13.2.2三角形的高、中线与角平分线 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形的高、中线与角平分线，通过回顾“过一点画已知直线的垂线”导入，衔接旧知与新知，引导学生从垂线画法过渡到三角形高的定义、画法及不同三角形高的特点，再延伸至角平分线、中线，构建完整知识链。 其亮点在于以动手操作为核心，通过画图、折纸等活动培养几何直观（数学眼光），结合探究中线分面积关系等问题发展推理意识（数学思维），用表格归纳概念强化模型意识（数学语言）。例如直角三角形高交于直角顶点的探究，让学生在实践中理解知识，既提升学生动手与探究能力，也为教师提供结构化教学资源。

13.2.2 三角形的高、中线与角平分线 1.经历画图等实践过程认识三角形的高、中线与角平分线． 2.用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线，平通过画图知道三角形的三条高（及所在直线）交于一点，三角形的三条中线、三条角平分线都交于一点． 3.了解三角形的重心． 学习目标 你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 画法 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 过三角形的一 个顶点，你能画出它的对边的 垂线吗? B A C 怎样“过一点画已知直线的垂线” ? 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 1.放 2.靠 3.过 4.画 你还记得小学学过的“三角形的高”的定义吗？ 定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在 的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三 角形的这条边上的高，这条对边叫做三角形 的底.如图，线段AD是边BC上的高. 知识点 三角形的高 ┐ 高 底 几何表达形式：如图，AD是△ABC（的边BC上）的高，或AD⊥BC于点D，或∠BDA=∠CDA=90°. A C B D 过三角形的某一顶点 知识点 三角形的高 A B D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 向其对边或对边所在的直线 用三角板画垂线， 所得的垂线段就是这条边上的高. C 三角形高的画法: 交对边或对边延长线于一点， 注意标明垂直的记号和垂足的字母. 直角三角形的高 在纸上画一个直角三角形. 一条，两条直角边也是高，但不在直角三角形内部. （3）直角三角形的高是否交于一点？ 直角三角形的三条高交于直角顶点. 问题：（1）你能画出直角三角形的高吗？ （2）直角三角形的高有几条在它内部？ A B C D 钝角三角形的高 在纸上画一个钝角三角形. 一条.其余两条高在外部，作图需延长对应底边. （3）钝角三角形的高是否交于一点？ 钝角三角形的三条高不相交，但高所在直线交于一点，交点在三角形外部. 问题：（1）你能画出钝角三角形的高吗？ （2）钝角三角形的高有几条在它内部？ D E F A B C O 动手画一画 E F 你能画出△ABC中AC边上的高吗？ 思考：随着三角形形状的变 化，高线有什么变化呢？ A B C D 直角△ABC中的高线 9 动手画一画 F E 你能画出△ABC中AC边上的高吗？ 思考：随着三角形形状的变 化，高线有什么变化呢？ A B C D 锐角△ABC中的高线 10 (1) 你能画出钝角三角形的三条高吗？ A B C D E F (2) AC边上的高呢？ AB边上呢？ BC边上呢？ BF CE AD 钝角三角形的三条高 A B C D F (3)钝角三角形的三条高交于一点吗？ (4)它们所在的直线交于 一点吗？ O E 钝角三角形的三条高不相交于一点； 钝角三角形的三条高所在的直线交于一点. 三角形的角平分线 A C B D ● ● F E ● ● ● ● 画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，线段AD叫做ΔABC的角平分线. 画出ΔABC的另外两条角平分线； 观察三条角平分线，说说你的发现. 画一画 想一想 三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点. 对于其它的任意三角形是不是也有同样的结果？ 三角形的角平分线 ①任何三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部，交于一点. ②三角形的角平分线线是一条线段. 而角平分线是一条射线. 小结: 探究新知 例：如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC的中线和高，试比较△ABD和△ACD的面积大小和周长的长短. D E ┐ B C A 被三角形中线分成的两个小三角形的面积有什么关系？周长有什么关系？ 思考 探究新知 解：因为AD是△ABC的边BC的中线，所以BD=CD. 因为△ABD的面积= BD×AE，△ACD的面积= CD×AE， 所以△ACD的面积和△ABD的面积大小一样. D E ┐ B C A 因为△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD， 所以△ABD的周长-△ACD的周长=（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB-AC. 性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形,这两个三角形的周长差等于另两边长的差. 总结： 面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解. 方法总结 2.如图，(1)写出以AE为高的三角形;(2)当BC=8，AE=3，AB=6时，求AB边上的高的长度. 解：(1)△ABE，△ABD，△ABC，△AED，△AEC，△ADC. (2)设AB边上的高为x， ∵S△ABC= BC·AE= AB·x ∴BC·AE=AB·x，8×3=6x 解得x=4. 典例精练 思考 1、三角形的角平分线与角的平分线有什么区别与联系？ 2、你能用折纸的方法得任意一个三角形的角平分线吗？ 3、在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系? 三角形的三条角平分线交于同一点. 1.如图，AD，BE，CF分别是△ABC的三条角平分线，请判断下列各角之间的大小关系并填空. （1）∠1=∠（ ）； （2）∠3= （ ）； （3）∠ACB=（ ）∠4. 跟踪训练 新知探究 2 ∠ABC 2 2.已知△ABC中，∠C=50°，AD是边BC上的高，将∠CAD对折，使AC与AD重合，得到折痕AE，那么∠DAE=（ ） A.50° B.40° C.30° D.20° D 新知探究 将三角形的一个角对折，使其两边重合.折痕即为三角形的一个角平分线. 拓展点 【解析】因为AD是边BC上的高，所以∠C+∠CAD=90°. 因为∠C=50°，所以∠CAD=40°.由对折可知，线段 AE是△CAD的角平分线，所以∠DAE=∠CAE= ∠CAD=20°.故选D. 如图，DC 平分∠ACB，DE∥BC，∠AED = 80°，求∠ECD 的度数. 解：∵ DC 平分∠ACB， 又 DE∥BC， ∴∠ACB =∠AED = 80°. ∴∠ECD = 40°. A B C E D ∴∠ECD =∠BCD = ∠ACB. 练一练 三角形中的线段 概念 图形 中线 高线 角平分线 顶点和对边上垂足之间的线段 顶点和对边中点之间的线段 角的平分线被三角形所截的线段 归纳总结 $