出来的等式或不等式，得到关于t、a的方程/不等式。 第3步：结合y=ax²性质化简 1.出现t²,注意t²≥0; 2.a正负会改变不等号方向!分类讨论a>0、a<0是高频易错点； 3.求交点：联立新定义条件与y=ax²解方程； 4.判断存在性：看方程有没有实数解，判别式、平方非负。 第4步：检验结果，取舍答案 ①解出来的t、a是否满足题目隐藏条件(比如点在第一象限、x>0等); ②多解要排除不符合定义的解。 活学活用 1．（25-26九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，对于点，，若满足，则称，两点互为“倍点”． (1)已知直线上的点是点的“2倍点”， ①若点在轴上，求点的横坐标． ②若点在抛物线上，求点的坐标． (2)已知，若在抛物线上存在唯一的点是点的“倍点”，求的值． 【答案】(1)①；②点的坐标或 (2)2或  − 14 【分析】本题考查解一元一次方程，二次函数性质，解一元二次方程，根的判别式等． （1）①设，点，根据题意列式计算即可求出本题答案；②设点，列式，整理得，解出即可； （2）设点，再列式，利用根的判别式即可求出本题答案． 【详解】（1）解：①∵直线上的点是点的“2倍点”， ∴设，点， ，解得：， ②∵点在抛物线上， ∴设点，，即，解得，． 点的坐标或； （2）解：∵，若在抛物线上存在唯一的点是点的“倍点”， ∴设点， 有唯一解， 即， ，解得，． 即的值为2或． 2．（2025·江西·二模）如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性可知，为等腰三角形．我们规定：当为等腰直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”． (1)与的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号） ①；②；③ (2)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为8，求的值； (3)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为，抛物线的“完美三角形”的斜边长为，且，求与的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)； (3)． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质． （1）根据抛物线的性质得出二次项系数相同抛物线的“完美三角形”全等，据此求解即可； （2）由题意可知为等腰直角三角形，设出点的坐标为，根据二次函数的性质得出的值，然后得出，由此列出方程，求解即可； （3）由（2）的结论，列式整理即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线①；③的形状与抛物线相同， ∴抛物线和与的“完美三角形”的斜边长相等； 故答案为：①③； （2）解：设交轴于， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 设点坐标为，代入抛物线， 得， ∴，（舍去）， ∴， ∴， ∵抛物线与抛物线的形状相同， ∴抛物线与抛物线的“完美三角形”全等， ∵抛物线的“完美三角形”斜边的长为8， ∴抛物线的“完美三角形”斜边的长为8， ∴，∴； （3）解：由（2）知抛物线的“完美三角形”的斜边长为， 抛物线的“完美三角形”的斜边长为， ∵， ∴， 整理得． 题型一 与二次函数y=ax2相关的点 解题贴士 判断一个点是否在图像上 核心方法：代入检验法 把点的横坐标x。代入解析式，算出函数值，看算出来的y是否等于点的纵坐标。步骤： 1.将代入，计算： 2.比较计算得到的y和点的纵坐标yo 若→点在抛物线上； 若→点不在抛物线上。 ▌例1（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键； 利用二次函数的顶点坐标特征即可求解． 【详解】解：∵二次函数的形式为时，其顶点坐标为， 又∵抛物线符合（）的形式， ∴抛物线的顶点坐标是， 故选：C． ▌对点练1-1．（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的图象必经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项中点的横坐标代入验证即可得解． 【详解】解：当时，，选项A不符合题意； 当时，，选项B符合题意； 当时，，选项C不符合题意； 当时，，选项D不符合题意． ▌对点练2-1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算得到的y值与点的纵坐标相等，该点就在函数图象上，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； B选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； C选项，当时，，与点的纵坐标相等， ∴在该函数图象上，符合题意； D选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意． 题型二 二次函数y=ax2的开口大小比较 解题贴士 ，开口大小只看||(的绝对值)，和的正负无关 1.||越大→抛物线开口越窄(越陡) 2.||越小→抛物线开口越宽(越平缓) 的正负只决定开口方向： ：开口向上 ：开口向下 ▌例2（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，的绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果 【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为，，，分别计算它们的绝对值得： ，， ∵ ，即 又∵对于抛物线，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大， ∴ 抛物线的开口最大， ▌对点练2-1．（25-26九年级上·河南新乡·期中）有下列二次函数：①；②；③．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质；二次函数图象的开口大小由系数的绝对值决定，越小开口越大，越大开口越小．比较三个函数的值即可得出开口大小顺序． 【详解】解：二次函数图象的开口大小由系数的绝对值决定，越小开口越大，越大开口越小， 对于①，； 对于②， ； 对于③， ． 从小到大为：②③①， 故开口从大到小为：②③①，即②③①． 故选：C． ▌对点练2-2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是______ ．（请用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次项系数与图象的关系是解题的关键．直接利用二次函数的图象开口大小与的关系即可得出答案． 【详解】解：观察图象可知，开口向上，故， 和开口向下，且的开口大小小于，故， ． 故答案为：． 题型三 利用二次函数y=ax2的性质比较函数值大小 解题贴士 方法一：代数法(代入计算，万能，选择题不会就用) 把自变量x直接代入，算出y，直接比大小。 例：，比较=-3，=2的函数值 方法二：性质法(不计算，快速比较，考试高频) ▌例3（25-26八年级下·广西南宁·期末）二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大， ∵点、、的横坐标满足，都在对称轴右侧， ∴． ▌对点练3-1．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数增减性是关键． 根据二次函数的增减性即可解答． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 点距离对称轴有2个单位长度， 点距离对称轴有0个单位长度， 点距离对称轴有1个单位长度， ∴根据抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小可知：， 故选：C． ▌对点练3-2．（25-26九年级上·北京西城·阶段检测）点在上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质， 通过代入x值计算y值，然后比较大小． 【详解】∵点在上， ∴； ∵点在上， ∴； ∵， ∴． 故选：A． 题型四 根据函数的增减性求参数 解题贴士 考法2：给两个点，结合增减性求参数范围(中考高频难点) 题干形式： 在抛物线上，当时，，求a的范围。 ▲关键：要先看两个点是同在对称轴左边/同在右边/分居两侧。 ▌例4（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）已知二次函数，当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．根据二次函数图象的性质，当抛物线开口向上时，在对称轴左侧随增大而减小，结合条件即可求解． 【详解】解：∵二次函数，当时，随增大而减小， ∴抛物线开口向上， ∴． 故选：C． ▌对点练4-1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）如图，四边形是边长为的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线的图象上，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据正方形的对角线平分一组对角线可得，过点B作轴于D，然后求出，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，再利用勾股定理列式求出，从而得到点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线解析式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是边长为的正方形， ∴， 过点B作轴于D， ∵与x轴正半轴的夹角为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点B在抛物线的图象上， ∴， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了正方形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟记正方形性质并求出与x轴的夹角为，然后求出点B的坐标是解题的关键． ▌对点练4-2．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交抛物线，于点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，先求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出的值即可． 【详解】解：∵直线分别交抛物线，于点， ∴的纵坐标均为2， 当时，解得， ∴， ∵， ∴， 把代入，得， 解得； 故选C． 题型五 y=ax2的性质与图象综合（选择） ▌例5（25-26九年级上·上海·期中）下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出二次函数性质是解决本题的关键．通过比较两条抛物线的二次项系数、开口方向、顶点和对称轴，判断各说法的正误即可． 【详解】解：∵抛物线和中二次项系数的绝对值相等， ∴它们的形状相同，开口方向相反，故A错误； 它们的对称轴都是y轴，故B正确； 它们的顶点都是，故C错误； 把代入得：， ∴点在抛物线上， 把代入得：， ∴点不在抛物线上，故D错误． 故选：B． ▌对点练5-1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）关于二次函数与，下列说法错误的是（   ） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点坐标相同 D．两函数图象关于x轴对称 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质．通过比较二次函数和的开口方向、对称轴、顶点坐标和对称性，判断各选项正误，即可作答． 【详解】解：∵， ∴开口方向向上，对称轴为直线， 当时，则，即顶点坐标为， ∵， ∴开口方向向下，对称轴为直线， 当时，则，即顶点坐标为， ∴二次函数与的开口方向不相同，故A选项符合题意； ∴二次函数与的对称轴相同，顶点坐标相同，两函数图象关于x轴对称，故B、C、D选项不符合题意； 故选：A ▌对点练5-2．（25-26九年级上·上海·课后作业）对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据抛物线的对称轴及开口方向，即可判断二次函数的增减性． 【详解】解：，对称轴为直线， 抛物线开口向上，当时，随的增大而增大 当时，随的增大而减小，故B正确． 故选：B． ▌对点练5-3．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）关于函数，，的图象，下列说法中不正确的是（    ） A．顶点坐标相同 B．对称轴相同 C．图象形状相同 D．最低点相同 【答案】C 【分析】本题考查了的图象和性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据的性质求解即可． 【详解】解：函数，，都是形式， 二次函数， 顶点坐标均为，对称轴均为y轴，最低点均为， 但a值分别为，1，2，不相等， ∴图象开口大小不同，形状不同， 故选：C． 题型六 y=ax2的性质与图象实际应用 解题贴士 模型1：拱桥、隧道、拱门(开口向下，a<0) 一般建系方式： 方案①：以拱顶(最高点)为原点(0，0)，水平向右为x轴，竖直向下为y轴； 方案②：以拱顶为原点，x轴水平向右，y轴竖直向上，此时a<0，拱顶(0，0)是最高点。 已知桥宽、高度，求解析式；或已知位置求高度；或已知高度求水平宽度。 模型2：抛射运动(喷水、小球下落， 1.喷水：喷头放在原点(0，0)，水流向外向上抛出，开口向下。 2.自由下落：物体从原点由静止下落，向下为y轴正方向，开口向上，时间x，下落距离y。 ▌例6（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（  ）    A．16m B．18m C．20m D．24m 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．由题意得，点A的横坐标为，据此求出，进而得到点C的纵坐标为，再求出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点A的横坐标为， 在中， 当时，， ∴， ∴点C的纵坐标为， 在中， 当时， 解得或， ∴， ∴（m）， 故选：C． ▌对点练6-1．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期末）如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点为坐标原点，水平方向为轴，以过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，解决本题的关键是将图像上的点代入求解． 根据该函数图像可知，该二次函数的顶点为，则可设该函数解析式为，将点代入函数解析式求解即可． 【详解】解：由函数图像可知，该二次函数的顶点为， 设该函数解析式为， ∵当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为． 则点， 将点代入可得，， 解得， ∴抛物线的表达式为． 故选：A ． ▌对点练6-2．（25-26九年级上·广东江门·期中）一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示．现测得：当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为．当水面宽时，水位上升___________ 【答案】/8米 【分析】本题考查了的图象和性质，拱桥问题(实际问题与二次函数)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求得抛物线的解析式，再求出的纵坐标，从而可求得水位上升的距离． 【详解】解：设抛物线的解析式为， ∵当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为， ∴，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当水面宽时， 的横坐标为， ∴的纵坐标为， ∴水位上升 ， 故答案为：． ▌对点练6-3．（25-26九年级上·湖北宜昌·阶段检测）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为______ 【答案】8 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．根据题意，把直接代入解析式即可解答． 【详解】解：根据题意的纵坐标为， 把代入， 得 ， ，， ． 故答案为：8． 题型七 y=ax2的性质与图象中规律探索类 ▌例7（2026·江苏宿迁·三模）如图，点在平面直角坐标系的原点上，点，，…在轴上，点，，，…，点，，，…都在抛物线上，四边形，，…都是菱形．若，则菱形的周长是________． 【答案】 【分析】设菱形的边长为，根据题意求出，代入抛物线的解析式求出，同法求出，推出，进而得到菱形的边长为，即可得出结果. 【详解】解：∵四边形，，…都是菱形，点，，…在轴上， ∴轴，轴，…， 设菱形的边长为， ∵， ∴， ∴，即， ∵点，，，…都在抛物线上， ∴， 解得（舍去）或； ∴， ∴，即， ∴， 解得或（舍去） 同法可得：， ， ∴， ∴菱形的边长为， ∴菱形的周长是. ▌对点练7-1．（25-26八年级下·山东东营·期中）二次函数的函数图象如图，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，，都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则的斜边长为___． 【答案】8 【分析】过点，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，，分别写出直线、直线、直线的解析式，将它们分别与联立，求得点，，的坐标，从而可得，，，发现规律后，按照规律即可求得的斜边长． 【详解】解：如图所示，过点，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，， ，，都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形， ， 所在直线的解析式为：， 由，得， ， ， 直线为：， 由，得， ， ， 直线为：， 由，得， ， ， 由上面，，，可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜边长依次加， ∴的斜边长为． ▌对点练7-2．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为．将轴绕原点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点…，依次进行下去，则点的坐标为____________． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标规律探索，求一次函数解析式，一次函数和二次函数交点的坐标，根据坐标的变化找出规律是解题的关键．根据二次函数性质可得出点的坐标，求得直线的解析式，联立方程求得的坐标，即可求得的坐标，同理求得、的坐标，根据坐标的变化找出规律，即可找出点的坐标． 【详解】解：设，直线的解析式为， ∵将轴绕原点逆时针旋转，交抛物线于点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴ 解得或， ∴， 又∵将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点， ∴轴，， 中，令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴，即， ∴直线的解析式为， ∴ 解得或， ∴ 中，令，则， ∴， 同理，， ， …， 即的横坐标为，纵坐标为 的横坐标为，纵坐标为， 的横坐标为，纵坐标为， …， ∴的坐标中，当n为奇数时，横坐标为，纵坐标为， ∴的横坐标为，纵坐标为， 即 故答案为：． 题型八 y=ax2的性质与图象作图题 ▌例8（26-27九年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系内画出二次函数与的图象． (1)列表 x … 0 1 2 … … ________ ________ ________ ________ ________ … … ________ ________ ________ ________ ________ … (2)描点、连线 【答案】(1)8，2，0，2，8，，，，， (2) 【分析】（1）求出函数值即可； （2）描点连线即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，． （2）略 ▌对点练8-1．（25-26九年级下·全国·课堂例题）在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数和的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)： (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线，当______时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数，对于一切的值，总有函数______0；当______时，有最______值是______． 【答案】(1) 图象如图： 二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为． (2)，低． (3)，，大，0． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，能够正确作出二次函数的图象是解题关键． （1）先在网格内画出两个二次函数的图象，然后再根据图象即可知开口方向，对称轴和顶点坐标； （2）根据函数的图象解答即可； （3）根据函数的图象解答即可． 【详解】（1） 由图可得：二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为． （2）解：抛物线，当时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最低点． 故答案为：，低． （3）解：函数，对于一切的值，总有函数；当时，有最大值是0． 故答案为：，，大，0． ▌对点练8-2．（2025九年级·全国·专题练习）在下面给定的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，并回答下列问题： （1）当x取何值时，y有最小值？最小值是多少？ （2）当时，y随x的增大怎样变化？当时呢？ 【答案】函数的图象如图所示． （1）当时，y有最小值，最小值是0． （2）当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握相关性质是解题关键． 根据可知，点均在函数图象上，描点后相连即可； （1）根据图象知当时，有最小值； （2）根据图象即可判断时，随的增大而增大；时，随的增大而减小． 【详解】解：作函数的图象如图所示． （1）根据图象可知，当时，有最小值，最小值是． （2）解：根据图象可判断， 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小． ▌对点练8-3．（2025九年级·全国·专题练习）已知圆柱的高为，底面半径为，体积为（取3）． (1)与之间的函数关系式为______，并在图中画出图象． (2)根据图象，当时，圆柱的体积为______． (3)根据图象，求出当为何值时，． 【答案】(1) (2)1 (3)当时， 【分析】（1）由圆柱体积公式直接可得； （2）将代入（1）中公式即可； （3）观察图像可知，在第一象限内随的增大而增大，当时，． 【详解】（1）解：由圆柱的体积公式可得， 画图如下： （2）解：将代入（1）中公式可得， 故答案为：1． （3）解：由图像可知，当时，，在第一象限内随的增大而增大， ∴当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 题型九 y=ax2的性质与图象综合解答 ▌例9（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）已知二次函数的图象与直线交于点． (1)求a和b的值； (2)当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？ (3)求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标． 【答案】(1)，． (2)当时，二次函数的函数值随的增大而增大． (3)点的坐标为． 【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）联立两函数解析式，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴，即， 把点A的坐标代入得， ∴； （2）解：由（1）得二次函数的解析式为， ∴对称轴为y轴，函数图象开口向下， ∴当时，二次函数的函数值随的增大而增大； （3）解：联立，解得或， ∴点B的坐标为． ▌对点练9-1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点A，B在抛物线上．已知点A，B的横坐标分别为，4，直线与y轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值． 【答案】(1) (2)，的最小值为 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先根据二次函数的解析式求出，，再利用待定系数法求解即可得； （2）先求出，再作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求，利用待定系数法求出直线的解析式，则可得点的坐标，然后利用两点之间的距离公式即可得最小值． 【详解】（1）解：将代入得：， ∴， 将代入得：， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：将代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 由轴对称的性质得：， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为， ∴与轴的交点即为所求， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入得：，解得， ∴此时点的坐标为， 综上，此时点的坐标为，的最小值为． ▌对点练9-2．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，已知点在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于点． (1)求的值； (2)若点是抛物线上一点，且的横坐标为1，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）把点代入抛物线解析式进行求解即可； （2）由（1）可得点的坐标，然后代入得出点的坐标，进而问题可求解． 【详解】（1）解：把代入抛物线得： ， 解得：； （2）解：由（1）可知抛物线的解析式为， ∴当时，则有，解得：， 当时，则有， ∴， ∴． ▌对点练9-3．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于、两点． (1)求的值； (2)观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法，图像法求不等式解集是关键． （1）把点A代入一次函数得到m的值，把点B代入一次函数得到n的值，把点A代入二次函数得到a的值； （2）根据图象解不等式即可． 【详解】（1）解：二次函数与一次函数的图象相交于、两点， ∴，则， ， 解得，，则， 把点代入二次函数解析式得，， 解得，； （2）解：不等式变形得，， 即二次函数图象在一次函数图象的下方， ∴当时，， 即当时，． 基础通关 1．（2026·广东广州·二模）给出下列函数： ①， ②， ③， ④，其中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题根据一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，逐个判断各函数在时的增减性即可得到答案. 【详解】解：①对于，是一次函数，，随增大而增大，当时符合条件； ②对于，是一次函数，，随增大而减小，不符合条件； ③对于，是反比例函数，，时随增大而减小，当时不符合条件； ④对于，是二次函数，开口向上，对称轴为，时随增大而增大，故当时符合条件； 因此符合条件的是①④，故选C. 2．（25-26九年级下·吉林长春·期中）若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 3．（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 【答案】A 【分析】本题考查了利用抛物线的性质求解参数，抛物线的形状和开口方向由二次项系数a决定，形状与开口方向相同的抛物线二次项系数a相同，再将顶点坐标代入解析式即可求出c． 【详解】∵抛物线的形状及开口方向与相同， ∴， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴将，代入解析式得： ， ∴． 4．（25-26九年级上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数，一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图像性质即可顺利解题． 分别将，两点的横坐标代入，由图像知，时，，当时，，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：将代入中时，得 ， 将代入中时，得 ， 根据图像可知，时，，当时，， 则有： ， 解得：， ∴只有满足， 故选D． 5．（25-26九年级上·河北邢台·期末）嘉嘉用软件绘制抛物线时，将系数“3”误认为“”，得到的新抛物线与原抛物线相比，发生改变的是（   ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，比较原抛物线与新抛物线的系数a，分析开口方向、开口大小、对称轴和顶点坐标的变化即可求解． 【详解】解：在二次函数和中，对称轴均为直线，顶点坐标为， 故选项C、D不符合题意； ∵原函数，新函数， ∴开口方向均向上，未改变，故选项B不符合题意； ∵， ∴开口大小改变，故选项A符合题意， 故选：A． 6．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、图形的旋转变换，解题的关键是利用旋转的坐标变化规律确定线段的位置，再结合抛物线解析式求交点坐标． 1． 代入点坐标求出抛物线解析式； 2． 根据旋转规则确定点的坐标，得到的纵坐标； 3． 将的纵坐标代入抛物线解析式，求出点的横坐标，得到点坐标． 【详解】解：将代入， 得， 解得， 故抛物线解析式为． 绕点顺时针旋转得到， 则旋转后对应 且， 故的纵坐标为． 点在上，故其纵坐标为； 将代入抛物线，得（舍去负根，因在第一象限）， 旋转后对应， 故是从到的线段， 纵坐标恒为． 代入得（舍去）， 故． 故选：C． 7．（25-26九年级上·广东潮州·期中）如图，四边形是正方形，且点恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（   ）． A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数和正比例函数的结合，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握二次函数的性质． 根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：C． 8．（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 【答案】下 【分析】根据二次函数的性质即可得到二次函数图象的开口方向； 【详解】解：∵二次函数中，， ∴二次函数的图象开口向下； 9．（25-26九年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，点，，若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是____． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 分别把、点的坐标代入得的临界值，根据二次函数的性质可得到的取值范围． 【详解】解：因为抛物线与线段有公共点，则抛物线开口必须向上， 的顶点坐标为，对称轴为轴， 把代入解析式，得，解得， 把代入解析式，得，解得， 因为抛物线与线段有公共点， 则 故答案为：． 10．（25-26九年级上·四川广元·期中）已知点，是函数的图象上的两点，且当时，有，则的取值范围是______ 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，由函数形式可知其为二次函数，根据当时，有，判断函数在时递减，故，解不等式可得的取值范围． 【详解】解：当时， 可得：， 无论为何值，均有， 不符合题意； 当时，函数是二次函数， 其图象为抛物线， 当时，有， ， 解得：． 故答案为：． 11．（2025·山东东营·中考真题）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、正方形的性质及利用抛物线解析式求直角边长，找到规律是解题的关键． 根据正方形性质得和是等腰直角三角形．设的直角边长为，则，代入抛物线的解析式中解得，则的直角边长为，同理可求得等腰直角的直角边长为，依此类推，等腰直角的直角边长为，即可求得其周长． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，是等腰直角三角形． 设的直角边长为，则； 代入抛物线的解析式中得： ， 解得（舍去），； 故的直角边长为， 同理可求得等腰直角的直角边长为， … 依此类推，等腰直角的直角边长为， 故正方形的周长为． 故答案是：． 12．（2025九年级上·河南信阳·专题练习）已知函数是关于的二次函数. (1)求满足条件的值； (2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小； (3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大. 【答案】(1)或 (2)当时，抛物线有最低点，当时，随的增大而减小 (3)当时，抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大 【详解】（1）解：∵函数是关于的二次函数， ∴， 解得：或， ∴满足条件的值为． （2）解：当时，函数为，开口向上，此时抛物线有最低点，当时，随的增大而减小． （3）解：当时，函数为，开口向下，此时抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大． 13．（2025九年级·全国·专题练习）如图，梯形的顶点都在抛物线 上，且轴．点的坐标为，点的坐标为． (1)求a，b的值． (2)求，两点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为，点的坐标为 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）分别将和的坐标代入解析式即可； （2）由抛物线的对称性和、的坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， ． 点在第三象限， ． 当时，， ． 综上：． （2）解：轴， 点与点，点与点的纵坐标相同． 关于轴对称， 点的坐标为，点的坐标为． 素养提升 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质，即可解答． 【详解】解：由图知顶点坐标为，开口向下， ∴当时，可取最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，结合图象知函数y的取值范围是． 2．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 3．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴，增减性是关键． 通过计算点P和点Q的纵坐标，结合二次函数性质，判断各选项正误． 【详解】解：根据题意，， A、若，则， ∴，正确； B、若，则，， ， 解得，正确； C、若，则， ∴ ，即， ∴ ，正确； D、若，则，，， 解得，， 但不一定，如时，但， ∴ 错误； 故选：D． 4．（2025九年级·全国·专题练习）已知，是函数的图象上的两点，且当时，有，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质 ．当二次项系数小于零时，抛物线开口向下，在对称轴右侧函数递减． 由条件当时，可知函数在时递减，故二次项系数，即 ． 【详解】解：∵函数的二次项系数， 当时，抛物线开口向下，在时函数递减， 即当时，有， 由题设条件，当时，有， ∴，即， ∴， 故选：D ． 5．（2025·辽宁抚顺·一模）边长为的正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点逆时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，连接，作轴于点，正方形的性质求出的长，旋转结合角的和差关系，求出，根据含30度角的直角三角形的性质，求出点坐标，即可得出结果． 【详解】解：连接，作轴于点， ∵正方形，边长为， ∴， ∴， ∵旋转， ∴与轴正半轴的夹角为， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点落在抛物线上， ∴， ∴； 故选：D． 6．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）已知点在抛物线上，则点的坐标为__________；若在轴上存在点，使是等腰三角形，请写出点的坐标__________． 【答案】 或或或 【分析】将代入求出点的坐标；根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，然后分别根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴ ∴点的坐标为； ∵是等腰三角形， ∴如图，当时， ∵ ∴； 当时， ∴ ∴； 当或时， ∵ ∴ ∴ ∴， 综上所述，点的坐标为或或或． 7．（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段检测）定义：平面内任意两点称为这两点之间的曼哈顿距离，例如，，．若点为抛物线 上的动点，点为直线上的动点，且抛物线与直线没有交点，的最小值为1，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的最值．根据定义表示出曼哈顿距离，可证明的最小值在两点横坐标相等时取得，取得最小值1，求解即可． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， 对于抛物线上任意一点，其到直线的曼哈顿距离在坐标相等的点处取得最小值， 因为的绝对值小于,因此，问题转化为求的最小值， 则． 当时，． 令， 该二次函数的最小值在顶点处取得，顶点横坐标， 此时， 故的最小值为， 即或， 解得或． 由于抛物线与直线没有交点，方程无实数根， 即的判别式， ， 解得． 因此不满足条件，满足条件． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·上海·课后作业）根据条件，求下列各题中的取值或取值范围． (1)函数有最小值； (2)函数，当时，随着的增大而增大； (3)与的函数图象形状相同； (4)函数的图象是开口向下的抛物线． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）根据二次函数的性质：当时，有最小值，可得，解不等式即可； （2）根据二次函数的性质：当时，在对称轴的左侧，随的增大而增大，得出，解不等式即可； （3）根据二次函数的性质：相等时，函数图象形状相同，得出，解方程即可； （4）根据二次函数的性质：当时，抛物线开口向下，得出，解方程，求出负数即可． 【详解】（1）解：函数有最小值， ， ； （2）解：当时，函数的函数值随着的增大而增大， ， ； （3）解：与的函数图象形状相同， ， 或； （4）解：函数的图象是开口向下的抛物线， 且， 或， ， ． 9．（2025九年级·全国·专题练习）抛物线与直线相交于点． (1)求a与b的值． (2)二次函数中，当时，求y的取值范围． (3)求抛物线与过点且平行于x轴的直线的两个交点与抛物线顶点所围成的三角形的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用函数图象上的点满足解析式，先将代入直线求，再将点代入抛物线即可求出； （2）先分析二次函数的性质，再分别计算内的最大值和端点值，从而确定的取值范围； （3）先确定过且平行于轴的直线的表达式，联立抛物线解析式求出交点坐标，结合顶点，以两交点距离为底、顶点到直线的距离为高，用面积公式即可计算面积． 【详解】（1）解：将代入，得：， 交点坐标为， 将代入， 得：． （2）解：由（1）知，二次函数的表达式为， 此时抛物线开口向下，顶点坐标为， 当时，，当时，， 当时，． （3）解：当时， ，解得：， 两个交点的坐标分别为，， 两个交点与抛物线顶点所围成的三角形的面积为． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，解题的关键是掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式、二次函数的性质以及平面图形的面积计算方法． 10．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，已知二次函数的图像和直线相交于、两点，且点的坐标是，点的坐标是． (1)________，并直接写出将二次函数的图像向左平移个单位长度所得的图像的函数表达式__________． (2)求的面积． (3)在二次函数的图像上是否存在点，使得的面积等于的面积，若存在，请求出所有符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质、三角形面积的计算，掌握相关知识是解题的关键． （1）将代入二次函数即可求出，根据二次函数的图像性质即可得出平移后的图像的函数表达式； （2）设直线的解析式为，将和代入即可求出解析式，再求出交点C坐标，根据即可求解； （3）设，根据面积等于的面积为求出，再代入抛物线求解即可． 