精品解析：浙江省Z20名校联盟2026-2027学年高一上学期创新班开学学情诊断数学试题

浙江省名校联盟2026学年第一学期创新班学情诊断 高一数学试题卷 命题：嘉善高级中学（柳州书院）王书朝 审题：淳安中学 邵润禾 三门中学 陆建宇 校稿：吕金晶 第I卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 若想要得到函数的图象，只需要将的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 4. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 64 B. 8 C. D. 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面向量满足：，若对任意，恒成立，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，其中且，.若函数有三个不同的零点、、，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，则下列不等式中正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角A，B，C的对边分别为，，，为钝角，则下列判断正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 设是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则下列结论正确的有（ ） A. . B. 为周期为4的周期函数. C. 为奇函数 D. 第Ⅱ卷 三.填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的值为______________. 13. 著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则$t$分钟后物体的温度满足：，若空气温度恒定且为30℃，某物体的温度从90℃下降到50℃时，大约需要的时间为22分钟，则大约为______________，该物体的温度从50℃再下降到40℃时，大约还需要时间为______________分钟.（参考数据：，） 14. 已知，的部分图象如图所示，B，C为图象上两点，B恰为AC的中点，设，，则______________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，满足，，. （1）若，求； （2）若，求与夹角的余弦值. 16. 在中，三内角，，的对边分别为，，，且满足： （1）求角的值； （2）若的角平分线交于点，且，的面积为，求的长. 17. 设函数. （1）判断在定义域上的单调性并加以证明； （2）若函数为奇函数，求实数，的值. 18. 设二次函数，且的两个实根满足. （1）若函数的图象关于对称，求的解集； （2）若. （i）求证：； （ii）设函数在区间上的最大值为，求的表达式. 19. 对于复数，，，定义.设，，. （1）若，，，求； （2）已知，，若，求的最大值； （3）若，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省名校联盟2026学年第一学期创新班学情诊断 高一数学试题卷 命题：嘉善高级中学（柳州书院）王书朝 审题：淳安中学 邵润禾 三门中学 陆建宇 校稿：吕金晶 第I卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为集合，，则，故. 2. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 在中, 因为所以,在中， 故. 3. 若想要得到函数的图象，只需要将的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数图象平移变换法则即可求解. 【详解】由于， 所以若想要得到函数的图象， 只需要将的图象向左平移个单位. 故选：C. 4. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】指数函数的底数，故该函数在R上单调递减，因为，所以； 幂函数的指数，故该函数在上单调递增，因为，所以； 综上，. 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 64 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由且，两边同除以得到.利用“1”的代换方法，将与相乘展开，运用基本不等式求最小值，最后需要验证等号成立即可. 【详解】已知，且，对等式两边同除以，可变形得到： . . 由基本不等式，得：. ​ 因此​，当且仅当​，即时取等号， 所以的最小值为​. 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，， 所以. 所以. 7. 已知平面向量满足：，若对任意，恒成立，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由得： . 因为，依题意任意恒成立. 所以，所以. 所以在上的投影向量为. 8. 已知函数，其中且，.若函数有三个不同的零点、、，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分、、三种情况，在前两种情况下，直接验证不符合题意；在时，根据题意求出三个零点的表达式，并求出的取值范围，结合对数的运算性质以及对数函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】当或时，，有唯一解，不满足方程有三个不等实根； 当时，大致图象如图所示， 若有三个不等实根，则，可得， 设，令，解得，即， 令，解得：，， 因为， 所以，故. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，则下列不等式中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质推导即可. 【详解】由可得，故A对. 由可得，故B错. 由，可得，，所以，故C错. 由，可得，，所以， 即，所以，故D对. 10. 在中，角A，B，C的对边分别为，，，为钝角，则下列判断正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.钝角三角形中，钝角对边的平方大于另外两边平方和，可由余弦定理直接判定;B.钝角三角形两个锐角之和小于，由此可以建立角的不等关系，比较三角函数大小;C.利用余弦函数在单调递减性质，可比较的大小；D.利用三角恒等式,以及，，可得到. 【详解】选项 A，由余弦定理：，为钝角，，，所以 ，即 ，A 正确； 选项 B，是钝角，所以 ，因为都是锐角，在单调递增，所以，即，B 错误； 选项 C，由 B 知：，在区间单调递减，自变量越小，函数值越大，，C 正确； 选项 D，由和差化积得， ，，所以, 则 , 所以, 因为为钝角，锐角，所以，，所以, ，D 正确. 11. 设是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则下列结论正确的有（ ） A. . B. 为周期为4的周期函数. C. 为奇函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性性质计算判断即可. 【详解】∵为奇函数，∴，且 为偶函数， 又，所以，所以为偶函数，所以A和B正确，而 不恒为0，因此不是奇函数，C错误； 当时， ，， ∴，所以， 所以当时， 因为，所以 故. 第Ⅱ卷 三.填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式计算即可. 【详解】. 13. 著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则$t$分钟后物体的温度满足：，若空气温度恒定且为30℃，某物体的温度从90℃下降到50℃时，大约需要的时间为22分钟，则大约为______________，该物体的温度从50℃再下降到40℃时，大约还需要时间为______________分钟.（参考数据：，） 【答案】 ①. ②. 14 【解析】 【分析】代入已知条件求出参数，注意后段降温要更新初始温度，再借助对数运算求解时间. 【详解】由题，当时，， 则，当从50℃再下降到40℃时， . 14. 已知，的部分图象如图所示，B，C为图象上两点，B恰为AC的中点，设，，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用中点坐标公式得到点 C 坐标，借助二倍角公式转化为关于的一元二次方程，结合取舍求解. 【详解】由题意及图象，点对应的是最小值横坐标，故可设，，，则， 因B恰为AC的中点，则，即， 又B，C为图象上的两点，则，且， 则得，即， 也即，解得， 因，则. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，满足，，. （1）若，求； （2）若，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ,,, 可得：, , 则. 【小问2详解】 , , 则,, 故 16. 在中，三内角，，的对边分别为，，，且满足： （1）求角的值； （2）若的角平分线交于点，且，的面积为，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，由此求得. （2）先求得，利用三角形的面积公式、正弦定理列方程，由此解得. 【小问1详解】 ， 由正弦定理可得：， 所以，所以， 又为中内角，所以. 【小问2详解】 由（为锐角）得：， 所以， 因为的面积为，所以， 又，所以， 由， 解得. 17. 设函数. （1）判断在定义域上的单调性并加以证明； （2）若函数为奇函数，求实数，的值. 【答案】（1）由得，所以的定义域为， 法1：在定义域上为增函数． 证明：任取， 则 ，，， 则，则， .在上单调递增． 法2：在定义域上为增函数． 证明：任取， 则 ，，， .在上单调递增． （2）， 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义证明； （2）利用奇函数的定义并结合定义域求参. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法1：， 由不等式的解集关于原点对称知：，解得． 此时，． 由，得，得， 所以，． 法2：， 由得：， 则则恒成立， 所以，，所以， 18. 设二次函数，且的两个实根满足. （1）若函数的图象关于对称，求的解集； （2）若. （i）求证：； （ii）设函数在区间上的最大值为，求的表达式. 【答案】（1）当时，的解集为； 当时，的解集为； （2）（i）由得，则， 得，则； （ii）. 【解析】 【分析】（1）求出两根，再分类讨论解不等式； （2）（i）根据韦达定理化简； （ii）化简，求出对称轴，分、、三种情况讨论即可. 【小问1详解】 由题意得，则，则， 当时，的解集为； 当时，的解集为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）由，得或. 设， 则 的零点分别为和，对称轴为 ①当时，， 则在上递增，在上递减， 所以； ②当时，， 则在上递减， 则； ③当时，， 则在上递减，在上递增， 则； 综上. 19. 对于复数，，，定义.设，，. （1）若，，，求； （2）已知，，若，求的最大值； （3）若，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由新定义运算求解； （2）设，由新定义运算求解； （3）设在复平面上对应的点分别为A，B，C，O为平面直角坐标系坐标原点.，因为，所以为正三角形. 因为，不妨设，，再结合新定义求解． 【小问1详解】 因为，所以 【小问2详解】 设，则， 因为，当且仅当时取等号. 所以,， ，即的最大值为． 【小问3详解】 设在复平面上对应的点分别为A，B，C，O为平面直角坐标系坐标原点.， 因为，所以为正三角形. 因为，不妨设，， 则，， ， ， ， 令，则， 令， 由于周期为，所以不妨考虑：， （1）当时，由，得 （2）当时，由，得 （3）当时，由，得 （4）当时， 由，得， 综上所述，，则的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $