26.1 二次函数的概念 易错点讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦二次函数概念核心，系统梳理定义（形如y=ax²+bx+c,a≠0）、识别条件（整式、自变量最高次2、二次项系数非0）、含参二次函数双重条件（次数为2且a≠0）及实际问题建模步骤（审题、假设、列式），构建从基础到应用的学习支架。 资料亮点在于精准剖析高频易错点（如未化简判定、忽略定义域），培养数学思维严谨性，结合几何面积、经济利润等实际题型，发展模型意识与应用意识。课中辅助教师聚焦重点，课后学生可通过典型错题与避坑准则查漏补缺，强化知识理解。

二次函数概念核心知识点与易错点 知识点一　二次函数的定义 🔷定义：一般的，形如（，）的函数，叫作二次函数。其中，是自变量，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 ⚠️作为二次函数，其二次项系数务必不能等于“0”，这是二次函数的灵魂。反之，若，则不论等于几，函数会降为一次函数或常数函数。 📌 二次函数的识别 1. 判定条件（三者必须同时满足） 对于函数 ： (1)表达式为整式函数（无分式、无理式、负指数） (2)自变量 的最高次数为 (3)二次项系数 2. 二次函数三种特殊形式 (1)（无一次项、无常数项,） (2)（无常数项、） (3)（无一次项、） 高频易错点1：只看表面含 ，不化简直接判定 典型错题：判定 为二次函数 错因：未去括号合并同类项，化简后 ，二次项抵消，为一次函数。 避坑准则：所有多项式型解析式，必须先化简再判断次数。 高频易错点2：误将非整式函数判定为二次函数 易错式子：、、 错因：二次函数定义要求整式函数，分式、根式、负指数幂均不符合要求。 高频易错点3：混淆方程与函数 是一元二次方程， 才是二次函数。 题型01辨别二次函数 1．（26-27九年级·上海·暑假作业）下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）． 【答案】（2），（3）是二次函数 【难度】0.81 【知识点】二次函数的识别 【详解】解：（1）是一次函数，不是二次函数； （2），符合的形式，是二次函数； （3），符合的形式，是二次函数； （4），化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数； （5）中，是否为0未知，若，则函数退化为一次函数或常数函数，因此不一定是二次函数． 结论：（2），（3）是二次函数． 2．下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数，一次项系数和常数项． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】 （1）是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0； （2），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是； （3）不是二次函数； （4），是二次函数，二次项系数是5、一次项系数是，常数项是3； （5）是二次函数，二次项系数是2、一次项系数是，常数项是4； （6）不是二次函数． 【难度】0.94 【来源】19.1 二次函数 随堂检测 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，理解二次函数与一元二次方程的关系是解答关键． 根据二次函数的这定义，二次函数与一元二次方程的关系来进行判定求解． 知识点二　含参二次函数 🔷当要求函数是一个二次函数时，需要同时满足以下条件： ①； ② 无特殊要求，一般情况下可以置之不理。 💡 拓展延伸 （）是二次函数的标准形式，因此，有以下三点要求需要额外留意： · 必须是整式（分母中不能含有，根号内不能含有）； · 需合并同类项后再进行判断，例如，化简后为，很明显不是二次函数； · 和可以等于“0”，也可以不为“0”。若且，该函数仍是二次函数，例如：。 📌 经典例题演示 例：若 是二次函数，求 的值。 解：根据定义列方程组： 由 得 ； 由 得 ； 综上：。 依据：若 为二次函数，必须同时满足： 高频易错点1：只盯指数=2，遗漏二次项系数 经典例题：若 是二次函数，求 错误解法：令 ，得 （直接写答案） 正确限制：需同时满足 ，最终 万能公式：二次函数参数题双重条件缺一不可：次数为2、二次项系数不为0。 高频易错点2：参数在一次项、常数项，过度限制条件 错点：误以为 正解：仅限制 ，一次项系数、常数项可为0。 高频易错点3：未整理一般形式，误判二次项系数 如 ，需先合并 项，再判断系数含参部分 题型02根据二次函数的定义求参数 1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）若是二次函数，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查二次函数的定义，二次函数的一般形式为()，根据定义列出关于的方程与不等式，进而求解的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且． 由，得，解得或． 又∵，即， ∴． 故选：A． 2．（2022·云南玉溪·二模）若是二次函数，则________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数的定义，需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出方程与不等式求解即可得到的值． 【详解】解：是二次函数， 根据二次函数的定义可得， 解方程得，即． 由不等式得， ． 3.（19-20九年级上·陕西安康·阶段检测）若是二次函数，则_______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【详解】解：根据二次函数的定义可得：二次项系数不为0，且自变量的最高次数为2， 即， 整理，得， ∴， ∴， 解得或， 结合， 可得． 4.（25-26九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 即， 解得． 故答案为：1． 