奥数培优第9讲 和倍应用题（讲义）-2025-2026学年三年级下册数学人教版

小学三年级下册奥数 · 应用题专题 ★★★★★ 第 9 讲　和倍应用题 【课程信息表】 项目 内容 讲次 第 9 讲 专题 和倍应用题｜已知两数之和与倍数关系，求两数各是多少 适用年级 小学三年级下册 建议课时 1 课时（60 分钟） 难度星级 ★★★★☆ 前置知识 四则混合运算；倍数概念；画线段图辅助理解 核心方法 和倍公式（小数=和÷(倍数+1)）；确定“1倍量”（小数）；线段图分析法；调动转移（总和不变）；和变化还原（先求新和）；多量连倍（统一最小量为 1 倍） 【学习目标】 维度 具体目标 知识与技能 理解和倍应用题的基本结构；熟记和倍公式：小数 = 和 ÷ (倍数 + 1)，大数 = 和 − 小数 = 小数 × 倍数；能够识别“1倍量”是谁；掌握五类变式：直接和倍、和需先求、调动转移、和变化还原、多量连倍；会画线段图辅助分析。 过程与方法 经历“读题 → 确定1倍量 → 找和 → 画线段图 → 套公式 → 回代检验”完整解题流程；体会转化思想，把复杂和倍问题转化为标准和倍模型；学会区分“是几倍”与“多几倍”。 思维品质 培养审题能力，找准不变量与变化量；提升画图分析能力；养成回代检验习惯；警惕“多 2 倍”即“是 3 倍”等语言陷阱。 情感与应用 感受和倍问题在生活中的广泛应用（分配、行程、库存等）；体会线段图化抽象为直观的魅力；增强解决实际问题的信心。 【前言】 同学们，生活中我们经常遇到这样的问题： “六一儿童节，老师把 48 颗糖果平均分给两个小组，第二小组分到的糖果数是第一小组的 3 倍。两个小组各分到多少颗糖果？” 题目告诉我们两个量的“和”，又告诉我们一个量是另一个量的“几倍”，要求这两个量分别是多少。这类问题就叫做——和倍应用题。 解决和倍问题，最关键的是找准“1倍量”（也叫小数、标准量）。我们可以画线段图来帮忙：用 1 段线段表示小数，那么大数就是几段线段，合起来的总段数就是“倍数 + 1”段，正好对应两数之和。 图 1　和倍问题的基本线段图模型 核心公式： 小数（1倍量）＝ 和 ÷ (倍数 + 1) 大数 ＝ 和 − 小数 ＝ 小数 × 倍数 本讲我们将从最基础的直接和倍问题入手，逐步攻克和需先求、调动转移、和变化还原、多量连倍等变式，让大家的和倍解题能力全面进阶！ 一、知识导航 （一）和倍应用题的基本结构 已知大、小两个数的“和”，又知大数是小数的几倍，求大、小两数各是多少。 三个关键量：和、倍数、小数（1倍量）。知道其中两个，就可以求出第三个。 判断方法：题中出现“一共、共、合起来”等词，提示“和”；出现“是几倍、比…多几倍”等说法，提示倍数关系。 （二）和倍核心公式推导（线段图法） 画线段图：小数用 1 段表示，大数用“倍数”段表示，两数之和对应“倍数 + 1”段。 因此：1 段（小数）＝ 和 ÷ (倍数 + 1)；大数 ＝ 小数 × 倍数 ＝ 和 − 小数。 举例：两数之和是 265，大数是小数的 4 倍。 小数 ＝ 265 ÷ (4 + 1) ＝ 53；大数 ＝ 53 × 4 ＝ 212（或 265 − 53 ＝ 212）。 （三）五大常见题型分类 题型 题目特征 解题关键 类型A：直接和倍 直接给出两数之和与倍数关系 直接套公式，找准 1 倍量 类型B：和需先求 没有直接给“和”，需要先通过行程、总数等条件求出和 先求速度和 / 总量和，再套公式 类型C：调动转移型 从一个量调一部分到另一个量后形成倍数关系 总和不变！1 倍量是调动后的小数，先求调动后数量，再还原 类型D：和变化还原型 一个量减少、另一个量增加后形成倍数关系，和发生了变化 先算变化后的“新和”，用新和套公式求变化后数量，再倒推原来数量 类型E：多量连倍型 三个及以上量，两两之间有倍数关系 统一以最小量为 1 倍，把所有量都表示为最小量的倍数，总倍数相加，和 ÷ 总倍数 = 最小量 （四）重要语言辨析 表述 含义 倍数关系 甲是乙的 3 倍 甲 ＝ 乙 × 3 甲 : 乙 ＝ 3 : 1，总倍数 ＝ 4 甲比乙多 2 倍 甲 ＝ 乙 × (1 + 2) ＝ 乙 × 3 甲 : 乙 ＝ 3 : 1，总倍数 ＝ 4 甲比乙多 3 倍 甲 ＝ 乙 × (1 + 3) ＝ 乙 × 4 甲 : 乙 ＝ 4 : 1，总倍数 ＝ 5 甲增加到乙的 3 倍 甲 ＝ 乙 × 3 同“是 3 倍” 甲增加了乙的 2 倍 甲 ＝ 原来 ＋ 乙 × 2 需结合具体语境 ⚠ 特别提醒：“多几倍”≠“是几倍”！“甲比乙多 n 倍”意味着甲是乙的 (n + 1) 倍。 （五）和倍问题解题六步法 ① 读题，圈出“和”与“倍数”，确定哪个量是“1倍量”（小数）； ② 画线段图，1 段表示小数，倍数段表示大数； ③ 判断题型：直接和倍 / 和需先求 / 调动转移 / 和变化还原 / 多量连倍； ④ 套用对应方法，求出小数（1倍量）； ⑤ 由小数求出大数，必要时还原到原来的数量； ⑥ 回代双检验：两数之和是否正确，倍数关系是否成立。 二、易错辨析 ❌ 错误做法 ✅ 正确做法 直接用“和 ÷ 倍数”求小数，忘记加 1 小数 ＝ 和 ÷ (倍数 + 1)，总段数是“倍数 + 1”段 “甲比乙多 3 倍”当成“甲是乙的 3 倍” “多 n 倍”＝“是 (n + 1) 倍”，多 3 倍即甲是乙的 4 倍 调动转移型问题，把调动前的量当作 1 倍量 1 倍量是调动后的小数，先求调动后数量，再还原调动量 和变化型问题，仍然用原来的和套公式 先算变化后的“新和”（原和 − 给出量 + 新增量），用新和套公式 多量连倍型，分别两两套用公式，越算越乱 统一以最小量为 1 倍，把所有量表示为最小量的倍数，总倍数相加 求完大数只验证倍数，不验证和是否正确 回代双检验：大数 + 小数 ＝ 和，大数 ÷ 小数 ＝ 倍数，两个条件都要满足 相遇问题中，把总路程直接当速度和 相遇问题：速度和 ＝ 总路程 ÷ 相遇时间，先求速度和再套和倍公式 三、典例精讲 例 1【类型A · 直接和倍——找准1倍量直接套公式】 题目：果园里有苹果树和梨树一共 96 棵，苹果树的棵数是梨树的 3 倍。苹果树和梨树各有多少棵？ 思路分析：题目直接给出两数和 96 棵与倍数 3。“是”字后面的量——梨树就是 1 倍量（小数）。画出线段图：梨树 1 段，苹果树 3 段，共 4 段对应 96 棵。 图 2　例 1 直接和倍：苹果树是梨树的 3 倍，共 96 棵 详解： 把梨树看作“1倍量”，苹果树就是 3 倍量，两树总数 96 棵对应 3 + 1 ＝ 4 段。 梨树棵数（1倍量）＝ 96 ÷ (3 + 1) ＝ 96 ÷ 4 ＝ 24（棵） 苹果树 ＝ 24 × 3 ＝ 72（棵），或 96 − 24 ＝ 72（棵） 答：梨树 24 棵，苹果树 72 棵。 ✅ 验算：24 ＋ 72 ＝ 96（和正确）；72 ÷ 24 ＝ 3（倍数正确）。 💡 【方法点睛】 直接和倍问题，“是”字后面的量通常就是 1 倍量；用“和 ÷ (倍数 + 1)”求出的是小数（1倍量）。 例 2【类型B · 和需先求——相遇问题中的速度和倍】 题目：甲、乙两港相距 180 千米，一艘客轮和一艘货轮同时从两港出发，相向而行，2 小时后相遇。已知客轮每小时行的路程是货轮的 2 倍。两艘轮船每小时各行多少千米？ 思路分析：题目没有直接给出“速度和”，但相遇问题中：速度和 ＝ 总路程 ÷ 相遇时间。先求出速度和，再套和倍公式。1 倍量是货轮速度。 图 3　例 2 和需先求：相遇问题先求速度和 详解： 第一步：求速度和。两船 2 小时共行 180 千米，1 小时共行 180 ÷ 2 ＝ 90（千米/时）。 第二步：套和倍公式。货轮速度（1倍量）＝ 90 ÷ (2 + 1) ＝ 90 ÷ 3 ＝ 30（千米/时） 客轮速度 ＝ 30 × 2 ＝ 60（千米/时），或 90 − 30 ＝ 60（千米/时） 答：客轮每小时行 60 千米，货轮每小时行 30 千米。 ✅ 验算：(60 ＋ 30) × 2 ＝ 90 × 2 ＝ 180（总路程正确）；60 ÷ 30 ＝ 2（倍数正确）。 💡 【方法点睛】 和倍公式中的“和”不一定直接给出，需要根据题意先求出来。相遇问题中，速度和 ＝ 总路程 ÷ 相遇时间。 例 3【类型C · 调动转移型——总和不变，1倍量是调动后的量】 题目：星光小学合唱队原来有男生 28 人、女生 44 人。要使女生人数是男生的 3 倍，需要从男生中调几名同学到女生队？ 思路分析：两队总人数 28 ＋ 44 ＝ 72 人，调动前后总数不变！调动后女生是男生的 3 倍，此时 1 倍量是“调动后男生人数”。先求调动后男生人数，再算调走了多少人。 图 4　例 3 调动转移：总和不变，先求调动后 详解： 第一步：总人数 ＝ 28 ＋ 44 ＝ 72（人）（调动前后不变） 第二步：调动后男生人数（1倍量）＝ 72 ÷ (3 + 1) ＝ 72 ÷ 4 ＝ 18（人） 第三步：调入女生队的人数 ＝ 原来男生 − 调动后男生 ＝ 28 − 18 ＝ 10（人） 答：需要从男生中调 10 名同学到女生队。 ✅ 验算：调动后男生 28 − 10 ＝ 18 人，女生 44 ＋ 10 ＝ 54 人；54 ÷ 18 ＝ 3（倍数正确）；18 ＋ 54 ＝ 72（总和不变）。 💡 【方法点睛】 调动转移型的核心是“总和不变”。1 倍量一定是调动后的小数，不能用调动前的量直接套公式。先求调动后数量，再还原。 例 4【类型C变式 · 图书调整——巩固调动转移模型】 题目：姐姐有故事书 50 本，妹妹有故事书 30 本。妹妹给姐姐多少本后，姐姐的故事书本数正好是妹妹的 3 倍？ 思路分析：姐妹图书总数 50 ＋ 30 ＝ 80 本，给书之后总数不变。给书后姐姐是妹妹的 3 倍，1 倍量是“妹妹给书后剩下的本数”。 图 5　例 4 调动转移变式：姐姐 50 本、妹妹 30 本，给后姐姐是妹妹的 3 倍 详解： 图书总数 ＝ 50 ＋ 30 ＝ 80（本） 妹妹给书后剩下的本数（1倍量）＝ 80 ÷ (3 + 1) ＝ 80 ÷ 4 ＝ 20（本） 妹妹给姐姐的本数 ＝ 30 − 20 ＝ 10（本） 答：妹妹给姐姐 10 本书。 ✅ 验算：妹妹剩 30 − 10 ＝ 20 本，姐姐有 50 ＋ 10 ＝ 60 本； 60 ÷ 20 ＝ 3（倍数正确）；20 ＋ 60 ＝ 80（总数不变）。 💡 【方法点睛】 与例 3 完全同型。记住口诀：“调动问题和不变，先求后来小数面，再用原来减后来，调动数量自然见。”找准谁是“1倍量”（调动后的小数）是关键。 例 5【类型D · 和变化还原型——和发生变化，先求新和再还原】 题目：农场原来有鸡和鸭共 260 只。后来卖掉鸡 40 只，又买进鸭 20 只，这时鸡的只数正好是鸭的 2 倍。农场原来有鸡和鸭各多少只？ 思路分析：这道题的“和”发生了变化！卖掉鸡 40 只（减少），买进鸭 20 只（增加），变化后的总和 ＝ 260 − 40 ＋ 20 ＝ 240 只。此时 1 倍量是“买进鸭之后鸭的只数”。用新和 240 套公式求出变化后数量，再倒推原来的数量。 图 6　例 5 和变化还原：鸡鸭共 260 只，卖鸡 40、买鸭 20 后鸡是鸭的 2 倍 详解： 第一步：求变化后的总和（新和）＝ 260 − 40 ＋ 20 ＝ 240（只） 第二步：现在鸭的只数（1倍量）＝ 240 ÷ (2 + 1) ＝ 240 ÷ 3 ＝ 80（只） 第三步：还原原来数量。现在鸡 ＝ 80 × 2 ＝ 160（只） 原来鸭 ＝ 现在鸭 − 买进的 20 只 ＝ 80 − 20 ＝ 60（只） 原来鸡 ＝ 原来总和 − 原来鸭 ＝ 260 − 60 ＝ 200（只） （验证：原来鸡 200 − 40 ＝ 160 ＝ 现在鸡，倍数正确。） 答：原来有鸡 200 只，鸭 60 只。 ✅ 验算：原来 200 ＋ 60 ＝ 260（原和正确）； 变化后 200 − 40 ＝ 160 只鸡、60 ＋ 20 ＝ 80 只鸭； 160 ÷ 80 ＝ 2（倍数正确）； 160 ＋ 80 ＝ 240（新和正确）。 💡 【方法点睛】 和变化型的关键是先算出变化后的“新和”，用新和套公式求变化后的 1 倍量，再倒推还原原来的数量。注意区分“给出的”和“新得到的”对总和的影响。 例 6【类型E · 多量连倍型——三个量统一倍数】 题目：学校图书馆里，科技书的本数是故事书的 2 倍，漫画书的本数是科技书的 3 倍，三种书一共有 180 本。三种书各有多少本？ 思路分析：三个量，两两之间有倍数关系。以最小量“故事书”为 1 倍量，则科技书 ＝ 2 倍，漫画书 ＝ 科技书 × 3 ＝ 2 × 3 ＝ 6 倍。总倍数 ＝ 1 ＋ 2 ＋ 6 ＝ 9，对应总和 180 本。 图 7　例 6 多量连倍：科技书是故事书的 2 倍、漫画书是科技书的 3 倍，共 180 本 详解： 以故事书为 1 倍量：科技书 ＝ 故事书 × 2 ＝ 2 倍量 漫画书 ＝ 科技书 × 3 ＝ 2 × 3 ＝ 6 倍量 总倍数 ＝ 1 ＋ 2 ＋ 6 ＝ 9（倍） 故事书（1倍量）＝ 180 ÷ 9 ＝ 20（本） 科技书 ＝ 20 × 2 ＝ 40（本）；漫画书 ＝ 40 × 3 ＝ 120（本）（或 20 × 6 ＝ 120） 答：故事书 20 本，科技书 40 本，漫画书 120 本。 ✅ 验算：20 ＋ 40 ＋ 120 ＝ 180（总和正确）； 40 ÷ 20 ＝ 2（科技是故事 2 倍）； 120 ÷ 40 ＝ 3（漫画是科技 3 倍）。 💡 【方法点睛】 多量连倍型，统一以最小量为 1 倍，通过连乘把所有量都转化为最小量的倍数，总倍数相加后用“总和 ÷ 总倍数 ＝ 最小量”。 四、方法总结表 题型 突破口 核心方法 检验要点 直接和倍 找“是”字后面的量为 1 倍量 小数 ＝ 和 ÷ (倍数 + 1)；大数 ＝ 小数 × 倍数 和正确 + 倍数正确，双检验 和需先求 先根据题意求出“和” 相遇问题：速度和 ＝ 路程 ÷ 时间；再套公式 先求的和要符合题意，再套公式 调动转移型 总和不变，1 倍量是调动后的小数 总和 ÷ (倍数 + 1) ＝ 调动后小数；原来 − 后来 ＝ 调动量 调动后两数和 ＝ 原来和；倍数关系成立 和变化还原型 先算变化后的新和 新和 ＝ 原和 − 给出量 + 新增量；新和 ÷ (倍数 + 1) ＝ 变化后小数；再倒推原来 新和计算正确；还原后原来两数和 ＝ 原和 多量连倍型 统一以最小量为 1 倍 所有量转化为最小量的倍数；总和 ÷ 总倍数 ＝ 最小量 各量之间倍数关系全部成立；总和正确 “多几倍”语言陷阱 区分“是几倍”与“多几倍” “多 n 倍”＝“是 (n + 1) 倍”；总倍数 ＝ (n + 1) + 1 把“多几倍”先翻译成“是几倍”再计算 五、解题口诀 和倍问题有公式，小数等于和除倍； 倍数还要加上一，这个细节别忘记； 大数等于小数乘倍，或者和把小数减； 找准一倍是关键，“是”字后面仔细看； 和没直接给出来，先求总和再计算； 调动转移和不变，先求后来再还原； 和有变化先算新，新和套式再倒推； 三个量来连倍数，统一最小为一倍； “多几倍”要加个一，语言陷阱要分辨； 画好线段图来辅助，抽象问题变直观； 做完回代做检验，和与倍数都过关！ 六、习题分层训练 A 组｜基础过关（直接和倍 + 和需先求） A1　三（1）班有男生和女生一共 45 人，男生人数是女生的 4 倍。男、女生各有多少人？ A2　学校图书室买来故事书和科技书一共 240 本，故事书的本数是科技书的 5 倍。两种书各有多少本？ A3　甲、乙两数的和是 72，甲数是乙数的 3 倍。甲、乙两数各是多少？ A4　甲、乙两城相距 180 千米，一辆轿车和一辆卡车同时从两城出发相向而行，2 小时后相遇。轿车的速度是卡车的 2 倍，两车每小时各行多少千米？ B 组｜能力提升（调动转移 + 和变化还原） B1　甲、乙两筐苹果共重 90 千克。如果从甲筐拿出 10 千克放入乙筐，那么乙筐苹果正好是甲筐苹果的 2 倍。原来甲、乙两筐各有多少千克苹果？ B2　师傅和徒弟一共加工了 150 个零件，其中师傅有 5 个不合格，徒弟有 7 个不合格。已知师傅加工的合格零件数是徒弟的 2 倍。师傅和徒弟各加工了多少个零件？ B3　书架上层有书 96 本，下层有书 64 本。从上层拿多少本书放到下层，才能使下层的书正好是上层的 3 倍？ B4　两筐橘子共重 80 千克。从甲筐取出 8 千克放入乙筐，又往乙筐放进 4 千克橘子，这时乙筐橘子的重量正好是甲筐的 3 倍。原来甲、乙两筐各有多少千克橘子？ C 组｜挑战冲刺（多量连倍 + 语言陷阱 + 综合） C1　甲、乙、丙三个数的和是 240，甲数是乙数的 3 倍，丙数是甲数的 2 倍。甲、乙、丙三个数各是多少？ C2　学校舞蹈队有男生和女生共 40 人，男生人数比女生多 3 倍。男、女生各有多少人？ C3　植树节，同学们分成三个小组植树。第二组植树的棵数是第一组的 2 倍，第三组植树的棵数是第二组的 3 倍。三个组一共植树 180 棵，每个小组各植树多少棵？ C4　有两堆煤，第一堆有 150 吨，第二堆有 90 吨。要使第一堆煤的重量比第二堆多 2 倍，需要从第二堆运多少吨煤到第一堆？ 七、参考答案与详细解析 A 组（答案） A1　女生 9 人，男生 36 人。 解析：女生（1倍量）＝ 45 ÷ (4 + 1) ＝ 45 ÷ 5 ＝ 9（人）；男生 ＝ 9 × 4 ＝ 36（人）。验算：9 ＋ 36 ＝ 45，36 ÷ 9 ＝ 4。 A2　科技书 40 本，故事书 200 本。 解析：科技书（1倍量）＝ 240 ÷ (5 + 1) ＝ 240 ÷ 6 ＝ 40（本）；故事书 ＝ 40 × 5 ＝ 200（本）。验算：40 ＋ 200 ＝ 240，200 ÷ 40 ＝ 5。 A3　乙数 18，甲数 54。 解析：乙数（1倍量）＝ 72 ÷ (3 + 1) ＝ 72 ÷ 4 ＝ 18；甲数 ＝ 18 × 3 ＝ 54。验算：18 ＋ 54 ＝ 72，54 ÷ 18 ＝ 3。 A4　卡车每小时行 30 千米，轿车每小时行 60 千米。 解析：先求速度和 ＝ 180 ÷ 2 ＝ 90（千米/时）；卡车（1倍量）＝ 90 ÷ (2 + 1) ＝ 30（千米/时）；轿车 ＝ 30 × 2 ＝ 60（千米/时）。验算：(60 ＋ 30) × 2 ＝ 180，60 ÷ 30 ＝ 2。 B 组（答案） B1　甲筐原有 40 千克，乙筐原有 50 千克。 解析：总重量 90 千克不变。调动后甲筐（1倍量）＝ 90 ÷ (2 + 1) ＝ 30（千克）；甲筐原有 ＝ 30 ＋ 10 ＝ 40（千克）；乙筐原有 ＝ 90 − 40 ＝ 50（千克）。验算：调动后甲筐 40 − 10 ＝ 30，乙筐 50 ＋ 10 ＝ 60；60 ÷ 30 ＝ 2，30 ＋ 60 ＝ 90。 B2　师傅加工 97 个，徒弟加工 53 个。 解析：合格零件总数 ＝ 150 − 5 − 7 ＝ 138（个）。徒弟合格零件（1倍量）＝ 138 ÷ (2 + 1) ＝ 46（个）；徒弟共加工 ＝ 46 ＋ 7 ＝ 53（个）；师傅共加工 ＝ 150 − 53 ＝ 97（个）。验算：师傅合格 97 − 5 ＝ 92，徒弟合格 53 − 7 ＝ 46；92 ÷ 46 ＝ 2，53 ＋ 97 ＝ 150。 B3　从上层拿 56 本书放到下层。 解析：图书总数 ＝ 96 ＋ 64 ＝ 160（本），调动后不变。调动后上层（1倍量）＝ 160 ÷ (3 + 1) ＝ 160 ÷ 4 ＝ 40（本）；从上层拿到下层的本数 ＝ 96 − 40 ＝ 56（本）。验算：调动后上层 96 − 56 ＝ 40，下层 64 ＋ 56 ＝ 120；120 ÷ 40 ＝ 3，40 ＋ 120 ＝ 160。 B4　甲筐原有 29 千克，乙筐原有 51 千克。 解析：甲筐取出 8 千克放入乙筐，总和不变；乙筐又加入 4 千克，总和增加 4 千克。变化后的总和（新和）＝ 80 ＋ 4 ＝ 84（千克）。变化后甲筐（1倍量）＝ 84 ÷ (3 + 1) ＝ 84 ÷ 4 ＝ 21（千克）；甲筐原有 ＝ 21 ＋ 8 ＝ 29（千克）；乙筐原有 ＝ 80 − 29 ＝ 51（千克）。验算：变化后甲筐 29 − 8 ＝ 21，乙筐 51 ＋ 8 ＋ 4 ＝ 63；63 ÷ 21 ＝ 3，21 ＋ 63 ＝ 84。 C 组（答案） C1　乙数 24，甲数 72，丙数 144。 解析：以乙数为 1 倍量，甲数 ＝ 3 倍，丙数 ＝ 甲数 × 2 ＝ 3 × 2 ＝ 6 倍。总倍数 ＝ 1 ＋ 3 ＋ 6 ＝ 10。乙数 ＝ 240 ÷ 10 ＝ 24；甲数 ＝ 24 × 3 ＝ 72；丙数 ＝ 72 × 2 ＝ 144。验算：24 ＋ 72 ＋ 144 ＝ 240；72 ÷ 24 ＝ 3；144 ÷ 72 ＝ 2。 C2　女生 8 人，男生 32 人。 解析：“男生比女生多 3 倍”即男生是女生的 4 倍（多 3 倍 ＝ 是 4 倍）。女生（1倍量）＝ 40 ÷ (4 + 1) ＝ 40 ÷ 5 ＝ 8（人）；男生 ＝ 8 × 4 ＝ 32（人）。验算：8 ＋ 32 ＝ 40；32 ÷ 8 ＝ 4，即男生比女生多 3 倍。 C3　第一组 20 棵，第二组 40 棵，第三组 120 棵。 解析：以第一组为 1 倍量，第二组 ＝ 2 倍，第三组 ＝ 第二组 × 3 ＝ 2 × 3 ＝ 6 倍。总倍数 ＝ 1 ＋ 2 ＋ 6 ＝ 9。第一组 ＝ 180 ÷ 9 ＝ 20（棵）；第二组 ＝ 20 × 2 ＝ 40（棵）；第三组 ＝ 40 × 3 ＝ 120（棵）。验算：20 ＋ 40 ＋ 120 ＝ 180；40 ÷ 20 ＝ 2；120 ÷ 40 ＝ 3。 C4　需要从第二堆运 30 吨煤到第一堆。 解析：“第一堆比第二堆多 2 倍”即第一堆是第二堆的 3 倍。总重量 ＝ 150 ＋ 90 ＝ 240（吨），调动后不变。调动后第二堆（1倍量）＝ 240 ÷ (3 + 1) ＝ 60（吨）；从第二堆运出 ＝ 90 − 60 ＝ 30（吨）。验算：调动后第二堆 90 − 30 ＝ 60，第一堆 150 ＋ 30 ＝ 180；180 ÷ 60 ＝ 3，即第一堆比第二堆多 2 倍；60 ＋ 180 ＝ 240。 八、本讲小结 ✦ 和倍应用题核心：已知两数之和与倍数关系，求两数各是多少。 ✦ 核心公式：小数（1倍量）＝ 和 ÷ (倍数 + 1)；大数 ＝ 和 − 小数 ＝ 小数 × 倍数。 ✦ 解题关键：找准“1倍量”（小数）。“是”字后面的量通常就是 1 倍量。 ✦ 五大题型回顾： 1. 直接和倍：和与倍数都直接给出，直接套公式； 2. 和需先求：先根据题意（如相遇问题求速度和）求出“和”，再套公式； 3. 调动转移型：总和不变，1 倍量是调动后的小数，先求后来再还原； 4. 和变化还原型：先算变化后的“新和”，用新和套公式，再倒推原来数量； 5. 多量连倍型：统一以最小量为 1 倍，总倍数相加，总和 ÷ 总倍数 ＝ 最小量。 ✦ 语言陷阱：“甲比乙多 n 倍”＝“甲是乙的 (n + 1) 倍”，不要与“是 n 倍”混淆。 ✦ 解题流程：读题找和与倍数 → 确定 1 倍量 → 判断题型 → 画线段图 → 套对应方法 → 求小数 → 求大数 → 还原 → 回代双检验（和 + 倍数）。 九、易错警示 ❌ 用“和 ÷ 倍数”求小数，忘记加 1。 ✅ 小数 ＝ 和 ÷ (倍数 + 1)，总段数是“倍数 + 1”段，不是倍数段。 ❌ “甲比乙多 3 倍”当成“甲是乙的 3 倍”。 ✅ “多 n 倍”＝“是 (n + 1) 倍”。多 3 倍即甲是乙的 4 倍，总倍数 ＝ 5。 ❌ 调动转移型，把调动前的量当作 1 倍量直接套公式。 ✅ 1 倍量是调动后的小数。先求调动后数量，再用“原来 − 后来 ＝ 调动量”还原。 ❌ 和变化型，仍然用原来的和套公式。 ✅ 先算新和 ＝ 原和 − 给出量 + 新增量，用新和套公式，再倒推还原。 ❌ 多量连倍型，分别两两套用公式，越算越乱。 ✅ 统一以最小量为 1 倍，通过连乘把所有量转化为最小量的倍数，总倍数相加。 ❌ 只验证倍数关系，不验证和是否正确。 ✅ 回代双检验：大数 ＋ 小数 ＝ 和，大数 ÷ 小数 ＝ 倍数，两个条件都要满足。 ❌ 相遇问题中，把总路程直接当速度和。 ✅ 相遇问题：速度和 ＝ 总路程 ÷ 相遇时间，先求速度和再套和倍公式。 十、学习建议 ✓ 做和倍问题，第一步先找“和”和“倍数”，用笔圈出来。 ✓ 找准“1倍量”：“是”字、“比”字后面的量通常是 1 倍量。 ✓ 养成画线段图的习惯：1 段画小数，倍数段画大数，标注总和。 ✓ 遇到“多几倍”，先在草稿纸上翻译成“是 (n + 1) 倍”再计算。 ✓ 调动问题记住“总和不变”；和变化问题先算“新和”再套公式。 ✓ 多量问题统一标准量，不要分开套公式。 ✓ 每道题做完都做双检验：和是否正确，倍数是否正确。 ✓ 建议把本讲例题的线段图自己重新画一遍，加深理解。 ✨ 和倍问题牢记公式，找准 1 倍量，画好线段图，难题迎刃而解！✨ 祝贺你完成本讲学习，你是最棒的！👍 学科网（北京）股份有限公司 $