【详解】（1）解：代入二次函数得， 解得， 向左平移个单位长度所得的图像的函数表达式为：； （2）设直线的解析式为， 将和代入直线的解析式得， 解得， 直线的解析式为， 联立直线与抛物线得， 解得， 交点C坐标为， ； （3）设，要求面积等于的面积为， 得， 解得：，， 代入抛物线得， 点的坐标为或． 迁移创新 1．（25-26九年级上·河南许昌·期末）有五张相同的小纸条，分别写有语句：①函数表达式为；②函数表达式为；③函数的图象关于原点对称；④函数的图象关于y轴对称；⑤函数值y随自变量x增大而增大．将这五张小纸条做成五支签，①②放在不透明的盒子A中搅匀，③④⑤放在不透明的盒子B中搅匀． (1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是________； (2)先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的两支签上的语句对函数的描述相符合的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）用树状图画出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式，即可求解． 【详解】（1）解：从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是． （2）解：根据题意，画树状图如下， 由树状图可知共有种等可能结果，抽到的两支签上的语句对函数的描述相符合的有①和③，②和④，共种， 抽到的两支签上的语句对函数的描述相符合的概率为． 2．（25-26九年级下·全国·单元复习）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字，，1，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小华先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为a；放回盒子摇匀后，再由小夏随机取出一个小球，记下数字为b． (1)用列表法或画树状图表示出的所有可能出现的结果； (2)求小华、小夏各取一次小球所确定的点落在二次函数的图象上的概率； (3)求小华、小夏各取一次小球所确定的数a，b满足直线经过一、二、三象限的概率． 【答案】(1) 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，它们为、、、、、、、、、、、、、、、． (2) (3) 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率，一次函数图象与系数的关系和二次函数图象上点的坐标特征． （1）画树状图可得所有16种等可能的结果； （2）根据二次函数图象上点的坐标特征得到点，，落在二次函数的图象上，然后根据概率公式求解即可； （3）根据一次函数图象与系数的关系可得到，，则，，，满足直线经过一、二、三象限，然后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：落在二次函数的图象上的点有， ∴落在二次函数的图象上的概率； （3）解：满足直线经过一、二、三象限的结果有， ∴满足直线经过一、二、三象限的概率． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 课标要点 1.认识二次函数y=ax2的图象是抛物线，能够准确说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点。 2.理解系数a对抛物线开口方向、开口大小的影响，能根据a的取值判断抛物线基本特征。 3.结合函数图象掌握y=ax2的增减性，能分别表述x<0、x>0时，y随x的变化情况，区分抛物线的最高点与最低点。 学习重难点 重点： 1.当a>0时，抛物线y=ax2开口向上，对称轴为y轴，顶点是原点，顶点为最低点；a越大开口越小；x<0，y随x增大而减小；x>0，y随x增大而增大。 2.当a<0时，抛物线y=ax2开口向下，对称轴为y轴，顶点是原点，顶点为最高点；a越小开口越小；x<0，y随x增大而增大；x>0，y随x增大而减小。 难点： 1.分清a>0、a<0两种情形下增减性，避免混淆。 2.理解a的大小和抛物线开口宽窄之间的关系。3.结合图象，利用增减性判断自变量变化时函数值的变化趋势。 知识点 二次函数y=ax2的图象与性质 函数形式，图象叫做抛物线 共同特征(无论a>0还是a<0) ①对称轴：y轴(直线x =0)；②顶点坐标：原点(0,0)；③图象都关于y轴对称。 ④|a|决定开口宽窄：|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，开口越大。 y=ax2 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴，直线x=0 y轴，直线x=0 顶点坐标 (0，0)（原点） (0，0)（原点） 顶点位置特征 抛物线的最低点 抛物线的最高点 最值情况 当x=0时，最小值；无最大值 当x=0时，最大值；无最小值 增减性（对称轴左侧x<0） y随x的增大而减小 y随x的增大而增大 增减性（对称轴右侧x>0） y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 特别提醒 1.开口宽窄判断易错：不是a越大开口越窄，是|a|越大，抛物线开口越窄，与a正负无关。 2.增减性描述易错：不能笼统说y随x增大而增大/减小，要以对称轴x =0分左右两边分别描述。 3.书写规范易错：对称轴要写直线x=0，顶点写坐标(0，0)；二次函数前提a≠0，a=0不是二次函数。 随学随练 1．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏淮安·期末）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期末）如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点为坐标原点，水平方向为轴，以过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、、的图象； （2）观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴； （3）说出各图象中的最高点或最低点的坐标； （4）说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数y随x增大而变化的情况． 拓展二次函数y=ax2图象与性质新定义类问题 题型特点：题目给出课本没有的新概念(新运算、新距离、新特征点、新图像、新规则),结合最简单二次函数y=ax²考理解、读图、计算、分类讨论。核心：先读懂新定义，再套二次函数y=ax²性质。 一、基础必备(y=ax²图像性质) 1.顶点永远(0,0),对称轴：y轴(x=0) 2.a>0：开口向上；x<0递减，x>0递增；有最小值0 3.a<0：开口向下；x<0递增，x>0递减；有最大值0 4.点(r,y)在图像上，则y=ax²;若点(m,n)在抛物线上，则n=am²,经常用来求a。 二、通用解题四步(新定义题万能流程) 第1步：翻译新定义，圈关键词 把题目文字定义翻译成数学式子/几何条件。 常见新定义：新距离、伴随点、可控点、友好点、“k一特征点”、镜像点、界点等。 操作：用笔画出定义中的等式、不等式、范围。 例：定义：若点P()满足，称P为抛物线上方点。 翻译：条件就是 第2步：设点坐标，代入定义 二次函数上动点常设：(用参数t表示横坐标，纵坐标直接写at²,减少未知数)。把P(t,at²)代入翻译出来的等式或不等式，得到关于t、a的方程/不等式。 第3步：结合y=ax²性质化简 1.出现t²,注意t²≥0; 2.a正负会改变不等号方向!分类讨论a>0、a<0是高频易错点； 3.求交点：联立新定义条件与y=ax²解方程； 4.判断存在性：看方程有没有实数解，判别式、平方非负。 第4步：检验结果，取舍答案 ①解出来的t、a是否满足题目隐藏条件(比如点在第一象限、x>0等); ②多解要排除不符合定义的解。 活学活用 1．（25-26九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，对于点，，若满足，则称，两点互为“倍点”． (1)已知直线上的点是点的“2倍点”， ①若点在轴上，求点的横坐标． ②若点在抛物线上，求点的坐标． (2)已知，若在抛物线上存在唯一的点是点的“倍点”，求的值． 2．（2025·江西·二模）如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性可知，为等腰三角形．我们规定：当为等腰直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”． (1)与的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号） ①；②；③ (2)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为8，求的值； (3)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为，抛物线的“完美三角形”的斜边长为，且，求与的数量关系． 题型一 与二次函数y=ax2相关的点 解题贴士 判断一个点是否在图像上 核心方法：代入检验法 把点的横坐标x。代入解析式，算出函数值，看算出来的y是否等于点的纵坐标。步骤： 1.将代入，计算： 2.比较计算得到的y和点的纵坐标yo 若→点在抛物线上； 若→点不在抛物线上。 ▌例1（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） ▌对点练1-1．（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的图象必经过点（     ） A． B． C． D． ▌对点练2-1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 题型二 二次函数y=ax2的开口大小比较 解题贴士 ，开口大小只看||(的绝对值)，和的正负无关 1.||越大→抛物线开口越窄(越陡) 2.||越小→抛物线开口越宽(越平缓) 的正负只决定开口方向： ：开口向上 ：开口向下 ▌例2（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 ▌对点练2-1．（25-26九年级上·河南新乡·期中）有下列二次函数：①；②；③．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ ▌对点练2-2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是______ ．（请用“”连接） 题型三 利用二次函数y=ax2的性质比较函数值大小 解题贴士 方法一：代数法(代入计算，万能，选择题不会就用) 把自变量x直接代入，算出y，直接比大小。 例：，比较=-3，=2的函数值 方法二：性质法(不计算，快速比较，考试高频) ▌例3（25-26八年级下·广西南宁·期末）二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． ▌对点练3-1．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-2．（25-26九年级上·北京西城·阶段检测）点在上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 题型四 根据函数的增减性求参数 解题贴士 考法2：给两个点，结合增减性求参数范围(中考高频难点) 题干形式： 在抛物线上，当时，，求a的范围。 ▲关键：要先看两个点是同在对称轴左边/同在右边/分居两侧。 ▌例4（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）已知二次函数，当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． ▌对点练4-1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）如图，四边形是边长为的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线的图象上，则a的值为（   ） A． B． C． D． ▌对点练4-2．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交抛物线，于点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型五 y=ax2的性质与图象综合（选择） ▌例5（25-26九年级上·上海·期中）下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． ▌对点练5-1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）关于二次函数与，下列说法错误的是（   ） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点坐标相同 D．两函数图象关于x轴对称 ▌对点练5-2．（25-26九年级上·上海·课后作业）对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 ▌对点练5-3．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）关于函数，，的图象，下列说法中不正确的是（    ） A．顶点坐标相同 B．对称轴相同 C．图象形状相同 D．最低点相同 题型六 y=ax2的性质与图象实际应用 解题贴士 模型1：拱桥、隧道、拱门(开口向下，a<0) 一般建系方式： 方案①：以拱顶(最高点)为原点(0，0)，水平向右为x轴，竖直向下为y轴； 方案②：以拱顶为原点，x轴水平向右，y轴竖直向上，此时a<0，拱顶(0，0)是最高点。 已知桥宽、高度，求解析式；或已知位置求高度；或已知高度求水平宽度。 模型2：抛射运动(喷水、小球下落， 1.喷水：喷头放在原点(0，0)，水流向外向上抛出，开口向下。 2.自由下落：物体从原点由静止下落，向下为y轴正方向，开口向上，时间x，下落距离y。 ▌例6（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（  ）    A．16m B．18m C．20m D．24m ▌对点练6-1．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期末）如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点为坐标原点，水平方向为轴，以过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． ▌对点练6-2．（25-26九年级上·广东江门·期中）一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示．现测得：当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为．当水面宽时，水位上升___________ ▌对点练6-3．（25-26九年级上·湖北宜昌·阶段检测）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为______ 题型七 y=ax2的性质与图象中规律探索类 ▌例7（2026·江苏宿迁·三模）如图，点在平面直角坐标系的原点上，点，，…在轴上，点，，，…，点，，，…都在抛物线上，四边形，，…都是菱形．若，则菱形的周长是________． ▌对点练7-1．（25-26八年级下·山东东营·期中）二次函数的函数图象如图，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，，都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则的斜边长为___． ▌对点练7-2．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为．将轴绕原点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点…，依次进行下去，则点的坐标为____________． 题型八 y=ax2的性质与图象作图题 ▌例8（26-27九年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系内画出二次函数与的图象． (1)列表 x … 0 1 2 … … ________ ________ ________ ________ ________ … … ________ ________ ________ ________ ________ … (2)描点、连线 ▌对点练8-1．（25-26九年级下·全国·课堂例题）在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数和的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)： (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线，当______时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数，对于一切的值，总有函数______0；当______时，有最______值是______． ▌对点练8-2．（2025九年级·全国·专题练习）在下面给定的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，并回答下列问题： （1）当x取何值时，y有最小值？最小值是多少？ （2）当时，y随x的增大怎样变化？当时呢？ ▌对点练8-3．（2025九年级·全国·专题练习）已知圆柱的高为，底面半径为，体积为（取3）． (1)与之间的函数关系式为______，并在图中画出图象． (2)根据图象，当时，圆柱的体积为______． (3)根据图象，求出当为何值时，． 题型九 y=ax2的性质与图象综合解答 ▌例9（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）已知二次函数的图象与直线交于点． (1)求a和b的值； (2)当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？ (3)求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标． ▌对点练9-1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点A，B在抛物线上．已知点A，B的横坐标分别为，4，直线与y轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值． ▌对点练9-2．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，已知点在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于点． (1)求的值； (2)若点是抛物线上一点，且的横坐标为1，求的面积． ▌对点练9-3．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于、两点． (1)求的值； (2)观察图象，直接写出不等式的解集． 基础通关 1．（2026·广东广州·二模）给出下列函数： ①， ②， ③， ④，其中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 2．（25-26九年级下·吉林长春·期中）若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 3．（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 4．（25-26九年级上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（    ） A．3 B．2 C． D． 5．（25-26九年级上·河北邢台·期末）嘉嘉用软件绘制抛物线时，将系数“3”误认为“”，得到的新抛物线与原抛物线相比，发生改变的是（   ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 6．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·广东潮州·期中）如图，四边形是正方形，且点恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（   ）． A．2 B． C．4 D． 8．（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 9．（25-26九年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，点，，若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是____． 10．（25-26九年级上·四川广元·期中）已知点，是函数的图象上的两点，且当时，有，则的取值范围是______ 11．（2025·山东东营·中考真题）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为______． 12．（2025九年级上·河南信阳·专题练习）已知函数是关于的二次函数. (1)求满足条件的值； (2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小； (3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大. 13．（2025九年级·全国·专题练习）如图，梯形的顶点都在抛物线 上，且轴．点的坐标为，点的坐标为． (1)求a，b的值． (2)求，两点的坐标． 素养提升 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 3．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2025九年级·全国·专题练习）已知，是函数的图象上的两点，且当时，有，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁抚顺·一模）边长为的正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点逆时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）已知点在抛物线上，则点的坐标为__________；若在轴上存在点，使是等腰三角形，请写出点的坐标__________． 7．（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段检测）定义：平面内任意两点称为这两点之间的曼哈顿距离，例如，，．若点为抛物线 上的动点，点为直线上的动点，且抛物线与直线没有交点，的最小值为1，则的值为___________． 8．（25-26九年级上·上海·课后作业）根据条件，求下列各题中的取值或取值范围． (1)函数有最小值； (2)函数，当时，随着的增大而增大； (3)与的函数图象形状相同； (4)函数的图象是开口向下的抛物线． 9．（2025九年级·全国·专题练习）抛物线与直线相交于点． (1)求a与b的值． (2)二次函数中，当时，求y的取值范围． (3)求抛物线与过点且平行于x轴的直线的两个交点与抛物线顶点所围成的三角形的面积． 10．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，已知二次函数的图像和直线相交于、两点，且点的坐标是，点的坐标是． (1)________，并直接写出将二次函数的图像向左平移个单位长度所得的图像的函数表达式__________． (2)求的面积． (3)在二次函数的图像上是否存在点，使得的面积等于的面积，若存在，请求出所有符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 迁移创新 1．（25-26九年级上·河南许昌·期末）有五张相同的小纸条，分别写有语句：①函数表达式为；②函数表达式为；③函数的图象关于原点对称；④函数的图象关于y轴对称；⑤函数值y随自变量x增大而增大．将这五张小纸条做成五支签，①②放在不透明的盒子A中搅匀，③④⑤放在不透明的盒子B中搅匀． (1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是________； (2)先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的两支签上的语句对函数的描述相符合的概率． 2．（25-26九年级下·全国·单元复习）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字，，1，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小华先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为a；放回盒子摇匀后，再由小夏随机取出一个小球，记下数字为b． (1)用列表法或画树状图表示出的所有可能出现的结果； (2)求小华、小夏各取一次小球所确定的点落在二次函数的图象上的概率； (3)求小华、小夏各取一次小球所确定的数a，b满足直线经过一、二、三象限的概率． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $