第5讲 二次函数顶点式的图象和性质 优等生讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数顶点式y=a(x+m)²+h的图象和性质，系统梳理顶点坐标、对称轴、开口方向等核心要素，通过平移规律（左加右减，上加下减）和对称变换构建知识网络，作为从一般式到综合应用的学习支架。 资料以思维导图总览知识，通过对比函数图象、表格总结规律培养几何直观，典例融入数形结合和化归思想提升推理能力，实际应用题（如投篮轨迹）强化模型意识。课中辅助教师精准教学，课后分层练习助力学生查漏补缺。

第5讲 二次函数顶点式的图象和性质 优等生讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册（精讲+典例+创新题+练习） 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 二次函数 的图象与性质，能准确指出开口方向、对称轴和顶点坐标。 · 掌握 由 通过平移得到 的规律（左加右减，上加下减）。 · 熟练运用 顶点式求最值、判断增减性，并能利用对称性比较函数值大小。 · 理解 抛物线关于坐标轴对称的变换规律，能写出对称后的解析式。 · 体会 数形结合、化归与转化（配方法）的思想，能应用顶点式解决简单的实际问题。 ✨ 核心思想：从“顶点”出发，把握抛物线的核心要素，理解平移的本质。 知识梳理 · 核心知识点 ☆1. 二次函数 y=a(x+m)²+h 的图象 顶点式： （） ·顶点坐标： ·对称轴： 直线 ·开口方向： 由 决定 → 开口向上，顶点为最低点 → 开口向下，顶点为最高点 ·开口大小： 由 决定， 越大开口越窄。 ·最值： 若 ，当 时， 取最小值 ； 若 ，当 时， 取最大值 。 ·增减性： 当 ，对称轴左侧（）递减，右侧递增； 当 ，对称轴左侧递增，右侧递减。 分析：二次函数 、、 的图像 画图：在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数 、 和 的图像。 通过列表、描点和连线，分别画出函数 、 和 的图像，如图 所示。 图例说明（对应图像中的曲线）： 曲线 1：（顶点在 (0, 2)） 曲线 2：（顶点在原点 (0, 0)） 曲线 3：（顶点在 (0, -2)） 三条抛物线开口方向相同（向上），形状完全相同，只是沿 轴方向进行了上下平移。 ☆2. 平移规律（由 y=ax² 到顶点式） · 左右平移： “左加右减” — 向左平移 个单位， 变为 （ 左移）；向右平移则 变为 。 · 上下平移： “上加下减” — 向上平移 个单位，整体加 （ 上移）；向下平移则整体减 。 · 一般规律： 抛物线 的顶点 平移到顶点 ，平移方向由 、 的符号决定。 上图中的三条抛物线的开口方向、对称轴和顶点分别是什么？ 抛物线 ， 与抛物线 分别有什么关系？ 观察图像可以发现，将抛物线 向上平移 2 个单位长度，就得到抛物线。抛物线 的对称轴仍为 轴，顶点为 。 类似地，抛物线 可由抛物线 向下平移 2 个单位长度得到，对称轴仍为 轴，顶点为 。 观察结论： 的图像可由 的图像向上（）或向下（）平移 个单位得到。 ☆3. 关于坐标轴对称的变换 对称方式 变换后解析式 顶点 对称轴 开口方向 关于 轴对称 反向 关于 轴对称 不变 关于原点对称 反向 ☆4. 知识总结表 核心概念 表达式 顶点 对称轴 开口方向 顶点式 向上， 向下 平移规律 左加右减，上加下减 顶点从原点平移到 — — 关于x轴对称 反向 关于y轴对称 不变 关于原点对称 反向 核心考点 ·经典题型方法精讲 【考点1】二次函数 的图象（第1-14题） ※ 方法总结 · 画图步骤： 确定顶点坐标 → 列表（取对称点）→ 描点 → 用平滑曲线连接。 · 开口方向与大小： 由 决定， 向上， 向下； 越大开口越窄。 · 顶点与对称轴： 直接由顶点式读出顶点 和对称轴 。 · 与坐标轴交点： 令 求与 轴交点；令 解方程求与 轴交点。 · 图象共存问题： 注意一次函数与二次函数中系数符号的一致性，分类讨论。 1．（2024秋•阳信县期中）用描点法画出二次函数y＝2x2﹣8x+5的图象，列表如下： x … ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 15 m ﹣1 n ﹣1 5 … （1）填空：表中m＝ 　5　 ，n＝ 　﹣3　 ； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）用配方法将y＝2x2﹣8x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式． 【分析】（1）根据解析式计算函数值即可； （2）利用描点法画图象的基本步骤解答即可； （3）利用配方法将y＝2x2﹣8x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式即可． 【解答】解：（1）当x＝0时，m＝5， 当x＝2时，n＝2×22﹣8×2+5＝﹣3． 故答案为：5，﹣3； （2）根据题意，画图象如下： ． （3）y＝2x2﹣8x+5 ＝2（x2﹣4x）+5 ＝2（x2﹣4x+4﹣4）+5 ＝2（x﹣2）2﹣8+5 ＝2（x﹣2）2﹣3． 【点评】本题考查了二次函数的图象，二次函数的三种形式，会画函数图象是解题的关键． 2．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的． （1）求出a，h，k的值． （2）在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y＝a（x﹣h）2+k与的图象． （3）观察二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象，当x　＜1　 时，y随x的增大而增大；当x　＝1　 时，函数有最 　大　 值，最 　大　 值是 　2　 ． （4）观察二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象，你能说出对于一切x的值，y的取值范围吗？ 【分析】（1）根据二次函数图象图象上点的平移规律得到平移后的顶点坐标即可求解； （2）根据二次函数图象的画法画出图象即可； （3）和（4）观察图象，利用图象的顶点坐标和对称轴来求解． 【解答】解：（1）∵抛物线 的顶点坐标是（0，0）， ∴向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线的顶点坐标是（1，2）， ∴将抛物线 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线解析式为 ， 即 ，h＝1，k＝2． （2）函数 与函数 的函数如图所示： ； （3）根据图象可得，当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＝1时，函数有最大值，最大值是2． 故答案为：＜1，＝1，大，大，2； （4）由图象可知，对于一切x的值，总有函数值y≤2． 【点评】此题主要考查二次函数的平移情况；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点． 3．（2025春•单元）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为﹣2时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6． （1）直接写出k，a，b的值． （2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象，如图（2）． ①当y随x的增大而增大时，求x的取值范围． ②若关于x的方程ax2+bx+3﹣t＝0（t为实数），在0＜x＜4时无解，求t的取值范围． 【分析】（1）根据题意将 x＝﹣2，y＝1 代入 y＝kx+3，得k＝1；将x＝2，y＝3和x＝3，y＝6分别代入 y＝ax2+bx+3 得a＝1，b＝﹣2； （2）①由（1）可写出一次函数解析式为：y＝x+3，二次函数解析式为：y＝x2﹣2x+3，根据一次函数和二次函数的增减性即可得到：当y随x的增大而增大时，x的取值范围为：x＜0或x≥1； ②ax2+bx+3﹣t＝0在0＜x＜4时无解可转为：抛物线 y＝x2﹣2x+3 与直线y＝t在0＜x＜4时无交点的问题，而y＝x2﹣2x+3的顶点为（1，2），过（4，11），根据图象分析可得当t＜2或t≥11时，抛物线 y＝x2﹣2x+3 与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点，进而可以得解． 【解答】解：（1）∵x＝﹣2＜0， ∴将 x＝﹣2，y＝1 代入 y＝kx+3，得：﹣2k+3＝1，解得：k＝1， ∵x＝2＞0，x＝3＞0， 将x＝2，y＝3和x＝3，y＝6分别代入 y＝ax2+bx+3 得：， ∴． 综上，a＝1，b＝﹣2，k＝1． （2）①∵k＝1，a＝1，b＝﹣2， ∴一次函数解析式为：y＝x+3，二次函数解析式为：y＝x2﹣2x+3， 当x≥0时，y＝x2﹣2x+3，其对称轴为直线x＝1，开口向上， ∴x≥1时，y随着x的增大而增大． 又当x＜0时，y＝x+3，k＝1＞0， ∴x＜0时，y随着x的增大而增大， 综上，x的取值范围：x＜0或x≥1． ②∵ax2+bx+3﹣t＝0在0＜x＜4时无解， ∴ax2+bx+3＝t，在0＜x＜4时无解， ∴抛物线 y＝x2﹣2x+3 与直线y＝t在0＜x＜4时无交点． ∵对于 y＝x2﹣2x+3，当x＝1时，y＝2， ∴顶点为（1，2）． 如图： ∴当t＝2时，抛物线 y＝x2﹣2x+3 与直线y＝t在0＜x＜4时正好一个交点， ∴当t＜2时，抛物线 y＝x2﹣2x+3 与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点； 当x＝4，y＝16﹣8+3＝11， ∴当t＝11时，抛物线 y＝x2﹣2x+3 与直线y＝t在0＜x≤4时正好一个交点， ∴当t≥11时，抛物线 y＝x2﹣2x+3 与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点， ∴当t＜2或t≥11时，抛物线 y＝x2﹣2x+3 与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点， 即：当t＜2或t≥11时，关于x的方程 ax2+bx+3﹣t＝0 （t为实数），在0＜x＜4时无解． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 4．（2025秋•西城区校级月考）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3． （1）将y＝x2﹣2x﹣3写成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； x … … y … … （3）当﹣1＜x＜2时，结合图象直接写出函数值y的取值范围是 　﹣4≤y＜0　 ； （4）若直线y＝k与抛物线有两个交点，直接写出k的取值范围是 k＞﹣4　 ． 【分析】（1）将函数解析式化为顶点式求解； （2）先列表，再描点、连线即可画出函数图象； （3）由函数图象即可得出答案； （4）画出y＝k，结合函数图象即可得出答案． 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴将y＝x2﹣2x﹣3写成y＝a（x﹣h）2+k的形式为：y＝（x﹣1）2﹣4； （2）列表得： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … 画出函数图象如图所示： （3）由函数图象可得： 当﹣1＜x＜2时，函数值y的取值范围是﹣4≤y＜0， 故答案为：﹣4≤y＜0； （4）如图： 由图可得：若直线y＝k与抛物线有两个交点，k的取值范围是k＞﹣4， 故答案为：k＞﹣4． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、把二次函数化为顶点式、画二次函数图象，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 5．（2025秋•青岛期末）在同一平面直角坐标系中二次函数与一次函数y2＝x﹣c的图象如图所示，则二次函数y＝﹣ax2+（1﹣b）x﹣c﹣2的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】由已知二次函数的图象可知a、b的正负，由一次函数的图象可知c的正负，进而可得出答案． 【解答】解：由二次函数的图象可知a＞0，b＜0， 由一次函数y2＝x﹣c的图象可知﹣c＜0， ∴﹣a＜0，1﹣b＞0，﹣c﹣2＜0， ∴二次函数y＝﹣ax2+（1﹣b）x﹣c﹣2的图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∵二次函数与一次函数y2＝x﹣c的图象交点的横坐标为n和m， ∴方程ax2+bx+2＝x﹣c的解为x1＝n，x2＝m， ∴二次函数y＝﹣ax2+（1﹣b）x﹣c﹣2的图象与x轴交点的横坐标为n和m． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质及一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点是关键． 6．二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据所给二次函数解析式，得出抛物线的顶点坐标为（1，0），再由抛物线的开口向下即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2， 所以抛物线的顶点坐标为（1，0），且开口向下， 显然只有B选项符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 7．（2026•灞桥区校级模拟）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数y＝cx2+bx+a的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】原二次函数 y＝ax2+bx+c 的系数符号，抛物线开口向下，可得出 a＜0，对称轴 x0（在 y轴左侧），结合 a＜0 可得 b＜0，抛物线与 y轴交于负半轴，可得c＜0，与x轴的0个交点，所以Δ＝b2﹣4ac＜0；据此判断y＝cx2+bx+a的图象性质即可． 【解答】解：根据以上推导，函数 y＝cx2+bx+a 的图象应满足：开口向下，对称轴在 y轴左侧，与 y轴交于负半轴，与 x轴有0交点，对照选项，选项 D 符合全部特征． 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数关系，解题关键是通过已知抛物线的位置，准确判断 a，b，c 的符号，再据此分析新抛物线的开口方向、对称轴位置、与 y轴的交点等性质． 8．（2026•广东模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数和二次函数的图象性质，分别分析a、b的符号，再逐一判断选项是否符合． 【解答】解：根据一次函数和二次函数的图象性质，分别分析a、b的符号，再逐项分析判断如下： ∵一次函数y＝ax+b的图象中，a＜0，b＜0；二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，a＜0，，即b＜0， ∴符号均一致，A项符合题意． ∵一次函数y＝ax+b的图象中，a＜0，b＜0；二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，a＞0， ∴a的符号矛盾，B项不符合题意． ∵一次函数y＝ax+b的图象中，a＞0，b＞0；二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，对称轴为直线，则b＜0． ∴b的符号矛盾，C项不符合题意． ∵一次函数y＝ax+b的图象中，a＜0，b＜0；二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，a＞0，对称轴为直线，则b＞0． ∴b的符号不一致，D项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数和二次函数中系数与图象的关系是解题的关键． 9．（2023秋•黔东南州期中）二次函数y＝x2﹣x﹣1的图象开口方向是（　　） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 【分析】当a＞0时，开口向上，由此解答即可． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣x﹣1中，a＝1＞0， ∴其图象开口向上， 故选：A． 【点评】本题主要考查了学生对二次函数图象开口方向和系数a之间的关系的掌握情况，只要掌握“a＞0，开口向上；a＜0，开口向下”即可快速得出结果． 10．（2025秋•舟山期末）若二次函数y＝ax2+bx+c（ab＜0，c＞0），则这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据ab＜0，可知对称轴在y轴右侧，根据c＞0，可知图象与y轴交于正半轴，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（ab＜0，c＞0）， ∴该函数图象对称轴在y轴的右侧，与y轴交于正半轴， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 11．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是 　8　 ． 【分析】两个抛物线关于 x轴对称，利用图形的对称性可以把阴影部分拼接．阴影面积等于正方形面积的一半． 【解答】解：yx2与yx2两个抛物线关于x轴对称，利用图形的对称性可以把阴影部分拼接，阴影部分面积等于正方形面积的一般， ∴正方形边长为4，S正方形＝4×4＝16， 由图象对称性得，S阴影16＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查二次函数图象的对称性．熟练掌握利用对称转化求面积的方法是解题的关键． 12．（2025秋•金凤区校级期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则关于x的方程ax2+bx+c﹣4＝0根的情况是　没有实数根　 ． 【分析】根据二次函数的性质进行分析即可． 【解答】解：如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象， 由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c的最大值是y＝3， ∴方程ax2+bx+c﹣4＝0没有实数根． 故答案为：没有实数根． 【点评】本题考查二次函数的图象，正确记忆相关知识点是解题关键． 13．（2023秋•扶绥县校级月考）如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2﹣3x+a2﹣1的图象，那么a的值是 　﹣1　 ． 【分析】由图象可知抛物线经过原点，把（0，0）代入抛物线的解析式即可求得a的值． 【解答】解：由图象可知抛物线经过原点， 把（0，0）代入y＝ax2﹣3x+a2﹣1得，0＝a2﹣1， a2＝1， 因为抛物线开口向下， 所以a＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了二次函数的图象以及二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 14．根据解析式画出二次函数图象，并结合图象从开口方向、对称轴、顶点坐标、是否过定点、m变化对函数图象的影响几个方面分析图象特征． （1）y＝x2﹣2x+m； （2）y＝x2﹣2mx+1； （3）y＝mx2﹣2x+1； （4）y＝mx2﹣2mx﹣3m； （5）y＝mx2﹣2mx﹣3． 【分析】根据数形结合画出二次函数图象和性质，再结合a、b、c的值与二次函数的关系，观察开口方向、开口大小、对称轴、顶点坐标、平移、增减性等方面的变化即可． 【解答】解：（1）y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2+m﹣1，其图象如图①所示： ①开口向上，开口方向和开口大小不变；②对称轴直线x＝1不变；③顶点坐标（1，m﹣1）随m的变化上下移动；④图象不过定点；⑤函数图象随m的变化上下平移； （2）y＝x2﹣2mx+1＝（x﹣m）2+1﹣m2，其图象如图②所示： ①开口向上，开口方向和开口大小不变；②对称轴直线x＝m随m的变化左右平移；③顶点坐标（m，1﹣m2）随m的变化而变化；④图象过定点（0，1）；⑤函数图象随m的变化上下左右平移； （3）y＝mx2﹣2x+1，其图象如图③所示： ①开口方向和开口大小随m的变化而变化；②对称轴直线x随m的变化而变化；③顶点坐标随m的变化而变化；④图象过定点（0，1）；⑤函数图象随m的变化上下左右平移； （4）y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣3）（x+1），其图象如图④所示： ①开口方向和开口大小随m的变化而变化；②对称轴直线x＝1不变；③顶点坐标（1，﹣4m）随m的变化上下平移；④图象过x轴上两定点（﹣1，0）和（3，0）；⑤函数图象随m的变化而变化； （5）y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣3﹣m，其图象如图⑤所示： ①开口方向和开口大小随m的变化而变化；②对称轴直线x＝1不变；③顶点坐标（1，﹣3﹣m）随m的变化上下平移；④图象过定点（0，﹣3）和（2，﹣3）；⑤函数图象随m的变化而变化． 【点评】本题考查的是含参数二次函数的图象和性质，根据二次函数中系数a、b确定对称轴，进行配方，给m取一些特殊值观察函数的变化，熟悉二次函数图象和性质是解题的关键． 【考点2】二次函数 的性质（第15-34题） ※ 方法总结 · 最值： 开口向上有最小值 （在 取得），开口向下有最大值 。 · 增减性： 根据对称轴和开口方向判断：向上时“左减右增”，向下时“左增右减”。 · 比较函数值大小： 利用开口方向和点到对称轴的距离：开口向上时，距对称轴越近函数值越小；开口向下时，距对称轴越近函数值越大。 · 含参数问题： 利用对称轴、最值等建立方程或不等式求解。 · 新定义问题： 如“最小/最大”符号定义，需转化为不等式组或方程求解。 15．（2025秋•海淀区校级月考）抛物线y＝﹣2x2+4x+3的顶点坐标是（　　） A．（2，1） B．（1，5） C．（﹣2，5） D．（﹣1，2） 【分析】利用配方法将抛物线解析式化成顶点式，即可求得其顶点坐标． 【解答】解：根据配方法将抛物线解析式化成顶点式可得：y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5， ∴抛物线的顶点坐标是（1，5）， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，利用配方法将抛物线的一般式化成顶点式是解题的关键． 16．（2025•珠海校级三模）若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数y＝x2图象上，则（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 【分析】利用二次函数的性质，可得出当x＞0时，y随x的增大而增大，再结合0＜1＜2，即可得出y1＜y2＜y3． 【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝x2， ∴抛物线的开口向上，对称轴为y轴， ∴当x≥0时，y随x的增大而增大． 又∵点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数y＝x2图象上，且0＜1＜2， ∴y1＜y2＜y3． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记“当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大”是解题的关键． 17．（2025秋•平江县期末）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　） A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2） 【分析】根据抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2， ∴该抛物线的顶点坐标为（1，2）， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 18．（2026•碑林区校级模拟）已知二次函数y＝ax2﹣bx+5（a≠0）的图象上有两个点A（x1，y1）和B（x2，y2），当x1＞x2＞0时，始终有y1＜y2，则下列结论正确的是（　　） A．a＞0 B．方程ax2﹣bx+2＝0没有实数根 C．该函数图象的顶点位于第三象限 D．该函数的最大值不小于5 【分析】由题意可知当x＞0时，y随x的增大而减小，即可判断抛物线开口向下，对称轴不在y轴的右侧，即可判断A；由（﹣b）2﹣8a＝b2﹣8a＞0，即可判断选项B；求得顶点的纵坐标即可判断C；由抛物线与y轴的交点即可判断D． 【解答】解：二次函数y＝ax2﹣bx+5（a≠0）的对称轴为直线：x， ∵二次函数y＝ax2﹣bx+5（a≠0）的图象上有两个点A（x1，y1）和B（x2，y2），当x1＞x2＞0时，始终有y1＜y2， ∴当x＞0时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向下，0， ∴a＜0，b≥0，故选项A错误； ∴（﹣b）2﹣8a＝b2﹣8a＞0， ∴方程ax2﹣bx+2＝0有两个不相等的实数根，故选项B错误； ∴50， ∴该函数图象的顶点位于第二象限或y的正半轴上，故选项C错误； ∵x＝0时，y＝ax2﹣bx+5＝5，且开口向下， ∴该函数的最大值不小于5，故选项D正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点，熟练掌握该知识点是关键． 19．（2025秋•沙河口区期末）已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为 D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 【解答】解：A、a＝﹣1＜0，开口向下，原说法错误，不符合题意； B、对称轴是直线x＝3，原说法错误，不符合题意； C、顶点坐标为，说法正确，符合题意； D、当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 20．（2026•洛阳二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+c的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】利用抛物线对称轴判断即可． 【解答】解：抛物线对称轴为直线x0， ∴﹣b＞0，c＞0， ∴一次函数y＝﹣bx+c的图象经过第一、二、三象限， 故不经过第四象限， 故选：D． 【点评】此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，正确掌握相关图形的性质是解题关键． 21．（2025•翁源县一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣a的图象和一次函数y＝ax﹣a的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可． 【解答】解：∵x＝1时，y＝ax2﹣a＝0，y＝ax﹣a＝0， x＝0时，y＝ax2﹣a＝﹣a，y＝ax﹣a＝﹣a， ∴二次函数y＝ax2﹣a的图象与一次函数y＝ax﹣a的图象交于点（1，0）和（0，﹣a）， ∵点（1，0）在x轴的正半轴，点（0，﹣a）在y轴上， ∴选项A、B、C不合题意， D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣a的图象应该开口向上，故选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y＝ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 22．（2025秋•鄞州区期末）已知二次函数y＝x2﹣2ax+1，当0≤x≤2时，函数的最大值为1，则a的取值范围为a≥1　 ． 【分析】根据题意，得出抛物线的对称轴为直线x＝a且开口向上，再结合当0≤x≤2时，函数的最大值为1得出对称轴的位置即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为二次函数解析式为y＝x2﹣2ax+1， 所以抛物线的对称轴为直线x＝a且开口向上． 因为抛物线经过点（0，1），且当0≤x≤2时，函数的最大值为1， 所以抛物线的对称轴在直线x＝1的右侧（包含直线x＝1）， 所以a≥1． 故答案为：a≥1． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 23．（2026•安阳县一模）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+2，当x＜1时，y随x的增大而减小，写出一个符合条件的a的值：　1（答案不唯一）　 ． 【分析】由当x＜1时，y随着x的增大而减小可知抛物线开口向上，据此写出一个a的值即可． 【解答】解：∵y＝a（x﹣1）2+2， ∴抛物线对称轴为直线x＝1， ∵当x＜1时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向上，a＞0， 故答案为：1（答案不唯一）． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 24．（2025秋•兰溪市期末）抛物线y＝2x2+4x﹣1顶点坐标是 　（﹣1，﹣3）　 ． 【分析】将抛物线解析式配方成顶点式即可得出答案． 【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3， ∴抛物线y＝2x2+4x﹣1的顶点坐标是（﹣1，﹣3）， 故答案为：（﹣1，﹣3）． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练将抛物线的一般式配方成顶点式． 25．（2026春•海门区期末）当x＝0时，函数y＝2x2﹣1的值为　﹣1　 ． 【分析】将x的值代入y＝2x2﹣1，计算出相应的y的值即可． 【解答】解：∵函数y＝2x2﹣1， ∴当x＝0时，y＝2×02﹣1＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数值． 26．（2025秋•广信区期末）抛物线y＝（x﹣4）2﹣3的顶点坐标为　（4，﹣3）　 ． 【分析】根据二次函数的顶点式，即可解答． 【解答】解：抛物线y＝（x﹣4）2﹣3的顶点坐标为（4，﹣3）， 故答案为：（4，﹣3）． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 27．（2024秋•琼中县期末）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线y＝x2﹣8x+18上运动，过点A 作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作正方形ABCD．则抛物线y＝x2﹣8x+18的顶点坐标是 　（4，2）　 ，正方形ABCD周长的最小值是 　4　 ． 【分析】由配方法可求出抛物线的顶点坐标，根据ABAC，由AC的最小值可求出答案． 【解答】解：∵y＝x2﹣8x+18＝（x﹣4）2+2， ∴抛物线 y＝x2﹣8x+18 的顶点坐标为（4，2）； ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∵点A在抛物线 y＝x2﹣8x+18 上运动， ∴当x＝4时，AC有最小值2， 即AB的最小值是 ， ∴正方形ABCD周长的最小值为 ． 故答案为：（4，2），4． 【点评】本题考查了正方形的性质，二次函数的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 28．（2025秋•河北区期末）二次函数y＝2（x﹣2）（x+3）的对称轴是　直线　 ． 【分析】将二次函数化为一般形式，利用对称轴公式求解． 【解答】解：将二次函数化为一般形式可得： y＝2（x﹣2）（x+3）＝2x2+2x﹣12， ∴对称轴为直线． 故答案为：直线． 【点评】本题主要考查了求二次函数的对称轴，熟练掌握该知识点是关键． 29．（2026•杭州开学）二次函数y＝ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＝0，则其图象不经过第 　三　 象限． 【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的二次项系数为正数，确定函数图象的开口方向；利用函数解析式表示出对称轴为直线x0，确定对称轴在y轴的左侧还是右侧；令函数解析式中x＝0求出对应y的值，确定函数图象与y轴的交点的位置，据此解答题目． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＝0， ∴二次函数图象的开口向上． ∵对称轴为直线x0， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴在y轴右侧． ∵当x＝0时，y＝ax2+bx+c＝0， ∴二次函数y＝ax2+bx+c图象经过原点， ∴该函数的图象不经过第三象限． 故答案为：三． 【点评】本题考查了二次函数图象的性质，解答本题的关键是根据二次函数y＝ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数． 30．（2025秋•济阳区期末）抛物线y＝（x+1）2+2的对称轴是直线x＝﹣1　 ． 【分析】根据顶点式y＝a（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝h，即可求解． 【解答】解：根据顶点式y＝a（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝h可知： 抛物线y＝（x+1）2+2的对称轴是直线x＝1， 故答案为：x＝﹣1． 【点评】本题考查了二次函数顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴是直线x＝h，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 31．（2026•寿光市一模）请写出抛物线y＝（x﹣2）2+1的一条性质　顶点为（2，1）（答案不唯一）　 ． 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以写出一条相应的性质． 【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+1 ∴抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点为（2，1）， 故答案为：顶点为（2，1）（答案不唯一）． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 32．（2026春•海淀区校级期末）已知二次函数y＝x2+4x+5． （1）将y＝x2+4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）在平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当﹣3≤x＜0时，结合图象，直接写出y的取值范围． 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）先列表，再描点，最后连线画出函数图象即可； （3）根据函数图象可得答案． 【解答】解：（1）将抛物线解析式配方可得： y＝x2+4x+5＝（x2+4x+4）﹣4+5＝（x+2）2+1； （2）列表如下： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y＝x2+4x+5 … 5 2 1 2 5 … 描点，最后连线画出函数图象如下： （3）由函数图象可知，当﹣3≤x＜0时，1≤y＜5． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 33．（2025秋•海城市期末）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如A（a，2a）就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数y＝（x﹣1）2+2就是“友好二次函数”． （1）直线y＝3x﹣1上的“友好点”坐标为　（1，2）　 ； （2）若“友好二次函数”y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； （3）若“友好二次函数”yx2+bx+c的图象过点（﹣2，8），且顶点在第一象限．当m﹣1≤x≤m时，这个“友好二次函数”的最小值为6，求m的值． 【分析】（1）根据“友好点”的定义可知“友好点”在直线y＝2x上，联立，求解即可； （2）根据“友好二次函数”的定义，设顶点为（h，2h），继而得出该函数的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+2h，再推出与y轴交点为（0，0），再代入y＝﹣（x﹣h）2+2h求解即可； （3）设“友好二次函数”的解析式为y（x﹣h）2+2h，且图象过点（﹣2，8），确定“友好该二次函数”的解析式为y（x﹣2）2+4，进而根据m﹣1≤x≤m，分情况讨论，即可求解． 【解答】解：（1）依题意知，“友好点”在直线y＝2x上， 联立得， 解得， ∴直线y＝3x﹣1上的“友好点”坐标为（1，2）， 故答案为：（1，2）； （2）∵函数y＝﹣x2+bx+c是“友好二次函数”，设它的顶点为（h，2h）， ∴y＝﹣（x﹣h）2+2h， ∵“友好二次函数”y＝﹣（x﹣h）2+2h的图象与y轴的交点是“友好点”， ∴与y轴交点为（0，0）， 将（0，0）代入y＝﹣（x﹣h）2+2h中，得： 0＝﹣h2+2h， 解得：h1＝0，h2＝2， 当h＝0时，y＝﹣x2； 当h＝2时，y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x（舍）， ∴这个“友好二次函数”的表达式为y＝﹣x2； （3）设“友好二次函数”的解析式为y（x﹣h）2+2h，且图象过点（﹣2，8）， ∴8（﹣2﹣h）2+2h 解得h1＝2，h2＝﹣14， ∵这个“友好二次函数”的图象顶点在第一象限， ∴h＞0， ∴h＝2， ∴y（x﹣2）2+4， ∵“友好二次函数”y（x﹣2）2+4的开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，4）， 当m≤2时，m﹣1≤x≤m在对称轴左侧，y随x的增大而减小， ∴当x＝m时，函数有最小值（m﹣2）2+4＝6， 解得m＝2﹣2或m＝2+2（舍去）； 当m﹣1＞2，即m＞3时，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴当x＝m﹣1时，函数有最小值（m﹣3）2+4＝6， 解得m＝3+2或m＝3﹣2（舍去）； 当m﹣1≤2≤m时， 函数的最小值为4，不合题意， 综上，m的值为2﹣2或3+2． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，两直线交点问题，新定义，二次函数的性质，理解新定义以及二次函数的性质是解题的关键． 34．（2025秋•北京期末）已知二次函数． （1）若b＝﹣1，求该二次函数图象的对称轴及最小值； （2）若对于任意的0≤x≤2，都有y≥﹣1，求b的取值范围． 【分析】（1）把b＝﹣1代入解析式，并把解析式化为顶点式即可求解； （2）求出抛物线对称轴为直线x＝﹣b，再分﹣b≤0，0＜﹣b＜2，﹣b≥2三种情况由函数的性质进行讨论． 【解答】解：（1）当b＝﹣1时，yx2+bx+1x2﹣x+1（x﹣1）2， ∴二次函数图象的对称轴为直线x＝1，最小值为； （2）∵yx2+bx+1， ∴对称轴为直线xb， ①当x＝﹣b≤0，即b≥0时， ∴当0≤x≤2时，y随x的增大而增大， ∴当x＝0时，y最小，最小值为1＞﹣1， ∴b≥0； ②当0＜﹣b＜2时，即﹣2＜b＜0， 此时对称轴在0～2段内， ∴当x＝﹣b时y有最小值， ∴ymin（﹣b）2+b×（﹣b）+1b2+1， 令b2+1≥﹣1， 解得﹣2≤b≤2， ∴﹣2＜b＜0； ③当x＝﹣b≥2时，即b≤﹣2， ∴当0≤x≤2时，y随x的增大而减小， ∴当x＝2时，ymin22+2b+1＝2b+3≥﹣1， 解得b≥﹣2， ∴b＝﹣2， 综上所述，b的取值范围为b≥﹣2． 【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的图象和二次函数的最值，关键是进行分类讨论． 【考点3】二次函数的平移与对称（第35-42题） ※ 方法总结 · 平移规律： “左加右减，上加下减” — 对 的平移改变括号内，对整体的平移改变常数项。 · 关于坐标轴对称： · 关于 轴对称： 和 变号， 不变； · 关于 轴对称： 变号，、 不变； · 关于原点对称：、、 均变号。 · 中心对称： 关于原点成中心对称，顶点对称，开口反向。 35．（2026•玄武区一模）如果将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位，再向上平移4个单位，那么平移后的抛物线解析式是 y＝（x+2）2+1　 ． 【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”写出抛物线的解析式即可． 【解答】解：依题意，得y＝（x+2）2﹣3+4＝（x+2）2+1， 故答案为：y＝（x+2）2+1． 【点评】本题主要考查的了二次函数图象与几何变换，利用顶点坐标的平移确定函数图象的平移可以使求解更简便，平移规律“左加右减，上加下减”． 36．（2026•中山市校级一模）将抛物线y＝﹣2x2通过平移得到抛物线y＝﹣2（x+2）2﹣2，下列平移过程正确的是（　　） A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B．向左平移2个单位，再向上平移2个单位 C．向右平移2个单位，再向下平移2个单位 D．向右平移2个单位，再向上平移2个单位 【分析】由抛物线y＝﹣2x2得到顶点坐标为（0，0），而平移后抛物线y＝﹣2（x+2）2﹣2的顶点坐标为（﹣2，﹣2），然后根据顶点坐标的变化寻找平移方法即可． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2得到顶点坐标为（0，0），而平移后抛物线y＝﹣2（x+2）2﹣2的顶点坐标为（﹣2，﹣2）， ∴平移方法为：向左平移2个单位，再向下平移2个单位． 故选：A． 【点评】本题主要考查了抛物线的平移规律．确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律是解答本题的关键． 37．（2025秋•大连期末）要得到二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象，需将y＝﹣x2的图象（　　） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【分析】根据函数图象平移的法则解答即可． 【解答】解：二次函数y＝﹣x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位即可得到二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象． 故选：B． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 38．（2024秋•青秀区校级期中）在综合实践课上，为了测量抛物线的开口大小，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究．把“T”形尺按图1摆放，水平宽AB的中点为C，图象的顶点为D，测得AB为m厘米时，CD为n厘米． 【猜想】（1）探究小组先对y＝x2的图象进行多次测量，测得m与n的部分数据如表： m 0 2 3 4 5 6 … n 0 1 2.25 4 6.25 9 … 描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的直角坐标系内描出相应的点． 连线：用光滑的曲线顺次连接各点．对称轴． 猜想：n与m的关系式是 　　 ． 【验证】（2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的n与m也存在类似的关系式，并针对二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）的情况进行了推理验证．请从下表中任选一种方法（在“□”内打“√”）并补全其推理过程；（根据需要，选用字母a，m，n，h，k表示答案） □方法1 □方法2 如图3，平移二次函数图象，使得顶点D移到原点O的位置，则： ， 所以点B′坐标为 　（，n）　 ， 将点B′坐标代入y＝ax2， 得到n与m的关系式是 　　 ． 如图4，顶点D的横坐标加个单位，纵坐标加n2个单位得到点B的坐标， 所以点B坐标为 　（hm，k+n）　 ， 将点B坐标代入y＝a（x﹣h）2+k， 得到n与m的关系式是 　　 ． 结论：通过探究我们发现：抛物线的开口大小和方向由 a 决定． 【应用】（3）已知AB∥x轴且AB＝4，两个二次函数y＝2（x﹣h）2+k和y＝a（x﹣h）2+d的图象都经过A，B两点．当两个函数图象的顶点之间的距离为10时，求a的值． 【分析】（1）描点连线绘制函数图象即可，再用待定系数法即可求函数表达式； （2）方法一：点；将点B′的坐标代入抛物线表达式即可求解；方法二：同方放一； （3）对于第一个二次函数：m＝4，由nam2，得n2×42＝8，则第二个二次函数距线段AB的距离的n＝2，进而求解． 【解答】解：（1）描点连线绘制函数图象如下： 由题意得，点， 将点B的坐标代入函数表达式得：： 故答案为：； （2）方法一：点， 将点B′的坐标代入函数表达式得：； 则， 方法二：点， 将点B的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：，则， 结论：通过探究我们发现：抛物线的开口大小和方向由a决定． 故答案为：（m，n），nam2；（hm，k+n），nam2；a； （3）由题意知：AB＝4＝m，由（2）知①， 对于抛物线y＝2（x﹣h）2+k，可知a＝2，设CD＝n1， 则，即CD＝n1＝8， 对于抛物线y＝a（x﹣h）2+d，设CD＝n2， 因为两个函数的顶点之间的距离是10， 所以|n2﹣n1|＝10，即n2﹣8＝±10，所以n2＝18或n2＝﹣2， 当n2＝18时，代入①式，则有，所以， 当n2＝﹣2时，代入①式，则有，所以， 综上，或． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 39．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c． （1）若这两个函数图象的形状相同，则a＝　﹣2　 ；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝　﹣2　 ． （2）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表： x ﹣2 1 5 y m n p 表中m、n、p的大小关系为p＜m＜n （用“＜”连接）． 【分析】（1）根据函数图象平移的法则解答即可； （2）用c表示出m、n、p的值，再比较出其大小即可． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c的图象形状相同， ∴a＝﹣2， ∵抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合， ∴c＝﹣2， 故答案为：﹣2，﹣2； （2）由表格可知，m＝﹣2×（﹣2）2+c＝﹣8+c，n＝﹣2×12+c＝﹣2+c，p＝﹣2×52+c＝﹣50+c， ∵﹣50＜﹣8＜﹣2， ∴p＜m＜n． 故答案为：p＜m＜n． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键． 40．（2024秋•夏津县期末）把抛物线y＝﹣x2向右平移2个单位，然后向下平移4个单位，则平移后抛物线的表达式 y＝﹣（x﹣2）2﹣4　 ． 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【解答】解：把抛物线y＝﹣x2向右平移2个单位，然后向下平移4个单位，则平移后抛物线的表达式y＝﹣（x﹣2）2﹣4． 故答案为：y＝﹣（x﹣2）2﹣4． 【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 41．（2025秋•黄浦区期末）我们知道抛物线L1：y＝x2+2x+4与L2：y＝x2+4x+2通过平移是可以重合的，那么要使这两条抛物线平移后重合，平移的距离至少是　　 ． 【分析】这道题的核心是将两条抛物线化为顶点式，找到它们的顶点坐标，然后计算两个顶点之间的距离，这个距离就是两条抛物线平移后重合的最小距离． 【解答】解：对L1：y＝x2+2x+4， 配方：y＝（x2+2x+1）+3＝（x+1）2+3， 顶点为A（﹣1.3） 对L2：y＝x2+4x+2配方： y＝（x2+4x+4）﹣2＝（x+2）2﹣2， 顶点为B（﹣2，﹣2）， 计算两点距离 两点间距离公式：d， 代入A（﹣1，3）和B（﹣2，﹣2）： d ． 故答案为：． 【点评】这道题主要考查了二次函数的顶点式变换和平移的本质，即抛物线的平移等价于其顶点的平移．解题的关键是先将一般式化为顶点式，找到顶点坐标，再利用两点间距离公式计算最小平移距离． 42．（2025秋•东西湖区期末）把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为（　　） A．（﹣4，0） B．（0，0） C．（0，2） D．（4，2） 【分析】依据题意，由“左加右减，上加下减”的原则写出平移后的抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可． 【解答】解：由题意，∵抛物线为， ∴由先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则根据平移规律可得新抛物线为：． ∴平移后抛物线的顶点坐标为（﹣4，0）， 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的平移规律，熟练掌握并能理解“左加右减，上加下减”的平移规律是关键． 【考点4】二次函数综合应用（第43-45题） ※ 方法总结 · 实际问题建模： 如投篮、喷水等，根据题意建立坐标系，利用顶点式求解析式。 · 利用图象解不等式： 观察图象在 x 轴上方（>0）或下方（<0）的部分，确定 x 的范围。 · 最值问题： 根据顶点坐标或增减性求实际最值，注意自变量的取值范围。 · 结合几何图形： 如矩形、正方形等，利用抛物线性质求参数范围。 43．（2024秋•威海期末）我们知道，竖直上抛物体的高度h（m）与运动时间t（s）的关系可以表示为：，（其中v0表示抛出时的速度，h0表示抛出时的高度），一个小球从地面被以40m/s的速度竖直抛起，则小球在运动过程中最高点距离地面　80　 米． 【分析】根据题意可得到h关于t的函数关系式，再将其化为顶点式，按照二次函数的性质可得答案． 【解答】解：由题意得：v0＝40，h0＝0， h＝﹣5t2+40t ＝﹣5（t﹣4）2+80， ∵a＝﹣5＜0， ∴当t＝4时，h取得最大值，此时h＝80米， ∴一个小球从地面被以40m/s的速度竖直抛起，则小球在运动过程中最高点距离地面80米， 故答案为：80． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 44．（2025秋•平城区校级月考）请仔细阅读并完成相应的任务． 用图象法解一元二次不等式：﹣x2+2x+3＜0 方法如下： 步骤一：设y＝﹣x2+2x+3 步骤二：先将二次函数：y＝﹣x2+2x+3化为顶点式，确定抛物线的顶点位置； 步骤三：列表 x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 　0　 3 　4　 3 0 … 步骤四：描点，连线（因为a＝﹣1＜0，所以抛物线开口向下）． 步骤五：观察函数图象可知，当x＜﹣1或x＞3时，y＜0．所以﹣x2+2x+3＜0的解集是x＜﹣1或x＞3 任务： （1）“步骤二”中二次函数一般式化为顶点式是y＝﹣（x﹣1）2+4　 ； （2）将材料中的表格补充完整，并画出图象； （3）请直接写出一元二次不等式﹣x2+2x+3＞0的解集是　﹣1＜x＜3　 ． （4）参照上面材料的分析过程，请你写出一条与函数观点有关的体会或感悟． 【分析】（1）配方即可得到答案； （2）在二次函数解析式中，令x＝﹣1和x＝1求出对应y的值，补全表格，在坐标系中描出点，用光滑曲线连接这些点即可； （3）根据图象，不等式的解对应二次函数图象在x轴上方时x的范围； （4）可以数形结合求解不等式或方程（答案不唯一）． 【解答】解：步骤二：把x＝﹣1代入y＝﹣x2+2x+3得y＝﹣1﹣2+3＝0， 把x＝1代入y＝﹣x2+2x+3得y＝﹣1+2+3＝4， 故答案为：0，4； （1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， 故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+4； （2）对于y＝﹣x2+2x+3， 当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣2+3＝0； 当x＝1时，y＝﹣1+2+3＝4； ∴表格补全为： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 图象如下： ； （3）﹣x2+2x+3＞0， 则函数图象取在x轴上方的部分，对应x的范围是﹣1＜x＜3， 故答案为：﹣1＜x＜3； （4）可以利用函数的图象，数形结合求解不等式或方程（答案不唯一）． 【点评】本题考查二次函数图象性质，可利用二次函数图象性质求解一元二次不等式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 45．（2025秋•镇平县期末）如图，一名篮球运动员在距离篮球框中心A点4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度B点处，且最大高度为3.5m，以地面水平线为x轴，过最高点B垂直地面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如果篮框中心A距离地面3.05m． （1）求该篮球的运行路线（抛物线）的表达式； （2）求出篮球在该运动员出手时的高度． 【分析】（1）根据题意设出抛物线的解析式为：y＝ax2+3.5，将点A的坐标代入，即可求出解析式； （2）将点C的横坐标代入，即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：A（1.5，3.05），B（0，3.5），点C的横坐标为﹣2.5， 设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5，将点A的坐标代入得： 3.05＝1.52a+3.5， 解得：a＝﹣0.2， ∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+3.5； （2）当x＝﹣2.5时，得：y＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25， ∴篮球在该运动员出手时的高度是2.25米． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，准确求出函数解析式是解题的关键． 随堂检测 · 精选练习 【练习1】（2024秋•海东市期末）二次函数y＝x2﹣5x+3的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的图象的开口方向，对称轴、与坐标轴的交点情况来进行判断． 【解答】解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝3， ∴对称轴为直线，Δ＝b2﹣4ac＝13＞0， 方程x2﹣5x+3＝0有两个不等的实数根， ∴图象开口向上，对称轴在y轴的右侧，图象与x轴有两个交点，只有B选项图象满足， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是结合图象的开口方向，对称轴、与坐标轴的交点情况来进行判断． 【练习2】（2025秋•衢江区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如下表： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 y m 0 ﹣4 n 0 则m，n的大小关系为m　＞　 n（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【分析】根据二次函数与x轴交点坐标求对称轴，结合开口方向比较函数值大小． 【解答】解：由表格知：二次函数与x轴交于点（﹣1，0）和（2，0）， 故图象对称轴为：直线， ∵当﹣1＜x＜0时，﹣4＜y＜0， ∴当﹣1＜x＜0时，y随x的增大而减小， ∴a＞0，函数值在对称轴两侧随距离增大而增大， ∵|1﹣0.5|＝0.5，|﹣2﹣0.5|＝2.5，2.5＞0.5， ∴则m，n的大小关系为m＞n． 故答案为：＞． 【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【练习3】（2026•建邺区一模）将下列二次函数中图象向右平移1个单位，再向下平移5个单位后，得到的函数图象顶点在原点的是（　　） A．y＝2（x﹣1）2﹣5 B．y＝2（x﹣1）2+5 C．y＝2（x+1）2﹣5 D．y＝2（x+1）2+5 【分析】依据题意，平移后图象顶点在原点，即顶点为（0，0），从而结合选项特征可得平移后的解析式为y＝2x2，又新抛物线是由原抛物线向右平移1个单位，再向下平移5个单位后得到，则可将y＝2x2向左平移1个单位，再向上平移5个单位则可得原抛物线，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，平移后图象顶点在原点，即顶点为（0，0）， ∴结合选项特征可得平移后的解析式为y＝2x2． 又∵新抛物线是由原抛物线向右平移1个单位，再向下平移5个单位后得到， ∴可将y＝2x2向左平移1个单位，再向上平移5个单位则可得原抛物线，即y＝2（x+1）2+5． 故选：D． 【点评】本题要考查了二次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用“左加右减，上加下减”的规律是关键． 【练习4】已知二次函数y＝﹣x2+x+6，若将图象绕着它的顶点旋转180°，得到的图象表达式为y＝（x）2　 ；若将图象绕着点旋转180°，得到的图象表达式为y＝（x）2　 ． 【分析】把二次函数y＝﹣x2+x+6＝化为顶点式＝﹣（x）2，求得二次函数y＝﹣x2+x+6函数图象的顶点为（，），然后根据函数的图象沿x轴翻折，将其绕顶点旋转180°后，将图象绕着点旋转180°，求得顶点坐标即可得到结论． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+x+6＝﹣（x）2， ∴顶点为（，）， 将图象绕着它的顶点旋转180°后，得：y＝（x）2， 设将图象绕着点旋转180°后的顶点坐标为（a，b）， ∴，， ∴a，b， ∴将图象绕着点旋转180°后的顶点坐标为（，）， ∴得到的图象解析式为y＝（x）2， 故答案为：y＝（x）2，y＝（x）2． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的变换解决函数图象的变换，求出变换后的顶点坐标是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 ❤ 复习建议 本讲重点掌握顶点式的图象与性质，灵活运用平移规律和对称变换，注意数形结合解决综合问题。 【作业1】（2025秋•合肥校级期末）二次函数y＝3（x﹣1）2的顶点坐标是（　　） A．（0，﹣1） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，0） 【分析】根据二次函数y＝3（x﹣1）2，得出顶点坐标是（1，0），即可作答． 【解答】解：由题意可得：函数为y＝3（x﹣1）2， ∴可得出顶点坐标是（1，0）， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的图象性质，正确计算是解题关键． 【作业2】（2026•凤翔区二模）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数），当0≤x≤3时，该二次函数的最大值与最小值的差为（　　） A．9 B．4 C．1 D．﹣3 【分析】根据二次函数的性质和x的取值范围，可以计算出该二次函数的最大值与最小值的差． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+m+1＝﹣（x﹣1）2+m+2， ∴该函数的对称轴为直线x＝1，图象开口向下， ∵0≤x≤3， ∴当x＝1时，取得最大值，当x＝3时，取得最小值， ∴当0≤x≤3时，该二次函数的最大值与最小值的差为[﹣（1﹣1）2+m+2]﹣[﹣（3﹣1）2+m+2]＝4， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【作业3】（2026•东台市一模）已知二次函数y＝（x﹣3）2+2m+1（m为常数），其图象上有两点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2），如果y1＞y2，那么a的取值范围是（　　） A．a＞0或a＜﹣2 B．﹣1＜a＜3 C．a＜3 D．1＜a＜3 【分析】由二次函数解析式，利用二次函数的性质，可得出抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝3，当x≤3时，y随x的增大而减小，当x＞3时，y随x的增大而增大，分a+1≤3，a﹣1＜3＜a+1，及a﹣1≥3三种情况考虑，根据y1＞y2，即可求出a的取值范围．（其实利用点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离来解决很简单）． 【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝（x﹣3）2+2m+1， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝3， ∴当x≤3时，y随x的增大而减小，当x＞3时，y随x的增大而增大， ∴当a+1≤3，即a≤2时，显然成立； 当a﹣1＜3＜a+1，即2＜a＜4时，3﹣（a﹣1）＞a+1﹣3， 解得：a＜3， ∴2＜a＜3； 当a﹣1≥3，即a≥4时，显然不成立． 综上所述，a的取值范围为a＜3． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，牢记“在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，当a＞0时，抛物线开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大；当a＜0时，抛物线开口向下，离对称轴越远的点，函数值越小”是解题的关键． 【作业4】（2025秋•东城区期末）写出一个二次函数，使其图象满足：①开口向下；②经过点（0，2）．这个二次函数的解析式可以是y＝﹣2x2+3x+2（答案不唯一）　 ． 【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c中系数与图象的关系求解． 【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c中a＜0时，抛物线开口向下， ∵图象经过点（0，2）， ∴当x＝0时，c＝2， ∴二次函数的解析式可以是y＝﹣2x2+3x+2， 故答案为：y＝﹣2x2+3x+2（答案不唯一）． 【点评】本题考查二次函数图象的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系． 【作业5】（2026•中山市校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 10 5 2 1 2 y1 … 当y≤y1时，自变量x的取值范围是 　0≤x≤4　 ． 【分析】根据题意确定二次函数的解析式，根据二次函数的性质解答即可． 【解答】解：根据表格数据可知，抛物线顶点坐标为（2，1），设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1， 当x＝1时，y＝2，代入解析式得：2＝a（1﹣2）2+1，解得a＝1， ∴y＝（x﹣2）2+1＝x2﹣4x+5， 当x＝4时，y1＝5， 当y≤y1时，即x2﹣4x+5≤5， ∴x（x﹣4）≤0， ∴0≤x≤4． 故答案为：0≤x≤4． 【点评】本题考查的是二次函数的图形和性质，根据表格确定二次函数的解析式是解题的关键． 【作业6】（2024秋•杭州期末）已知二次函数y＝﹣x2+mx图象的对称轴为直线x＝1，求m的值及图象的顶点坐标． 【分析】依据题意，由二次函数为y＝﹣x2+mx，从而对称轴是直线xm＝1，可得m＝2，故二次函数为y＝﹣x2+2x，从而可得顶点为（1，1），进而得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝﹣x2+mx， ∴对称轴是直线xm＝1． ∴m＝2． ∴二次函数为y＝﹣x2+2x． ∴当x＝1时，y＝1． ∴顶点为（1，1）． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【作业7】（2025秋•河东区期末）已知二次函数y＝x2+2bx+c（b，c为常数）． （Ⅰ）当c＝5时，若二次函数图象的对称轴为直线x＝2，求该二次函数的最小值； （Ⅱ）当﹣b≤x≤1时，函数的最小值为﹣b，最大值为1，求b的值； （Ⅲ）若二次函数图象的顶点在y轴上，当m≤x≤n时，m≤y≤n，且y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，求c的取值范围． 【分析】（Ⅰ）把函数的解析式化成顶点式，即可求得函数的最小值； （Ⅱ）根据解析式得到抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣b，由题意可知x＝﹣b时，y＝b2﹣2b2+c＝﹣b；x＝1时，y＝1+2b+c＝1，即可解得b＝0或b＝﹣1； （Ⅲ）由题意抛物线为y＝x2+c，若当m≤x≤n时，m≤y≤n，且y随x的增大而增大则有，由此可知m、n是方程x2﹣x+c＝0的两个非负根，故Δ＝1﹣4c≥0，c＝mn≥0，解得0≤c，若当m≤x≤n时，m≤y≤n，且y随x的增大而减小时，，两式相减得到（m﹣n）（m+n+1）＝0，故m+n+1＝0，即n＝﹣m﹣1，代入②得（﹣m﹣1）2+c＝m，即m2+m+1+c＝0有解，利用根的判别式Δ＝12﹣4（1+c）≥0，解得c． 【解答】解：（Ⅰ）当c＝5时，则y＝x2+2bx+5， ∵二次函数图象的对称轴为直线x＝2， ∴2， ∴b＝﹣2， ∴y＝x2﹣4x+5， ∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1， ∵a＝1＞0， ∴x＝2时，该二次函数有最小值为1； （Ⅱ）∵y＝x2+2bx+c（b，c为常数）， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线xb， ∴当x≥﹣b时，y随x的增大而增大， ∵当﹣b≤x≤1时，函数的最小值为﹣b，最大值为1， ∴x＝﹣b时，y＝b2﹣2b2+c＝﹣b；x＝1时，y＝1+2b+c＝1， 解得b＝0或b＝﹣1； （Ⅲ）若二次函数图象的顶点在y轴上，则b＝0， ∴y＝x2+c， ∵当m≤x≤n时，m≤y≤n，且y随x的增大而增大或y随x的增大而减小， ∴y随x的增大而增大时，， ∴m、n是方程x2﹣x+c＝0的两个非负根， ∴Δ＝1﹣4c≥0，c＝mn≥0， 解得0≤c， y随x的增大而减小时，， ①﹣②得m2﹣n2＝n﹣m， ∴（m﹣n）（m+n+1）＝0， ∵m≤x≤n， ∴m+n+1＝0， ∴n＝﹣m﹣1， ∴（﹣m﹣1）2+c＝m，即m2+m+1+c＝0有解， ∴Δ＝12﹣4（1+c）≥0， 解得c， 综上，c的取值范围是c或0≤c． 【点评】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【作业8】（2025秋•遵义校级期末）【问题背景】 某游乐园推出一款新型喷泉游戏，水由特制喷头竖直向上喷出后做斜抛运动，其运动轨迹可视为抛物线．为研究水的运动规律，工作人员进行了相关测试． 【实验操作】工作人员通过仪器测得，水喷出后相对于喷头的水平位移x（单位：m）与运动时间t（单位：s）的关系满足x＝2t．同时收集了水的竖直高度y（单位：m，以喷头处为原点）与运动时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间t/s 0 1 2 3 4 … 飞行高度y/m 0 6 8 6 0 … 【建立模型】 任务1：求y关于t的函数表达式． 【反思优化】为保证游客安全，需在水平地面上设置长度为AB的安全隔离区（A为隔离区左端点，B为隔离区右端点），喷泉喷头固定在距离地面高度为h（单位：m）的支架上，此时水的运动轨迹可视为原抛物线向上平移h个单位得到．已知PA＝5m，AB＝4m． 任务2：探究水的落地点到原点P的水平距离，当水落到地面（高度为0m）时，求水喷出的水平距离． 任务3：为确保水不溅到隔离区外，当水的落地点在隔离区AB内（包括端点A，B）时，求支架高度h的取值范围． 【分析】任务1：根据表中数据，用待定系数法求出函数解析式； 任务2：令y＝0，解方程求出t的值，再把t的值代入x＝2t求出x即可； 任务3：得到y关于x的方程，利用抛物线的平移可得新抛物线的轨迹的函数解析式，令y1＝0，求得x1，根据题意列不等式即可解答． 【解答】解：任务1：根据探究发现：y与t是二次函数关系， 设y与t的函数解析式为y＝at2+bt， 把t＝1，y＝6和t＝2，y＝8代入可得 ， ∴， ∴y＝﹣2t2+8t； 任务2：依题意得：令y＝0，则﹣2t2+8t＝0， ∴t1＝0（舍去），t2＝4． ∴当t＝4时，x＝2t＝8． 即水喷出的水平距离8m； 任务3：∵y＝﹣2t2+8t，x＝2t， ∴， 则新的水的运动轨迹的解析式为， ∵PA＝5，AB＝4， ∴PB＝9 由题意可得当x1＝5时，y1≥0，当x1＝9时，y1≤0， 可得不等式组， 解得， ∵h≥0， ∴为确保水不溅到隔离区外，当水的落地点在隔离区AB内（包括端点A，B）时，支架高度h的取值范围． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是求出二次函数解析式． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 二次函数顶点式的图象和性质 优等生讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册（精讲+典例+创新题+练习） 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 二次函数 的图象与性质，能准确指出开口方向、对称轴和顶点坐标。 · 掌握 由 通过平移得到 的规律（左加右减，上加下减）。 · 熟练运用 顶点式求最值、判断增减性，并能利用对称性比较函数值大小。 · 理解 抛物线关于坐标轴对称的变换规律，能写出对称后的解析式。 · 体会 数形结合、化归与转化（配方法）的思想，能应用顶点式解决简单的实际问题。 ✨ 核心思想：从“顶点”出发，把握抛物线的核心要素，理解平移的本质。 知识梳理 · 核心知识点 ☆1. 二次函数 y=a(x+m)²+h 的图象 顶点式： （） ·顶点坐标： ·对称轴： 直线 ·开口方向： 由 决定 → 开口向上，顶点为最低点 → 开口向下，顶点为最高点 ·开口大小： 由 决定， 越大开口越窄。 ·最值： 若 ，当 时， 取最小值 ； 若 ，当 时， 取最大值 。 ·增减性： 当 ，对称轴左侧（）递减，右侧递增； 当 ，对称轴左侧递增，右侧递减。 分析：二次函数 、、 的图像 画图：在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数 、 和 的图像。 通过列表、描点和连线，分别画出函数 、 和 的图像，如图 所示。 图例说明（对应图像中的曲线）： 曲线 1：（顶点在 (0, 2)） 曲线 2：（顶点在原点 (0, 0)） 曲线 3：（顶点在 (0, -2)） 三条抛物线开口方向相同（向上），形状完全相同，只是沿 轴方向进行了上下平移。 ☆2. 平移规律（由 y=ax² 到顶点式） · 左右平移： “左加右减” — 向左平移 个单位， 变为 （ 左移）；向右平移则 变为 。 · 上下平移： “上加下减” — 向上平移 个单位，整体加 （ 上移）；向下平移则整体减 。 · 一般规律： 抛物线 的顶点 平移到顶点 ，平移方向由 、 的符号决定。 上图中的三条抛物线的开口方向、对称轴和顶点分别是什么？ 抛物线 ， 与抛物线 分别有什么关系？ 观察图像可以发现，将抛物线 向上平移 2 个单位长度，就得到抛物线。抛物线 的对称轴仍为 轴，顶点为 。 类似地，抛物线 可由抛物线 向下平移 2 个单位长度得到，对称轴仍为 轴，顶点为 。 观察结论： 的图像可由 的图像向上（）或向下（）平移 个单位得到。 ☆3. 关于坐标轴对称的变换 对称方式 变换后解析式 顶点 对称轴 开口方向 关于 轴对称 反向 关于 轴对称 不变 关于原点对称 反向 ☆4. 知识总结表 核心概念 表达式 顶点 对称轴 开口方向 顶点式 向上， 向下 平移规律 左加右减，上加下减 顶点从原点平移到 — — 关于x轴对称 反向 关于y轴对称 不变 关于原点对称 反向 核心考点 ·经典题型方法精讲 【考点1】二次函数 的图象（第1-14题） ※ 方法总结 · 画图步骤： 确定顶点坐标 → 列表（取对称点）→ 描点 → 用平滑曲线连接。 · 开口方向与大小： 由 决定， 向上， 向下； 越大开口越窄。 · 顶点与对称轴： 直接由顶点式读出顶点 和对称轴 。 · 与坐标轴交点： 令 求与 轴交点；令 解方程求与 轴交点。 · 图象共存问题： 注意一次函数与二次函数中系数符号的一致性，分类讨论。 1．（2024秋•阳信县期中）用描点法画出二次函数y＝2x2﹣8x+5的图象，列表如下： x … ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 15 m ﹣1 n ﹣1 5 … （1）填空：表中m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）用配方法将y＝2x2﹣8x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式． 2．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的． （1）求出a，h，k的值． （2）在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y＝a（x﹣h）2+k与的图象． （3）观察二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象，当x　 　 时，y随x的增大而增大；当x　 　 时，函数有最 　 　 值，最 　 　 值是 　 　 ． （4）观察二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象，你能说出对于一切x的值，y的取值范围吗？ 3．（2025春•单元）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为﹣2时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6． （1）直接写出k，a，b的值． （2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象，如图（2）． ①当y随x的增大而增大时，求x的取值范围． ②若关于x的方程ax2+bx+3﹣t＝0（t为实数），在0＜x＜4时无解，求t的取值范围． 4．（2025秋•西城区校级月考）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3． （1）将y＝x2﹣2x﹣3写成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； x … … y … … （3）当﹣1＜x＜2时，结合图象直接写出函数值y的取值范围是 　 　 ； （4）若直线y＝k与抛物线有两个交点，直接写出k的取值范围是 　 　 ． 5．（2025秋•青岛期末）在同一平面直角坐标系中二次函数与一次函数y2＝x﹣c的图象如图所示，则二次函数y＝﹣ax2+（1﹣b）x﹣c﹣2的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 7．（2026•灞桥区校级模拟）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数y＝cx2+bx+a的图象可能为（　　） A． B． C． D． 8．（2026•广东模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 9．（2023秋•黔东南州期中）二次函数y＝x2﹣x﹣1的图象开口方向是（　　） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 10．（2025秋•舟山期末）若二次函数y＝ax2+bx+c（ab＜0，c＞0），则这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 11．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是 　 　 ． 12．（2025秋•金凤区校级期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则关于x的方程ax2+bx+c﹣4＝0根的情况是　 　 ． 13．（2023秋•扶绥县校级月考）如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2﹣3x+a2﹣1的图象，那么a的值是 　 　 ． 14．根据解析式画出二次函数图象，并结合图象从开口方向、对称轴、顶点坐标、是否过定点、m变化对函数图象的影响几个方面分析图象特征． （1）y＝x2﹣2x+m； （2）y＝x2﹣2mx+1； （3）y＝mx2﹣2x+1； （4）y＝mx2﹣2mx﹣3m； （5）y＝mx2﹣2mx﹣3． 【考点2】二次函数 的性质（第15-34题） ※ 方法总结 · 最值： 开口向上有最小值 （在 取得），开口向下有最大值 。 · 增减性： 根据对称轴和开口方向判断：向上时“左减右增”，向下时“左增右减”。 · 比较函数值大小： 利用开口方向和点到对称轴的距离：开口向上时，距对称轴越近函数值越小；开口向下时，距对称轴越近函数值越大。 · 含参数问题： 利用对称轴、最值等建立方程或不等式求解。 · 新定义问题： 如“最小/最大”符号定义，需转化为不等式组或方程求解。 15．（2025秋•海淀区校级月考）抛物线y＝﹣2x2+4x+3的顶点坐标是（　　） A．（2，1） B．（1，5） C．（﹣2，5） D．（﹣1，2） 16．（2025•珠海校级三模）若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数y＝x2图象上，则（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 17．（2025秋•平江县期末）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　） A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2） 18．（2026•碑林区校级模拟）已知二次函数y＝ax2﹣bx+5（a≠0）的图象上有两个点A（x1，y1）和B（x2，y2），当x1＞x2＞0时，始终有y1＜y2，则下列结论正确的是（　　） A．a＞0 B．方程ax2﹣bx+2＝0没有实数根 C．该函数图象的顶点位于第三象限 D．该函数的最大值不小于5 19．（2025秋•沙河口区期末）已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为 D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 20．（2026•洛阳二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+c的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 21．（2025•翁源县一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣a的图象和一次函数y＝ax﹣a的图象大致为（　　） A． B． C． D． 22．（2025秋•鄞州区期末）已知二次函数y＝x2﹣2ax+1，当0≤x≤2时，函数的最大值为1，则a的取值范围为　 　 ． 23．（2026•安阳县一模）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+2，当x＜1时，y随x的增大而减小，写出一个符合条件的a的值：　 　 ． 24．（2025秋•兰溪市期末）抛物线y＝2x2+4x﹣1顶点坐标是 　 　 ． 25．（2026春•海门区期末）当x＝0时，函数y＝2x2﹣1的值为　 　 ． 26．（2025秋•广信区期末）抛物线y＝（x﹣4）2﹣3的顶点坐标为　 　 ． 27．（2024秋•琼中县期末）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线y＝x2﹣8x+18上运动，过点A 作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作正方形ABCD．则抛物线y＝x2﹣8x+18的顶点坐标是 　 　 ，正方形ABCD周长的最小值是 　 　 ． 28．（2025秋•河北区期末）二次函数y＝2（x﹣2）（x+3）的对称轴是　 　 ． 29．（2026•杭州开学）二次函数y＝ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＝0，则其图象不经过第 　 　 象限． 30．（2025秋•济阳区期末）抛物线y＝（x+1）2+2的对称轴是直线　 　 ． 31．（2026•寿光市一模）请写出抛物线y＝（x﹣2）2+1的一条性质　 　 ． 32．（2026春•海淀区校级期末）已知二次函数y＝x2+4x+5． （1）将y＝x2+4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）在平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当﹣3≤x＜0时，结合图象，直接写出y的取值范围． 33．（2025秋•海城市期末）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如A（a，2a）就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数y＝（x﹣1）2+2就是“友好二次函数”． （1）直线y＝3x﹣1上的“友好点”坐标为　 　 ； （2）若“友好二次函数”y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； （3）若“友好二次函数”yx2+bx+c的图象过点（﹣2，8），且顶点在第一象限．当m﹣1≤x≤m时，这个“友好二次函数”的最小值为6，求m的值． 34．（2025秋•北京期末）已知二次函数． （1）若b＝﹣1，求该二次函数图象的对称轴及最小值； （2）若对于任意的0≤x≤2，都有y≥﹣1，求b的取值范围． 【考点3】二次函数的平移与对称（第35-42题） ※ 方法总结 · 平移规律： “左加右减，上加下减” — 对 的平移改变括号内，对整体的平移改变常数项。 · 关于坐标轴对称： · 关于 轴对称： 和 变号， 不变； · 关于 轴对称： 变号，、 不变； · 关于原点对称：、、 均变号。 · 中心对称： 关于原点成中心对称，顶点对称，开口反向。 35．（2026•玄武区一模）如果将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位，再向上平移4个单位，那么平移后的抛物线解析式是 　 　 ． 36．（2026•中山市校级一模）将抛物线y＝﹣2x2通过平移得到抛物线y＝﹣2（x+2）2﹣2，下列平移过程正确的是（　　） A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B．向左平移2个单位，再向上平移2个单位 C．向右平移2个单位，再向下平移2个单位 D．向右平移2个单位，再向上平移2个单位 37．（2025秋•大连期末）要得到二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象，需将y＝﹣x2的图象（　　） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 38．（2024秋•青秀区校级期中）在综合实践课上，为了测量抛物线的开口大小，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究．把“T”形尺按图1摆放，水平宽AB的中点为C，图象的顶点为D，测得AB为m厘米时，CD为n厘米． 【猜想】（1）探究小组先对y＝x2的图象进行多次测量，测得m与n的部分数据如表： m 0 2 3 4 5 6 … n 0 1 2.25 4 6.25 9 … 描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的直角坐标系内描出相应的点． 连线：用光滑的曲线顺次连接各点．对称轴． 猜想：n与m的关系式是 　 　 ． 【验证】（2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的n与m也存在类似的关系式，并针对二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）的情况进行了推理验证．请从下表中任选一种方法（在“□”内打“√”）并补全其推理过程；（根据需要，选用字母a，m，n，h，k表示答案） □方法1 □方法2 如图3，平移二次函数图象，使得顶点D移到原点O的位置，则： ， 所以点B′坐标为 　 　 ， 将点B′坐标代入y＝ax2， 得到n与m的关系式是 　 　 ． 如图4，顶点D的横坐标加个单位，纵坐标加n2个单位得到点B的坐标， 所以点B坐标为 　 　 ， 将点B坐标代入y＝a（x﹣h）2+k， 得到n与m的关系式是 　 　 ． 结论：通过探究我们发现：抛物线的开口大小和方向由 　 　 决定． 【应用】（3）已知AB∥x轴且AB＝4，两个二次函数y＝2（x﹣h）2+k和y＝a（x﹣h）2+d的图象都经过A，B两点．当两个函数图象的顶点之间的距离为10时，求a的值． 39．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c． （1）若这两个函数图象的形状相同，则a＝　 　 ；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝　 　 ． （2）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表： x ﹣2 1 5 y m n p 表中m、n、p的大小关系为　 　 （用“＜”连接）． 40．（2024秋•夏津县期末）把抛物线y＝﹣x2向右平移2个单位，然后向下平移4个单位，则平移后抛物线的表达式 　 　 ． 41．（2025秋•黄浦区期末）我们知道抛物线L1：y＝x2+2x+4与L2：y＝x2+4x+2通过平移是可以重合的，那么要使这两条抛物线平移后重合，平移的距离至少是　 　 ． 42．（2025秋•东西湖区期末）把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为（　　） A．（﹣4，0） B．（0，0） C．（0，2） D．（4，2） 【考点4】二次函数综合应用（第43-45题） ※ 方法总结 · 实际问题建模： 如投篮、喷水等，根据题意建立坐标系，利用顶点式求解析式。 · 利用图象解不等式： 观察图象在 x 轴上方（>0）或下方（<0）的部分，确定 x 的范围。 · 最值问题： 根据顶点坐标或增减性求实际最值，注意自变量的取值范围。 · 结合几何图形： 如矩形、正方形等，利用抛物线性质求参数范围。 43．（2024秋•威海期末）我们知道，竖直上抛物体的高度h（m）与运动时间t（s）的关系可以表示为：，（其中v0表示抛出时的速度，h0表示抛出时的高度），一个小球从地面被以40m/s的速度竖直抛起，则小球在运动过程中最高点距离地面　 　 米． 44．（2025秋•平城区校级月考）请仔细阅读并完成相应的任务． 用图象法解一元二次不等式：﹣x2+2x+3＜0 方法如下： 步骤一：设y＝﹣x2+2x+3 步骤二：先将二次函数：y＝﹣x2+2x+3化为顶点式，确定抛物线的顶点位置； 步骤三：列表 x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 　 　 3 　 　 3 0 … 步骤四：描点，连线（因为a＝﹣1＜0，所以抛物线开口向下）． 步骤五：观察函数图象可知，当x＜﹣1或x＞3时，y＜0．所以﹣x2+2x+3＜0的解集是x＜﹣1或x＞3 任务： （1）“步骤二”中二次函数一般式化为顶点式是　 　 ； （2）将材料中的表格补充完整，并画出图象； （3）请直接写出一元二次不等式﹣x2+2x+3＞0的解集是　 　 ． （4）参照上面材料的分析过程，请你写出一条与函数观点有关的体会或感悟． 45．（2025秋•镇平县期末）如图，一名篮球运动员在距离篮球框中心A点4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度B点处，且最大高度为3.5m，以地面水平线为x轴，过最高点B垂直地面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如果篮框中心A距离地面3.05m． （1）求该篮球的运行路线（抛物线）的表达式； （2）求出篮球在该运动员出手时的高度． 随堂检测 · 精选练习 【练习1】（2024秋•海东市期末）二次函数y＝x2﹣5x+3的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【练习2】（2025秋•衢江区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如下表： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 y m 0 ﹣4 n 0 则m，n的大小关系为m　 　 n（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【练习3】（2026•建邺区一模）将下列二次函数中图象向右平移1个单位，再向下平移5个单位后，得到的函数图象顶点在原点的是（　　） A．y＝2（x﹣1）2﹣5 B．y＝2（x﹣1）2+5 C．y＝2（x+1）2﹣5 D．y＝2（x+1）2+5 【练习4】已知二次函数y＝﹣x2+x+6，若将图象绕着它的顶点旋转180°，得到的图象表达式为　 　 ；若将图象绕着点旋转180°，得到的图象表达式为　 　 ． 课后巩固 · 针对性练习 ❤ 复习建议 本讲重点掌握顶点式的图象与性质，灵活运用平移规律和对称变换，注意数形结合解决综合问题。 【作业1】（2025秋•合肥校级期末）二次函数y＝3（x﹣1）2的顶点坐标是（　　） A．（0，﹣1） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，0） 【作业2】（2026•凤翔区二模）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数），当0≤x≤3时，该二次函数的最大值与最小值的差为（　　） A．9 B．4 C．1 D．﹣3 【作业3】（2026•东台市一模）已知二次函数y＝（x﹣3）2+2m+1（m为常数），其图象上有两点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2），如果y1＞y2，那么a的取值范围是（　　） A．a＞0或a＜﹣2 B．﹣1＜a＜3 C．a＜3 D．1＜a＜3 【作业4】（2025秋•东城区期末）写出一个二次函数，使其图象满足：①开口向下；②经过点（0，2）．这个二次函数的解析式可以是　 　 ． 【作业5】（2026•中山市校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 10 5 2 1 2 y1 … 当y≤y1时，自变量x的取值范围是 　 　 ． 【作业6】（2024秋•杭州期末）已知二次函数y＝﹣x2+mx图象的对称轴为直线x＝1，求m的值及图象的顶点坐标． 【作业7】（2025秋•河东区期末）已知二次函数y＝x2+2bx+c（b，c为常数）． （Ⅰ）当c＝5时，若二次函数图象的对称轴为直线x＝2，求该二次函数的最小值； （Ⅱ）当﹣b≤x≤1时，函数的最小值为﹣b，最大值为1，求b的值； （Ⅲ）若二次函数图象的顶点在y轴上，当m≤x≤n时，m≤y≤n，且y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，求c的取值范围． 【作业8】（2025秋•遵义校级期末）【问题背景】 某游乐园推出一款新型喷泉游戏，水由特制喷头竖直向上喷出后做斜抛运动，其运动轨迹可视为抛物线．为研究水的运动规律，工作人员进行了相关测试． 【实验操作】工作人员通过仪器测得，水喷出后相对于喷头的水平位移x（单位：m）与运动时间t（单位：s）的关系满足x＝2t．同时收集了水的竖直高度y（单位：m，以喷头处为原点）与运动时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间t/s 0 1 2 3 4 … 飞行高度y/m 0 6 8 6 0 … 【建立模型】 任务1：求y关于t的函数表达式． 【反思优化】为保证游客安全，需在水平地面上设置长度为AB的安全隔离区（A为隔离区左端点，B为隔离区右端点），喷泉喷头固定在距离地面高度为h（单位：m）的支架上，此时水的运动轨迹可视为原抛物线向上平移h个单位得到．已知PA＝5m，AB＝4m． 任务2：探究水的落地点到原点P的水平距离，当水落到地面（高度为0m）时，求水喷出的水平距离． 任务3：为确保水不溅到隔离区外，当水的落地点在隔离区AB内（包括端点A，B）时，求支架高度h的取值范围． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $