奥数培优第13讲 一笔画（原理）（讲义）-2025-2026学年三年级下册数学人教版

人教版 · 小学三年级下册奥数培优★★★★★ 第13讲　一笔画（原理） —— 欧拉一笔画原理与奇点偶点判断 —— 【课程信息表】 项目 内容 讲次 第13讲 专题 一笔画（一）——欧拉一笔画原理与奇点偶点判断 适用年级 小学三年级下册（人教版·奥数培优） 建议课时 1课时（约60分钟） 难度星级 ★★★★☆（难度适中） 前置知识 平面图形的认识；整数的奇偶性；简单的逻辑推理 核心方法 数奇点法；欧拉一笔画判定；多笔画公式（K个奇点→K÷2笔）；添线变一笔画；解题六步法 【学习目标】 知识与技能：能说出“一笔画”的两个要点（笔不离纸、每条线只画一次）；会正确数出奇点和偶点；掌握欧拉一笔画判定定理；会用“奇点数÷2”求笔画数；会用添线法把多笔画变成一笔画。 过程与方法：经历“观察图形→数奇点→判笔画→定起终→画线验证”的完整过程；体会把现实问题抽象成“点—线”图形的数学建模思想；学会从反面思考问题。 思维品质：养成有序数点、不重不漏的好习惯；能理解并讲清“奇点个数必为偶数”的道理；提高有条理的逻辑推理能力。 情感态度：从欧拉攻克“七桥难题”的故事中，感受数学家的智慧与数学史的魅力；乐于把一笔画知识用到生活里（巡逻、送信、剪纸等）。 【前言 · 欧拉的七桥奇想】 18世纪的欧洲，有一座名叫哥尼斯堡的古城。布勒格尔河穿城而过，河中央有两座小岛，七座桥把两座小岛和河的两岸连接起来。 那时候，城里流传着一个有趣的难题：能不能从任意一处出发，一次走遍这七座桥，每座桥都只走一次，最后回到出发点？大家反复试来试去，谁也没有成功。 1736年，年轻的数学家欧拉没有像别人那样一遍遍地试走，而是换了个角度思考：如果把每一块陆地看成一个点，把每一座桥看成一条线，那么“走七桥”不就成了“在一个图形上一笔画成”吗？ 欧拉沿着这个思路深入研究，终于揭开了谜底，还总结出一套判断“图形能不能一笔画成”的规律。今天，我们就来当一回小欧拉，一起学习这套神奇的“一笔画”本领！ 一、知识导航 1. 什么是一笔画 用笔在纸上画一个图形，如果能够做到笔尖不离纸、连续不断，并且每条线段都只画一次，这样的画法就叫“一笔画”，这样的图形叫做“一笔画图形”。 两个要点：① 笔不离纸——画的过程中笔尖不能抬起来；② 不重复——每条线段只能画一次，但同一个点可以多次经过。 2. 奇点与偶点 偶点：从一个点出发，连接线条的条数是偶数（2、4、6……）的点，叫做偶点。 奇点：从一个点出发，连接线条的条数是奇数（1、3、5……）的点，叫做奇点。 数点小技巧：从每个点出发，一条一条地数；是偶数就是偶点，是奇数就是奇点。数的时候做上记号——奇点画“●”、偶点画“○”，就能做到不重不漏。 图1　奇点与偶点（●为奇点，○为偶点） 3. 欧拉一笔画判定定理 判断一个图形能不能一笔画成，只看两点：图形连不连通？有几个奇点？规律如下： 图形的条件 能不能一笔画 起点与终点 图形不连通 不能（一定不是一笔画） — 连通，0个奇点（全是偶点） 能 以任意一个点为起点，最后画回这个点（闭合的圈） 连通，恰好2个奇点 能 必须从一个奇点出发，到另一个奇点结束 连通，奇点超过2个 不能 至少要“奇点数÷2”笔 记忆口诀：0奇2奇能一笔，0奇闭合2奇开；奇点一多就多笔，个数除以2得笔画。 4. 两个重要结论 结论1：任何一个图形中，奇点的个数一定是偶数。 结论2：有K个奇点的连通图形，至少要用 K÷2 笔才能画成。例如：4个奇点→2笔；6个奇点→3笔；8个奇点→4笔。 5. 多笔画变一笔画（添线法） 一个K笔画的图形，一共有2K个奇点。在任意两个奇点之间添上一条线，这两个奇点会同时变成偶点，奇点就减少了2个。 想把它变成一笔画（最多只留2个奇点），最少要添（K−1）条线。例如：三笔画的图形有6个奇点，添2条线后奇点减少为2个，就变成一笔画了。 6. 解题六步法 ① 看连通——图形是不是一整块？分开了就直接不是一笔画。 ② 数奇点——从每个点出发数线条数，奇点画“●”，偶点画“○”。 ③ 记个数——数一数一共有几个奇点。 ④ 判笔画——0个或2个奇点是一笔画；超过2个用“奇点数÷2”算几笔。 ⑤ 定起终——0个奇点：任意点出发、画回原点；2个奇点：从一个奇点出发、到另一个奇点结束。 ⑥ 画一画——从起点出发试着画一遍，验证路线走得通。 图2　一笔画路线示例：A→B→C→D→A→C（A起、C终） 二、方法速记 一句话记住一笔画： 一笔画呀有诀窍，先看图形连不连；连不起来的图形，不是一笔画成员。 再看点上几条线，奇偶分开慢慢数；偶数线条是偶点，奇数线条是奇点。 一个奇点也没有，任意起点回原点；两个奇点也能画，奇点起、来奇点完。 奇点多了怎么办，除以二就得笔画；要变一笔也不难，奇点之间把线添； K笔画数添几条？K减一条刚刚好。 方法总结表 题型 突破口 核心方法 检验要点 判断能否一笔画 数奇点个数 连通图形：0奇或2奇能一笔画 先看连通性，再数奇点 判断几笔画 奇点个数 笔画数＝奇点个数÷2 奇点个数一定是偶数 确定起点终点 奇点个数 0奇：任意点起回原点；2奇：奇点起奇点终 2个奇点不能从偶点出发 多笔画变一笔画 在奇点之间添线 K笔画最少添（K−1）条线 添线必须连接两个奇点 生活问题（送信、巡逻、剪纸） 抽象成点—线图 把地点看作点、路线看作线，再数奇点 地点和路线都不能遗漏 三、典例精讲 例1　【数点定画】 题目：判断下列图形分别是几笔画？ 图3　正六边形　　图4　长方形加一条对角线　　图5　正方形加两条对角线 思路点拨：逐个图形数奇点：奇点0个或2个是一笔画；超过2个，用“奇点数÷2”算笔画数。 详细解答： （1）正六边形：6个顶点各连2条线，全是偶点，0个奇点→一笔画。 （2）长方形加一条对角线：连对角线的两个顶点各连3条线（奇点），另两个顶点各连2条线（偶点），共2个奇点→一笔画。 （3）正方形加两条对角线：4个顶点各连3条线，全是奇点（中心交点连4条线，是偶点），共4个奇点→4÷2=2→两笔画。 答：（1）一笔画；（2）一笔画；（3）两笔画。 【方法点睛】 数奇点是判断笔画数的“金钥匙”。交点、端点都要数到，一个也不能漏。 例2　【建模应用】 题目：小明家的花园小路网如图。他想从“大门”（E点）出发，不重复地走遍每一条小路，最后从“后门”（F点）出去。他能做到吗？ 图6　花园小路网（E为大门，F为后门） 思路点拨：把路口看作点、小路看作线，这个实际问题就变成了“判断点线图形能否一笔画”的问题。 详细解答： E、F两个路口各有3条小路相连，是奇点； A、B、C、D四个路口各有2条小路相连，是偶点。 图形连通，有2个奇点→一笔画，必须从一个奇点出发、到另一个奇点结束，正好从大门E出发、后门F结束。 答：能。从大门E出发，每条路只走一次，最后从后门F出去。 【方法点睛】 把生活问题“翻译”成点—线图形再判断，这就是欧拉当年征服七桥问题的数学建模本领。 例3　【公式求画】 题目：下列图形各有几个奇点？分别是几笔画？ 图7　“十”字形　　图8　“工”字形　　图9　“王”字形 详细解答： （1）“十”字形：4个端点各连1条线，都是奇点；中心连4条线，是偶点。共4个奇点→4÷2=2→两笔画。 （2）“工”字形：上下两条横线的4个端点各连1条线（奇点），竖线两端点各连3条线（奇点），共6个奇点→6÷2=3→三笔画。 （3）“王”字形：3条横线的6个端点各连1条线（奇点），竖线的上、下两个端点各连3条线（奇点），共8个奇点→8÷2=4→四笔画。 答：（1）4个奇点，两笔画；（2）6个奇点，三笔画；（3）8个奇点，四笔画。 方法点睛：牢牢记住公式“笔画数＝奇点个数÷2”。数奇点时，端点、交叉点一个都不能少。 例4　【添线变法】 题目：一个“王”字形图形有8个奇点（四笔画），最少添几条线可以变成一笔画？应该怎样添？ 图10　“王”字形添3条线后只剩2个奇点（虚线为添的线） 思路点拨：变成一笔画最多只能有2个奇点。8个奇点要减少到2个，就要减少6个奇点；每在两个奇点之间添一条线，这两个奇点会同时变成偶点，奇点减少2个。 详细解答： 需要减少的奇点数：8−2=6（个）； 每条线减少2个奇点； 最少添线数：6÷2=3（条）。 也可以用口诀“K笔画添（K−1）条线”，这里K=4，添4−1=3条。 添法示例：在左竖A—C、右竖B—D、斜线E—V1之间各添一条线，剩下F、V3两个奇点，正好一笔画。 答：最少添3条线。 【方法点睛】 添线一定要在两个奇点之间添；每添一条线，奇点就减少2个。 例5　【设计路线】 题目：“小房子”图形能一笔画成吗？如果能，请写出起点和终点，并画出一条路线。 图11　小房子一笔画：A→B→T→A→D→C→B 详细解答： 房顶尖T连2条线（偶点），两个房檐角A、B各连3条线（奇点），两个墙角C、D各连2条线（偶点）。 共2个奇点→一笔画，从奇点A出发，到奇点B结束。 一条可行的路线：A→B→T→A→D→C→B，笔不离纸，每条线段都只画一次。 答：能。从A点出发，到B点结束；示例路线见图11。 【方法点睛】 2个奇点的图形，起点和终点已经“注定”——一定是这两个奇点，不能从偶点出发。 例6　【连续操作】 题目：手工课上，小明想用剪刀沿着“米”字形图形的每一条线一次连续剪下去，把8片扇叶都剪下来。他能一次剪完吗？ 图12　“米”字形（8个奇点） 思路点拨：剪刀连续不断地剪，走过的路线就相当于一笔画。只要判断“米”字图形是不是一笔画。 详细解答：“米”字的中心连8条线，是偶点；8个端点各连1条线，都是奇点。共8个奇点→8÷2=4→四笔画。 答：不能一次剪完，至少要分4次才能剪完。 【方法点睛】 连续剪纸、连续巡逻这类“中途不停顿”的操作，都可以转化成一笔画问题来判断。 四、易错辨析 易错做法 正确做法 图形分成几块也不管，直接数奇点 先看连通性：不连通的图形一定不是一笔画 数奇点时漏掉中间的交叉点 每个点都要数到，包括端点、交叉点；奇点画●、偶点画○ 有2个奇点，却从偶点出发 2个奇点必须从一个奇点出发，到另一个奇点结束 0个奇点，起点和终点却不一样 0个奇点可以从任意点出发，最后画回这个点（闭合的圈） 以为“K个奇点要用K笔” K个奇点要用 K÷2 笔 以为奇点个数可能是奇数 奇点个数一定是偶数（这是能说理证明的） 添线时在偶点之间添 添线必须在两个奇点之间，才能同时把两个奇点变成偶点 把“每条线只画一次”理解成“每个点只经过一次” 一笔画只要求每条线段画一次，同一个点可以多次经过 五、分层闯关 试一试你的本领吧！从A组到C组，难度步步升级。 A组 · 基础过关 A1．下列图形分别是几笔画？ 图13　正三角形　　图14　两个正方形上下拼　　图15　“工”字形 A2．数出下列图形各有几个奇点，并说出它们分别是几笔画。 图16　长方形加一条对角线　　图17　正方形加两条对角线 A3．一个连通图形有6个奇点，它是几笔画？ A4．下面的图形能一笔画成吗？如果能，说出从哪个点出发、到哪个点结束。 图18　正六边形　　图19　“十”字形 A5．下图中的图形，哪一个不能一笔画成？为什么？ 图20　两个分开的正方形 B组 · 能力提升 B1．校园小路网如图，传达室在M点，操场在N点。保安叔叔想从传达室出发，不重复地走遍每一条小路，最后走到操场。他能做到吗？ 图21　校园小路网（M为传达室，N为操场） B2．一个连通图形有10个奇点，它是几笔画？最少添几条线能变成一笔画？ B3．“品”字形图形（如图）能一笔画成吗？如果能，请标出起点和终点。 图22　“品”字形 B4．用剪刀沿“十”字形图案（如图）的每一条线一次连续剪下去，能一次剪完吗？为什么？ 图24　“十”字形（4个奇点） C组 · 挑战冲刺 C1．一个“王”字形道路图（8个奇点），邮递员叔叔想从A点出发，走遍每一条路，最后回到A点。他至少要重复走几条路？（提示：重复走一条路，相当于在两个奇点之间添一条线，能把2个奇点变成偶点。） 图23　“王”字形道路图 C2．一个连通图形有12个奇点，它是几笔画？最少添几条线可以变成一笔画？请说明添线的方法。 C3．说理题：为什么一个连通图形的奇点个数一定是偶数？请用自己的话把道理讲清楚。 六、参考答案与解析 A组 A1．（1）正三角形：3个顶点各连2条线，全是偶点，0个奇点→一笔画。 （2）两个正方形上下拼：中间横线的两个端点各连3条线（奇点），其余4个点各连2条线（偶点），共2个奇点→一笔画。 （3）“工”字形：6个奇点→6÷2=3→三笔画。 A2．（1）长方形加一条对角线：2个奇点→一笔画。 （2）正方形加两条对角线：4个奇点→两笔画。 A3．6个奇点→6÷2=3→三笔画。 A4．（1）正六边形：能。0个奇点，从任意一个顶点出发，都能一笔画回出发点。 （2）“十”字形：不能。4个奇点，是两笔画。 A5．两个分开的正方形不能一笔画。虽然每个正方形里全是偶点（0个奇点），但两个正方形没有连在一起，图形不连通，所以不是一笔画。 B组 B1．能。M、N各连3条线，是奇点；A、B、C、D各连2条线，是偶点。 共2个奇点，图形连通→一笔画。 从传达室M（奇点）出发，走遍所有小路，最后到操场N（奇点）结束。 B2．10个奇点→10÷2=5→五笔画。变成一笔画最少添5−1=4条线。 B3．能。“品”字形有2个奇点（下方两个正方形相接处的两个点），图形连通→一笔画。 从一个奇点出发，到另一个奇点结束。 B4．不能。“十”字形有4个奇点（4个端点），是两笔画，剪刀的路线不是一笔画，所以至少要分2次才能剪完。 C组 C1．至少重复走4条路。要回到A点，就得画成闭合的一笔画（0个奇点）。 “王”字形有8个奇点，每重复走一条路就把2个奇点变成偶点，8÷2=4（条）。 所以至少要重复走4条路。 C2．12个奇点→12÷2=6→六笔画。 变成一笔画（最多2个奇点）最少添6−1=5条线。 方法：在12个奇点中任选5对，在每对两个奇点之间各添一条线，添完后剩下2个奇点，就变成一笔画了。 C3．每条线段都有两个端点，所以所有线段端点的总数一定是偶数。 偶点连偶数条线，贡献偶数个端点；奇点连奇数条线，贡献奇数个端点。 如果奇点有奇数个，那么“偶数＋奇数＝奇数”，端点总数就会变成奇数，这与“端点总数是偶数”矛盾。所以，奇点的个数一定是偶数。 七、本讲小结 一笔画三要素：① 图形连通；② 奇点个数为0或2；③ 笔不离纸、每条线段只画一次。 判定口诀：0奇2奇能一笔，0奇闭合2奇开；奇点一多就多笔，个数除以2得笔画。 添线口诀：多笔变一笔，奇点之间添；K笔画添几条？K减一条刚刚好。 数点好习惯：奇点画“●”，偶点画“○”，不重不漏；画完路线再验证。 数学与生活：巡逻、送信、剪纸等“中途不停顿”的问题，都能用一笔画知识来解决——数学不只会算数，还能解开生活中的“路线之谜”。 祝贺你完成本讲的学习！下一讲，我们继续探索“一笔画”的更多奥秘。 学科网（北京）股份有限公司 $