5.（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程、求一元一次不等式的解集、根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，解一元一次不等式． 根据常数项为零的条件列出方程，并结合二次函数的定义（二次项系数不为零）求解． 【详解】解：∵二次函数的常数项为零， ∴，即， ∴或． 又∵函数为二次函数， ∴二次项系数， ∴， ∴． 故答案为：2． 知识点三　实际问题中的函数解析式 🔷为了表示实际问题中各个数量间的函数解析式，步骤大致与一元二次方程应用题类似，但只有三步即审设列。 ①审题：圈画出题干中已知的数量（比较常见的有人数、物品单价、长度等），明确各个数量之间的关系，并列出语言关系表达式； ②假设：一般情况下，题干中会给定假设好的量，在表示其他数量的时候，可以借助已知的数量去表达； ③列式：将已经表示出来的量代入语言关系表达式中。 ⚠️①未化简式子：保留括号、未合并同类项，无法判定为标准二次函数 ②忽略实际定义域：几何边长、销量等必须满足 ，不可为负数 ③列式出现非整式：式子中含 、 等，不属于二次函数 高频易错点1：列式后不化简，不是标准形式 列出 直接作答，未展开整理为 。 高频易错点2：遗漏自变量实际取值范围（扣分重灾区） 几何边长、周长、销量、价格等实际问题，必须满足：，部分题型需结合题意取整数或区间范围。 高频易错点3：利润公式套用错误 错误列式：总利润=售价×销量 标准公式： 常见坑：涨价题中，忘记用“原利润-涨价金额”更新单件利润。 📌常见建模公式及题型 题型03 几何面积模型：矩形面积 ，动态边长代入后整理为二次式 1．（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】列二次函数关系式、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得米，进而根据矩形的面积公式解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，米， ∴， 故选：． 2.（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】列二次函数关系式 【分析】先根据题意得到新正方形的边长. 再利用正方形面积公式列出与的关系式. 整理后即可得到函数解析式． 【详解】由题意可知，原正方形边长为，边长增加后，新正方形的边长为 根据正方形面积公式，可得： 展开整理得： 由的实际意义可知， ∴． 3．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了列二次函数关系式，由m，得m，m，即可求解； 【详解】解：∵m， ∴m，m， ∴， 故答案为： 4．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意得，正方形的边长为，然后通过面积差即可求解，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，正方形的边长为， ∴， 故选：． 5．（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】列二次函数关系式、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，，据此可得出函数的表达式． 【详解】解：如图，连接， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 等边的边长为1，， ， ， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·安徽滁州·期中）如图，要建一个矩形养殖场，养殖场的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门方便出入．已知围成养殖场的木板总长为75米，设养殖场的宽为米，面积为平方米． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若要建成的矩形养殖场的面积为690平方米，则养殖场的宽为多少米？ 【答案】(1) (2)23米 【难度】0.65 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、列二次函数关系式 【分析】本题考查列二次函数关系式、一元一次不等式组的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数关系式是解答的关键． （1）先用x表示出矩形养殖场的长为米，然后利用矩形面积公式求得函数关系式； （2）由列方程求解即可． 【详解】（1）解：设养殖场的宽为x米，则养殖场的长为米， 根据题意，养殖场的面积， ∵墙长45米，宽长， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：当时，由得， 解得，（舍去）， 答：养殖场的宽为23米． 7．（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为） 围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽为，苗圃面积为． (1) 求S与x的函数表达式； (2) 如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 【答案】(1) (2)8米 【难度】0.65 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的综合应用，根据题意确定二次函数的解析式成为解答本题的关键． （1）先表示出的长，再利用矩形的面积公式列出函数关系式即可； （2）令，求出的长即可． 【详解】（1）解：设花圃的宽为，则，根据题意得： ， 即S与x的函数表达式为； （2）解：当时，， 解得：， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 即的长是8米． 题型04 经济利润模型： 1.（2025八年级上·全国·专题练习）某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查列函数关系式，利润由每件利润乘以销售数量得出，每件利润为售价减成本，销售数量由题干给出，由此可解． 【详解】解：∵ 每件利润为元，每天销售件， ∴ 每天利润 ． 故选：A． 2．（25-26九年级上·河南新乡·期中）将进货价格为30元/个的商品按售价40元/个售出时，能卖出200个．已知该商品的售价每上涨1元，其销售量就减少6个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查二次函数的应用． 根据利润每个利润销售量列出关系式即可． 【详解】解：售价上涨元后，每个利润为元， 销售量减少个，即为个， ∴利润． 故选：A． 3．（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 每件的售价x/元 … 25 28 31 … 日销售量y/件 … 15 12 9 … (1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价． 【答案】(1) (2)10元或30元 【难度】0.85 【知识点】求一次函数解析式、列二次函数关系式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数解析式的求解，解决本题的关键是正确求解出一次函数与二次函数的解析式． （1）先设出一次函数解析式，再根据待定系数法代值求解即可； （2）先表示出日销售额的函数表达式，再令求解x的值即可． 【详解】（1）解：∵日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系， ∴设函数表达式为， ∵当时，；当时，； ∴，解得， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）解：由（1）知，， ∴日销售额， ∵玩具日销售额为300元， ∴令，即， 整理可得， 解得，， ∴每件玩具的售价为10元或30元时，日销售额为300元． 题型05 增减变化模型： 1．（25-26九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 2．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数)、列二次函数关系式 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 题型06 运动变化模型：自由落体、动态线段变化等变量关系式 1．（20-21七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在长方形中，，，点，从点出发，点沿线段运动，点沿线段运动（其中一点停止运动，另一点也随之停止运动）．若设，阴影部分的面积为，则与之间的关系式为______． 【答案】y=-+48 【难度】0.85 【知识点】列二次函数关系式 【分析】先求出，进而即可得到答案． 【详解】由题意得：， ∴阴影部分的面积=6×8-，即：y=-+48． 故答案是：y=-+48． 【点睛】本题主要考查列二次函数解析式，解题的关键是掌握割补法求面积． 2．（19-20九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合），如果P，Q分别从A，B同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为． (1)y与x之间的函数关系式： (2)求自变量x的取值范围： (3)四边形的面积能否等于，若能，求出运动的时间：若不能，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】其他问题(二次函数综合)、列二次函数关系式、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查二次函数的实际运用，一元二次方程的实际运用，掌握三角形的面积计算方法是解决问题的关键． （1）利用两个直角三角形的面积差求得答案即可； （2）利用线段的长度与运动速度建立不等式得出答案即可； （3）利用（1）的函数建立方程求解判断即可． 【详解】（1）解：∵运动的时间为x，点P的速度为，点Q的速度为， ，． ． （2）解：，， ． （3）解：不能，理由如下： 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． ． 不在自变量x的取值范围内． ∴四边形的面积不能等于． 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数概念核心知识点与易错点 知识点一　二次函数的定义 🔷定义：一般的，形如 的函数，叫作 。其中，是 ，分别是函数解析式的 。 ⚠️作为二次函数，其二次项系数务必不能等于“0”，这是二次函数的灵魂。反之，若，则不论等于几，函数会降为 。 📌 二次函数的识别 1. 判定条件（三者必须同时满足） 对于函数 ： (1)表达式为整式函数（无分式、无理式、负指数） (2)自变量 的最高次数为 (3)二次项系数 2. 二次函数三种特殊形式 (1)（无一次项、无常数项,） (2)（无常数项、） (3)（无一次项、） 高频易错点1：只看表面含 ，不化简直接判定 典型错题：判定 为二次函数 错因：未去括号合并同类项，化简后 ，二次项抵消，为一次函数。 避坑准则：所有多项式型解析式，必须先化简再判断次数。 高频易错点2：误将非整式函数判定为二次函数 易错式子：、、 错因：二次函数定义要求整式函数，分式、根式、负指数幂均不符合要求。 高频易错点3：混淆方程与函数 是一元二次方程， 才是二次函数。 题型01辨别二次函数 1．（26-27九年级·上海·暑假作业）下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）． 2．下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数，一次项系数和常数项． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 知识点二　含参二次函数 🔷当要求函数是一个二次函数时，需要同时满足以下条件： ① ；② 。 无特殊要求，一般情况下可以置之不理。 💡 拓展延伸 （）是二次函数的标准形式，因此，有以下三点要求需要额外留意： · 必须是 ； · 需 后再进行判断，例如，化简后为，很明显不是二次函数； · 和可以 ，也可以 。若且，该函数仍是二次函数，例如：。 📌 经典例题演示 例：若 是二次函数，求 的值。 解：根据定义列方程组： 由 得 ； 由 得 ； 综上：。 依据：若 为二次函数，必须同时满足： 高频易错点1：只盯指数=2，遗漏二次项系数 经典例题：若 是二次函数，求 错误解法：令 ，得 （直接写答案） 正确限制：需同时满足 ，最终 万能公式：二次函数参数题双重条件缺一不可：次数为2、二次项系数不为0。 高频易错点2：参数在一次项、常数项，过度限制条件 错点：误以为 正解：仅限制 ，一次项系数、常数项可为0。 高频易错点3：未整理一般形式，误判二次项系数 如 ，需先合并 项，再判断系数含参部分 题型02根据二次函数的定义求参数 1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）若是二次函数，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 2．（2022·云南玉溪·二模）若是二次函数，则________． 3.（19-20九年级上·陕西安康·阶段检测）若是二次函数，则_______． 4.（25-26九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 5.（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 知识点三　实际问题中的函数解析式 🔷为了表示实际问题中各个数量间的函数解析式，步骤大致与一元二次方程应用题类似，但只有三步即 。 ①审题：圈画出题干中已知的数量（比较常见的有人数、物品单价、长度等），明确各个数量之间的关系，并列出语言关系表达式； ②假设：一般情况下，题干中会给定假设好的量，在表示其他数量的时候，可以借助已知的数量去表达； ③列式：将已经表示出来的量代入语言关系表达式中。 ⚠️①未化简式子：保留括号、未合并同类项，无法判定为标准二次函数 ②忽略实际定义域：几何边长、销量等必须满足 ，不可为负数 ③列式出现非整式：式子中含 、 等，不属于二次函数 高频易错点1：列式后不化简，不是标准形式 列出 直接作答，未展开整理为 。 高频易错点2：遗漏自变量实际取值范围（扣分重灾区） 几何边长、周长、销量、价格等实际问题，必须满足：，部分题型需结合题意取整数或区间范围。 高频易错点3：利润公式套用错误 错误列式：总利润=售价×销量 标准公式： 常见坑：涨价题中，忘记用“原利润-涨价金额”更新单件利润。 📌常见建模公式及题型 题型03 几何面积模型：矩形面积 ，动态边长代入后整理为二次式 1．（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 2.（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 3．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 4．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 5．（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是________． 6．（25-26九年级上·安徽滁州·期中）如图，要建一个矩形养殖场，养殖场的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门方便出入．已知围成养殖场的木板总长为75米，设养殖场的宽为米，面积为平方米． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若要建成的矩形养殖场的面积为690平方米，则养殖场的宽为多少米？ 7．（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为） 围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽为，苗圃面积为． (1) 求S与x的函数表达式； (2) 如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 题型04 经济利润模型： 1.（2025八年级上·全国·专题练习）某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南新乡·期中）将进货价格为30元/个的商品按售价40元/个售出时，能卖出200个．已知该商品的售价每上涨1元，其销售量就减少6个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 每件的售价x/元 … 25 28 31 … 日销售量y/件 … 15 12 9 … (1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价． 题型05 增减变化模型： 1．（25-26九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 题型06 运动变化模型：自由落体、动态线段变化等变量关系式 1．（20-21七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在长方形中，，，点，从点出发，点沿线段运动，点沿线段运动（其中一点停止运动，另一点也随之停止运动）．若设，阴影部分的面积为，则与之间的关系式为______． 2．（19-20九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合），如果P，Q分别从A，B同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为． (1)y与x之间的函数关系式： (2)求自变量x的取值范围： (3)四边形的面积能否等于，若能，求出运动的时间：若不能，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $