奥数培优第8讲 竖式数字谜（讲义）-2025-2026学年三年级下册数学人教版

人教版小学三年级下册数学竞赛培优讲义 第8讲 竖式数字谜 ——两位数乘法与除数是一位数的除法—— ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 【课程信息】 讲次 第8讲 适用年级 三年级下册 专题 竖式数字谜 建议课时 2课时 核心内容 两位数乘两位数竖式谜、除数是一位数的除法竖式谜 难度星级 ★★★☆☆ 教材对应 人教版三下第4章（两位数乘两位数）、第2章（除数是一位数的除法） 配套资源 例题6道·变式6道·习题11道·全解析 【学习目标】 维度 具体目标 知识与技能 掌握乘数、除数为两位数的乘、除法竖式数字谜的解法；学会用字母标记方框辅助推理；熟练运用个位分析、高位估值、分类排除三种工具；看懂乘法竖式两层部分积与除法竖式落数结构；会解汉字数字谜（同字同数、异字异数）；能结合“被除数、除数、商、余数四数之和”条件求解竖式谜。 过程与方法 经历“标记字母→个位突破→高位估值→分类排除→回代验算”的完整推理流程；体会分类讨论、排除筛选的数学思想；理解竖式各部分积、落位的结构含义。 思维品质 提升逻辑推理能力与数感；不盲目试数，先缩小候选范围再逐一验证；审题看清约束条件（不同汉字代表不同数字）；推理结束后完整验算整个竖式。 情感与应用 感受复杂竖式数字谜的推理乐趣；养成有依据、分步骤、讲验算的做题习惯。 一、知识框架与核心考点 考点1 两位数乘两位数竖式结构 两位数乘两位数的竖式中，乘数的个位和十位分别与被乘数相乘，得到两层部分积： 第一层部分积 = 被乘数 × 乘数个位，末位与个位对齐； 第二层部分积 = 被乘数 × 乘数十位，末位与十位对齐（即整体向左错一位，末尾的0通常省略不写）； 两层部分积相加 = 最终乘积。（例如下图） 　　 考点2 除数是一位数的除法竖式结构 除数是一位数时，除法竖式的基本流程是"除—乘—减—落"四步循环： ① 除：看被除数的前一位（或前两位）够不够除，确定商的这一位； ② 乘：商的这一位 × 除数，把乘积写在被除数对应位置的下方； ③ 减：用被除数的对应部分减去乘积，得到余数（余数必须小于除数）； ④ 落：把被除数的下一位数字"落"下来，和余数组成新数，继续除。 带余除法关系：被除数 = 除数 × 商 + 余数，且 余数 < 除数。 考点3 三大推理工具 工具一（个位突破口）：从竖式的个位运算入手，利用乘法口诀和进位关系，先锁定个位数字，再逐步向高位推理。 工具二（高位估值）：利用乘积的最高位或总积的位数，估算某个乘数的大致范围，把候选数字从9个缩小到2—3个。 工具三（分类排除）：当候选不止一个时，把每个候选分别代入竖式检验，不符合条件（如进位不对、位数不符、余数≥除数）的淘汰，留下唯一解或全部合法解。 考点4 汉字数字谜规则 规则一（同字同数）：相同的汉字代表相同的数字； 规则二（异字异数）：不同的汉字代表不同的数字； 规则三（首位不为0）：多位数的首位汉字不能代表数字0； 规则四（完整验算）：推理出结果后，必须把所有数字填回竖式，从头到尾完整验算一遍，确认无误。 二、典型例题精析 例1 乘法竖式谜——个位突破口与分类讨论 【方法标签】个位突破 · 分类排除 题目：在下面竖式的方框里填入合适的数字，使竖式成立。 　□８ ×３□ －－－－ １４４ □□４ －－－－ □□□□ 分析：第一层144是被乘数与乘数个位的乘积。被乘数的个位是8，8乘几的个位是4？根据乘法口诀，8×3=24、8×8=64，所以乘数个位可能是3或8，需要分类讨论，再结合第二层部分积的末位是4来排除。 详解： 情况一：乘数个位=3。被乘数=144÷3=48，被乘数十位=4。 第二层=48×3=144，末位是4，符合"□□4"。总积=144+1440=1584。 情况二：乘数个位=8。被乘数=144÷8=18，被乘数十位=1。 第二层=18×3=54，是两位数，不符合"□□4"（三位数），排除。 综上，被乘数=48，乘数=33，48×33=1584。 【方法点睛】 当个位有多个候选时，不要急着选，要分类讨论，用竖式的其他条件（如位数、末位数字）排除错误答案。本题第二层是三位数，18×3=54是两位数，直接排除。 【变式训练】在下面竖式的方框里填入合适的数字。 　 □６ × ２□ －－－－ 　１３８ 　９２□ －－－－ １０５８ 变式答案：被乘数=46，乘数=23，46×23=1058（第一层46×3=138，第二层46×2=92错一位） 例2 乘法竖式谜——高位估值与两层部分积 【方法标签】高位估值 · 整体反推 题目：在下面竖式的方框里填入合适的数字，使竖式成立。 　□□ ×２□ －－－－ 　□□ □□□ －－－－ １１７６ 分析：总积是1176，乘数十位是2。第二层部分积=被乘数×2，且向左错一位（实际加被乘数×20）。第一层是两位数（□□），说明被乘数×乘数个位<100。可以用总积反推被乘数的范围。 详解： 设被乘数为AB，乘数个位为D。总积 = AB×D + AB×20 = AB×(20+D) = 1176。 所以 AB = 1176÷(20+D)。D是1—9的一位数，20+D在21—29之间。 1176÷21=56，1176÷28=42，1176÷24=49。试算： D=1时，AB=1176÷21=56，第一层=56×1=56（两位数✓），第二层=56×2=112（三位数✓）。 D=4时，AB=1176÷24=49，第一层=49×4=196（三位数，不符合□□两位数），排除。 D=8时，AB=1176÷28=42，第一层=42×8=336（三位数），排除。 综上，被乘数=56，乘数=21，56×21=1176。 【方法点睛】当总积已知时，可以把总积分解为"被乘数×乘数"，再结合第一层、第二层的位数条件筛选。本题关键是把总积1176除以(20+D)，利用第一层是两位数的条件排除D=4和D=8。 【变式训练】在下面竖式的方框里填入合适的数字。 　□□ ×１□ －－－－ 　９６ □□□ －－－－ 　５７６ 变式答案：被乘数=48，乘数=12，48×12=576（576-96=480，480÷10=48） 例3 除法竖式谜——除数是一位数，商是两位数 【方法标签】除乘减落 · 余数为0 题目：在下面竖式的方框里填入合适的数字，使竖式成立。 　　　 □４ 　　－－－－ ６　)１□４ 　　　 １□ 　　　－－－ 　　　　２４ 　　　　２４ 　　　　－－ 　　　　　０ 分析：除数是6，被除数是1□4（三位数，百位1<6，所以商是两位数）。竖式最后一步是24−24=0，说明24÷6正好除尽，商的个位是4（与题目"□4"一致）。可以从最后一步反推第一步的余数和被除数十位。 详解： 第一步：被除数前两位1□÷6，商的十位是□，乘积写在"1□"的位置。 6×商十位 = 1□，商十位可能是2（6×2=12）或3（6×3=18）。 如果商十位=3，6×3=18，1□=18，被除数十位=8。余数=18−18=0，落下4得4，4÷6不够除商0，但商个位题目给的是4，4÷6≠4，矛盾，排除。 如果商十位=2，6×2=12，1□=12，被除数十位=2。1□−12=余数，落下4后得"余数×10+4"，而题目最后一步是24，说明落下4后得到的数是24。 所以余数×10+4=24，余数=2。第一步1□−12=2，1□=14，被除数十位=4。 验证：144÷6=24。第一步14÷6商2余2，落下4得24，24÷6=4，余0 ✓。 综上，商=24，被除数=144，144÷6=24。 【方法点睛】解除法竖式谜要严格按"除—乘—减—落"的流程逐步推理，每一步都要确认余数小于除数。本题从最后一步24÷6=4突破，反推出第一步的余数是2，再求出被除数十位=4。 【变式训练】在下面竖式的方框里填入合适的数字。 　　　□５ 　　－－－－ ７　)２□５ 　　　２１ 　　　－－－ 　　　　□５ 　　　　□５ 　　　　－－ 　　　　　０ 变式答案：商=35，被除数=245，245÷7=35（24÷7商3余3，落下5得35，35÷7=5） 例4 除法竖式谜——有余数，除数是一位数 【方法标签】带余除法 · 余数<除数 题目：在下面竖式的方框里填入合适的数字，使竖式成立。 　　　３□ 　　－－－－ ７　)２□５ 　　　２１ 　　　－－－ 　　　　□５ 　　　　□□ 　　　　－－－ 　　　　　３ 分析：除数是7，被除数是2□5，商的十位是3，余数是3。第一步2□÷7商3，7×3=21，所以2□-21=余数，落下5后得"余数×10+5"，再除以7商□，余3。 详解： 第一步：2□÷7商3，7×3=21。2□-21=r（余数r<7）。 落下5后得 r5（即r×10+5），r5÷7商□余3。 7×商个位 + 3 = r5。r5的末位是5，7×商个位的末位 = 5-3=2。 7×6=42（末位2），所以商个位=6，7×6+3=45，r5=45，r=4。 第一步余数r=4，2□-21=4，2□=25，被除数十位=5。 验证：255÷7=36余3。7×36=252，255-252=3 ✓。余数3<除数7 ✓。 【方法点睛】有余数的除法竖式谜，要牢记"余数<除数"和"被除数=除数×商+余数"两个关系。本题从最后一步的余数3反推，利用"7×商个位+3的末位是5"锁定商个位=6。 【变式训练】在下面竖式的方框里填入合适的数字。 　　 　２□ 　　－－－－ ６　)１□０ 　　　 １２ 　　　－－－ 　　　　□０ 　　　　□□ 　　　　－－－ 　　　　　４ 变式答案：商=26，被除数=160，160÷6=26余4（16÷6商2余4，落下0得40，40÷6=6余4） 例5 乘法汉字数字谜——唯一解推理 【方法标签】汉字谜 · 同字同数异字异数 题目：在下面竖式的方框里填入合适的数字，使竖式成立。 　 春风 ×　 风 －－－－ 　２５６ 分析："春风"是两位数，"风"是一位数乘数，积是256。汉字规则：春和风代表不同数字，"春"是两位数十位不能为0。需要找出满足"春风×风=256"的数字。 详解： 春风 × 风 = 256。把256分解因数：256=2^8。 风是一位数乘数（1—9），且春风是两位数。256÷风必须是两位数。 风=1：春风=256（三位数，排除）。 风=2：春风=128（三位数，排除）。 风=4：春风=64（两位数✓），春=6，风=4，6≠4 ✓，64×4=256 ✓。 风=8：春风=32（两位数✓），春=3，风=8，3≠8 ✓，32×8=256 ✓。 出现两个解！需要用附加条件"春>风"来筛选：6>4 ✓，3<8 ✗。 所以春=6，风=4，64×4=256。 【方法点睛】汉字数字谜要先把积分解因数，再按"乘数是一位数、被乘数是两位数"筛选。本题有两个候选解（64×4和32×8），必须用附加条件（春>风）或"不同汉字不同数字"来唯一确定。注意：两个解都满足异字异数，所以必须有附加条件。 【变式训练】在下面竖式的方框里填入合适的数字。 　 数学 ×　 学 －－－－ 　１４４ 变式答案：数=1，学=8，18×8=144（144÷8=18，学=8数=1，1≠8✓） 例6 除法汉字数字谜——代数推理 【方法标签】汉字谜 · 代数关系 · 一位数除数 题目：在下面竖式的方框里填入合适的数字，使竖式成立。 　　　　 好 　　 －－－－ 学　) 数学 　　　　数学 　　　　－－ 　　　　　０ 分析：除数是"学"（一位数），被除数是"数学"（两位数），商是"好"（一位数），余数为0。附加条件：数+学+好=12。汉字规则：数、学、好代表不同数字，"数"是两位数十位不能为0，"学"是除数不能为0。 详解： 数学 ÷ 学 = 好，即 (10×数+学) ÷ 学 = 好。 展开：10×数÷学 + 1 = 好。因为好是整数，所以10×数必须能被学整除。 设 10×数 = 学×k（k是正整数），则 好 = k+1。 又 好 = 数学÷学 = (10×数+学)÷学 = 10×数÷学 + 1 = k+1。 同时 好×学 = 数学 = 10×数+学。代入好=k+1：(k+1)×学 = 10×数+学 = 学×k+学，恒成立。 关键条件：数+学+好=12，且好=10×数÷学+1。 枚举学（1—9，学≠数，学≠好）： 学=2：10×数÷2=5×数，好=5×数+1。数=1→好=6，数+学+好=1+2+6=9≠12。数=2→学=数（重复）。 学=3：10×数÷3必须整数，数=3（重复）、6、9。数=6→好=20+1=21（不是一位数）。 学=4：10×数÷4=2.5×数，数必须是偶数。数=2→好=5+1=6，数+学+好=2+4+6=12 ✓！ 验证：数=2，学=4，好=6。数学=24，24÷4=6 ✓，三个数字2、4、6互不相同 ✓。 数=6→好=15+1=16（不是一位数，排除）。 综上，数=2，学=4，好=6，24÷4=6。 【方法点睛】除法汉字谜可以把汉字翻译成代数关系：数学=10×数+学，再结合"数学÷学=好"列出等式。本题关键是利用"10×数必须能被学整除"缩小枚举范围，再用"数+学+好=12"唯一确定。枚举时要随时检查异字异数和一位数条件。 【变式训练】在下面竖式的方框里填入合适的数字。 　　　　 好学 　　 －－－－－－ 数　) 儿学好 　　　　 儿学 　　　　－－－ 　　　　　　 好 　　　　　　 好 　　　　　　－－ 　　　　　　　０ 变式答案：儿=3，数=4，学=2，好=8，328÷4=82（32÷4=8余0，落下8得8，8÷4=2） 三、易错警示 序号 常见错误 正确做法 1 乘法竖式中，十位相乘的部分积写在同一列，没有向左错一位 两位数乘数的第二层部分积（十位相乘）整体向左偏移一格，末位与十位对齐 2 只看个位得到候选，不做高位估值，盲目试数 个位锁定候选后，立刻用乘积最高位、总积位数筛选，缩小范围 3 多解题目只写一组，漏掉其余合法解 每个候选都回代竖式检验，把全部符合条件的解列出 4 汉字谜让不同汉字取同一个数字，或让首位汉字是0 异字必异数，多位数首位不能为0，除数不能为0 5 除法竖式中余数大于或等于除数 每一步减完后，余数必须小于除数，否则商的这一位偏小 6 算出局部数字，不复算完整竖式 全部数字填好后，完整做一遍乘法或除法验算，确认每一步都对 四、方法总结 解竖式数字谜的一般步骤： 1. 第一步（标记）：用字母或序号给每个方框做标记，分清竖式各部分（部分积、落数、余数、商位）。 2. 第二步（找突破口）：优先从个位运算入手，利用乘法口诀和进位关系锁定个位数字；除法谜从最后一步或已知商位入手。 3. 第三步（高位估值）：利用乘积的最高位、总积的位数、被除数的首位等条件，估算未知乘数的范围，缩小候选集合。 4. 第四步（分类排除）：当候选不止一个时，逐个代入竖式检验，不符合条件（进位不对、位数不符、余数≥除数、汉字重复）的淘汰。 5. 第五步（完整验算）：确定全部数字后，填回竖式从头到尾完整验算一遍，确认每一步都正确。汉字谜额外检查：异字异数、首位不为0。 五、分层训练 说明：A组为基础过关，B组为能力提升，C组为挑战冲刺。建议先独立完成，再对照参考答案与解析。 A组 基础过关（4题） A1. 在乘法竖式的方框里填入合适的数字。 　□３ ×２□ －－－－ 　１８５ □□□ －－－－ □□□□ A2. 在乘法竖式的方框里填入合适的数字。 　５□ ×□３ －－－－ 　１７１ □□５ －－－－ □□□□ A3. 在除法竖式的方框里填入合适的数字。 　　　□７ 　　－－－－ ５　)２□５ 　　　２０ 　　　－－－ 　　　　□５ 　　　　□５ 　　　　－－ 　　　　　０ A4. 在除法竖式的方框里填入合适的数字（有余数）。 　　　２□ 　　－－－－ ６　)１□０ 　　　１２ 　　　－－－ 　　　　□０ 　　　　□□ 　　　　－－－ 　　　　　４ B组 能力提升（4题） B1. 在乘法竖式的方框里填入合适的数字。 　□□ ×１□ －－－－ 　９６ □□□ －－－－ 　５７６ B2. 在除法竖式的方框里填入合适的数字（有余数）。 　　　 ３□ 　　－－－－ ７　) ２□４ 　　 　 ２１ 　　　－－－ 　　　　□４ 　　　　□□ 　　　　－－－ 　　　　 　６ B3. 汉字数字谜：相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。已知数+学=9且数<学，求每个汉字代表的数字。 　 数学 ×　 学 －－－－ 　１４４ B4. 在乘法竖式的方框里填入合适的数字。已知总积各位数字之和为9。 　 □７ × □□ －－－－ 　２２２ □□□ －－－－ □□□□ C组 挑战冲刺（3题） C1. 在一道除数是一位数的除法竖式中，商=12，余数=3，被除数、除数、商、余数四个数相加等于96。求被除数和除数，并写出完整竖式。 C2. 在下面的乘法竖式中，被乘数十位是2，总积是1288。求出所有可能的填法。 　２□ ×□６ －－－－ 　□□８ □□□ －－－－ １２８８ C3. 汉字数字谜：相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。求每个汉字代表的数字。 　　　　 好学 　　－－－－－－ 数　) 儿学好 　　　　 儿学 　　　　－－－ 　　　　　　好 　　　　　　好 　　　　　　－－ 　　　　　　　０ 六、参考答案与详细解析 A组 A1 37×25=925。 解析：第一层185=被乘数×乘数个位。被乘数个位3，3×5=15末位5，乘数个位=5。被乘数=185÷5=37。第二层=37×2=74（错一位）。总积=185+740=925。 A2 57×53=3021。 解析：第一层171=被乘数×3，被乘数=171÷3=57，个位=7。第二层=57×乘数十位，末位是5，7×5=35末位5，乘数十位=5。第二层=57×5=285。总积=171+2850=3021。 A3 235÷5=47。 解析：第一步2□÷5商□，5×商十位=20，商十位=4。余?，落下5得?5，?5÷5=7（商个位），5×7=35，?=3。2□−20=3，2□=23，被除数十位=3。商=47，235÷5=47。 A4 160÷6=26余4。 解析：第一步1□÷6商2，6×2=12，余?。落下0得?0，?0÷6商□余4。6×6+4=40，?=4，商个位=6。1□-12=4，1□=16，被除数十位=6。160÷6=26余4。 B组 B1 48×12=576。 解析：总积576，乘数十位=1。第二层=被乘数×1（错一位，实际×10）。576-96=480=被乘数×10，被乘数=48。第一层96=48×乘数个位，乘数个位=2。48×12=576。 B2 244÷7=34余6。 解析：第一步2□÷7商3，7×3=21，余?。落下4得?4，?4÷7商□余6。7×4+6=34，?=3，商个位=4。2□-21=3，2□=24，被除数十位=4。244÷7=34余6。 B3 数=1，学=8，18×8=144。 解析：数学×学=144，数+学=9且数<学。144的一位数因数（学≠1，因144÷1=144是三位数）有2、3、4、6、8、9。逐一检验数+学=9：学=2→数学=72，数=7，7+2=9但7>2（不满足数<学），排除；学=8→数学=18，数=1，1+8=9且1<8✓。其余学=3、4、6、9时数+学均不等于9。所以数=1，学=8，18×8=144。 B4 37×36=1332。 解析：第一层222=被乘数×乘数个位。被乘数个位7，7×6=42末位2，乘数个位=6。被乘数=222÷6=37。第二层=37×乘数十位（三位数），总积=222+第二层×10。总积各位和=9。37×36=1332，1+3+3+2=9✓。 C组 C1 除数=6，被除数=75，75÷6=12余3。 解析：被除数+除数=96-12-3=81。被除数=除数×12+3。除数×12+3+除数=81，除数×13=78，除数=6。被除数=6×12+3=75。验证：75+6+12+3=96✓，余数3<除数6✓。 C2 两解：23×56=1288，28×46=1288。 解析：被乘数=2□，乘数=□6，总积=1288。被乘数个位×6末位=8，个位=3或8。23×?6=1288→?6=56→乘数=56✓。28×?6=1288→?6=46→乘数=46✓。两解都满足条件。 C3 儿=3，数=4，学=2，好=8，328÷4=82。 解析：第一步儿学÷数=好（商十位），余0。儿学=好×数。第二步好÷数=学（商个位），好=数×学。儿学=数×学×数=数²×学。儿学是两位数=10×儿+学。枚举：数=4时，10×儿+学=16×学，10×儿=15×学，2×儿=3×学。儿=3学=2满足。好=4×2=8。328÷4=82✓。 七、本讲小结 本讲学习了两位数乘两位数和除数是一位数的除法竖式数字谜，核心要点回顾： 1. 乘法竖式关键：两位数乘数产生两层部分积，第二层（十位相乘）向左错一位，末位与十位对齐。 2. 除法竖式关键：按"除—乘—减—落"四步循环推理，牢记被除数=除数×商+余数，且余数<除数。 3. 三大推理工具：个位找突破口、高位估值缩小候选、分类讨论排除错误。 4. 汉字谜规则：同字同数、异字异数、首位不为0、除数不为0，最后完整验算。 5. 多解问题：每个候选都回代检验，列出全部合法解，不要只写一组。 解题总原则：先观察竖式结构特征，再选择突破口，逐步推理，分类排除，最后完整验算。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 竖式谜，看个位，估高位，分类排除再验算！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $